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湖南省长沙市 长郡集团2024年中考毕业会考数学模拟试题六
1．（2024·长沙模拟）在实数，0，，中，最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】根据题意，得，
故选A．
【分析】
实数的大小比较，正数大于零，零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．（2024·长沙模拟）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．（2024·长沙模拟）清·袁枚的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，数据“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据“”用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
常用科学记数法把绝对值较小的数字表示成的形式，其中，取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
4．（2024·长沙模拟）如图，直线分别与直线相交于点G、H，已知平分交直线于点M，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到，邻补角结合角平分线的定义求出，求再根据平行线的性质，内错角，即可得出结果．
5．（2024·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式乘多项式和完全平方公式的计算方法逐项判断即可.
6．（2024·长沙模拟）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可得，该不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】根据数轴上闭合的点（实心点）表示该点包含在解集中，而开放的点（空心点）表示该点不包含在解集中，据此即可求解．
7．（2024·长沙模拟）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是
C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14.
A、这组数据的众数是11，所以A正确；
B、这组数据的中位数是（10+11）÷2=10.5，所以B错误；
C、这组数据的平均数是（6+7+9+10×2+11×4+14）÷10=10，所以C正确；
D、这组数据的方差是，所以D正确.
故答案为：B。
【分析】分别求出这组数据的众数，中位数，平均数，方差，然后找出答案错误的选项即可。
8．（2024·长沙模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵中，
∴，，
∴该函数图象过第一、二、四象限，
∴该函数图象不过第三象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，当，时，一次函数的图象在一、二、四象限，则该函数不经过第三象限．
9．（2024·长沙模拟）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.2米/分，所以甲的时间为：，乙的时间为：，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点得：.
故答案为：D。
【分析】设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.2米/分，根据路程÷速度=时间，分别表示甲、乙二人到达活动地点所用时间，然后根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点得：即可。
10．（2024·长沙模拟）如图，正方形内的为正三角形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
∵是正三角形，
，，
，即是等腰三角形，，
，
，
同理：，
．
故答案为：D．
【分析】根据正方形和正三角形的性质得出是等腰三角形，，即可求出∠BAE的度数，进而求出∠EDA，再根据三角形内角和定理解题即可．
11．（2024·长沙模拟）因式分解 = 　 　．
【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．（2024·长沙模拟）如图，B、C、E在同一直线上，，，那么　 　度．
【答案】55
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵B、C、E在同一直线上，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等的性质得到，，再利用三角形内角和定理解题即可．
13．（2024·长沙模拟）如图，一定质量的氧气，其体积V（）是密度ρ（）的反比例函数，其图象如图，当时的氧气的体积　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故答案为：6．
【分析】
先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入即可求出V．
14．（2024·长沙模拟）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则　 　．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先得到是矩形，然后根据等边对等角解题即可．
15．（2024·长沙模拟）如图，是的直径，，则　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据直径得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC的度数，再利用圆周角定理解题即可．
16．（2024·长沙模拟）小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：小师出了次石头，次剪刀，次布；小滨出了次石头，次剪刀，次布；次中没有平局；你不知道她们的出拳顺序则这次对决中赢者是　 　．
【答案】小师
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布，
∴这6局中小师赢4局，
同理可得小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀，
∴这4局中小师赢3局，
∴小师共赢了局，小滨赢了3局．
故答案为：小师
【分析】先根据题意得到小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布，从而即可得到这6局中小师赢4局，同理可得小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀，再结合题意即可得到小师共赢了局，小滨赢了3局．
17．（2024·长沙模拟）计算：；
【答案】解：原式
=4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值、零指数次幂和负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可．
18．（2024·长沙模拟）先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：
原式即运算过程中的分母不能为0，
∴x+1≠0，x2－4≠0，
代入后原式=1+1=2.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】按照分式的混合运算法则运算即可，有括号是先算括号里面的. 括号里面先通分，再化简.最后代入求值时，选取的数字需要使整个运算过程有意义.
19．（2024·长沙模拟）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
【答案】解：在中，，，∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中利用正切求出和的长，然后根据线段的和差解题即可.
20．（2024·长沙模拟）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60
（2）解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出两位参赛选手恰好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．（2024·长沙模拟）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为中点，的延长线交边于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为18，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为18，
，即，
平行四边形是菱形
，
，
，
是等边三角形，
，即的长为4．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对这平行结合BF被AE平分，可利用“AAS”证明，则有等于，则可证四边形ABEF是平行四边形，再由邻边相等可证该平行四边形为菱形；
（2）由于平行四边形的两组对边分别相等且周长已知，则可求得一组邻边的和，再结合已知CE等于1，则可求得菱形的边长；由于该菱形一个内角为60度，则可证是等边三角形，则AE可求．
22．（2024·长沙模拟）长沙，历经三千年，城名、城址从未更改，是中国历史文化名城，每年都吸引了无数的游客前来观光，长沙特产“臭豆腐”“糖油粑粑”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进“臭豆腐”和“糖油粑粑”共份，已知购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元，购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元．
（1）每份“臭豆腐”和“糖油粑粑”的进价分别是多少元？
（2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“臭豆腐”的数量不超过“糖油粑粑”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？
【答案】（1）解：设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，根据题意可得：，
解得：，
每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元
（2）解：设“糖油粑粑”的数量为，则“臭豆腐”的数量为，
根据题意可得：，
解得：，
，
进货费用，
，
费用随的增大而增大，
当时，费用最少，即“臭豆腐”进货份，“糖油粑粑”进货份，费用最少，
最少费用为（元）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，根据“购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元，购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元”列二元一次方程组解题即可；
（2）设“糖油粑粑”的数量为，根据题意求出的取值范围，再利用进货费用数量单价，求出费用关于的函数解析式，利用一次函数的增减性得到最值即可．
（1）解：设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元；
（2）设“糖油粑粑”的数量为，则“臭豆腐”的数量为，
根据题意可得：，
解得：，
，
进货费用，
，
费用随的增大而增大，
当时，费用最少，即“臭豆腐”进货份，“糖油粑粑”进货份，费用最少，
最少费用为（元）．
23．（2024·长沙模拟）如图，在中，，以为直径的分别交、于、两点，过点作，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴

【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接．即可得到，进而得到=90°证明结论；
（2）得到是等边三角形，即可得到，求出∠5的度数，在中，根据正弦求出，即可得到，再根据弧长公式计算解题．
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
24．（2024·长沙模拟）在△ABC中，，，，F是直角边上一动点，以点A为圆心，长为半径作⊙A交斜边于点D，射线与相交于D、E两点，连接，，设半径为x．
（1）如图1，若，求x的值；
（2）如图2，是否存在x，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当的长度小于的长度时，关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，求t的取值范围．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：存在，当或时，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
当时，过点作，
∴，
∵，即：，
∴，则，即：；
当时，过点作，
∴
∵，即，
∴，则，
∴，即：；
综上，当或时，使得是以为腰的等腰三角形
（3）解：当点与点重合时，即与相切，此时，则当点在延长线上，如图，延长交于点，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵圆的半径为，
∴，
过点作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
由（2）可知，当时，，
∵的长度小于的长度，
∴，
当点在线段上，如图，延长交于点，连接，
同理可得，，
∴，即，
过点作于H，同上可知，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
此时，
综上，
当或时，，当时，，
当时，，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∵关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由平行的性质和等边对等角得到，即可得到，再根据勾股定理得到的长解题即可；
（2）分两种情况：或时，利用余弦求出BD长，然后根据线段的和差解题即可；
（3）当点与点重合时，即与相切，利用余弦求出，然后证明，求出DH和AH，然后根据勾股定理得到CD×DE的二次函数，得到x的取值范围；当点在延长线上，延长交于点N，连接，过点D作于H，得到，即可得到；证明，求出、，即可得到关于的表达式，确定的取值范围，再根据二次函数的增减性解题即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）存在，当或时，使得是以为腰的等腰三角形，
理由如下：当时，过点作，
∴，
∵，即：，
∴，则，即：；
当时，过点作，
∴
∵，即，
∴，则，
∴，即：；
综上，当或时，使得是以为腰的等腰三角形；
（3）当点与点重合时，即与相切，此时，则
当点在延长线上，如图，延长交于点，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵圆的半径为，
∴，
过点作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
由（2）可知，当时，，
∵的长度小于的长度，
∴，
当点在线段上，如图，延长交于点，连接，
同理可得，，
∴，即，
过点作于H，同上可知，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
此时，
综上，
当或时，，当时，，
当时，，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∵关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，
∴．
25．（2024·长沙模拟）定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数．
（1）已知为函数的系特征数，则该函数的顶点坐标是_________；
（2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图象截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式；
（3）已知为函数的系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图像交于，两点，令，试确定的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：为函数的特征数，
，
令，
，
，
二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
利用两点间的距离公式可得，
即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
直线的解析式为
（3）解：为函数的系特征数，即，
一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，代入可得，
，
，
将代入上式得：，
又，即，
解得：，
当时，，
当时，．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
1 / 1湖南省长沙市 长郡集团2024年中考毕业会考数学模拟试题六
1．（2024·长沙模拟）在实数，0，，中，最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2024·长沙模拟）窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，下列窗花作品是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·长沙模拟）清·袁枚的一首诗《苔》中写道“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为米，数据“”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·长沙模拟）如图，直线分别与直线相交于点G、H，已知平分交直线于点M，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·长沙模拟）某不等式组的解集在数轴上表示为如图所示，则该不等式组的解集是（　　）
A． B．
C．或 D．或
7．（2024·长沙模拟）为了解学生的身体素质状况，国家每年都会进行中小学生身体素质抽测．在今年的抽测中，某校九年级二班随机抽取了名男生进行引体向上测试，他们的成绩（单位：个）如下：，，，，，，，，，．根据这组数据判断下列结论中错误的是（　　）
A．这组数据的众数是 B．这组数据的中位数是
C．这组数据的平均数是 D．这组数据的方差是
8．（2024·长沙模拟）一次函数的图象不经过（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9．（2024·长沙模拟）阅读，正如一束阳光．孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．某区教育体育局向全区中小学生推出“童心读书会”的分享活动．甲、乙两同学分别从距离活动地点800米和400米的两地同时出发，参加分享活动．甲同学的速度是乙同学的速度的1.2倍，乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点．若设乙同学的速度是米/分，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024·长沙模拟）如图，正方形内的为正三角形，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
11．（2024·长沙模拟）因式分解 = 　 　．
12．（2024·长沙模拟）如图，B、C、E在同一直线上，，，那么　 　度．
13．（2024·长沙模拟）如图，一定质量的氧气，其体积V（）是密度ρ（）的反比例函数，其图象如图，当时的氧气的体积　 　．
14．（2024·长沙模拟）如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则　 　．
15．（2024·长沙模拟）如图，是的直径，，则　 　．
16．（2024·长沙模拟）小师和小滨进行了十次剪刀石头布的对决，已知：小师出了次石头，次剪刀，次布；小滨出了次石头，次剪刀，次布；次中没有平局；你不知道她们的出拳顺序则这次对决中赢者是　 　．
17．（2024·长沙模拟）计算：；
18．（2024·长沙模拟）先化简，然后从，1，，2中选一个合适的数代入求值.
19．（2024·长沙模拟）如图1是我国第一个以“龙”为主题的主题公园——“兰州龙源”．“兰州龙源”的“龙”字主题雕塑以紫铜铸造，如巨龙腾空，气势如虹，屹立在黄河北岸．某数学兴趣小组开展了测量“龙”字雕塑CD高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“龙”字雕塑CD位于垂直地面的基座BC上，在平行于水平地面的A处测得、，．求“龙”字雕塑的高度．（B，C，D三点共线，．结果精确到0.1m）（参考数据：，，，，，）
20．（2024·长沙模拟）6月5日是世界环境日，为提高学生的环保意识，某校举行了环保知识竞赛，从全校学生的成绩中随机抽取了部分学生的成绩进行分析，把结果划分为4个等级：（优秀）；（良好）；（中）；（合格）．并将统计结果绘制成如下两幅统计图．
（1）本次抽样调查的学生共有___________名；
（2）补全条形统计图；
（3）该校共有1200名学生，请你估计本次竞赛获得B等级的学生有多少名？
（4）在这次竞赛中，九年级一班共有4人获得了优秀，4人中有两名男同学，两名女同学，班主任决定从这4人中随机选出2人在班级为其他同学做培训，请你用列表法或画树状图法，求所选2人恰好是一男一女的概率．
21．（2024·长沙模拟）如图，在平行四边形中，点F在边上，，连接，O为中点，的延长线交边于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若平行四边形的周长为18，，，求的长．
22．（2024·长沙模拟）长沙，历经三千年，城名、城址从未更改，是中国历史文化名城，每年都吸引了无数的游客前来观光，长沙特产“臭豆腐”“糖油粑粑”等也大受欢迎．某经销商抓住商机，计划购进“臭豆腐”和“糖油粑粑”共份，已知购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元，购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元．
（1）每份“臭豆腐”和“糖油粑粑”的进价分别是多少元？
（2）结合游客的实际需求，该经销商决定购进“臭豆腐”的数量不超过“糖油粑粑”数量的，请你帮他计算如何进货才能使所花费用最少，最少费用是多少元？
23．（2024·长沙模拟）如图，在中，，以为直径的分别交、于、两点，过点作，垂足为点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
24．（2024·长沙模拟）在△ABC中，，，，F是直角边上一动点，以点A为圆心，长为半径作⊙A交斜边于点D，射线与相交于D、E两点，连接，，设半径为x．
（1）如图1，若，求x的值；
（2）如图2，是否存在x，使得是以为腰的等腰三角形，若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；
（3）当的长度小于的长度时，关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，求t的取值范围．
25．（2024·长沙模拟）定义为函数的特征数，若（为常数），我们将称为函数的系特征数．
（1）已知为函数的系特征数，则该函数的顶点坐标是_________；
（2）若为函数的特征数，且对任意实数，该函数图象截直线所得的线段长度恒为，求直线的解析式；
（3）已知为函数的系特征数，其中，一次函数和反比例函数的图像交于，两点，令，试确定的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】无理数的大小比较
【解析】【解答】根据题意，得，
故选A．
【分析】
实数的大小比较，正数大于零，零大于负数；负数比较大小，绝对值大的反而小．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、是中心对称图形，故此选项符合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的定义“一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：数据“”用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
常用科学记数法把绝对值较小的数字表示成的形式，其中，取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定与性质；邻补角；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴；
故答案为：B．
【分析】根据同位角相等，两直线平行，得到，邻补角结合角平分线的定义求出，求再根据平行线的性质，内错角，即可得出结果．
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式乘多项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：C.
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方、单项式乘多项式和完全平方公式的计算方法逐项判断即可.
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：由数轴可得，该不等式组的解集为，
故答案为：．
【分析】根据数轴上闭合的点（实心点）表示该点包含在解集中，而开放的点（空心点）表示该点不包含在解集中，据此即可求解．
7．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列：6，7，9，10，10，11，11，11，11，14.
A、这组数据的众数是11，所以A正确；
B、这组数据的中位数是（10+11）÷2=10.5，所以B错误；
C、这组数据的平均数是（6+7+9+10×2+11×4+14）÷10=10，所以C正确；
D、这组数据的方差是，所以D正确.
故答案为：B。
【分析】分别求出这组数据的众数，中位数，平均数，方差，然后找出答案错误的选项即可。
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵中，
∴，，
∴该函数图象过第一、二、四象限，
∴该函数图象不过第三象限，
故选：C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系，当，时，一次函数的图象在一、二、四象限，则该函数不经过第三象限．
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.2米/分，所以甲的时间为：，乙的时间为：，根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点得：.
故答案为：D。
【分析】设乙同学的速度是x米/分，则甲同学的速度是1.2米/分，根据路程÷速度=时间，分别表示甲、乙二人到达活动地点所用时间，然后根据乙同学比甲同学提前4分钟到达活动地点得：即可。
10．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
∵是正三角形，
，，
，即是等腰三角形，，
，
，
同理：，
．
故答案为：D．
【分析】根据正方形和正三角形的性质得出是等腰三角形，，即可求出∠BAE的度数，进而求出∠EDA，再根据三角形内角和定理解题即可．
11．【答案】m（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】原式=m（m2-4）=m（m+2）（m-2）
【分析】先用提公因式法分解，然后利用平方差公式分解到每一个因式都不能再分解为止。
12．【答案】55
【知识点】全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵B、C、E在同一直线上，，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】根据全等的性质得到，，再利用三角形内角和定理解题即可．
13．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数解析式为，
∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为，
∴当时，，
故答案为：6．
【分析】
先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再把代入即可求出V．
14．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】先得到是矩形，然后根据等边对等角解题即可．
15．【答案】
【知识点】圆周角定理；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】先根据直径得到，再根据直角三角形的两锐角互余求出∠ABC的度数，再利用圆周角定理解题即可．
16．【答案】小师
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布，
∴这6局中小师赢4局，
同理可得小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀，
∴这4局中小师赢3局，
∴小师共赢了局，小滨赢了3局．
故答案为：小师
【分析】先根据题意得到小师6次剪刀只能对应小滨的2次石头和4次布，从而即可得到这6局中小师赢4局，同理可得小师3次石头和1次布只能对应小滨4次剪刀，再结合题意即可得到小师共赢了局，小滨赢了3局．
17．【答案】解：原式
=4
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值、零指数次幂和负整数指数次幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可．
18．【答案】解：
原式即运算过程中的分母不能为0，
∴x+1≠0，x2－4≠0，
代入后原式=1+1=2.
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】按照分式的混合运算法则运算即可，有括号是先算括号里面的. 括号里面先通分，再化简.最后代入求值时，选取的数字需要使整个运算过程有意义.
19．【答案】解：在中，，，∴，
在中，，，
∴，
∴，
答：“龙”字雕塑的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在和中利用正切求出和的长，然后根据线段的和差解题即可.
20．【答案】（1）60
（2）解：C组人数为：（名），
补全条形图如图所示：
；
（3）解：估计本次竞赛获得B等级的学生有：（名），
答：估计本次竞赛获得B等级的学生有480名；
（4）解：画树状图如下：
机会均等的可能有12种，其中一男一女的有8种，
故被选中的两人恰好是一男一女的概率是：
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）（名）
答：本次抽样调查的学生共有60名；
故答案为：60；
【分析】（1）根据A组人数以及百分比计算即可解决问题；
（2）求出C组人数，画出条形图即可解决问题；
（3）利用样本估计总体即可；
（4）先画出树状图，求出所有等可能得结果，再求出两位参赛选手恰好是一男一女的结果，再根据概率公式即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，
，
为中点，
，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是菱形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，
平行四边形的周长为18，
，即，
平行四边形是菱形
，
，
，
是等边三角形，
，即的长为4．
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对这平行结合BF被AE平分，可利用“AAS”证明，则有等于，则可证四边形ABEF是平行四边形，再由邻边相等可证该平行四边形为菱形；
（2）由于平行四边形的两组对边分别相等且周长已知，则可求得一组邻边的和，再结合已知CE等于1，则可求得菱形的边长；由于该菱形一个内角为60度，则可证是等边三角形，则AE可求．
22．【答案】（1）解：设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，根据题意可得：，
解得：，
每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元
（2）解：设“糖油粑粑”的数量为，则“臭豆腐”的数量为，
根据题意可得：，
解得：，
，
进货费用，
，
费用随的增大而增大，
当时，费用最少，即“臭豆腐”进货份，“糖油粑粑”进货份，费用最少，
最少费用为（元）
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，根据“购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元，购进份“臭豆腐”和份“糖油粑粑”共需元”列二元一次方程组解题即可；
（2）设“糖油粑粑”的数量为，根据题意求出的取值范围，再利用进货费用数量单价，求出费用关于的函数解析式，利用一次函数的增减性得到最值即可．
（1）解：设每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元，
根据题意可得：，
解得：，
每份“臭豆腐”的进价是元，每份“糖油粑粑”的进价是元；
（2）设“糖油粑粑”的数量为，则“臭豆腐”的数量为，
根据题意可得：，
解得：，
，
进货费用，
，
费用随的增大而增大，
当时，费用最少，即“臭豆腐”进货份，“糖油粑粑”进货份，费用最少，
最少费用为（元）．
23．【答案】（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴

【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接．即可得到，进而得到=90°证明结论；
（2）得到是等边三角形，即可得到，求出∠5的度数，在中，根据正弦求出，即可得到，再根据弧长公式计算解题．
（1）证明：连接．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，即．
∴是的半径，
∴是的切线．
（2）∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等边三角形，．
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴
（2）解：存在，当或时，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
当时，过点作，
∴，
∵，即：，
∴，则，即：；
当时，过点作，
∴
∵，即，
∴，则，
∴，即：；
综上，当或时，使得是以为腰的等腰三角形
（3）解：当点与点重合时，即与相切，此时，则当点在延长线上，如图，延长交于点，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵圆的半径为，
∴，
过点作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
由（2）可知，当时，，
∵的长度小于的长度，
∴，
当点在线段上，如图，延长交于点，连接，
同理可得，，
∴，即，
过点作于H，同上可知，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
此时，
综上，
当或时，，当时，，
当时，，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∵关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，
∴
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由平行的性质和等边对等角得到，即可得到，再根据勾股定理得到的长解题即可；
（2）分两种情况：或时，利用余弦求出BD长，然后根据线段的和差解题即可；
（3）当点与点重合时，即与相切，利用余弦求出，然后证明，求出DH和AH，然后根据勾股定理得到CD×DE的二次函数，得到x的取值范围；当点在延长线上，延长交于点N，连接，过点D作于H，得到，即可得到；证明，求出、，即可得到关于的表达式，确定的取值范围，再根据二次函数的增减性解题即可．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴；
（2）存在，当或时，使得是以为腰的等腰三角形，
理由如下：当时，过点作，
∴，
∵，即：，
∴，则，即：；
当时，过点作，
∴
∵，即，
∴，则，
∴，即：；
综上，当或时，使得是以为腰的等腰三角形；
（3）当点与点重合时，即与相切，此时，则
当点在延长线上，如图，延长交于点，连接，
∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，
∵圆的半径为，
∴，
过点作于H，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
由（2）可知，当时，，
∵的长度小于的长度，
∴，
当点在线段上，如图，延长交于点，连接，
同理可得，，
∴，即，
过点作于H，同上可知，，
则，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
∴，
此时，
综上，
当或时，，当时，，
当时，，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大，
∵关于x的方程（t为常数）有且仅有两个解，
∴．
25．【答案】（1）
（2）解：为函数的特征数，
，
令，
，
，
二次函数图象截直线所得的线段长度恒为，
利用两点间的距离公式可得，
即对于任意的，恒成立，即，
解得：，
将代入上式可得，
解得：．
直线的解析式为
（3）解：为函数的系特征数，即，
一次函数和反比例函数的图像交于，两点，
联立得：，即，
则，代入可得，
，
，
将代入上式得：，
又，即，
解得：，
当时，，
当时，．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用
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