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广东省深圳市深圳高级中学集团2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
1．（2025·深圳模拟）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·深圳模拟）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
9．（2025·深圳模拟）因式分解： =　 　．
10．（2025·深圳模拟）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是　 　．（只需写出一个即可）
11．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
13．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
16．（2025·深圳模拟）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
17．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
18．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
19．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
20．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作于，地面于，
依题意可得：，，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故答案为：A．
【分析】作于，地面于，依题意可得，，，再根据正弦定义可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
9．【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
解得：，
∴的值可能是，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
16．【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
17．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
20．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
1 / 1广东省深圳市深圳高级中学集团2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
1．（2025·深圳模拟）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、该图形是轴对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.
2．（2025·深圳模拟）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
3．（2025·深圳模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·深圳模拟）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
5．（2025·深圳模拟）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．（2025·深圳模拟）为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作于，地面于，
依题意可得：，，，
∴，
∴坐垫离地面高度约为，
故答案为：A．
【分析】作于，地面于，依题意可得，，，再根据正弦定义可得CH，再根据边之间的关系即可求出答案.
7．（2025·深圳模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
9．（2025·深圳模拟）因式分解： =　 　．
【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．（2025·深圳模拟）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是　 　．（只需写出一个即可）
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
解得：，
∴的值可能是，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可求出答案.
11．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
16．（2025·深圳模拟）小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）________，________；
（2）从方差的角度看，________种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中的信息写出你的理由．
【答案】（1），
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
故答案为：89；90
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可求出答案.
（2）由甲、乙两种吉他得分的方差，比较得出，即可求出答案.
（3）根据平均数的意义即可求出答案.
（1）解：由乙种吉他得分可得，处在中间位置的一个数是，即，
由甲种吉他得分可得，出现次数最多的是90分，即；
（2）解：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定；
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
17．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
19．（2025·深圳模拟）综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
【分析问题】
（1）二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线________；
（2）如图2，已知二次函数经过点，且与的图象均经过和，则的取值范围是________；
【解决问题】
（3）以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：如图所将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过和，
∴此抛物线的对称轴为直线；
（2）∵二次函数经过和，
∴，
将代入可得：，
∴，
∴，
∵的图象均经过和，
∴，
∵由图象可得：的顶点在的下方，
∴，
解得：；
【分析】（1）根据二次函数的性质即可求出答案.
（2）待定系数法求出，，由图象可得的顶点在的下方，即可得出，解不等式即可求出答案.
（3）设新拱门抛物线解析式为，则抛物线顶点坐标为由题意可得，从而解得，（不符题意，舍去），得到新拱门抛物线解析式为，将代入得，，解得，从而可得，将代入得，，解得，从而可得；将代入得，，解得，从而可得；分别求解即可求出答案.
20．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
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