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石景山区 2025初三统一练习
数学试卷答案及评分参考
阅卷须知：
为了阅卷方便，解答题中的推导步骤写得较为详细，考生只要写明主要过程即可。若
考生的解法与本解法不同，正确者可参照评分参考给分，解答右端所注分数，表示考生正
确做到这一步应得的累加分数。
一、选择题（共 16 分，每小题 2 分）
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8
答 案 B D C B A C A D
二、填空题（共 16 分，每题 2 分）
9． x 1 10． xy(x +1)(x 1) 11． x = 0 12． 3
13．240 14．24 15．5 + 3 3 16．36；34
三、解答题（共 68 分，第 17-19 题每题 5 分，第 20-21 题每题 6 分，第 22-23 题每题 5
分，第 24 题 6 分，第 25 题 5 分，第 26 题 6 分，第 27-28 题每题 7 分）
3
17．解：原式 = 2 2 + 2 3 + 3 … …………………………4 分
2
= 2 + 2 3 ． ………………………… 5 分
3+ x 4(2 x) ，①

18．解：原不等式组为 x + 2
1 0. ②
5
解不等式①，得 x 1． … …………………………2 分
解不等式②，得 x 3． … …………………………4 分
∴原不等式组的解集为1 x 3． … …………………………5 分
x x y
19．解：原式 =
2(x y)2 2
x
= ．
4(x y) ……………………………3 分
∵ x 2 y = 0，
数学试卷答案及评分参考 第1页（共 6 页）
∴ x = 2y ． ……………………………4 分
1
∴原式 = ． ……………………………5 分
2
20．（1）证明：∵ AD∥BC ，
∴ 1= 2．
∵ BD平分 ABC ，
A D1
∴ 3 = 2．
∴ 3 = 1． E
∴ AD = AB．
F
3
∵E 为 AB 的中点， B 2 C
∴ AB = 2BE ．
∵ BC = 2BE ，
∴ BC = AB = AD．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又∵ AD = AB，
∴四边形 ABCD 是菱形． ………………………… 3 分
（2）解：连接 AC 交 BD 于点 O．
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC ⊥ BD ， AB // CD ，CD = AB=6．
2
在Rt△ABO 中， OB = AB cos 3 = 6 = 4．
3
∴ BD = 2OB = 8 ． A D1
4
∵ BE // CD ，
E O
∴ 3 = 4 . 5 6
F
∵ 5 = 6， 3B 2 C
∴△BEF∽△DCF ．
BF BE 1
∴ = = ．
DF DC 2
设 BF = x ，则 DF = 2x ， BD = 3x = 8．
8
∴ x = .
3
8
∴ BF = ． ………………………… 6 分
3
21．解：（1）设小石喝了 x 盒牛奶和 y 盒豆浆．
数学试卷答案及评分参考 第2页（共 6 页）
280x + 210y = 770,
根据题意，得
3.5x + 4.2y = 11.2.
x = 2,
解得
y =1.
答：小石喝了 2 盒牛奶和 1 盒豆浆． …………………………4 分
（2）小石的脂肪摄入量没有超标，理由如下：
因为3.5 2+ 2.4+ 60 = 69.4 ，初中生每日脂肪摄入量约为 59~73g，所以他
的脂肪摄入量没有超标． …………………………6 分
22．解：（1）∵函数 y = kx + b (k 0) 的图象由函数 y = x 的图象平移得到，过点（1，2），
k =1,
∴
k + b = 2.
k =1,
解得
b =1.
∴k 的值为1，b 的值为1． …………………………3 分
（2） 2≤m≤3 ． …………………………5 分
23．解：（1）5，5； …………………………2 分
（2）甲； …………………………3 分
（3）乙． …………………………5 分
24．（1）证明：延长 DO 交 AC 于点 F．
∵DE 与⊙O 相切于点 D，
∴ ODE = 90 ．
A
∵OD//BC，
∴ E =180 ODE = 90 ．
O
∵AB 是⊙O 的直径， F D
∴ C = 90 ．
∴四边形 CEDF 是矩形．
C B E
∴OF⊥AC， FC = DE ．
∴ AC = 2CF = 2DE ． …………………………2 分
（2）解：∵BM⊥AB，
∴ BM 是⊙O 的切线．
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∵DM 是⊙O 的切线， A
∴ MB = MD =10 ．
∵ 1+ 2 = 90 ， A + 2 = 90 ， O
F D
∴ 1= A．
3 M
∴ tan 1= tan A = ．
4 2 1
C B E
ME 3
在Rt△BME 中， tan 1= = ．
BE 4
设 ME = 3x，则 BE = 4x ．
∴ BM = 5x =10 ．
4
∴ x = 2 ， cos A = cos 1= ．
5
∴ ME = 6， DE =16 ．
∴ AC = 2DE = 32．
AC
在Rt△ACB 中， AB = = 40．
cos A
∴⊙O 半径的长为 20． …………………………6 分
25．解：（1）答案不唯一，如 120.2； …………………………1 分
（2）3.0； …………………………2 分
（3）①
t/s
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
O 1 2 3 4 5 6 d/mm
…………………4 分
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②答案不唯一，如 4.8．
26．解：（1）当 t =1时，抛物线 y = x2 2x ． …………………………5 分
∴ y = (x 1)2 1．
∴抛物线的顶点坐标为 (1, 1) ． …………………………2 分
（2）抛物线 y = x2 2tx 的对称轴为直线 x = t ，
∵ a =1 0 ，
∴当 x≤ t 时，y 随 x 的增大而减小，当 x≥ t 时，y 随 x 的增大而增大．
由题意，点 M (3, y1)在对称轴右侧，点 N (t 2, y2 ) 在对称轴左侧，
点 P(n, y3 )在抛物线上．对于任意的 4 n 3 ：
①当 n t 时，
点M (3, y1)关于 x = t 的对称点为 M (2t 3, y1) .
∵ y2 y3 y1 ,
∴ 2t 3 n t 2 .
∵ 4 n 3 ,
2t 3≤ 4,
∴
t 2≥ 3.
1
∴ 1≤ t≤ .
2
②当 n≥ t 时，
点 N (t 2, y2 ) 关于 x = t 的对称点为 N (t + 2, y2 ) .
∵ y2 y3 y1 ,
∴ t + 2 n 3.
∵ n 4 ,
∴ t + 2≤ 4.
∴ t≤ 6 .
1
综上所述，t 的取值范围是 1≤ t≤ 或 t≤ 6 .
2
…………………………6 分
27．（1）解：∵ FA= FE， FH = FE ，
∴ FE = FH = FA．
∴ 1= 2， 3 = 4 .
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∵ 1+ 2 + 3+ 4 =180 ，
∴ 2 2 + 2 4 =180
∴ 2 + 4 = 90 .
∴ AHE = 90 . …………………………2 分
（2）判断：DH⊥AC．
证明：延长 EH 到点 M，使得
HM=HE，连接 AM， A
6
CM；在 BC 上取点 N， 5 3 M
使得 CN=BE ，连接
F
4
NM. 2 H
∵ AHE = 90 ， 1 8
7
B
∴ CAE=AM． E D N
∵D 为 BC 的中点，
∴DE=DN．
∵F 为 AE 的中点，
∴ FH // AM ， DH // NM .
∴ EAM = EFH = = BAC .
∴ 6 = 5．
∵AC=AB，
∴ 7 = B，△ACM≌△ABE．
∴CM=BE=CN， 8 = B = 7 ．
∴AC⊥MN．
∵ DH // MN ，
∴DH⊥AC． …………………………7 分
28．解：（1）① B3， 2 ；
…………………………2 分
②1+ 3 ；
…………………………4 分
1+ 7
（2） 2 t≤ ．
2 …………………………7 分
数学试卷答案及评分参考 第6页（共 6 页）

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