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第10章二元一次方程组章末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）
一、单选题
1．下列是二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．若关于的方程组满足，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
3．若方程组的解是，则（ ）
A．2 B． C．0 D．4
4．小丽在用“加减消元法”解二元一次方程组时，利用消去，则a、b的值可能是（ ）
A． B． C． D．
5．学校计划采购一批白色和黄色乒乓球，若购买白色乒乓球3盒、黄色乒乓球2盒，共需34元；若购买白色乒乓球2盒、黄色乒乓球3盒，共需36元，通过设适当的未知量可列出方程组若用可得，下列关于“”的意义解释正确的是（ ）
A．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球贵2元 B．白色乒乓球比黄色乒乓球多买了2盒
C．每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元 D．白色乒乓球比黄色乒乓球少买了2盒
6．中国古代的数学著作《孙子算经》中，有这样一道题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每辆车坐3个人，那么就有2辆车空出来；如果每辆车坐2个人，那么就有9个人没车可坐，需步行．假设有x个人，有y辆车，可以获得的方程组为（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在改为横排，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表示出来，就是，在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，若图2所表示的方程组中x与y的值相等，则被墨水所覆盖的图形为（　　）
A． B． C． D．
8．《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？
设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据题意，下列是甲、乙、丙、丁四名同学列的方程或方程组，
甲同学：；乙同学：；丙同学：；丁同学：．
正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
9．已知方程，若用含的代数式表示，则 ．
10．如图，两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等．设一块巧克力的质量是，一个果冻的质量是，可列方程组： ．
11．用加减法解二元一次方程组，将方程的两边乘 ，再把得到的方程与方程相 就可以消去未知数 ．
12．一个两位数的各位数字之和为7，十位数字与个位数字互换后，所得新数比原数大9，则原来的两位数是 ．
13．已知关于的二元一次方程组的解为，若满足二元一次方程组，则 ．
14．某市举行中学生足球联赛，比赛的计分规则为：胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．某中学足球队在12场比赛中，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分．设该队在联赛中胜x场，平y场、负z场，则列三元一次方程组为 ．
三、解答题
15．解下列方程组：
(1)（代入消元法）；
(2)．
16．已知关于，的方程组和有相同的解．
(1)求这个相同的解．
(2)求的值．
17．乐乐，果果两人同解方程组时，乐乐看错了方程①中的，解得，果果看错了方程②中的，解得，求的值．
18．某实验室进行物体浸没实验，使用底面积为的长方体容器，初始水深为，已知每次实验物体均完全浸没．
第一次实验放入4个A型物体和3个B型物体后，水位上升至．
第二次实验放入2个A型物体和5个B型物体后，水位上升至．
(1)求每个A型物体和B型物体的体积；
(2)若第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，求此时容器内的水深．
19．学校举办“数学艺术周”创意设计展览．小明、小聪、小方用一张大正方形纸片和四张相同的小正方形纸片，分别设计了图①、图②、图③三种图案：
(1)根据图①、图②，求大正方形纸片和小正方形纸片的边长；
(2)若图③中四个小正方形的重叠部分是三个相同的正方形，求图③阴影部分的面积．
20．水是生命之源，“节约用水，人人有责”，为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，我市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是找市居民“一户一表”生活用水及阶梯计费价格表的部分信息
阶梯 年用水量（吨/户） 水价（元/吨） 污水处理价格（元/吨）
第一阶梯 不超过250吨 2.20 1.00
第二阶梯 超过250吨不超过350吨 3.30 1.00
第三阶梯 超过350吨 6.60 1.00
①每户产生的污水量等于该户自来水用水量：水费=自来水费用+污水处理费用；
②每月用水量会计入全年总量，决定当月每吨水的价格．
（例如：前几个月累计用水260吨，则当月水价均按3.3元/吨计算；若前几个月累计用水240吨，当月用水量20吨，则当月的水价中10吨按照2.2元/吨，另外10吨按照3.3元/吨计算）
(1)若小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，10月预计用水35吨，则小明家10月份预计应缴纳水费多少元？
(2)若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119元，设上半年用水量x吨，下半年用水量y吨，列方程组解应用题，求上半年用水量．
(3)若小红家2024年全年用水400吨，其中下半年比上半年少缴费76元，求上半年用水量．
《第10章二元一次方程组章末练习卷-2024-2025学年数学七年级下册人教版（2024）》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C C A C D B B
1．B
【分析】本题主要考查二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；因此此题可根据“只含有两个未知数，并且未知数的最高次数为1的整式方程”进行求解即可．
【详解】解：A、，不是二元一次方程，故不符合题意；
B、，是二元一次方程，故符合题意；
C、，不是二元一次方程，故不符合题意；
D、，不是二元一次方程，故不符合题意；
故选B．
2．C
【分析】方程组中两方程相加求出，然后根据列式，求出k的值即可．此题考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：，
得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
3．C
【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解是，可以求得、的值，从而可以求得的值．解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
【详解】解：方程组的解是，
，
解得，，
，
故选：C．
4．A
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．利用加减消元法判断即可．
【详解】解：利用消去，则，
故a、b的值可能是，
故选：A．
5．C
【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；因此此题可根据题意直接进行求解．
【详解】解：由题意可知设每盒白色乒乓球为元，每盒黄色乒乓球为元，则有“”表示每盒白色乒乓球比黄色乒乓球便宜2元；
故选：C．
6．D
【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，确定相等关系列方程是解题的关键．
设有x个人，有y辆车，由每3人坐一辆车，有2辆空车，可得，由每2人坐一辆车，有9人需要步行，可得： 从而可得答案．
【详解】解：设有x个人，有y辆车，根据题意得：
则
故选：D．
7．B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及实际应用，根据已知方程组，结合图可判断出：（1）前面两列为方程的左边，后两列表示一个数，为方程的右边；（2）“|”表示1，“—”表示10；根据图2中第一个方程求出x，y的值代入第二个代数式求值是解题关键．
【详解】解：设被墨水所覆盖的图形表示的数据为a，根据题意得，
又∵，
解得：，，
把，代入得，，
故选：B．
8．B
【分析】本题考查了一元一次方程，二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键．
设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变列式；根据人数不变列式即可求解．
【详解】解：设合伙人数为x人，羊价为y钱，每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，根据羊的价格不变可得，
∴，
根据人数不变得到，
∴甲、丙同学正确，
故选：B ．
9．
【分析】本题考查的是解二元一次方程，熟知解二元一次方程的基本步骤是解答此题的关键．先移项，再把的系数化为，即可用含的代数式表示．
【详解】解：
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即三块巧克力的质量=两个果冻的质量，一块巧克力的质量+一个果冻的质量克．根据这两个等量关系式可列一个方程组．
【详解】解：设每块巧克力的重量为x克，每块果冻的重量为y克．
由题意列方程组得：，
故答案为：．
11． 减
【分析】本题考查了用加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
根据加减消元法解答即可．
【详解】解：用加减法解二元一次方程组，将方程的两边乘，再把得到的方程与方程相减就可以消去未知数，
故答案为：，减，．
12．
【分析】本题考查二元一次方程组的应用—数字问题，熟练掌握二元一次方程组的应用是解题的关键，设原两位数的十位数为，个位数为，根据题意找到数量关系，列出二元一次方程组，求解即可得到答案
【详解】解：设原两位数的十位数为，个位数为，由题可得：
解得：
∴原两位数为．
故答案为：34
13．2
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，利用了类比的方法，弄清题中方程组解的特征是解本题的关键．
利用关于的二元一次方程组的解为得到即可．
【详解】解：∵关于的二元一次方程组的解为，
把关于满足二元一次方程组可化为可看作关于和的二元一次方程组，
，
，
故答案为：2．
14．
【分析】本题考查了三元一次方程组的实际应用．根据“在12场比赛，平和负的场数之和等于胜的场数，共得20分”列三元一次方程组即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
15．(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握代入消元法和加减消元法的解题步骤是解本题的关键．
（1）利用代入消元法求解即可；
（2）利用加减消元法求解即可；
【详解】（1）解：
把①代入②得：，
解得：
把代入①得：，
原方程组的解是．
（2）解：，
②得：③
①+③得
解得：，
把代入①得：，
解得：
原方程组的解是．
16．(1)
(2)5
【分析】本题考查了方程组相同解问题，加减消元法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）理解题意，先建立方程组，再运用加减消元法解出，即可作答．
（2）先把代入得，再相加得，即可作答．
【详解】（1）解：∵关于，的方程组和有相同的解，
∴
，得
解得，
把代入，得，
解得，
∴这个相同的解为；
（2）解：由（1）得，
把分别代入，
∴，
把上式两式子相加得，
∴．
17．0
【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次方程和代数式求值等知识点，解题的关键是列出关于、的一元一次方程求得、的值．把代入②得出可求出，把代入①得出可求出，然后再代入求代数式的值即可．
【详解】解：∵由题意，把代入②，
得，
解得：，
把代入①，
得，
解得：，
∴
．
18．(1)每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为
(2)此时容器内的水深为
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）先求得第一和第二次实验浸没物体总体积，再列二元一次方程组，求解即可；
（2）根据第三次实验放入3个A型物体和4个B型物体，列式计算即可求解．
【详解】（1）解：第一次实验：浸没物体总体积，
第二次实验：浸没物体总体积．
列方程组，
解得：，
答：每个A型物体的体积为，每个B型物体的体积为；
（2）解：，
答：此时容器内的水深为．
19．(1)大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为；
(2)
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程组和方程是解题的关键．
（1）设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，得到，解得，即可得到答案；
（2）设重叠部分小正方形的边长为，得到，解得，求出阴影部分的面积为．
【详解】（1）解：设大正方形纸片的边长为，小正方形纸片的边长为，
根据题意，得
解得，
大正方形纸片边长为，小正方形纸片边长为；
（2）解：设重叠部分小正方形的边长为，
根据题意，得．
解得，
阴影部分的面积为．
20．(1)小明家10月份预计应缴纳水费元；
(2)小明家2024年上半年用水140吨；
(3)小红家2024年上半年用水260吨．
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，理解分段收费的各段标准，确定相等关系是解本题的关键．
（1）根据题意小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，列式计算即可求解；
（2）先判断小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，再根据题意列二元一次方程组，求解即可；
（3）设小红家2024年上半年用水吨，分三种情况讨论，列一元一次方程，即可求解．
【详解】（1）解：由题意，小明家2024年前三个季度累计用水量达230吨，属于第一阶梯，
10月预计用水35吨，则10月后累计用水：吨，属于第二阶梯，
∴小明家10月消费有20吨按第一阶梯计费，15吨按第二阶梯计费，
∴元，
答：小明家10月份预计应缴纳水费元；
（2）解：若小明家2024年全年一共用水300吨，其中下半年比上半年多缴费119，
∴小明家2024年上半年用水属于第一阶梯，
∴由题意得，
整理得，解得，
答：小明家2024年上半年用水140吨；
（3）解：设小红家2024年上半年用水吨，
根据题意，下半年比上半年少缴费，故有三种情况：
①，
此时上半年水费为元，下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
②，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，符合题意；
③，
此时上半年水费为元，
下半年水费为元，
由题意得，
解得，不符合题意，舍去；
综上，小红家2024年上半年用水260吨
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