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第10章分式章末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版
一、单选题
1．下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．若分式的值为0，则x的值为（ ）
A．2 B． C． D．
3．分式和的最简公分母是（ ）．
A． B．
C． D．
4．已知：，则的值为（ ）
A． B． C．2025 D．
5．甲，乙两人分别从、两地同时出发，若相向而行，则相遇；若同向而行，则甲追上乙．甲，乙两人的速度之比为（ ）．
A． B． C． D．
6．若关于的一元一次不等式组的解集为，且关于的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数的和为（ ）
A．9 B．6 C．2 D．
7．在建设某比赛场馆期间，某施工方使用A，B两种机器人来搬运建筑材料，其中A型机器人每小时搬运的建筑材料是B型机器人每小时搬运的建筑材料的2倍，A型机器人搬运所用时间比B型机器人搬运所用时间少1小时，设B型机器人每小时搬运建筑材料，则下列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
8．直接写出计算结果： ， ；
9．计算： ．
10．不改变分式的值，在括号内填空：；括号内应依次填入： 、
11．甲、乙两人加工一批服装． （在横线上填上适当的条件）．设 ，根据题意，可列分式方程．
12．若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和为 ．
13．定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，x，y，都有若，则 ．
三、解答题
14．解方程：．
15．先化简，再求值：，其中．
16．为了加强学生的体育锻炼，某学校需要购买篮球和足球两种体育用品，已知每个足球的进价是每个篮球进价的倍，用1200元购进篮球的数量比用2100元购进足球的数量少20个．求：每个篮球、足球的进价分别为多少元？
17．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
．．．．．．
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第7个等式：_____；
(2)猜想第个等式：_____（用含的等式表示），并证明．
18．如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本语文书的厚度是每本数学书厚度的倍．
(1)若厚度和为的数学书比厚度和为的语文书多30本，求书架上每本数学书和每本语文书的厚度；
(2)在（1）的条件下，若书架上已摆放10本语文书，则最多还可以摆多少本数学书？
19．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为a元/辆，B型车的售价为b元/辆，该专卖店十月份前两周销售情况如下：
A型车销售（辆） B型车销售量（辆） 总销售额（元）
第一周 10 12 36600
第二周 12 15 45000
(1)求a，b的值；
(2)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三个周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？
(3)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总销售额最大，最大总销售额是多少元？
《第10章分式章末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册苏科版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A A C D C B A
1．A
【分析】 本题主要考查了最简分式，正确掌握最简分式的定义是解题关键．
直接利用分式的基本性质结合最简分式的定义，分式的分子与分母没有公因式，进而判断即可．
【详解】解：A．，是最简分式，符合题意；
B． ，故原式不是最简分式，不合题意；
C． ，故原式不是最简分式，不合题意；
D．，故原式不是最简分式，不合题意；
故选：A．
2．A
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零即分子为0且分母不为0计算即可．
【详解】解：若分式的值为0，
则且，
解得，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查了最简公分母的计算，掌握最简公分母的计算方法是关键．
最简公分母的定义：取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作为公分母,这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解．
【详解】解：分式和的最简公分母是，
故选：C ．
4．D
【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，进行整体代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键．
【详解】解：原式
，
，
，
原式；
故选：D．
5．C
【分析】本题考查了相遇问题和追击问题，涉及分式的混合运算，正确理解题意，建立方程组是解题的关键．设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，根据题意，得，解方程组解得即可．
【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为y，两地相距S，
根据题意，得，
解得，
故，
故选：C．
6．B
【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的解，先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集为，求出a的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定a的值即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∵原不等式组的解集为：，
∴，
，
解得：，
∵分式方程有非负整数解，
∴，y为整数且，
∴，且，
∴符合条件的所有整数a的值为：，7，
∴符合条件的所有整数a的和为：6，
故选：B．
7．A
【分析】此题考查了由实际问题抽象出分式方程，正确得出等量关系是解题的关键．
根据A型机器人搬运所用时间比B型机器人搬运所用时间少1小时得出等式，进而得出答案．
【详解】解：设B型机器人每小时搬运建筑材料，则A型机器人每小时搬运的建筑材料，
根据题意可得：，
故选：A．
8．
【分析】本题考查分式的加减和乘除，解题的关键是正确地运用分式的运算法则进行运算．．
把先化为同分母的分式再按同分母的分式相加减的运算法则“分母不变，分子相加减”运算即可．把中的除法变成乘法得，再约分化简即可．
【详解】解：
故答案为：，
9．/
【分析】本题主要考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是正确解答此题的关键．
原式利用分式除法法则变形成乘法，约分即可得到结果．
【详解】解：，
故答案为：．
10． /
【分析】本题考查了分式的基本性质，正确运算基本性质进行变形是解题的关键．
将分式的分子与分母都乘以即可；因为，所以．
【详解】
故答案为：；．
11． 已知乙每天比甲多加工1件，乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同．问甲、乙两人每天各加工多少件服装？ 甲每天加工x件服装
【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，根据分式方程求解即可．
【详解】∵分式方程为
∴甲、乙两人加工一批服装．已知乙每天比甲多加工1件，乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同．问甲、乙两人每天各加工多少件服装？设甲每天加工x件服装，根据题意，可列分式方程．
故答案为：已知乙每天比甲多加工1件，乙加工24件服装所用时间与甲加工20件服装所用时间相同．问甲、乙两人每天各加工多少件服装？甲每天加工x件服装．
12．16
【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组．先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有两个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为非负整数，确定的取值范围且，进而得到且，根据范围确定出的取值，相加即可得到答案．
【详解】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组无解，
，
解得，
解方程得，
关于的分式方程的解为非负整数，
且，是偶数，
解得且，是偶数，
且，是偶数，
则所有满足条件的整数的值之和是，
故答案为：16．
13．
【分析】本题考查了分式的化简求值：解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法．利用整体代入的方法计算是解决问题的关键．
先根据新定义得到，则通分后变形得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据题意得，
，
即，
．
故答案为：．
14．
【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．根据去分母，合并同类项，化系数为1，即可求解．
【详解】解：
检验，当时，，
∴是原方程的解．
15．，
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．
本题考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握运算顺序及法则．
【详解】解：原式
当时，原式．
16．每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元
【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键；设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为，根据数量、总金额与单价的关系，找到等量关系，列分式方程求解，并检验作答．
【详解】解：设每个篮球的进价为x元，则每个足球的进价为元．
根据题意得：，
解得，
经检验是原分式方程的解，且符合实际，
∴．
答：每个篮球的进价为80元，则每个足球的进价为60元．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，写出相应的式子．
（1）根据题目中的等式，可以写出第7个等式；
（2）根据题目中的等式，可以写出第n个等式，然后根据分式的减法和乘法可以将等号左边的式子化简，从而可以证明结论成立．
【详解】（1）解：根据题意得，第7个等式为：
（2）解：第个等式为：，理由如下，
证明：左边
右边，
等式成立．
故答案为：．
【点睛】
18．(1)每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为
(2)最多还可以摆90本数学书
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意正确列出方程和不等式是解题的关键．
（1）设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，根据题意列出方程，解出的值即可解答；
（2）设还可以摆本数学书，根据题意列出不等式即可求解．
【详解】（1）解：设每本数学书的厚度为，则每本语文书的厚度为，
由题意得，，
解得：，
经检验，是方程的解且符合题意，
则，
答：每本数学书的厚度为，每本语文书的厚度为．
（2）解：设还可以摆本数学书，
由题意得，，
解得：，
答：最多还可以摆90本数学书．
19．(1)
(2)A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元
(3)该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，二元一次方程组的实际应用，分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键．
（1）根据第一周和第二周的销售额建立方程组求解即可；
（2）设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，根据用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等建立方程求解即可；
（3）设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，分别求出售出A型车和B型车的销售额，二者求和可得w关于x的函数关系式，再列不等式求出m的取值范围，进而根据一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，
解得：；
（2）解：设B型车进价每辆元，则A型车进价每辆元，
根据题意得，
解得：
经检验是原分式方程的解．
（元）
答：A型号一辆进价为1200元，B型号一辆进价为1500元．
（3）解：设该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为元，
由题意得：，
由，解得，
取整数，，10，11，12，
∵随着的增大而减小，
∴当时，取得最大值，此时（元）．
答：该专卖店第三周售出A型车辆，B型车辆，销售总额为最大，为42300元．
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