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2.4一元二次方程根与系数的关系—2024—2025学年浙教版八年级下册
一、单选题
1．已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（ ）
A． B． C． D．
2．已知m，n是一元二次方程的两个实数根，则（ ）
A． B． C．2 D．4
3．若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ）
A．2025 B．2023 C．2024 D．2023
4．已知方程的两个根是，的两个根是．当时，的值记作；当时，的值记作．则下列结论一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程一个实数根为2，则另一实数根和的值分别为（ ）
A．6， B．， C．6，4 D．，4
6．若a，b是方程的两个根，则（ ）
A． B．1 C． D．56
7．下列一元二次方程两实数根的和为的是（ ）
A． B． C． D．
8．对于一元二次方程，下列说法其中正确的是（ ）
①若方程的两个根是和2，则；
②若是方程的一个根，则一定有成立；
③若，则它有一个根是；
④若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
A．①②③④ B．②③④ C．①③④ D．①②③
二、填空题
9．一元二次方程的两根和为 ．
10．已知关于的一元二次方程的两根为和，则的值为 ．
11．若，是一元二次方程的两个根，则方程的解为 ．
12．定义新运算：．若方程的两个根为和，则 ．
13．的一边为5，另外两边的长恰好是方程的两个根，则m的取值范围 ．
三、解答题
14．已知方程的两个根分别为，，求下列代数式的值：
(1)
(2)
15．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．
(1)求k的取值范围；
(2)若两根，满足，求k的值．
16．已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；
(2)若该方程的两个实数根x1，x2满足，求m的值．
17．已知关于的方程．
(1)小聪说：该方程一定为一元二次方程．小聪的结论正确吗？请说明理由．
(2)当时
①若该方程有实数解，求的取值范围．
②若该方程的两个实数解分别为和，满足，求的值．
18．已知关于x的一元二次方程.
(1)当时，解这个方程；
(2)试判断这个一元二次方程根的情况，并说明理由；
(3)，是这个方程的两个实数根，若n、t为正整数，且，求n的值.
试卷第1页，共3页
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《2.4一元二次方程根与系数的关系同步练习—2024—2025学年浙教版八年级下册》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A A A D D C C
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，；
求出，再整体代入计算即可．
【详解】解：一元二次方程的两根为，，
则，，
，
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，注意两根之积等于．根据根与系数的关系可得出，此题得解．
【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根，
∴．
故选：A．
3．A
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为．
先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根，
，
，
故选：A．
4．A
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，，，，再求出，，据此可得答案．
【详解】解：∵方程的两个根是，的两个根是，
∴，，，，
∴，，
∴，
故选：A．
5．D
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．设该方程的两个实数根为和，由根与系数的关系得，，，将代入即可求解．
【详解】解： 设关于的一元二次方程实数根为和，
则：，，
，解得，
，解得，
故选：D．
6．D
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，以及已知式子的值，求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后代入代数式即可得出答案．
【详解】解：∵a，b是方程的两个根，
∴，
∴，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根的判别式判断一元二次方程根的情况，再根据根与系数的关系求解即可．
【详解】解：A. ，，，故该选项不符合题意；
B. ，，，故该选项不符合题意；
C. ，，，故该选项符合题意；
D. ，，，故该选项不符合题意；
故选：C．
8．C
【分析】此题考查了一元二次方程的根、根与系数关系等知识，根据一元二次方程根的定义和根与系数关系分别进行计算即可得到答案．
【详解】解：若方程的两个根是和2，则，
∴，
∴；
故①正确；
若是方程的一个根，则，
∴或，
故②错误；
若，则，
即有一个根是；
故③正确；
若方程有一个根是，则，
当时，，
即若方程有一个根是，则方程一定有一个实数根．
故④正确；
综上可知，正确的是①③④，
故选：C
9．/
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得到，即可得出结果．
【详解】解：根据题意得：，
故答案为：．
10．
【分析】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，利用根与系数的关系求解即可，解题的关键是熟记：一元二次方程的两个根为，，则，．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的两根为和，
∴，
故答案为：．
11．，
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，由一元二次方程根与系数的关系可得，，将方程两边同时除以可得：，整理可得，求解即可．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
将方程两边同时除以可得：，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，，
故答案为：，．
12．0
【分析】本题考查了定义新运算，一元二次方程根与系数的关系，理解定义新运算的方法，掌握根与系数的关系是解题的关键．
根据一元二次方程根与系数的关系得到，由定义新运算得到，代入计算即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根为和，
∴，
∵，
∴，
∴原式，
故答案为：0 ．
13．
【分析】本题主要考查了三角形和一元二次方程结合．熟练掌握三角形三边关系，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式与根和关系是解决问题的关键．
根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到，把两根之积与两根之和代入的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围．
【详解】解：由根与系数的关系可得：，，
又由三角形的三边关系可得：，
∴，
即，
解得：；
∵方程有两个实根，
∴，
解得．
∴．
故答案为：．
14．(1)
(2)
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，能熟记根与系数的关系的是解此题的关键．
（1）由根与系数的关系可知，，．把变形成，代入，即可求解；
（2）把变形成代入，即可求解．
【详解】（1）解：由根与系数的关系可知，
，．
；
（2）解：
．
15．(1)
(2)，
【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，因式分解法求一元二次方程，理解并掌握根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
（1）两个不相等的实根，则根的判别式大于零，由此即可求解；
（2）根据根与系数的关系可知，，代入得到关于k的一元二次方程，求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
解得：；
（2）解：由题意得，，，
∵
∴
整理得，
∴
或
解得，．
16．(1)见解析
(2)15
【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
（1）根据一元二次方程根的判别式和非负数的性质即可得到结论；
（2）利用根与系数的关系求得，，代入，解方程即可求解．
【详解】（1）证明：，
不论为何值，该方程总有两个实数根；
（2）解：根据题意得：，，
，
，
．
解得．
17．(1)正确，理由见解析
(2)①；②
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程知识是解题的关键．
（1）利用配方法得出，推出，即可证明该方程一定为一元二次方程；
（2）当时，该方程为，①根据该方程有实数解，则，得出不等式求解即可；②整理得：，根据一元二次方程根与系数的关系，得出，，代入整理得出方程求解，根据①所求的取值范围取舍即可．
【详解】（1）解：正确，理由如下，
∵，
∴，
∴关于的方程一定为一元二次方程；
（2）解：当时，，
∴该方程为，
①∵该方程有实数解，
∴，
∴，
解得：；
②，整理得：，
∵和是该方程的两个实数解，
∴，，
∴代入中，得：，
整理得：，
∴，
∴或，
解得：，，
∵由①得：；
∴．
18．(1)，
(2)方程有两个实数解．理由见详解
(3)的值为1或2
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先计算根的判别式的值得到△，利用根的判别式的意义即可解答；
（3）先利用公式法解方程得或，由于，所以或，当，则，利用整除性得当时，；当时，；当时，．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．
【详解】（1）解：当时，原方程化为，
，
或，
∴，；
（2）解：方程有两个实数解．
理由如下：
，
当时，，方程有两个相等的实数解；
当时，，方程有两个不相等的实数解；
综上所述，方程有两个实数解；
（3）依题意，解方程得或，
，
或，
当时，，
、为正整数，
当时，；当时，；
当时，，
综上所述，的值为1或2．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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