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第19章一次函数章末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版
一、单选题
1．下列是正比例函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，将一次函数（为常数）的图象向上平移2个单位长度后恰好经过原点，若点在一次函数的图象上，则的值为（　　）
A． B． C．3 D．
3．将盛有部分水的小圆柱形水杯放入事先没有水的大圆柱形水杯中，拿去接水时，让水先进入大圆柱形水杯，如图所示，则小水杯水面的高度与注水时间的函数图象大致为图中的（ ）
A． B．
C． D．
4．一次函数和的图象如图所示，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．不确定
5．同一直角坐标系中，一次函数与正比例函数的图象如图所示，则满足的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知，两地相距1200米，甲和乙两人均从地出发，向地匀速运动，先到达终点的人停止运动，已知甲比乙先出发3分钟，如图是甲、乙两人之间的距离（米和甲出发的时间（分之间的关系，现有如下结论：
①乙每分钟比甲多走10米；
②乙用18分钟追上了甲；
③乙比甲早1分钟到达终点；
④图中点的坐标为．
则下列结论正确的有（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④
二、填空题
7．直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是 ．
8．已知直线与直线平行，则 ．
9．已知直线在轴上的截距为3，那么该直线与轴的交点坐标为 ．
10．已知关于的方程有无数个解，那么直线与坐标轴围成的三角形的面积为 ．
11．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离 ．
12．已知一次函数，当时，函数的最小值是5，则 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，若两直线所夹锐角为，则点的坐标为 ．
14．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，点在第一象限，线段上有一点，点P为x轴上一动点，连接，，当的值最小时，此时的最小值为 ．
三、解答题
15．在直角坐标系中，一条直线经过，两点．
(1)求直线的解析式；
(2)求直线和坐标轴围成三角形的面积．
16．如图，一次函数（为常数）的图象经过点．结合函数图象，求出关于的不等式的解集．
17．某企业急需一辆汽车，但无资金购买，公司经理决定租一辆汽车并要配备一名司机，使用期限为一个月．甲汽车出租公司的出租条件为每千米的租车费为元，不需要给司机支付费用；乙汽车出租公司的条件是每月需给司机支付800元的工资，另外每千米的租车费为1元．设在这一个月中汽车行驶的路程为，租用甲公司汽车的费用为（元），租用乙公司汽车的费用为（元）．
(1)分别写出，与之间的函数关系式；
(2)当汽车行驶路程为多少千米时，租用乙公司的汽车合算？
18．为保障交通安全，景区、居民区、学校等地的道路上通常横向安装减速带．如图为某种规格的减速带示意图，减速带由若干块形状、大小相同且完整的减速块和两端的封堵块拼接而成，封堵块长度为，减速块长度为．
(1)请你描述减速带长度（单位：）随减速块（单位：块）的变化规律，并用函数解析式表示与的关系；
(2)在宽度为的景区道路上安装一条减速带，减速带两端尽可能接近道路边缘，求最多可以安装多少块减速块？
19．已知、两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从地到地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开地的距离与甲出发的时间的关系如图所示．
(1)甲的运动速度是_____；乙在至之间的速度是_____；
(2)求乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式；
(3)请直接写出乙出发后，当甲、乙相距时的值．
20．如图所示，，，且a、b满足，将点A向右平移6个单位长度至点C，过点C作y轴的平行线交x轴于点D．
(1)求点C，点D坐标；
(2)点P从点D出发，以4个单位每秒的速度沿射线向左运动，设的面积为，点P运动的时间为秒，求S与t之间的关系式；
(3)在（2）的条件下，连接，交y轴于点N，点M在线段上，且满足，在点P运动过程中的面积与S有怎么数量关系，并说明理由．
《第19章一次函数章末练习卷-2024-2025学年数学八年级下册人教版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B A B A A C
1．B
【分析】此题主要考查了正比例函数定义，解题关键是掌握形如且k是常数的函数叫做正比例函数．
根据正比例函数的定义进行判断即可．
【详解】解：A．，不是正比例函数，本选项不符合题意；
B．，是正比例函数，本选项符合题意；
C．，不是正比例函数，本选项不符合题意；
D．，不是正比例函数，本选项不符合题意；
故选：B．
2．A
【分析】本题考查一次函数图象与性质、一次函数图象的平移等知识，先由一次函数图象的平移得到，再由一次函数图象与性质代值求解即可得到答案，熟记一次函数图象的平移方法是解决问题的关键．
【详解】解：将一次函数为常数的图象向上平移2个单位长度后得到，且经过原点，
，
，
，
点在一次函数的图象上，
，
故选：A．
3．B
【分析】本题主要考查函数的图象．根据将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水，即可求出小水杯内水面的高度与注水时间的函数图象．
【详解】解：将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，小玻璃杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，用一注水管沿大容器内壁匀速注水，水开始时不会流入小玻璃杯，因而这段时间h不变，当大杯中的水面与小杯水平时，开始向小杯中流水，h随t的增大而增大，当水注满小杯后，小杯内水面的高度h不再变化．
故选：B．
4．A
【分析】本题考查根据两直线交点求不等式解集．根据题意利用交点观察图象即可得到本题答案．
【详解】解：∵一次函数和的交点为，
∴的解集是：，
故选：A．
5．A
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，观察函数图象的能力．
根据图象可得当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，即可确定不等式的解集．
【详解】解：由图象可知，
当时，一次函数的图象在正比例函数的图象的上方，
的取值范围是，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查从函数图像获取信息，掌握速度、时间和路程之间的关系是解题的关键．
①乙出发时与甲之间的距离除以乙追上甲所用的时间即为二者的速度差；
②乙到达地时对应的值减去乙出发时对应的值即乙追上甲所用的时间；
③根据速度路程时间求出甲的速度，由时间路程速度求出甲到达地所用时间；结合①求出乙的速度，由时间路程速度求出乙到达地所用时间，从而求出乙到达地时对应的值，进而计算乙比甲早几分钟到达终点；
④由③可知点的横坐标，根据路程速度时间求出点时甲距地距离，从而求出甲、乙两人之间的距离，即的纵坐标，进而得到点的坐标．
【详解】解：乙每分钟比甲多走（米，
①正确，符合题意；
乙用（分钟）追上了甲，
②不正确，不符合题意；
甲的速度为（米分钟），则甲到达地所用时间为（分钟），
乙的速度为（米分钟），则乙到达地所用时间为（分钟），
当时乙到达地，
乙比甲早（分钟）到达终点，
③正确，符合题意；
由③可知，点的横坐标为23，
甲出发后23分钟距地（米，则当时，甲、乙两人之间的距离为（米，
点的坐标为，
④正确，符合题意．
综上，①③④正确．
故选：C．
7．
【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律，熟记平移规律是解题关键．
根据一次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：直线向下平移3个单位后，所得直线的表达式是．
故答案为：．
8．3
【分析】本题考查两条直线平行问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
根据两直线平行，可以得到关于m的方程，从而可以求得m的值．
【详解】解：∵直线与直线平行，
∴，
解得，．
故答案为：3．
9．
【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟知一次函数的图象在y上的截距为b是解答的关键．先由已知截距列方程求得k值，再令解方程求得x值即可求解．
【详解】解：∵直线在轴上的截距为3，
∴，解得，
∴，
令，由得，
∴该直线与轴的交点坐标为，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特点，一元一次方程解的情况，三角形面积公式，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合函数的解析式是解答关键．
先根据关于x的方程有无数个解，列出方程组求出，继而得到一次函数解析式，再令求出与坐标轴交点，即可求解直线与坐标轴围成的三角形面积．
【详解】解：方程可化为：，
∵方程有无数个解，
∴，
解得：，
∴一次函数解析为：，
当，
当，解得：，
∴直线与坐标轴交点为：，
∴直线与坐标轴围成的三角形的面积为，
故答案为：．
11．5
【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键．
根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解．
【详解】解：∵平行四边形的边在x轴上，，
∴，
∴，
∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，
∴当时，，
∴，
故答案为：5．
12．5或
【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键，注意分情况讨论．
分情况讨论：①时，当时，函数取得最小值5，②时，当时，函数取得最小值5，分别求解即可．
【详解】解：①时，
当时，函数取得最小值5，
，
解得；
②时，
当时，函数取得最小值5，
，
解得，
综上所述，或，
故答案为：5或．
13．
【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，利用全等三角形的判定和性质是解题的关键．
点作直线与直线交于点，过点作轴于，过点作轴于点，判定，进而求解点的坐标，．
【详解】解：如图，直线与直线的夹角为，过点作直线与直线交于点，
则，
，
，
，
过点作轴于，过点作轴于点，
则，
设点，
则，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
点，
点在直线上，
可得，
解得：，
把代入，
可得：，
点坐标为；
故答案为：
14．
【分析】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理，先求出，，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，由轴对称的性质可得，，则，当、、在同一直线上时，最小，为，由勾股定理求出的长即可得解．
【详解】解：将代入直线得，即，故，
将代入直线得，解得，即；
如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于，则点即为所求，
由轴对称的性质可得：，，
∴，
当、、在同一直线上时，最小，为，
∵，
∴的最小值为，
故答案为：．
15．(1)
(2)4
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，正确确定该一次函数解析式，并掌握一次函数的性质是解题关键．
（1）设直线的解析式为，将点，代入，利用待定系数法求解即可；
（2）设该直线与轴交于点，确定两点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线的解析式为；
（2）如下图，设该直线与轴交于点，
对于直线，
令，可得，解得，
令，可得，
∴，
∴，
∴直线和坐标轴围成三角形的面积．
16．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式、待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是熟练掌握一次函数与一元一次不等式的关系．将点的坐标代入中，求出解析式，再令，得，求出一次函数的图象与直线交于点，观察图象即可求解．
【详解】解：由题意将点的坐标代入中，
得：，
故一次函数的解析式为：，
令，得，
解得：，
即一次函数的图象与直线交于点，
观察图象可知：
关于的不等式的解集为．
17．(1)，；
(2)当汽车行驶路程大于千米时，租用乙公司的汽车合算．
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据题意即可得出，与之间的函数关系式；
（2）根据题意，当时，租用乙公司的汽车合算，列出不等式，求解即可．
【详解】（1）解：依题意得：，；
（2）解：当时，租用乙公司的汽车合算，
∴，
解得：，
答：当汽车行驶路程大于千米时，租用乙公司的汽车合算．
18．(1)
(2)块
【分析】（）根据题意列出一次函数即可；
（）由题意得，据此即可求解；
本题考查了一次函数的应用，根据题意列出函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：由题意得，，
即；
（2）解：由题意得，，
解得，
∵为整数，
∴最多可以安装块减速块．
19．(1)4；9；
(2)；
(3)、、．
【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息．
（1）根据函数图象表示的甲5小时匀速行驶20千米，得到其速度为4；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为9；
（2）乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可；
（3）根据甲乙相距，，当时，求出，推出t不存在；当时， ，推出或；当时，，推出．
【详解】（1）解：甲的运动速度为：，
乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：，
乙在至之间的速度为：；
（2）解：乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为，
由（1）可得：函数过，，
∴，
解得：，
∴乙提速后离开地的距离与时间的函数关系式为：；
（3）解：由（1）知，，
当时，设，
把，代入，
得，，解得，，
∴，
∴，，不合题意，t不存在；
当时，由（2）知，，
若，则，
若，则；
当时，，
∴，．
故甲乙相距时甲行驶的时间为： 、、．
20．(1)，
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，平移的性质，坐标与平面，变量间的关系式，一元一次方程的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据非负性得到，解方程组得到点A坐标，再由平移的性质求解点C坐标，即可求解点D坐标；
（2）分两种情况讨论，由三角形面积公式得到S与t之间的关系式；
（3）分两种情况讨论，连接，当时，由题意得，由建立方程求解，则，则，则，那么可得，即可得到；当时，同理可求．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
解得：，
∴，
∵将点A向右平移6个单位长度至点C，
∴，
∵过点C作y轴的平行线交x轴于点D
∴；
（2）解：当时，如图：
∵，，
∴，
由题意得，
∴，
∴；
当时，如图：
∵，，
∴，
由题意得，
∴，
∴；
综上：S与t之间的关系式为：；
（3）解：，理由如下：
连接，当时，
由题意得，
∵，
∴
∴
解得：，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，即；
当时，如图：
同理可得：，
∴，即，
综上所述：．
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