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浙江省杭州市余杭、临平区2025年九年级数学一模试卷
1．（2025·临平模拟） 实数，1，0，-2，最小的是（　　）
A． B．1 C．0 D．-2
2．（2025·临平模拟）在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·临平模拟）2025年1月4日13点28分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为147000000公里，数147000000用科学记数法表示为（　　）
A．147x106 B．14.7x107 C．1.47x108 D．0.147x109
4．（2025·临平模拟） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·临平模拟）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
6．（2025·临平模拟） 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B'E与AB交于G，当B'E//AC时， ∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
7．（2025·临平模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成。三只冰壶A，B，C的位置如图所示，∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A，B分别表示为（4a，0°)，(2a，120°)，则冰壶C可表示为（　　）
A．（3a，120°) B．（4a，200°)
C．(3a，240°) D．（3a，300°)
8．（2025·临平模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作。若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．19．（2025·临平模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD=90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·临平模拟） 如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA=a，OC=b，点P在反比例函数y=（k为常数，k>O)的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c. 过点P作 PE//x轴交AC于点E，作PF//y轴交AB于点F，连结EF，FC.记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　）
A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关
C．S 的值仅与k有关 D．S 的值与a，b，c，k都有关
11．（2025·临平模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
12．（2025·临平模拟）已知关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是　 　.
13．（2025·临平模拟）一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为　 　.
14．（2025·临平模拟）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
15．（2025·临平模拟）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　.
16．（2025·临平模拟）菱形ABCD绕点A 旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在 BC上，B'C'交CD于点E.若AB=2BB'=4，则CE的长为　 　.
17．（2025·临平模拟）计算：
18．（2025·临平模拟）以下是小明解分式方程的解答过程：
解：3x-1=3，……①
3x=4，……②
∴x=……③
经检验x=是方程的解.
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程.
19．（2025·临平模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接AH，AF平分∠BAH.
（1）写出一个与△ABF相似(不全等）的三角形，并证明你的结论.
（2）已知EF=1，求BF的长.
20．（2025·临平模拟）某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分).其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分(组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计0.1分)绘制成如下统计图和统计表。根据图表信息解决问题：
调查问卷 你最喜欢的在线教育机构（单选) ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它
测评机构测评情况统计表
课程 师资 教学 体验
A平台 7 9 8 9.8
B平台 9 8 7 ____
（1）随机抽取了多少份网友调查问卷？
（2）若“课程”“师资”“教学”“体验”按2：3：3：2的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？
21．（2025·临平模拟）已知：如图，BP平分∠ABC，CD⊥BP于点D.
（1）尺规作图：作直线DE，使DE//BC，与AB相交于点E.（请保留作图痕迹）
（2）在上题条件下已知CD=4，tan∠C=，求BE的长.
22．（2025·临平模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度.设月用水量为x（吨），每月应交水费y(元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象.
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≦10 a
第二阶梯 10＜x≦20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值.
（2）当x>10 时，求y关于x的函数表达式.
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量.
23．（2025·临平模拟）已知抛物线y=ax2+4x+3(a>0).
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式.
（2）直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于A(-，y1)，B(x2，y2)两点。
①若 k=1， a的值.
②点C(x3，y3)在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2=y3时，0≦x3≦1，求a的取值范围.
24．（2025·临平模拟）如图1，已知ABCD内接于⊙O，连结BD，BD平分∠ABC，点P是的中点，连结AP分别交BD，BC于点E，F.
（1）如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数.
（2）求证：①DC=DE；②PE2-PF2=PF·AF.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
∴最小的数是：
故答案为：A.
【分析】利用实数大小的比较方法“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”解答即可.
2．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心， 进行逐一判断即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 147000000用科学记数法表示为1.47×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
5．【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先让总数减去其它组的频数求出 70.5～80.5这一分数段的频数，然后运用频数除以数据总数解答即可.
6．【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， ∠B=32°，
∴∠A=90°-∠B=58°，
∵B'E∥AC，
∴∠AGB'=∠A=58°，
∵将△BEF沿着EF折叠， 得到△B'EF，
∴∠B'=∠B=32°，
∵∠AGB'=∠AFB'+∠B'，
∴58°=∠AFB'+32°，
∴∠AFB'=26°，
故答案为：B.
【分析】由∠C=90°， ∠B=32°， 求得∠A =58°， 由B'E∥AC，得∠AGB'=∠A =58°， 由折叠得∠B'=∠B=32°， 则58°=∠AFB'+32°，求得 于是得到问题的答案.
7．【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，如图：
CP的延长线平分
∴冰壶C可表示为(
故答案为：C.
【分析】设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，根据题意求出图形和题意得出点C的位置.
8．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解不等式①得
解不等式②得，
∴x的取值范围是
故答案为：B.
【分析】依据题意，根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC， 交直线DE于H，
在Rt△DCH中， ∠D=θ， CD=b，
则CH=CD· sin D=bsinθ，
∵∠D=θ，
∴∠DCH =90°-θ，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACF=θ，
∴CF =AC·cos∠ACF=acosθ，
∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF⊥AB， 交直线AB于F， 延长FC， 交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可.
10．【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)，
∵点P在反比例函数 (k为常数， 的图象上， 且横坐标为c，
设直线AC的解析式为 ， 把A(0，a)，C(b，0)坐标代入得：
解得
∴直线AC的解析式为
当 时，
的面积为S仅与k值有关.
故答案为：C.
【分析】根据题意， 先确定各点的坐标， C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)， P(c， c)， F(c，a)， 再利用待定系数法求出直线AC解析式确定点E的坐标，最后利用 解答即可.
11．【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有两个相等的实根
所以
解得
故答案为：4.
【分析】根据“ 判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根 ”解答即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
【分析】画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
15．【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图2，延长CE交AB的延长线于点D，
在 中， 作 于G点，
即
中，
故答案为：
【分析】根据题意，延长CE交AB的延长线于点D，得到 再分别求出CD，AD长，即可得到结果.
16．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作 交 于点F，
∵菱形. 中，
由旋转可知
又由
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交 于点F，根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质得到FC，由旋转可知. 求得 又由 根据相似三角形的性质即可得到结论.
17．【答案】解：原式
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用算术平方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可.
18．【答案】解：根据解分式方程的方法，发现小明的解答过程不对，从第①步开始出错.
正确的解答过程如下：
方程两边同时乘( 得
去括号， 得
移项、合并同类项，得
解得：
把 代入
是分式方程的增根，
∴分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的一般步骤进行解答即可.
19．【答案】（1）解： ，证明如下：
∵AF平分
而
（2）解：设
解得 (负值舍去)，
【知识点】“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据两角相等的两个三角形相似得到
(2)利用相似三角形的对应边成比例即可得解.
20．【答案】（1）解：由题意得： (份)，
B平台的“体验”分为： (分)，
答：随机抽取了200份网友调查问卷
（2）解：我会推荐A平台，理由如下：
A平台得分为： (分)；
B平台得分为： (分)
∴我会推荐A平台
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)用A平台“体验”分除以0.1可得A平台的人数，再除以其所占百分比可得随机抽取的份数；求出B平台的分数可得B平台的“体验”分；
(2)根据加权平均数解答即可.
21．【答案】（1）解：如图，直线DE即为所求；
（2）解：过点E作EH⊥BD于点H.
∵CD⊥BP，
∵CD=4，
∴BD=5，
∵AP平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠DBC=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∵EH⊥BD，
∵∠EDH=∠DBC，
∴EH=2，
【知识点】解直角三角形—边角关系；尺规作图-平行线
22．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意， ①当 时，
②当 时，
答： 当 时，y关于x的函数表达式为
（3）解：由题意，如果6月份、7月份的用水量均超过20吨，则总费用比超过100，不合题意，又结合6月份用水量低于7月份用水量，∴6月用水量低于20吨，超过10吨.
设6月份用水量为x吨，
∴6月份的水费为
∴7月份的水费为
若7月份用水量低于20吨，则7月份的用水量为
110
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴7月份的用水量为 不合题意.
若7月份用水量大于20吨，则7月份的用水量为
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，∴x为5的整数倍.
又
答：小红家6月份的用水量为15吨.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)依据题意得列方程组，进而计算可以得解；
(2)依据题意，分当 时和当 时，分别进行判断可以得解；
(3)依据题意，先判断6月用水量低于20吨，超过10吨，然后设6月份用水量为x吨，可得6月份的水费为 故7月份的水费为 再分两种情形分析计算可以得解.
23．【答案】（1）解：∵抛物线 的顶点在x轴上，
∴该抛物线的函数表达式为
（2）解：①若 则y=x，
为直线 与抛物线
的交点，
∴若 ， a的值为
②抛物线 的对称轴为直线 ，
)两点在抛物线上，且点C不与点A， B重合，
∴B，C两点关于对称轴直线 对称，
∵直线 与该抛物线相交于 ， 两点，
2是方程 的两个根，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到 将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组 即可得出结论.
24．【答案】（1）解：如图， 连接OD、OP，
∵BD平分
∵点P是 的中点，
又∵AB为直径，
即
（2）证明： ①连接AC，
由 (1) 得
、
即
②连结PB，
由①得
即
即
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题易得 进而可知 ，最后即可得解；
(2)①通过推导即可得到可得 所以
②证可得 再利用 代入即可得证.
1 / 1浙江省杭州市余杭、临平区2025年九年级数学一模试卷
1．（2025·临平模拟） 实数，1，0，-2，最小的是（　　）
A． B．1 C．0 D．-2
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】解：
∴最小的数是：
故答案为：A.
【分析】利用实数大小的比较方法“正数大于零，负数小于零，两个负数比较大小，绝对值大的反而小”解答即可.
2．（2025·临平模拟）在下列有关人工智能的图片中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；中心对称图形
【解析】【解答】解：A.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C.原图既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.原图既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转 如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心， 进行逐一判断即可.
3．（2025·临平模拟）2025年1月4日13点28分，地球运行至轨道近日点，日地距离约为147000000公里，数147000000用科学记数法表示为（　　）
A．147x106 B．14.7x107 C．1.47x108 D．0.147x109
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 147000000用科学记数法表示为1.47×108，
故答案为：C.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
4．（2025·临平模拟） 下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
5．（2025·临平模拟）某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中70.5～80.5这一分数段的频率是（　　）
A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4
【答案】D
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：，
故答案为：D.
【分析】先让总数减去其它组的频数求出 70.5～80.5这一分数段的频数，然后运用频数除以数据总数解答即可.
6．（2025·临平模拟） 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=32°，E，F分别在边BC，AB上，将△BEF沿着EF折叠，得到△B'EF，B'E与AB交于G，当B'E//AC时， ∠AFB'的度数是（　　）
A．25° B．26° C．30° D．32°
【答案】B
【知识点】翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵∠C=90°， ∠B=32°，
∴∠A=90°-∠B=58°，
∵B'E∥AC，
∴∠AGB'=∠A=58°，
∵将△BEF沿着EF折叠， 得到△B'EF，
∴∠B'=∠B=32°，
∵∠AGB'=∠AFB'+∠B'，
∴58°=∠AFB'+32°，
∴∠AFB'=26°，
故答案为：B.
【分析】由∠C=90°， ∠B=32°， 求得∠A =58°， 由B'E∥AC，得∠AGB'=∠A =58°， 由折叠得∠B'=∠B=32°， 则58°=∠AFB'+32°，求得 于是得到问题的答案.
7．（2025·临平模拟）如图为冰壶比赛场地示意图，由以P为圆心、半径分别为a，2a，3a，4a的同心圆组成。三只冰壶A，B，C的位置如图所示，∠APB=120°，CP的延长线平分∠APB，冰壶A，B分别表示为（4a，0°)，(2a，120°)，则冰壶C可表示为（　　）
A．（3a，120°) B．（4a，200°)
C．(3a，240°) D．（3a，300°)
【答案】C
【知识点】用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，如图：
CP的延长线平分
∴冰壶C可表示为(
故答案为：C.
【分析】设CP的延长线交冰壶场地的最外圈与D，根据题意求出图形和题意得出点C的位置.
8．（2025·临平模拟）运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作。若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　）
A．1【答案】B
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由题意得，
解不等式①得
解不等式②得，
∴x的取值范围是
故答案为：B.
【分析】依据题意，根据运行程序，第一次运算结果小于等于5，第二次运算结果大于5列出不等式组，然后求解即可.
9．（2025·临平模拟）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图.已知跑步机手柄AB与地面DE平行，支架AC、踏板CD的长分别为a，b，∠ACD=90°，记CD与地面DE的夹角为θ，则跑步机手柄AB所在直线与地面DE之间的距离表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图， 过点C作CF⊥AB，交直线AB于F，延长FC， 交直线DE于H，
在Rt△DCH中， ∠D=θ， CD=b，
则CH=CD· sin D=bsinθ，
∵∠D=θ，
∴∠DCH =90°-θ，
∵∠ACD=90°，
∴∠ACF=θ，
∴CF =AC·cos∠ACF=acosθ，
∴手柄AB所在直线与地面DE之间的距离为：acosθ+bsinθ，
故答案为：A.
【分析】过点C作CF⊥AB， 交直线AB于F， 延长FC， 交直线DE于H，根据正弦的定义求出CH，根据余弦的定义求出CF，计算即可.
10．（2025·临平模拟） 如图，矩形ABCO的两边分别在坐标轴上，OA=a，OC=b，点P在反比例函数y=（k为常数，k>O)的图象上，且在矩形ABCO内部，其横坐标为c. 过点P作 PE//x轴交AC于点E，作PF//y轴交AB于点F，连结EF，FC.记△EFC的面积为S，以下说法正确的是（　　）
A．S的值仅与a，b有关 B．S的值仅与c，k有关
C．S 的值仅与k有关 D．S 的值与a，b，c，k都有关
【答案】C
【知识点】矩形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由条件可知C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)，
∵点P在反比例函数 (k为常数， 的图象上， 且横坐标为c，
设直线AC的解析式为 ， 把A(0，a)，C(b，0)坐标代入得：
解得
∴直线AC的解析式为
当 时，
的面积为S仅与k值有关.
故答案为：C.
【分析】根据题意， 先确定各点的坐标， C(b，0)， B(b，a)， A(0，a)， P(c， c)， F(c，a)， 再利用待定系数法求出直线AC解析式确定点E的坐标，最后利用 解答即可.
11．（2025·临平模拟）若二次根式 有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】x≥2
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，使二次根式 有意义，即x﹣2≥0，
解得x≥2；
故答案为：x≥2．
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x﹣2≥0，解不等式求范围．
12．（2025·临平模拟）已知关于x的一元二次方程x2+4x+c=0有两个相等的实数根，则c的值是　 　.
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：因为一元二次方程有两个相等的实根
所以
解得
故答案为：4.
【分析】根据“ 判别式Δ=0时，方程有两个相等的实数根 ”解答即可.
13．（2025·临平模拟）一个等腰三角形的顶角为100°，则它的底角度数为　 　.
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
14．（2025·临平模拟）为丰富学生课余生活，小明所在的班级开展了A，B，C，D四种活动，要求每位学生都要选择其中三种活动.已知小明选了A活动，他再选择B活动的概率　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列树状图为：
∵共6种等可能的结果，再次选到B的有4种，
∴他再选择B活动的概率是
故答案为：
【分析】画树状图得到所有的等可能结果，找出符合要求的结果数，利用概率公式求解即可.
15．（2025·临平模拟）图1为蜂巢的巢房，图2为其横截面示意图，由边长都相等的正六边形组成，A，B，C为顶点，则tan∠BAC的值为　 　.
【答案】
【知识点】正多边形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：如图2，延长CE交AB的延长线于点D，
在 中， 作 于G点，
即
中，
故答案为：
【分析】根据题意，延长CE交AB的延长线于点D，得到 再分别求出CD，AD长，即可得到结果.
16．（2025·临平模拟）菱形ABCD绕点A 旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在 BC上，B'C'交CD于点E.若AB=2BB'=4，则CE的长为　 　.
【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：如图，过点C作 交 于点F，
∵菱形. 中，
由旋转可知
又由
，
故答案为：
【分析】如图，过点C作 交 于点F，根据等腰三角形的性质得到 根据平行线的性质得到 根据相似三角形的性质得到FC，由旋转可知. 求得 又由 根据相似三角形的性质即可得到结论.
17．（2025·临平模拟）计算：
【答案】解：原式
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】利用算术平方根的定义，负整数指数幂，绝对值的性质计算后再算乘法，最后算加减即可.
18．（2025·临平模拟）以下是小明解分式方程的解答过程：
解：3x-1=3，……①
3x=4，……②
∴x=……③
经检验x=是方程的解.
小明的解答过程对吗？如果不对，从第几步开始错？并写出正确的解答过程.
【答案】解：根据解分式方程的方法，发现小明的解答过程不对，从第①步开始出错.
正确的解答过程如下：
方程两边同时乘( 得
去括号， 得
移项、合并同类项，得
解得：
把 代入
是分式方程的增根，
∴分式方程无解
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】根据解分式方程的一般步骤进行解答即可.
19．（2025·临平模拟）如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形ABCD与正方形EFGH.连接AH，AF平分∠BAH.
（1）写出一个与△ABF相似(不全等）的三角形，并证明你的结论.
（2）已知EF=1，求BF的长.
【答案】（1）解： ，证明如下：
∵AF平分
而
（2）解：设
解得 (负值舍去)，
【知识点】“赵爽弦图”模型；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)根据两角相等的两个三角形相似得到
(2)利用相似三角形的对应边成比例即可得解.
20．（2025·临平模拟）某教育评测机构从“课程”“师资”“教学”“体验”四个方面对A，B两家在线教育平台进行测评（单位：分).其中“体验”分为网友满意度问卷调查得分(组织网友问卷调查，随机抽取若干份问卷，每票计0.1分)绘制成如下统计图和统计表。根据图表信息解决问题：
调查问卷 你最喜欢的在线教育机构（单选) ①A在线教育平台 ②B在线教育平台 ③其它
测评机构测评情况统计表
课程 师资 教学 体验
A平台 7 9 8 9.8
B平台 9 8 7 ____
（1）随机抽取了多少份网友调查问卷？
（2）若“课程”“师资”“教学”“体验”按2：3：3：2的权重，从A，B两家在线教育平台中挑选一家学习，你会推荐哪一家，为什么？
【答案】（1）解：由题意得： (份)，
B平台的“体验”分为： (分)，
答：随机抽取了200份网友调查问卷
（2）解：我会推荐A平台，理由如下：
A平台得分为： (分)；
B平台得分为： (分)
∴我会推荐A平台
【知识点】扇形统计图；加权平均数及其计算
【解析】【分析】(1)用A平台“体验”分除以0.1可得A平台的人数，再除以其所占百分比可得随机抽取的份数；求出B平台的分数可得B平台的“体验”分；
(2)根据加权平均数解答即可.
21．（2025·临平模拟）已知：如图，BP平分∠ABC，CD⊥BP于点D.
（1）尺规作图：作直线DE，使DE//BC，与AB相交于点E.（请保留作图痕迹）
（2）在上题条件下已知CD=4，tan∠C=，求BE的长.
【答案】（1）解：如图，直线DE即为所求；
（2）解：过点E作EH⊥BD于点H.
∵CD⊥BP，
∵CD=4，
∴BD=5，
∵AP平分∠ABC，
∴∠EBD=∠DBC，
∵∠DBC=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴EB=ED，
∵EH⊥BD，
∵∠EDH=∠DBC，
∴EH=2，
【知识点】解直角三角形—边角关系；尺规作图-平行线
22．（2025·临平模拟）为鼓励节约用水，某市实行了阶梯水价制度.设月用水量为x（吨），每月应交水费y(元），下表为每户的综合用水单价与月用水量的关系表，如图是y关于x的函数图象.
阶梯 月用水量（吨） 用水单价（元/吨）
第一阶梯 x≦10 a
第二阶梯 10＜x≦20 b
第三阶梯 x＞20 5
根据上述信息解决以下问题：
（1）求a，b的值.
（2）当x>10 时，求y关于x的函数表达式.
（3）小红家6月份、7月份的用水量都为整数吨，且都超过了10吨，水费合计为90元，其中6月份用水量低于7月份用水量，求小红家6月份的用水量.
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：由题意， ①当 时，
②当 时，
答： 当 时，y关于x的函数表达式为
（3）解：由题意，如果6月份、7月份的用水量均超过20吨，则总费用比超过100，不合题意，又结合6月份用水量低于7月份用水量，∴6月用水量低于20吨，超过10吨.
设6月份用水量为x吨，
∴6月份的水费为
∴7月份的水费为
若7月份用水量低于20吨，则7月份的用水量为
110
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，
∴7月份的用水量为 不合题意.
若7月份用水量大于20吨，则7月份的用水量为
又∵6月份、7月份的用水量都为整数吨，∴x为5的整数倍.
又
答：小红家6月份的用水量为15吨.
【知识点】一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)依据题意得列方程组，进而计算可以得解；
(2)依据题意，分当 时和当 时，分别进行判断可以得解；
(3)依据题意，先判断6月用水量低于20吨，超过10吨，然后设6月份用水量为x吨，可得6月份的水费为 故7月份的水费为 再分两种情形分析计算可以得解.
23．（2025·临平模拟）已知抛物线y=ax2+4x+3(a>0).
（1）若该抛物线的顶点在x轴上，求该抛物线的函数表达式.
（2）直线y=kx(k≠0)与该抛物线相交于A(-，y1)，B(x2，y2)两点。
①若 k=1， a的值.
②点C(x3，y3)在抛物线上，且点C不与点A，B重合，当y2=y3时，0≦x3≦1，求a的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线 的顶点在x轴上，
∴该抛物线的函数表达式为
（2）解：①若 则y=x，
为直线 与抛物线
的交点，
∴若 ， a的值为
②抛物线 的对称轴为直线 ，
)两点在抛物线上，且点C不与点A， B重合，
∴B，C两点关于对称轴直线 对称，
∵直线 与该抛物线相交于 ， 两点，
2是方程 的两个根，
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】(1)利用待定系数法解答即可；
(2)①将两个函数关系式联立，解方程组即可得出结论；
②求得抛物线的对称轴，利用对称性得到 将两个函数关系式联立，得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系求得x2，进而得到关于a的不等式组，解不等式组 即可得出结论.
24．（2025·临平模拟）如图1，已知ABCD内接于⊙O，连结BD，BD平分∠ABC，点P是的中点，连结AP分别交BD，BC于点E，F.
（1）如图2，若AB为⊙O的直径，求∠AEB的度数.
（2）求证：①DC=DE；②PE2-PF2=PF·AF.
【答案】（1）解：如图， 连接OD、OP，
∵BD平分
∵点P是 的中点，
又∵AB为直径，
即
（2）证明： ①连接AC，
由 (1) 得
、
即
②连结PB，
由①得
即
即
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】(1)由题易得 进而可知 ，最后即可得解；
(2)①通过推导即可得到可得 所以
②证可得 再利用 代入即可得证.
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