资源简介

广东省深圳市31校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2025·深圳模拟） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．（2025·深圳模拟）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
3．（2025·深圳模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·深圳模拟）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
5．（2025·深圳模拟）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．（2025·深圳模拟） 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，
，
∵∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，BC＝70cm，
∴AP＝30cm，
∴CH＝BC sin80°≈70×0.98＝68.6（cm），
∴坐垫C离地面高度约为68.6＋30＝98.6≈99（cm），
故答案为：A.
【分析】如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，先利用解直角三角形的方法求出CH的长，再利用线段的和差求出坐垫C离地面高度即可.
7．（2025·深圳模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）因式分解： =　 　．
【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．（2025·深圳模拟）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是　 　．（只需写出一个即可）
【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
解得：，
∴的值可能是，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可求出答案.
11．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
13．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．（2025·深圳模拟）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
16．（2025·深圳模拟） 小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）　 　，　 　；
（2）从方差角度看，　 　种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中信息写出你的理由．
【答案】（1）80；90
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】解：（1）∵乙种吉他得分处在中间位置的一个数是89，
∴a＝89，
∵甲种吉他得分出现次数最多的是90分，
∴b＝90；
故答案为：80，90；
（2）根据方差计算公式可得：，
根据方差计算公式可得：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定，
故答案为：甲；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）利用平均数和方差的性质分析求解即可.
17．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
19．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
20．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
1 / 1广东省深圳市31校2024-2025学年九年级下学期第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一项是正确的）
1．（2025·深圳模拟） 全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下图书馆标志中，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．（2025·深圳模拟）四位数字标注法是电子元件标注的一种标准化方法．如标注为“”的电阻，第四位数字“”为的幂指数，对应的阻值（单位：），这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·深圳模拟）下列式子运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·深圳模拟）如图①所示，一张纸片上有一个不规则的图案（图中画图部分），小雅想了解该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为5m，宽为3m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地向长方形区域扔小球，并记录小球在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），她将若干次有效试验的结果绘制成了图②所示的折线统计图由此她估计此不规则图案的面积大约为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·深圳模拟）如图为生活中常见的折叠桌的侧面图与示意图，已知，，，则的大小为（　　）

A． B． C． D．
6．（2025·深圳模拟） 为出行方便，越来越多的市民使用起了共享单车，图1为单车实物图，图2为单车示意图，与地面平行，坐垫可沿射线方向调节．已知，车轮半径为，当时，小明体验后觉得骑着比较舒适，此时坐垫离地面高度约为（　　）（结果精确到，参考数据：，，）
A． B． C． D．
7．（2025·深圳模拟）一商店销售某种进价为20元/件的商品，当售价为60元时，平均每天可售出20件．为了扩大销售，增加盈利，该店采取了降价措施．经过一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件，若该商店每天要实现1400元的利润，每件需降价多少元？设每件商品降价元，由题意可列方程（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·深圳模拟）如图1，在中，，一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，过点作，垂足为．设点运动的路程为，与的差为，与的函数图象如图2所示，点，是线段，与轴的交点，则图2中点对应的点位置到点对应的点位置所经历的时长为（　　）
A．2秒 B．4秒 C．秒 D．秒
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025·深圳模拟）因式分解： =　 　．
10．（2025·深圳模拟）关于的一元二次方程有两个不相等实数根，则的值可能是　 　．（只需写出一个即可）
11．（2025·深圳模拟）非物质文化遗产是我国传统文化的优秀代表．深圳市非物质文化遗产有上川黄连胜醒狮舞、大船坑舞麒麟、潮俗皮影戏、沙头角鱼灯舞等．小聪和小颖商定从“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种中各随机选择一种，用于宣传深圳的非物质文化遗产，两人恰好选中同一种的概率是　 　．
12．（2025·深圳模拟）如图，已知矩形的一边落在轴的正半轴，它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，则矩形的面积为　 　．
13．（2025·深圳模拟）在菱形中，，将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，若，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共7小题，共61分）
14．（2025·深圳模拟）计算：．
15．（2025·深圳模拟）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值．
16．（2025·深圳模拟） 小聪爸爸为了了解国产吉他的品质（指板材质、发出的声音等），对甲、乙两种品牌进行了抽样调查．在相同条件下，随机抽取了两种品牌的吉他各9份样品，对吉他的品质进行评分（百分制），并对数据进行收集、整理，下面给出两种品牌吉他得分的统计图表．
甲、乙两种品牌吉他得分表
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
甲（分） 81 82 83 88 90 90 90 92 95
乙（分） 74 75 85 88 89 90 91 97 97
甲、乙两种吉他得分统计表
品牌 平均数 中位数 众数
甲 87.9 90
乙 87.3 97
（1）　 　，　 　；
（2）从方差角度看，　 　种吉他的得分较稳定（填“甲”或“乙”）；
（3）你会建议小聪爸爸选择哪种品牌吉他？请结合统计图表中信息写出你的理由．
17．（2025·深圳模拟）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
18．（2025·深圳模拟）在矩形中，连接．
（1）如图1，请用尺规在边上求作一点，连接，使；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）如图2，已知点在边上，且，连接，交于点，若，，求的长．
19．（2025·深圳模拟） 综合与实践
【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观．
【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？
（1）【分析问题】
①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　；
②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　；
（2）解决问题】
以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围．
20．（2025·深圳模拟）综合与探究
在正方形中，，点是边上的动点，连接．
（1）【探索发现】如图1，过点作，求证：；
（2）【类比探究】如图2，过点作于点，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积；
（3）【拓展延伸】如图3，过点作于点，连接，将沿翻折得到，交于点，请直接写出线段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、∵该图不是轴对称图形，∴A不符合题意；
B、∵该图不是轴对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是轴对称图形，∴C不符合题意；
D、 ∵该图是轴对称图形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把一个数表示成（其中，为整数）的形式的记数方法叫科学记数法.
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、和不是同类项，不能直接相加，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】几何概率；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：假设不规则图案面积为，
由已知得：长方形面积为，
根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，
当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，故由折线图可知，
综上有：，
解得．
故答案为：A．
【分析】假设不规则图案面积为，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程，解方程即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】平行线的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据直线平行性质可得，再根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，
，
∵∠ABE＝80°，车轮半径为30cm，BC＝70cm，
∴AP＝30cm，
∴CH＝BC sin80°≈70×0.98＝68.6（cm），
∴坐垫C离地面高度约为68.6＋30＝98.6≈99（cm），
故答案为：A.
【分析】如图，作CH⊥AB于H，AP⊥地面于P，先利用解直角三角形的方法求出CH的长，再利用线段的和差求出坐垫C离地面高度即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设每件商品降价元，
由题意可得：，
故答案为：B．
【分析】设每件商品降价元，则每件的利润为元，根据总利润每件的利润件数即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：∵过点作，垂足为，
∴，
当时，则，
∴此时，
由图2得时，，
∵与的差为，
∴，
∴，
当时，且与的差为，此时停止运动了，说明点P与点C重合，
∵，
∴说明点P与点Q重合，
则，
即，
则，
由图2得，在点M时，则，
即，
在中，，
设
则，
故，
∴，
解得，
∴，
∵一动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿着的路径运动，
∴（秒），
由图2得，在点N时，则，
即，
此时点P是的中点，
∴，
则（秒），
∴（秒），
故答案为：C．
【分析】过点作，垂足为，得出当时，则，，再解读当时，且与的差为，且此时停止运动了，说明点P与点C重合，则，运用，得，设故，分别算出在点M时，以及在点N时的时间，再计算它们的差值，即可求出答案.
9．【答案】a（x+1）(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=a（x2-1）=a（x+1）（x-1），
故答案为：a（x+1）（x-1）.
【分析】先利用提公因式法，再利用平方差公式法分解到每一个因式都不能再分解为止。
10．【答案】0
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等实数根，
∴，
解得：，
∴的值可能是，
故答案为：．
【分析】根据二次方程有两个不相等的实数根，可得判别式，解不等式即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意，“上川黄连胜醒狮舞”、“大船坑舞麒麟”、“潮俗皮影戏”、“沙头角鱼灯舞”四种非物质文化遗产分别记为
画出树状图如下：
一共有16种等可能的情况，两人恰好选中同一种的情况有4种，
（两人恰好选中同一种）．
故答案为：．
【分析】画出树状图，求出所有等可能的结果，再求出两人恰好选中同一种的结果，再根据概率公式即可求出答案.
12．【答案】8
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：设，
∵它的顶点与对角线的中点均在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴矩形的面积为，
故答案为：．
【分析】设，，则，将点E坐标代入反比例函数解析式可得，再根据两点间距离可得，，再根据矩形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
∴，，，
∵
∴，
设，
∴在中，，
即，
∴，
∵，的延长线，的延长线，
∴，
∵，
∴
∴在中，，，
即，，
∴，，
在中，，
则，
∵将沿翻折至，，的延长线分别交于，两点，
∴，，，，
∴，
即，
∴，
解得，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（两个相似三角形的高的比等于相似比），
故答案为：．
【分析】分别过点，作的延长线，的延长线，且过F作分别交于点，根据菱形性质可得，，，根据直线平行性质可得，设，根据正弦定义及特殊角的三角函数值可得，根据边之间的关系可得，再根据正弦定义可得，，根据勾股定理可得BE，根据折叠性质可得，，，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，，，再根据边之间的关系可得ZF，再根据相似三角形判定定理可得，再根据其性质即可求出答案.
14．【答案】解：
．
【知识点】有理数的乘方法则；实数的绝对值；开立方（求立方根）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先化简乘方，立方根，正切值，绝对值，再运算加减，即可求出答案.
15．【答案】解：原式
因为，，
所以，，
所以只能为0，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
16．【答案】（1）80；90
（2）甲
（3）解：建议购买甲品牌，因为甲品牌的平均数更高，所以甲品牌吉他更好．
【知识点】中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【分析】解：（1）∵乙种吉他得分处在中间位置的一个数是89，
∴a＝89，
∵甲种吉他得分出现次数最多的是90分，
∴b＝90；
故答案为：80，90；
（2）根据方差计算公式可得：，
根据方差计算公式可得：，
故，
∴甲吉他的得分较稳定，
故答案为：甲；
【分析】（1）利用中位数和众数的定义及计算方法列出算式求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）利用平均数和方差的性质分析求解即可.
17．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
18．【答案】（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
【知识点】勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定；尺规作图-垂直平分线；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）作的垂直平分线交于，点即为所求.
（2）根据边之间的关系可得，根据矩形性质可得，，根据勾股定理可得AC=10，设，则，再根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据矩形性质可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（1）解：如图，即为所作；
，
由作图可得：，
∴；
（2）解：如图，
，
∵，又，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
设，
∴，
∴，
解得，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又，
∴．
19．【答案】（1）；
（2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间．
由题意得，，，
∴，；
设新拱门抛物线解析式为
∴抛物线顶点坐标为
∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半，
∴，
解得，（不符题意，舍去），
∴新拱门抛物线解析式为
将代入得，，解得
∴，
∵原拱门拱顶距地面为4米，
∴
将代入得，，解得，
∴
将代入得，，解得
∴
∴
综上所述，的取值范围是或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：（1）①由中点坐标公式得：x＝（2＋5）＝，
故答案为：x＝；
②由题意得：y1＝a1（x 2）（x 5）＝a1（x2 7x＋10），
则10a＝6，则a1＝，
由题意知，y2的开口比y1的小，
则a2＞，
故答案为：a2＞．
【分析】（1）①利用轴对称公式列出算式求解即可；
②根据题意列出方程10a＝6，求出a的值，再结合y2的开口比y1的小，求出a2＞即可；
（2）设新拱门抛物线解析式为，求出抛物线顶点坐标为，再将点B、D的坐标分别代入解析式求出h的值，从而可得h的取值范围.
20．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）
【知识点】二次函数的最值；线段垂直平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形
【解析】【解答】（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
【分析】（1）根据正方形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，再根据等腰三角形性质可得或，分情况讨论：①当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，即，根据三角形面积可得，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，即，可得三点共线，点和点重合，即AE=0；②当时，作于点H，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，设，则，，根据勾股定理建立方程，解方程可得，则 ，再根据三角形面积可得，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
（3）连接交于点K，交于点L，由翻折的性质得，，根据垂直平分线性质可得，根据全等三角形判定定理可得，，则，，，，设，根据勾股定理可得，，根据相似三角形性质可得，则，，再根据边之间的关系可得DG，LG，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得BH，再根据边之间的关系可得，结合二次函数的性质即可求出答案.
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
又，
．
（2）解：四边形是正方形，
，，，
，
，
在中，，
，
为等腰三角形，
或；
①当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
，
，
，
，即，
又，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得：，即，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
三点共线，
点和点重合，
；
②当时，如图，作于点H，
，，
，，
，
由①中的结论得，，
又，
，
，，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
，，
，
，即，
解得：，
；
综上所述，当时，，；当时，，．
（3）解：如图，连接交于点K，交于点L，
由翻折的性质得，，，
是的垂直平分线，
，，
，
同理（2）的方法可得，，，
，，，，
设，则，，
由（2）得，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，
又，
当时，有最大值20，此时有最小值，
线段的最小值为．
1 / 1

展开更多......

收起↑