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广西南宁市第二中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题
1．（2024高三下·南宁月考）已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高三下·南宁月考）已知，则（　　）
A． B． C．1 D．
3．（2024高三下·南宁月考）若函数在区间上有，则的递增区间是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024高三下·南宁月考）已知集合，集合，则的子集个数为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．1
5．（2024高三下·南宁月考）已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高三下·南宁月考）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（　　）
A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种
7．（2024高三下·南宁月考）已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50
8．（2024高三下·南宁月考）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高三下·南宁月考）一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（　　）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
10．（2024高三下·南宁月考）已知函数，对于任意，有，则（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．函数在上共有6个极值点
11．（2024高三下·南宁月考）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．在定义域内单调递减 D．为奇函数
12．（2024高三下·南宁月考）若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为　 　．
13．（2024高三下·南宁月考）在中，，点Q满足，则的最大值为　 　.
14．（2024高三下·南宁月考）设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是　 　．
15．（2024高三下·南宁月考）已知数列满足．
（1）若数列满足，证明：是常数数列；
（2）若数列满足，求的前项和．
16．（2024高三下·南宁月考）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
17．（2024高三下·南宁月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
18．（2024高三下·南宁月考）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
19．（2024高三下·南宁月考）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数z满足，则，
即，复数的共轭复数为，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的除法、减法运算求得复数z、以及共轭复数，再根据复数在复平面内的表示求解即可.
2．【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用两角和的正切公式化简求得，再由余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
3．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，函数在上单调递减，
又因为的单调递减区间为，所以的递增区间为.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据对数函数的性质求得，再根据复合函数求单调性的方法判断即可.
4．【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，等于圆的半径，则直线与圆相切，
即中只有一个元素，故的子集个数为．
故答案为：C.
【分析】先求圆心和半经，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，得的元素个数，再计算子集个数即可.
5．【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，且，
过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：，
令，解得点的坐标为，
若，则，即，故椭圆的离心率为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，令求出点的坐标，再得出关于的方程，化简求值即可.
6．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：易知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排且相邻，则不同的排列方式共有；
若E和F站在后排且相邻，则不同的排列方式共有；
则不同的排列方式共有种.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
因为，所以等差数列的公差，故，
则，当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值25.
故答案为：B.
【分析】由，利用等差数列的求和公式集合等差数列的性质推出，再利用基本不等式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在正方体中，平面，
因为四边形是正方形，平面，所以，
又因为，，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接，
在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，
且平面，平面，所以平面，又平面，
所以，因为，且平面，平面，
所以平面，设平面平面，则，所以，
则是棱的中点，
当点在正方体的表面线段上时，，
由题意可知，在梯形中，，，，
，
故线段长度的最大值是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用线面垂直的性质找到点的轨迹，再利用梯形的性质求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、互斥事件的定义、条件概型求概率公式、独立事件的定义，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数在某点取得极值的条件；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 对于任意，都有，则函数关于直线对称；
因为，所以，
所以，又因为，所以，则，
即，即，，解得，又因为，所以，所以，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C、时，，函数在上单调递减，故C正确；
D、令，得，令，得，故，
易知函数在单调递增，
在单调递减，
故函数在上共有6个极值点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由已知条件推出对称轴为以及函数的周期，求得，，再利用函数的对称性和单调性逐项判断即可.
11．【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、令，则，因为，所以，故A正确；
B、由，令，则，
则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，
故，故B错误；
C、因为在上单调递减，且函数为奇函数，所以函数在上单调递减，
但是不能判断函数在定义域上的单调性，例如：，故C错误；
D、由题意，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，则①，
把都取成，可得②，将②式代入①式，可得，
化简可得，即为奇函数，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】赋值即可判断A；根据等比数列求和公式即可判断B；由函数的特例即可判断C；利用奇偶函数的定义及赋值即可判断D；
12．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为： ，底面半径为：2，圆锥的高为： ；圆锥的体积为： 故答案为
【分析】根据题意由圆锥的几何性质代入数值计算出圆锥的高线，再由圆锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
13．【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设中点为M，则，即，
，
由，可知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
当时，最大，是等边三角形，
则.
故答案为：.
【分析】设中点为M，由题意可得，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，是等边三角形，求出即可求解.
14．【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，不妨设，则，
只需比较的大小关系：
若，则，则；
若，则，即，则，
当时，取到最小值．
故答案为：.
【分析】设，比较的大小关系即可.
15．【答案】（1）证明： 若数列满足 ，
则，即，
即数列是常数数列；
（2）解：由（1）可得：，即，
，
则
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）计算，即可判断数列是常数数列；
（2）由（1）可得，即，，利用分组求和即可.
（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）由（1），，
所以．
因为，
所以
，
所以．
16．【答案】（1）解：，
相关系数，，则相关性很强，的值越大，相关性越强，故，相关性越强；
（2）解：由题意得：随机变量的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
则，
，
，
的分布列为：
0 1 2
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）计算相关系数判断即可；
（2）根据超几何概率的概率公式求解概率，列分布列即可.
（1）样本，，2，，的相关系数为
．
由于相关系数，，则相关性很强，的值越大，相关性越强．
故，故相关性越强．
（2）由题意得：的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
17．【答案】（1）证明：在梯形中，因为，，，
所以，，
满足，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
令，则．
，．
设平面的一个法向量为，则，即，取，则，
平面的一个法向量为，
则，
因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，
故．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的取值范围即可.
（1）在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，
，当时，有最小值，
当时，有最大值．
．
18．【答案】解：（1），即，则抛物线的方程为：；
（2）设直线，，，
直线，由题设可得且，
联立，消元整理可得，则，
因为，所以，则，
又，联立，解得，同理，
联立，解得，所以，
整理得到
，
故，
令，则且，
故，
故即，解得或或，
故直线在x轴上的截距的范围为．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求的值，即可得抛物线的方程；
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，求的范围即可.
19．【答案】（1）解： （i） 函数，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
则是含谷函数，谷点；
函数，恒成立，则单调递增，不是含谷函数；
（2）解：由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，则在区间上单调递增，
若满足谷点，则，解得，
故m的取值范围是；
（3）解：定义域为，
，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，证明函数是否为含谷函数，再求谷点；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围即可；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值即可.
（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
1 / 1广西南宁市第二中学2023-2024学年高三下学期5月月考数学试题
1．（2024高三下·南宁月考）已知复数满足，复数的共轭复数为，则在复平面内对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】解：复数z满足，则，
即，复数的共轭复数为，
在复平面内对应的点的坐标为，位于第三象限.
故答案为：C.
【分析】根据复数代数形式的除法、减法运算求得复数z、以及共轭复数，再根据复数在复平面内的表示求解即可.
2．（2024高三下·南宁月考）已知，则（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：，解得，
则.
故答案为：A.
【分析】利用两角和的正切公式化简求得，再由余弦的二倍角公式结合同角三角函数基本关系求解即可.
3．（2024高三下·南宁月考）若函数在区间上有，则的递增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性
【解析】【解答】解：当时，，
因为，所以，函数在上单调递减，
又因为的单调递减区间为，所以的递增区间为.
故答案为：A．
【分析】由题意，根据对数函数的性质求得，再根据复合函数求单调性的方法判断即可.
4．（2024高三下·南宁月考）已知集合，集合，则的子集个数为（　　）
A．8 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】子集与真子集；交集及其运算；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，等于圆的半径，则直线与圆相切，
即中只有一个元素，故的子集个数为．
故答案为：C.
【分析】先求圆心和半经，根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系得到直线与圆相切，得的元素个数，再计算子集个数即可.
5．（2024高三下·南宁月考）已知平面直角坐标系中，椭圆：（）的左顶点和上顶点分别为，过椭圆左焦点且平行于直线的直线交轴于点.若，则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】向量在几何中的应用；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：易知，且，
过椭圆左焦点且平行于直线的直线方程为：，
令，解得点的坐标为，
若，则，即，故椭圆的离心率为.
故答案为：D.
【分析】由题意，先求直线的斜率，再求过左焦点且平行于直线的直线方程，令求出点的坐标，再得出关于的方程，化简求值即可.
6．（2024高三下·南宁月考）8名同学站成两排参加文艺演出，要求两排人数相等，A不站在前排，D不站在后排，E和F左右相邻，则不同的排列方式共有（　　）
A．1152种 B．1728种 C．2304种 D．2880种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【解答】解：易知：D站在前排，A站在后排，
若E和F站在前排且相邻，则不同的排列方式共有；
若E和F站在后排且相邻，则不同的排列方式共有；
则不同的排列方式共有种.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：D站在前排，A站在后排，分E和F站在前排或后排，利用捆绑法结合排列数、组合数公式求解即可.
7．（2024高三下·南宁月考）已知等差数列的前项和为，若，则（　　）
A．有最小值25 B．有最大值25 C．有最小值50 D．有最大值50
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：由，可得，解得，
因为，所以等差数列的公差，故，
则，当且仅当时等号成立，
即当时，取得最大值25.
故答案为：B.
【分析】由，利用等差数列的求和公式集合等差数列的性质推出，再利用基本不等式求解即可.
8．（2024高三下·南宁月考）在棱长为1的正方体中，点是棱的中点，是正方体表面上的一点，若，则线段长度的最大值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
在正方体中，平面，
因为四边形是正方形，平面，所以，
又因为，，且平面，平面，
所以平面，又因为平面，所以，
当点P在线段（点除外）时，，取的中点E，连接，
在正方形中，因为E为的中点，是棱的中点，所以，因为平面，平面，所以，因为，
且平面，平面，所以平面，又平面，
所以，因为，且平面，平面，
所以平面，设平面平面，则，所以，
则是棱的中点，
当点在正方体的表面线段上时，，
由题意可知，在梯形中，，，，
，
故线段长度的最大值是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用线面垂直的性质找到点的轨迹，再利用梯形的性质求解即可.
9．（2024高三下·南宁月考）一个袋中有大小 形状完全相同的3个小球，颜色分别为红 黄 蓝，从袋中先后无放回地取出2个球，记“第一次取到红球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件，则（　　）
A． B．为互斥事件
C． D．相互独立
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；古典概型及其概率计算公式；条件概率与独立事件
【解析】【解答】正确；
可同时发生，即“即第一次取红球，第二次取黄球”，不互斥，错误；
在第一次取到红球的条件下，第二次取到黄球的概率为正确；
不独立，
D不符合题意；
故答案为：AC.
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式、互斥事件的定义、条件概型求概率公式、独立事件的定义，进而找出正确的选项。
10．（2024高三下·南宁月考）已知函数，对于任意，有，则（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数的图象关于点对称
C．函数在上单调递减
D．函数在上共有6个极值点
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数在某点取得极值的条件；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解： 对于任意，都有，则函数关于直线对称；
因为，所以，
所以，又因为，所以，则，
即，即，，解得，又因为，所以，所以，
A、函数的最小正周期为，故A正确；
B、因为，所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C、时，，函数在上单调递减，故C正确；
D、令，得，令，得，故，
易知函数在单调递增，
在单调递减，
故函数在上共有6个极值点，故D正确．
故答案为：ACD．
【分析】由已知条件推出对称轴为以及函数的周期，求得，，再利用函数的对称性和单调性逐项判断即可.
11．（2024高三下·南宁月考）已知函数的定义域和值域均为，对于任意非零实数，函数满足：，且在上单调递减，，则下列结论错误的是（　　）
A． B．
C．在定义域内单调递减 D．为奇函数
【答案】B,C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；等比数列概念与表示；等比数列的性质
【解析】【解答】解：A、令，则，因为，所以，故A正确；
B、由，令，则，
则，即，故是以为首项，2为公比的等比数列，
故，故B错误；
C、因为在上单调递减，且函数为奇函数，所以函数在上单调递减，
但是不能判断函数在定义域上的单调性，例如：，故C错误；
D、由题意，函数的定义域为，定义域关于原点对称，
令，则①，
把都取成，可得②，将②式代入①式，可得，
化简可得，即为奇函数，故D正确.
故答案为：BC.
【分析】赋值即可判断A；根据等比数列求和公式即可判断B；由函数的特例即可判断C；利用奇偶函数的定义及赋值即可判断D；
12．（2024高三下·南宁月考）若圆锥的侧面展开图是半径为4的半圆，则此圆锥的体积为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】圆锥的侧面展开恰为一个半径为4的半圆，所以圆锥的底面周长为： ，底面半径为：2，圆锥的高为： ；圆锥的体积为： 故答案为
【分析】根据题意由圆锥的几何性质代入数值计算出圆锥的高线，再由圆锥的条件公式代入数值计算出结果即可。
13．（2024高三下·南宁月考）在中，，点Q满足，则的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】平面向量的线性运算；平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：设中点为M，则，即，
，
由，可知P点轨迹是以为弦，圆周角为的优弧，
当时，最大，是等边三角形，
则.
故答案为：.
【分析】设中点为M，由题意可得，根据平面向量的线性运算可得，得当时，最大，是等边三角形，求出即可求解.
14．（2024高三下·南宁月考）设．将这三者中的最大值记为．当变化时，的最小可能值是　 　．
【答案】
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：因为，不妨设，则，
只需比较的大小关系：
若，则，则；
若，则，即，则，
当时，取到最小值．
故答案为：.
【分析】设，比较的大小关系即可.
15．（2024高三下·南宁月考）已知数列满足．
（1）若数列满足，证明：是常数数列；
（2）若数列满足，求的前项和．
【答案】（1）证明： 若数列满足 ，
则，即，
即数列是常数数列；
（2）解：由（1）可得：，即，
，
则
．
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）计算，即可判断数列是常数数列；
（2）由（1）可得，即，，利用分组求和即可.
（1）因为
，
所以，
所以是常数数列．
（2）由（1），，
所以．
因为，
所以
，
所以．
16．（2024高三下·南宁月考）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区植物覆盖面积与某种野生动物数量的关系，将其分成面积相近的若干个地块，从这些地块中随机抽取20个作为样区，调查得到样本数据，其中，和，分别表示第个样区的植物覆盖面积（单位：公顷）和这种野生动物的数量（单位：只），并计算得.
（1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断这种野生动物的数量y（单位：只）和植物覆盖面积x（单位：公顷）的相关程度；
（2）已知20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，从20个样区中随机抽取2个，记抽到这种野生动物数量低于样本平均数的样区的个数为X，求随机变量X的分布列.
附：相关系数
【答案】（1）解：，
相关系数，，则相关性很强，的值越大，相关性越强，故，相关性越强；
（2）解：由题意得：随机变量的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
则，
，
，
的分布列为：
0 1 2
【知识点】样本相关系数r及其数字特征；离散型随机变量及其分布列；超几何分布
【解析】【分析】（1）计算相关系数判断即可；
（2）根据超几何概率的概率公式求解概率，列分布列即可.
（1）样本，，2，，的相关系数为
．
由于相关系数，，则相关性很强，的值越大，相关性越强．
故，故相关性越强．
（2）由题意得：的可能取值为0，1，2，
20个样区中有8个样区的这种野生动物数量低于样本平均数，有12个样区的这种野生动物数量不低于样本平均数，
所以，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2
17．（2024高三下·南宁月考）如图，在梯形中，，，，四边形为矩形，平面平面，.
（1）证明：平面；
（2）设点在线段上运动，平面与平面的夹角为，求的取值范围.
【答案】（1）证明：在梯形中，因为，，，
所以，，
满足，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面；
（2）解：以为坐标原点，直线，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
令，则．
，．
设平面的一个法向量为，则，即，取，则，
平面的一个法向量为，
则，
因为，所以当时，有最小值，当时，有最大值，
故．
【知识点】直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质；平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题意，根据面面垂直的性质定理证明即可；
（2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求的取值范围即可.
（1）在梯形中，因为，，
所以，所以，
所以，所以．
因为平面平面，平面平面，
因为平面，所以平面．
（2）由（1）可建立分别以直线，，为轴，轴，轴的如图所示的空间直角坐标系，
令，则．
，．
设为平面的一个法向量，
由得，取，则，
是平面的一个法向量
，
，当时，有最小值，
当时，有最大值．
．
18．（2024高三下·南宁月考）如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
【答案】解：（1），即，则抛物线的方程为：；
（2）设直线，，，
直线，由题设可得且，
联立，消元整理可得，则，
因为，所以，则，
又，联立，解得，同理，
联立，解得，所以，
整理得到
，
故，
令，则且，
故，
故即，解得或或，
故直线在x轴上的截距的范围为．
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）求的值，即可得抛物线的方程；
（2）设，，，联立直线的方程和抛物线的方程后可得，求出直线的方程，联立各直线方程可求出，根据题设条件可得，求的范围即可.
19．（2024高三下·南宁月考）设是定义在上的函数，若存在区间和，使得在上严格减，在上严格增，则称为“含谷函数”，为“谷点”，称为的一个“含谷区间”．
（1）判断下列函数中，哪些是含谷函数？若是，请指出谷点；若不是，请说明理由：
（i），（ii）；
（2）已知实数，是含谷函数，且是它的一个含谷区间，求的取值范围；
（3）设，．设函数是含谷函数，是它的一个含谷区间，并记的最大值为．若，且，求的最小值．
【答案】（1）解： （i） 函数，
当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，
则是含谷函数，谷点；
函数，恒成立，则单调递增，不是含谷函数；
（2）解：由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，则在区间上单调递增，
若满足谷点，则，解得，
故m的取值范围是；
（3）解：定义域为，
，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）利用含谷函数定义判断函数的增减区间，证明函数是否为含谷函数，再求谷点；
（2）由题意可判断函数在区间内有谷点，利用谷点定义求参数取值范围即可；
（3）分别讨论函数的单调性，判断谷点所在区间，得到的解析式，再利用和消元求最值即可.
（1）函数，当时，单调递减，当时，单调递增，所以是含谷函数，谷点；
函数，求导恒成立，函数单调递增，所以不是含谷函数.
（2）由题意可知函数在区间内先减后增，且存在谷点，
令，所以，
设，
所以，由可知恒成立，
所以在区间上单调递增，
若满足谷点，则有，解得，
故m的取值范围是.
（3）因为，
所以，
若恒成立，
则函数在时严格增，在时严格减，不是谷函数，不满足题意；
因此关于x的方程有两个相异实根，即，
设两根为，且，
因为，所以函数在区间上不为严格增，
但是当时，，为严格增，
所以在区间上的单调性至少改变一次，从而必有一个驻点，即，
同理，因为，所以，
因此，在区间和上严格增，在区间和上严格减，
从而函数的含谷区间必满足，
即，
因为，
，
由得，所以，
由得，所以，
所以，
当时，，
当时，，
因此的最小值为，当时成立.
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