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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破九：特殊平行四边形综合探究问题（解答题压轴）（20道）
1．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？
为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答；
【深入探究】
（2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________；
【应用提升】
（3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形．
①求证：四边形为菱形；
②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积．
2．（24-25八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
(1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G，
①求证：；
②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形．
(2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．
①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，则正方形面积的最大值为______；
4．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．
(1)下列四边形一定是至善四边形的有__________．
①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形；
(2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数．
(3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系．
5．（24-25九年级上·山东·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．
动手操作：
第一步，画出等腰△ABC，使得．
第二步，作出△ABC关于对称的．
第三步，过点作的平行线，交直线于点．
第四步，分别以，为边作．
根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．
(1)直接写出图1中的度数；
(2)图2，图3中均有．请就图2给出证明；
(3)图3中．求出的长．
6．（23-24八年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答：
(1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________．
(2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将△ABC沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长．
7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1，，由勾股定理可知，
中，，中，，
同理，，
则，
即_________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．
【问题解决】
（1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________；
（2）如图2，，是△ABC的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________；
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形．
8．（24-25八年级下·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
【问题发现】
（1）①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长．
9．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，．
根据以上操作，当点在上时：
①则图1中_____°；
②若，，则_____．
(2)【迁移探究】
如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____；
(3)【拓展应用】
如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____．
10．（2024九年级·河南驻马店·学业考试）综合与实践综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务．
操作判断：
操作一：将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，如图①．
操作二：以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形．
（1）操作一中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是______（填序号）
①四条边都相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
迁移探究：
（2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC和（∠BAC＝45°）圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离．
11．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①______；②______．
问题解决：如图2，以锐角△ABC的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
（1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
（2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
（3）试探索与的数量关系，并说明理由．
（4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程）
12．（2023·吉林松原·模拟预测）已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ．
问题解决：
（2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ．
拓展应用：
（3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，∠B=90°，，，求对角线的长 ．
14．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）请认真阅读材料，并解决下面问题：
(1)以、为直角边，以为斜边做四个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上容易得到：四边形和四边形均是正方形；
请用两个不同的代数式____和________表示正方形的面积；于是可得到直角三角形关于三边的一个重要的等量关系是__用含字母、、的最简式子填空

(2)如图，已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、于点、，于点请问：与、之间有何数量关系？请说明理由；

(3)如图，在的情况下，
请判断与之间的数量关系，并说明理由；
已知，若还是的中点，结合的结论，求的长．
15．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）数学概念
[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是垂美四边形，则__________度；
[探究]如图②，四边形是垂美四边形．，，E是边延长线上一点，求和的度数．
[应用]如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点E、F．试说明．

16．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以△ABC的边和向外作等腰和等腰；
①如图2，当，连接，求的长；
②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积．
17．（23-24八年级下·青海西宁·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号）
【类比学习】
（2）如图1，若，，则_____；
【性质探究】
（3）探究垂美四边形的四条边之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整）
在中 在中
在中 在中
____________________
【问题解决】
（4）如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为__________．

18．（23-24八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在△ABC中，，．若，求的长．
【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由．
19．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）已知等腰△ABC中，，，现做如下操作：
步骤1：取的中点O，过点O作直线；
步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，．
【操作发现】
（1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）；
【问题探究】
（2）若点D在延长线上时，求四边形的面积；
【拓展延伸】
（3）若四边形为正方形时，连接，并求的长．
20．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与实践
问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
操作探究：
(1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______．
(2)若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
试卷第1页，共3页
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2024-2025学年八年级下册数学同步讲练【浙教版】
专题突破九：特殊平行四边形综合探究问题（解答题压轴）（20道）
1．（2025·江西赣州·一模）（1）如图，在中，，为斜边上的中线，那么与之间存在什么样的的数量关系呢？
为解决这一问题，小明同学想的办法是：如图2，延长到D，使，连接，……请你顺着小明的思路完成解答；
【深入探究】
（2）如图3，已知，E为的中点．则与之间的数量关系为___________；
【应用提升】
（3）如图4，在正方形中，E为上一点，F为的中点，以，为边在的右侧作平行四边形．
①求证：四边形为菱形；
②如图5，连接，过点E作的垂线，垂足为M，若，求四边形的面积．
【答案】（1）；（2）；（3）①证明见解答；②．
【分析】（1）如图 2 ，作辅助线构建平行四边形，根据，可得矩形，所以，即可解答；
（2）如图3，由（1）同理得，根据等边对等角和三角形外角的性质可得，同理得：，即可解答；
（ 3 ）①如图 4 ，连接，根据证明，可得，根据菱形的判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得结论；
②如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，由（2）可得：，根据，得，证明，列比例式可得和的长，设，则，由勾股定理列方程可得的长，计算的长，根据菱形的面积公式即可解答．
【详解】（1）解：如图 2 ，延长到，使，连接，
∵为斜边上的中线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图3，∵，
，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∵为的中点，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴；
故答案为：；
（3）①证明：如图4，连接，
∵四边形是正方形，
，
∵是的中点，
，
∴，
，
，
∵，
，
，
∴为菱形；
②解：如图5，连接并延长交于，作直线，交于，交于，
∵四边形是正方形，
，
，
，
∵是的中点，
∴（2）可得：，
，
，
由（1）知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
由勾股定理得：，
解得：（舍），，
，
，
∵四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
，
．
2．（24-25八年级下·湖北随州·期中）情景呈现： 小明同学在研究平行四边形对角线的长度与边长的联系．
（I）提出问题：当平行四边形的形状发生变化，对角线的长度与边长是否存在等量关系？
（II）探究问题：首先通过举例计算特殊的平行四边形对角线长度：
①正方形的边长为，则______；
②矩形中，，，则_______；
③在菱形中，，，则_______；
再通过几何图形一般化具体分析找规律：
④如图1，在正方形中，，则　　；（请用含a的代数式表示）
⑤如图3，在矩形中，，，则　　．（请用含a、b的代数式表示）
（III）猜想并证明：
如图4，在中，，，大胆猜想与、的数量关系为_____，如何用已学的数学知识证明呢？小明通过询问人工智能了解到有两种方法可以解决：第一是采用几何法，利用勾股定理证明；第二是建立平面直角坐标系，数形结合解决．请选择其中一种方法写出证明过程．
（IV）解决问题：如图4，在中，，，，将线段绕点旋转，在旋转的过程中，当时，请直接写出此时线段的长．
【答案】（II）①64；②50；③100；④，⑤； （III），证明见解析，（IV）或．
【分析】（II）利用正方形、矩形、菱形的性质结合勾股定理求解即可．
根据菱形的性质，得，，根据勾股定理得，变形得，整理得．
（III）方法一：过点A作于，过点D作交延长线于，利用平行四边形的性质，矩形判定和性质，勾股定理证明即可．方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据两点之间的距离公式计算即可．
（IV）根据题意，得到，证明，再根据前面的结论得，求出得到，旋转时，当时，当对应点在点上方和下方时两种情况计算，构造直角三角形求解即可．
【详解】（II）解：①如图①，
∵正方形的边长为，，
∴，，
∴；
②如图③∵矩形中，
∴，，，
∴，，
∴；
③如图②，∵在菱形中，，，
∴，，
根据勾股定理得，
∴，
∴，
④如图①，
∵正方形的边长为，，，
∴，
∴；
⑤如图③∵矩形中，
∴，，，，
∴，
∴；
（III）结论：，理由如下：
方法一：采用几何法：
如图，过点A作于，过点D作交延长线于，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，，
∴，
∴
设，则，，
∵，，
∴
同理可得：，
∴．
方法二：如图，四边形为平行四边形，以点为原点，以边所在直线为轴，建立平面直角坐标系，
则，
由平行四边形性质，点C的坐标为：
∴，，，
∴
（IV）解：∵在中，，，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
根据前面的结论得，
∴，
∴，
∴，（不合题意舍去），
∴，
点B绕点O旋转，当对应点在点上方时，设点B的对应点为，
∴，
过点D作于点H，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴；
当对应点在点下方时，设点B的对应点为，
同理可得：
∴，
∴；
综上所述，的长为或．
3．（24-25八年级下·江苏南京·期中）我们可以用对称的眼光研究一些几何问题．
(1)如图①，在中，与交于点O，点E在边上，延长交于点G，
①求证：；
②将绕点O旋转，使点E落在上的F处，延长交于点H，请画出四边形，并证明四边形是矩形．
(2)如图2，在菱形中，正方形的顶点E，G分别在边上，且，F，H两点在菱形的内部（包括边界）．
①在图3中用直尺和圆规作面积最小的正方形（保留作图痕迹，不写作法）；
②若，则正方形面积的最大值为______；
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)①见解析；②
【分析】（1）①利用平行四边形的性质得到，结合对顶角，证明，即可得出结论；②根据题意即可作出图形，同理①得：，得到，由①知，由旋转的性质得，得到，求出，即，即可证明；
（2）①在图2中，连接，证明，推出，进而得到三点共线，正方形对角线过点O，根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，即当时，正方形的面积最小，则过点O作的垂线，交于点E，延长交于点G，再过点O作的垂线，以为圆心，的长为半径画圆，交垂线于两点，连接即可；②由①知正方形的面积随的增大而增大，当点分别落在上，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，设正方形边长为，则，，根据，列出方程求出x的值即可解答．
【详解】（1）①证明：在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②证明：如图，
同理①得：，
∴，
由①知，
由旋转的性质得：，
∴，
∴，即，
∴四边形是矩形（对角线相等且平分）；
（2）①解：在图2中，连接，
在菱形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴正方形对角线过点O，
根据题意：当有最小值时，正方形的边长最小，此时正方形的面积最小，
即当时，正方形的面积最小，
如图所示为所求：
②由①知正方形的面积随的增大而增大，如图，当点分别落在上时，正方形的面积最大，设交于点Q，交于点P，
∵在菱形中，，，
∴，，
设正方形边长为，则，，
∴，
则，
整理得：，
解得：，
∴正方形的面积最大为，
故答案为：9．
4．（24-25八年级下·湖南长沙·阶段练习）我们定义：对角互补且有一组邻边相等的四边形叫做至善四边形．如图1，且，则四边形是至善四边形．
(1)下列四边形一定是至善四边形的有__________．
①平行四边形；②矩形；③菱形：④正方形；
(2)如图2，四边形为至善四边形，，，，求的长及的度数．
(3)如图3，正方形中，为中点，在右边作等边，为中点，连接交于点，交于点，求线段与的数量关系．
【答案】(1)④(2)的长为，的度数为
(3)
【分析】（1）根据至善四边形的定义及特殊平行四边形的性质进行判断即可；
（2）如图，延长至点，使，根据至善四边形的定义推出，证明，得，，证明为等边三角形，即可得出答案；
（3）延长至点，使得，连接，证明，得，，推出是等腰直角三角形，得，证明为等边三角形，得，，进一步推出是等腰直角三角形，得，在中，由和可得结论．
【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等邻角互补，对边相等，它的对角不一定互补，邻边不一定相等，故平行四边形不是至善四边形；
②矩形四个内角是直角，对边相等，它的对角互补，但邻边不一定相等，故矩形不是至善四边形；
③菱形对角相等邻角互补，四边相等，它的一组邻边相等，但对角不一定互补，故菱形不是至善四边形；
④正方形四个内角是直角，四边相等，它的对角互补且有一组邻边相等，故正方形是至善四边形；
故答案为：④；
（2）如图，延长至点，使，
∴，
∵四边形为至善四边形，，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴的长为，的度数为；
（3）延长至点，使得，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，即，，
∵为等边三角形，为的中点，
∴，，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴．
5．（24-25九年级上·山东·期末）在数学探究课上，老师要求同学们按照下列步骤进行探究．
动手操作：
第一步，画出等腰△ABC，使得．
第二步，作出△ABC关于对称的．
第三步，过点作的平行线，交直线于点．
第四步，分别以，为边作．
根据以上操作，甲，乙，丙三位同学各自作出了如下图所示的三个图形，并共同进行了探究．请你根据三位同学作出的图形解决下列问题．
(1)直接写出图1中的度数；
(2)图2，图3中均有．请就图2给出证明；
(3)图3中．求出的长．
【答案】(1)(2)见解析(3)
【分析】（1）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，等边对等角，则，根据平行线的性质，即可；
（2）根据平行四边形的性质，则，，根据对称的性质，可得，，等量代换，则，，最后根据全等三角形的判定定理即可证明；
（3）过点作，垂足为点，根据勾股定理，求出，根据平行四边形的性质，对称的性质，可得，，根据等边对等角，求出，根据矩形的判定和性质，可得四边形是矩形，根据勾股定理，即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得，四边形是平行四边形，
，，
，，
，关于对称的，
，，
，
，
；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，，
由对称可得，，，
，，
，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）解：过点作，垂足为点，
，，
，，
，
由对称可得，，，
，
，
，
，
过点作交的延长线于点，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
设，
，，
，
，
，
即．
6．（23-24八年级上·广东江门·期末）王老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们以整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是王老师在矩形纸片的剪拼主题下设计的问题，请你解答：
(1)观察发现：将为，为的矩形纸片沿对角线剪开，得到．如图1，将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，，得到，过点C作，交的延长线于点E，则四边形的形状是________．
(2)探究迁移：如图2，若将以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得到，若B、A、三点在同一直线上，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接，得到四边形，请你判断四边形的形状，并加以证明．
(3)拓展应用：如图3，在（2）的条件下，将沿着的方向平移，使点B与A重合，此时点A平移到点，与相交于点H，连接，求的长．
【答案】(1)菱形(2)正方形，见解析(3)
【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而得到，进而得到，可得到四边形为平行四边形，再由旋转的性质得：，即可求解；
（2）先证明四边形是平行四边形，再由四边形是矩形，可得，从而得到四边形是矩形，然后根据，即可解答；
（3）先求得，可得到，从而得到，进而得到，即可求解．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
由旋转的性质得：，
∴四边形为菱形；
故答案为：菱形
（2）解：四边形是正方形，理由如下：
∵点F是的中点，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
即，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形．
（3）解：在和中，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
7．（24-25八年级上·宁夏银川·期末）小明在学习了特殊平行四边形这一章后，对特殊平行四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图1，已知四边形，，像这样两条对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
【概念理解】
在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是_________．
【性质探究】
通过探究，小明探索并证明了“垂美四边形”的一些性质，请根据证明过程，完成填空．
性质1：垂美四边形四条边之间的数量关系
如图1，，由勾股定理可知，
中，，中，，
同理，，
则，
即_________．
性质2：垂美四边形的面积与两条对角线之间的数量关系
_________．
【问题解决】
（1）如图1，若，，则_________．若，，则四边形的面积_________；
（2）如图2，，是的中线，，垂足为O，，设，用含a的代数式表示_________；
（3）如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和．连接．求证：四边形为垂美四边形．
【答案】【概念理解】菱形，正方形；【性质探究】，；【问题解决】（1）13，40；（2）；（3）证明见解析
【分析】本题考查勾股定理，四边形面积求解，全等三角形判定及性质，正方形性质等．
根据题意可得为菱形和正方形；
根据题意可得和；
（1）根据题意可得，；
（2）先证明四边形为垂美四边形，继而得到，即可得到本题答案；
（3）连接，设与交于点，与交于点，先证明和△全等，继而利用全等性质得到本题答案．
【详解】解：【概念理解】根据题意可得为菱形和正方形，
故答案为：菱形，正方形；
【性质探究】根据题意可得：
∴，
∴，
故答案为：，；
【问题解决】（1）∵，，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：13，40；
（2）∵，是的中线，
∴，，
∵，
∴四边形为垂美四边形，
∴，
∵，，
∴，
∴，整理得：，
故答案为：；
（3）证明：连接，设与交于点，与交于点，
，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，即，
在和△中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为垂美四边形；
8．（24-25八年级下·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转．
【问题发现】
（1）①线段，之间的数量关系是________．
②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________．
【类比迁移】
（2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明．
【拓展应用】
（3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长．
【答案】（1）①，②，理由见解析；（2），证明见解析；（3）或．
【分析】（1）①证明，由全等三角形的性质即可得到，从而可得；②由①的结论及勾股定理即可得到三线段间的数量关系；
（2）由矩形的性质可证明，则有；再由矩形的性质及线段垂直平分线的性质可得；在中，由勾股定理及等量代换可得
；
（3）分两种情况：点E在边上；点E在延长线上；由（2）的结论及勾股定理即可解决．
【详解】（1）解：①∵四边形、四边形均为正方形，
∴，，，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
②在中，，
而，，
∴；
（2）解：三线段间的数量关系为：；
证明如下：
∵四边形、四边形均为矩形，矩形的中心为O，
∴，， ，
∴；
在与中，
，
∴，
∴；
∵，
∴；
在中，由勾股定理得：，
∴；
（3）解：①当点E在边上时；
由（2）的结论知：；
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
②当点E在延长线上时，如图；
把补成矩形，延长交延长线于点P，连接，
与（2）证法相同，同样有，
另一方面，在中，由勾股定理得：，
即；
设，则，而，
∴，
解得：，
即；
综上，的长为或．
9．（24-25八年级下·山东青岛·期中）如图，取一张矩形纸进行折叠，具体操作过程如下：
(1)【操作发现】
操作一：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展开；
操作二：在上选一点，沿折叠，使点落在矩形内部点处，把纸片展开，连接，，．
根据以上操作，当点在上时：
①则图1中_____°；
②若，，则_____．
(2)【迁移探究】
如果将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点，连接．如图2，当点在上时，_____°，_____；
(3)【拓展应用】
如图3，改变点在上的位置（点不与点，重合），正方形的边长仍为，仍然按（1）中的方式操作，延长交于点，连接，当时，请直接写出的长_____．
【答案】(1)①30；②(2)15，(3)或
【分析】（1）①根据折叠的性质，得，取的中点，连接，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半得到，可证为等边三角形，进而可结果；
②由，得到，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得；
（2）根据折叠的性质，可证即可求解；
（3）由（2）可得，分两种情况：当点在点的下方时，当点在点的上方时，设，分别表示出，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）解：①对折矩形，使与重合，得到折痕，沿折叠，使点落在矩形内部点处，
如图1，取的中点，连接，
为等边三角形，
故答案为：30；
②，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）四边形是正方形，
由折叠性质得：，
同法（1）可得：，
在中，，
根据勾股定理：，
，
即，
解得(负值舍去)，
在中，，
根据勾股定理：，即，
故答案为：；
（3）解：当点在点的下方时，如图3.1，
，
由(2)可知，，
设，
即，
解得，
当点在点的上方时，如图3.2，
由(2)可知，，
设，
即，
解得，
综上所述，或．
故答案为：或．
10．（2024九年级·河南驻马店·学业考试）综合与实践综合与实践课上，老师让数学兴趣小组以“画菱形”为主题开展数学活动．请仔细阅读，并完成相应的任务．
操作判断：
操作一：将三角板ABC（∠ACB＝30°）放置在图纸上，延长直角边BA，如图①．
操作二：以点C为圆心、CA长为半径作弧，以点A为圆心、AC长为半径作弧，交BA的延长线于点E，交前弧于点D，连接CD，DE，则四边形ACDE为菱形．
（1）操作一中，判断四边形ACDE是菱形的依据可能是______（填序号）
①四条边都相等的四边形是菱形
②对角线互相垂直的四边形是菱形
③有一组邻边相等的平行四边形是菱形
④对角线互相垂直的平行四边形是菱形
迁移探究：
（2）数学兴趣小组继续探究，过程如下：如图②，作半圆O及其直径AB．分别以点O，B为圆心、大于OB一半的长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN交半圆O于点C；以点C为圆心、OC长为半径作弧，交半圆O于点D，连接AD、CD、CO，得到四边形AOCD．判断四边形AOCD的形状，并说明理由；
拓展应用：
（3）如图③，数学兴趣小组利用含45°角的三角板ABC和（∠BAC＝45°）圆规构造了菱形ABMN，已知点P是线段MC上的一个点，AB＝12，当∠PAB＝15°时，请直接写出点P到直线MN的距离．
【答案】（1）①③④；（2）四边形是菱形，理由见解析；（3）点直线的距离为或．
【分析】本题考查四边形与三角形综合问题，熟练掌握菱形的性质与判定及含角直角三角形的三边比例关系是解题关键．
（1）连接，可证明与均为等边三角形，进而证明四边形四条边均相等．
（2）连接、，可证明、、均为等边三角形，进而可得结论．
（3）点可能在线段或线段上，分两种情况讨论，分别过点作的垂线，结合特殊直角三角形的三边比例关系可快速求解答案．
【详解】解：（1）如图，连接，
由题意得：，
三角形为等边三角形．
．
∵，，
．
，
为等边三角形．
．
四边形是菱形(四边都相等的四边形是菱形)；
也可以由③④推出菱形．故答案为：①③④．
（2）四边形是菱形，
理由如下：
如图，连接、，
由题意可得：为的中垂线，
．
，
为等边三角形．
．
，
为等边三角形．
．
．
，
为等边三角形．
．
四边形为菱形．
（3）①如图，当点在线段上时，连接、过点作于点，
，，
．
∵，
．
．
在菱形中：，，
，，
．
即到的距离为；
②当点在线段上时，连接、过点作于点，
，，
，
∵，
．
．
在菱形中：，，
，，
．
即到的距离为，
综上，点直线的距离为或．
11．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．
概念理解：下列四边形中一定是“中方四边形”的是______．
A．平行四边形； B．矩形； C．菱形； D．正方形．
性质探究：如图1，四边形是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形的结论：
①______；②______．
问题解决：如图2，以锐角的两边，为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，，．
（1）连结，，问，的数量关系和位置关系是什么？请说明理由．
（2）四边形______“中方四边形”（此空填“是”或“不是”）
拓展应用：如图3，已知四边形是“中方四边形”，，分别是，的中点．
（3）试探索与的数量关系，并说明理由．
（4）若的最小值是，则的长度为______．（不需要解答过程）
【答案】概念理解：D 性质探究： 问题解决：（1） （2）原四边形是“中方四边形” 拓展应用：（3） （4）
【分析】概念理解：根据三角形中位线定理，以及正方形判定和性质可得答案；
性质探究：由中位线的性质可得：，结合正方形的性质可得结论；
问题解决：（1）如图，取四边形各边中点分别为并顺次连接成四边形， 连接交于， 连接交于，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得 ，推出是菱形， 再由可得菱形是正方形，即可证得结论；
拓展应用：（3）如图， 记的中点分别为，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论；
（4）如图， 记的中点分别为，连接交于， 连接， 当点在上 (即共线) 时，最小，最小值为的长，再结合性质探究与拓展应用（3）的结论即可求得答案.
【详解】概念理解：∵在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，正方形的对角线相等且互相垂直，
∴一定是“中方四边形”的是正方形；
故答案为：；
性质探究：∵四边形是“中方四边形”，
∴四边形是正方形，
， ，
∵分别是的中点，
，
，
故答案为：；
问题解决：（1）证明： 如图， 设四边形的边的中点分别为， 连接交于， 连接交于，
∵四边形各边中点分别为，
∴分别是 的中位线，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
又∵
∴，
∴平行四边形是菱形，
∵，
∴.
又∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴.
∴菱形是正方形，即原四边形是“中方四边形”.
拓展应用：（3）； 理由如下：
如图3， 记的中点分别为， 连接，
∵四边形是“中方四边形”， 分别是的中点，
∴四边形是正方形，
，
，
∵分别是的中点，
，
；
（4）如图， 令与的交点为， 连接，
当点在上 (即共线) 时， 最小，最小值为的长，
的最小值，
由性质探究知：
又∵分别是的中点，
，
，
的最小值，
由拓展应用（3）知：，
；
．
故答案为：
12．（2023·吉林松原·模拟预测）已知正方形边长为1，对角线相交于点O，过点O作射线，分别交于点E，F，且．
(1)如图1，当时，求证：四边形是正方形；
(2)如图2，将射线绕着点O进行旋转．
①在旋转过程中，判断线段与的数量关系，并给出证明；
②四边形的面积为 ；
(3)如图3，在四边形中，，连接．若，请直接写出四边形的面积．
【答案】(1)见解析(2)①，证明见解析；②(3)
【分析】（1）根据正方形的性质证明四边形是矩形，再得，即可解决问题；
（2）①证明，可得即可；
②先根据正方形的性质得，则，，所以，由得，则，即可证明，于是得，根据四边形的面积的面积正方形的面积，即可解决问题；
（3）延长至点G，使，连接，证明，可得，，所以为等腰直角三角形，所以四边形的面积等腰直角三角形的面积，进而可以解决问题．
【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（2）解：①，
证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积正方形的面积；
（3）解：如图，延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵，
∴四边形的面积等腰直角三角形的面积．
13．（24-25八年级下·江苏苏州·阶段练习）阅读理解：我们定义：①把四边形的任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形．例如，平行四边形，梯形等都是凸四边形．②有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”．
（1） 如图 1 ，已知四边形是“等对角四边形”， ，，． 求的度数 ．
问题解决：
（2） 如图 2 ，在中，，为斜边边上的中线， 过点作交于点，证明： 四边形是“等对角四边形” ．
拓展应用：
（3） 如图 3 ，已知在“等对角四边形” 中，，，，，求对角线的长 ．
【答案】（1） （2）证明见解析 （3）
【分析】此题是四边形综合题， 主要考查了新定义“等对角四边形”的理解和应用， 矩形的判定和性质， 勾股定理， 正确作出辅助线是解本题的关键 ．
（1） 利用“等对角四边形”的定义借助四边形的内角和定理即可得出结论；
（2） 先判断出，进而判断出，最后判断出，即可得出结论；
（3） 先构造直角三角形求出和，最后用勾股定理即可得出结论 ．
【详解】解： （1）四边形是“等对角四边形“，，
，
，
，
，
根据四边形内角和定理得，；
（2） 在中，为斜边的中线，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
四边形是“等对角四边形”；
（3） 如图 3 ，过点作于，于，
，，
，
，
根据勾股定理得，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，，
在中，，
，
，
，
，
，
在中，．
14．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）请认真阅读材料，并解决下面问题：
(1)以、为直角边，以为斜边做四个全等的直角三角形，把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上，、、三点在一条直线上容易得到：四边形和四边形均是正方形；
请用两个不同的代数式____和________表示正方形的面积；于是可得到直角三角形关于三边的一个重要的等量关系是__用含字母、、的最简式子填空

(2)如图，已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、于点、，于点请问：与、之间有何数量关系？请说明理由；

(3)如图，在的情况下，
请判断与之间的数量关系，并说明理由；
已知，若还是的中点，结合的结论，求的长．
【答案】(1)，，
(2)，详见解析
(3)①详见解析；②
【分析】本题考查了四边形综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
（1）根据正方形的面积等于边长的平方或者等于4个全等的直角三角形与正方形的面积和，可列出不同的代数式，根据代数式可得等量关系式；
（2）延长，使，连接，由题意可证，可得，，可得，即可证，即可得；
（3）①由，可得，即，且，可得；
②由题意可求，，根据勾股定理可求的长．
【详解】（1）正方形的面积，正方形的面积
故答案为：，，．
（2）
如图：延长，使，连接
四边形是正方形
，
，，
，
，
，且，
（3）①
，且
②，
点是的中点
在中，．
15．（24-25八年级下·吉林白城·阶段练习）数学概念
[定义]有一组对角是直角的四边形是垂美四边形．
[理解]如图①，将一对相同的直角三角尺按如图所示的方式拼成四边形，每个三角尺三个内角的度数都是、和．四边形是垂美四边形，则__________度；
[探究]如图②，四边形是垂美四边形．，，E是边延长线上一点，求和的度数．
[应用]如图③，四边形是垂美四边形，，和分别是和的平分线，交、于点E、F．试说明．

【答案】[理解]180；[探究] ；；[应用]见解析
【分析】[理解]根据垂美四边形的定义即可解决问题；
[探究]根据垂美四边形的定义，四边形内角和定理即可解决问题；
[应用]利用等角的余角相等，证明即可解决问题．
【详解】解：[理解]∵，
∴．
[探究]∵四边形是垂美四边形，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴；
[应用]由探究可知，．
∵和分别是和的平分线，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
16．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ．
（2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：．
（3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰；
①如图2，当，连接，求的长；
②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积．
【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；②
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．
（1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可；
（2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论；
（3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：②④；
（2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形，
，垂足为，如图，
，，，，
，，
．
（3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则，
，
，
和都是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在中，．
②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接，
又∵等腰和等腰，，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，
∵点G、H分别是中点，连接，
∴，
在和中，由勾股定理得：
，
∴，即，
解得：，即，
∴．
17．（23-24八年级下·青海西宁·期末）小新学习了特殊的四边形——平行四边形后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形——垂美四边形，如图1，两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

【概念理解】
（1）在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，一定是垂美四边形的是_______．（填写相应的序号）
【类比学习】
（2）如图1，若，，则_____；
【性质探究】
（3）探究垂美四边形的四条边之间的数量关系：（将下列探究过程补充完整）
在中 在中
在中 在中
____________________
【问题解决】
（4）如图2，在中，点，分别是边，的中点，且，垂足为．若，，则的长为__________．

【答案】（1）③④（2）（3）或（4）
【分析】（1）根据垂美四边形的特征，对角线互相垂直，去判定，在①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直，解答即可．
（2）根据图形面积的计算，得到垂美四边形的面积等于对角线乘积的一半，计算即可．
（3）分别求和，得到解答即可．
（4）根据点，分别是边，的中点，且，，得到，，，结合，根据结论（3）列式计算即可．
本题考查了特殊四边形的对角线性质，勾股定理，三角形中位线定理，图形面积分割法计算，熟练掌握勾股定理，三角形中位线定理是解题的关键．
【详解】（1）解：∵垂美四边形的特征，对角线互相垂直，
∴①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，只有菱形，正方形的对角线互相垂直，
故答案为：③④．
（2）解：根据题意，得,
∵，，
∴，
故答案为：．
（3）解：∵在中 ，
在中 ，
在中 ，
在中 ，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或．
（4）解：∵点，分别是边，的中点，且，，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
解得（舍去），
故答案为：．
18．（23-24八年级下·陕西西安·期末）【问题提出】（1）如图1，在中，，．若，求的长．
【问题解决】（2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）是否存在最小面积？若存在，求出最小面积；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在最小面积，四边形的最小面积为平方米．
【分析】（1）由可得，根据，可得，最后根据勾股定理即可求解；
（2）先证明，得到，，
米，过点作交于点，过点作交于点，得到，由，可得当，时，和最小，此时最小，由勾股定理求出，即可求解．
【详解】解：（1），
，
，
，
，
，即，
；
（2）存在最小面积，
，，，
，
又，
，，
米，
过点作交于点，过点作交于点，
，，，
，
当，时，和最小，即，此时最小，
由勾股定理可得：，即，
米，
平方米，
存在最小面积，四边形的最小面积为平方米．
19．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）已知等腰中，，，现做如下操作：
步骤1：取的中点O，过点O作直线；
步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，．
【操作发现】
（1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）；
【问题探究】
（2）若点D在延长线上时，求四边形的面积；
【拓展延伸】
（3）若四边形为正方形时，连接，并求的长．
【答案】（1）补全图形见解析；菱形；（2）20；（3）
【分析】（1）根据题意画图，根据菱形的判定方法得出四边形为菱形即可；
（2）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出四边形的面积即可；
（3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出．
【详解】解：（1）补全图形，如图所示：
∵点O为的中点，，
∴直线l垂直平分，
∵点与点D关于直线l对称，
∴，
∴与垂直平分，
∴四边形为菱形，
故答案为：菱形；
（2）过点A作于点F，如图所示：
∵，，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
根据解析（1）可知，四边形为菱形，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
∴，
∴；
（3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，如图所示：
∵四边形为正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴根据勾股定理得：，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：或，
不符合题意舍去，
∴，
∴，
∴，
根据勾股定理得：．
20．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与实践
问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平．
操作探究：
(1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______．
(2)若点M落在矩形内部．
①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由．
②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长．
【答案】(1)正方形
(2)①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析
(3)或5
【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形；
（2）①根据折叠得出，，，证明，得出，证明，即可证明结论；
②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论；
（3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可．
【详解】（1）解：∵四边形为矩形，
∴，
根据折叠可知：，，
∵，
∴四边形为矩形，
∵，
∴四边形为正方形；
（2）证明：①四边形为菱形；理由如下：
根据折叠可知：，，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为菱形；
②；理由如下：
∵E，F为边的三等分点，
∴，
根据折叠可知：，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵矩形中，，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴；
（3）解：∵四边形为矩形，，
∴，，，
根据折叠可知：，，，
当时，过点M作，如图所示：
则，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：，
即；
当时，如图所示：
∵，，
∴，
∵，
∴此时点M在上，
根据解析（1）可知，此时四边形为正方形，
∴；
连接，如图所示：
根据勾股定理得：，
∵两点之间线段最短，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∴，
∴与相等不存在；
综上分析可知：或5．
【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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