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2024年湖南省新中考13校联考数学试题
1．（2024九下·湖南模拟）在实数，0，，中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
根据无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：C．
【分析】
无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①类，含的加减乘除算式；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数．
2．（2024九下·湖南模拟）优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园．下列生态环保图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．（2024九下·湖南模拟）2024年3月20日上午8时55分，鹊桥二号中继星进入远地点高度米的预定地月转移轨道，米用科学记数法可表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B.
【分析】
常用科学记数法把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数字位数与1的差．
4．（2024九下·湖南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、不一定成立，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了分母有理化，二次根式加法计算，积的乘方的逆运算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．（2024九下·湖南模拟）某流域主要江河总体水质良好．下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是（　　）
A．氨氮 B．化学需氧量 C．总磷 D．铭（六价）
【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由统计图可知，指标氨氮的个数最多，则该流域主要江河最严重的污染指标是氨氮，
故选：A．
【分析】
观察频数分布直方图找到频数最多的指标即可．
6．（2024九下·湖南模拟）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，因此列出不等式，解出k即可.
7．（2024九下·湖南模拟）一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
当时，，解得，
故选：B．
【分析】
先利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式，再求出当时的值即可.
8．（2024九下·湖南模拟）如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证，再利用相似比求解即可．
9．（2024九下·湖南模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是边的中点．若，sin∠，则菱形的面积为（　　）
A．30 B．60 C．96 D．100
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线与相交于点O，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵在中，sin∠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由菱形的对角线互相垂直平分可得OE是Rt斜边上的中线，则BC等于OE的2倍等于10，则AD等于BC等于10；再解Rt可求得OA的值，再利用勾股定理可得OD的值，则对角线AC、BD可求；最后由菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解．
10．（2024九下·湖南模拟）如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（　　）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，即，故①正确；
如图所示，过点C作于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选D．
【分析】
① 由全等三角形的性质得到等于，等于，，则等量代换得，则是等腰直角三角形，则利用勾股定理可证结论正确；
② 过点作于，则四边形是矩形，可得等于，等于，则由三角形两边关系定理得与的和大于，即结论正确；
③ 由① 知与的平方和等于平方的一半，由完全平方公式的特点知与的平方和大于、之积的2倍，等量代换得平方的一半大于、之积的2倍，由于都是正数，则结论正确．
11．（2024九下·湖南模拟）计算：( )2=　 　。
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=5.
【分析】根据二次根式的平方的运算法则计算即可。
12．（2024九下·湖南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理可得，解得．
故答案为：．
【分析】
一元二次方程（为常数且）的根的判别式是．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．
13．（2024九下·湖南模拟）为配制含盐的盐水，已有含盐的盐水，还需要含盐的盐水　 　．
【答案】700
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设还需要含盐的盐水x克，
由题意得，，
解得，
∴还需要含盐的盐水700克，
故答案为：700．
【分析】
设还需要含盐的盐水克，根据溶质总量相等列一元一次方程并解方程即可．
14．（2024九下·湖南模拟）小明设计了如图所示的物理电路图，假设开关都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设用A、B、C表示三个开关，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发光的结果数有，，，共4种，
∴能使小灯泡发光的概率为，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
15．（2024九下·湖南模拟）如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为　 　．（用含的式子表示）
【答案】2
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
先根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长可求出母线长，再根据扇形面积计算公式计算即可．
16．（2024九下·湖南模拟）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是　 　度．
【答案】165
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：165．
【分析】
由两直线平行内错角相等可把转化为的邻补角和的邻补角的和即可．
17．（2024九下·湖南模拟）如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要　 　度．
【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
∴为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要，
故答案为；36．
【分析】
如图所示，由于整个圆被五等分，因此劣弧AE所对的圆心角为，要使5台监视器能够监控整个展区，则监视器C的监控角最小为的度数，直接利用圆周角定理即可 ．
18．（2024九下·湖南模拟）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于反比例函数与两坐标轴和原点围成的矩形面积等于，因此可将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
19．（2024九下·湖南模拟）解不等式组：
【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，分别求解两个不等式，再依据口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定不等式组的解集．
20．（2024九下·湖南模拟）先化简，再求值：，其中
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，计算时先通分从而把括号内的异分母分式加法运算转化为同分母分式的加法运算，再把除法运算转化为乘法运算，并对分子分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行计算即可．
21．（2024九下·湖南模拟）如图，在中，.
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知，求的周长.
【答案】（1）如图，直线即为所求；
（2）解：中，，
，
是的垂直平分线，
，
。
。
，
，
的周长为
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，再过两弧交点画直线交AB于点E即可；
（2）先利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质可得，则等边对等角即等于；再由等角的补角相等可得等于，则等角对等边得，从而得出等于，则 周长可求．
22．（2024九下·湖南模拟）某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件．
（1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中；
（2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，由题意得，，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为450，
∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）由于单价每提高1元，则每天销量减少2件，当售价为元时，则提高价格元，则每天销量为：件；
（2）当柑橘的销价为元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为元，由总利润等于单个利润乘以销量可得是关于的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则其有最大值并求出即可．
23．（2024九下·湖南模拟）为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表．
第一次测试成绩
测试成绩x(分)
人数(人) 4 28 8 4 6
请解决问题1：
（1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率；
（2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数；
第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A：，B：，C： ，D：四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图．
请解决问题2：
（3）请至少选择两种以上的的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价．
【答案】解：（1），
∴该班在第一次“环保知识测试”中学生测试成绩x（分）为“”的频率为；
（2）人，
∴估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数为120人；
（3）从中位数看，该班第一次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，第二次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，
∴从中位数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
从频率的看，该班第一次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
第二次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
∴频率角度看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
∴老师带领学生积极开展环保主题实践活动的效果非常好．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】
（1）频率频数总数；
（2）用600乘以第一次“环保知识测试”中成绩在80分及以上的人数占比即可；
（3）利用中位数和两次成绩在80分以上的频率两个角度出发进行比较即可．
24．（2024九下·湖南模拟）如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由垂直平分得等于，由等腰三角形的性质结合圆周角定理可得等于，则平行，由内错角相等可得，则结论得证；
（2）连接，由是直径可得，解中，等于，由（1）知等于，则有等于，由“三线合一”得到也等于，再解即可．
25．（2024九下·湖南模拟）二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m k n …
（1）① 解关于x的方程：；
② 若，求a的取值范围．
（2）若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围．
【答案】（1）解：①∵，
∴，
由表格可知，当或时，，
∴关于x的方程的解为或；
②把代入中得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且且；
（2）解：由（2）可知，∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，
∴当时，，
∵，
∴，
∴；
当时，，，此时符合题意；
当时，，此时不满足题意；
综上所述，.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）①由二次函数的解析式知方程实质当函数值等于即得到方程，对照表格即可求出方程的两个根；②先利用二次函数图象上点的坐标特征结合表格可把代入到函数解析式中得出等于，再利用表格可分别用含字母的代数式表示出和，再根据已知不等式即可求出字母的取值范围；
（2）当时，可代入点的坐标求得，则抛物线解析式为，即抛物线开口向上，对称轴为直线，则二次函数有最小值，即等于，则等于，此时可分类讨论，当；；时，分别令计算即可．
26．（2024九下·湖南模拟）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小．
该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.
甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点M，N，测得；③ 测得．
乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点E，F，测得；③ 测得．
（1）分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由；
（2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来）
【答案】（1）解：甲同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
甲同学的测量方案可行；
乙同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
乙同学的测量方案可行；
（2）解：测量过程：
（ⅰ）在水塘外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点A处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故水塘的最大宽度为．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（2）测量过程：在水塘外选点，用测角仪在点处测得，在点A处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
1 / 12024年湖南省新中考13校联考数学试题
1．（2024九下·湖南模拟）在实数，0，，中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2024九下·湖南模拟）优美的生态环保图标有利于提醒人们树立和践行绿水青山就是金山银山的理念，建设天蓝、地绿、水清的美好家园．下列生态环保图标是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·湖南模拟）2024年3月20日上午8时55分，鹊桥二号中继星进入远地点高度米的预定地月转移轨道，米用科学记数法可表示为（　　）
A．米 B．米 C．米 D．米
4．（2024九下·湖南模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·湖南模拟）某流域主要江河总体水质良好．下图是该流域主要江河水体污染超标断面统计图，根据超标断面个数，该流域主要江河最严重的污染指标是（　　）
A．氨氮 B．化学需氧量 C．总磷 D．铭（六价）
6．（2024九下·湖南模拟）一次函数，函数值y随x的增大而增大，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·湖南模拟）一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024九下·湖南模拟）如图，用一个卡尺（ ，）测量气缸的内孔直径，量得的长为，则内孔直径的长为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·湖南模拟）如图，在菱形中，对角线与相交于点O，点E是边的中点．若，sin∠，则菱形的面积为（　　）
A．30 B．60 C．96 D．100
10．（2024九下·湖南模拟）如图，已知点E在线段上，，．连接，设，下面三个结论：①；②；③ ，正确结论的序号是（　　）
A．① ② B．① ③ C．② ③ D．① ② ③
11．（2024九下·湖南模拟）计算：( )2=　 　。
12．（2024九下·湖南模拟）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是　 　．
13．（2024九下·湖南模拟）为配制含盐的盐水，已有含盐的盐水，还需要含盐的盐水　 　．
14．（2024九下·湖南模拟）小明设计了如图所示的物理电路图，假设开关都处于断开状态，现随机闭合其中的两个开关，能让小灯泡发光的概率为　 　．
15．（2024九下·湖南模拟）如图，圆锥底面圆的半径r为，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个圆心角θ为的扇形，则圆锥的侧面积为　 　．（用含的式子表示）
16．（2024九下·湖南模拟）如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点P，若，则的度数是　 　度．
17．（2024九下·湖南模拟）如图，某博览会上有一圆形展示区，准备在圆形边缘的五等分点A，B，C，D，E处安装5台相同的监视器，为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要　 　度．
18．（2024九下·湖南模拟）如图，在反比例函数的图象上有，，，，等点，它们的横坐标依次为1，2，3，，2025，分别过这些点作轴与轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，，，，，，则　 　．
19．（2024九下·湖南模拟）解不等式组：
20．（2024九下·湖南模拟）先化简，再求值：，其中
21．（2024九下·湖南模拟）如图，在中，.
（1）尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点D，交于点E；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）已知，求的周长.
22．（2024九下·湖南模拟）某商店对柑橘上市后的市场销售情况进行跟踪调查，当柑橘的销售单价为每件25元时，每天的销售量为50件，销售单价每提高1元，每天的销售量就减少2件．
（1）用适当的函数表示该柑橘的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系，其中；
（2）已知柑橘的进货价格为每件20元，当柑橘的销售单价定为多少时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大？最大利润是多少？
23．（2024九下·湖南模拟）为了有效引导学生学习环保知识，增强环保意识，某校九年级举行第一次“环保知识测试”，并将K班第一次测试成绩数据整理成统计表．
第一次测试成绩
测试成绩x(分)
人数(人) 4 28 8 4 6
请解决问题1：
（1）求该班在第一次“环保知识测试”中，学生测试成绩x（分）为“”的频率；
（2）若该校九年级学生有600人，且各班对环保知识了解程度大体一致，请估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数；
第一次测试后，王老师带领K班学生积极开展了环保主题实践活动活动后，该班参加第二次“环保知识测试”，并将第二次测试成绩分成A：，B：，C： ，D：四组进行统计分析，绘制了各组人数占比扇形统计图．
请解决问题2：
（3）请至少选择两种以上的的统计量，分析比较K班的第一次和第二次的测试数据变化情况，并对王老师带领K班学生开展环保主题实践活动的效果进行评价．
24．（2024九下·湖南模拟）如图，点D是的直径下方圆弧上的一点，连接并延长至点C，连接交于点E，连接交于点G，过点E作于点F，且点F是线段的中点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
25．（2024九下·湖南模拟）二次函数（a，b是实数，且），已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … m k n …
（1）① 解关于x的方程：；
② 若，求a的取值范围．
（2）若，当时，设二次函数的最大值为A，最小值为 B．若，求t的取值范围．
26．（2024九下·湖南模拟）某兴趣小组使用一把皮尺（测量长度略小于）和一台测角仪，测量一个扁平状水塘的最大宽度．皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离（这两点间的距离不大于皮尺的测量长度），测角仪的功能是测量角的大小，即在任一点O处，对其视线可及的P，Q两点，可测得的大小．
该兴趣小组甲、乙两名同学设计了不同的测量方案.
甲同学的测量方案如图1，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点M，N，测得；③ 测得．
乙同学的测量方案如图2，具体操作如下：① 在水塘外选点C，测得；② 分别在上取两点E，F，测得；③ 测得．
（1）分别判断甲、乙两名同学的测量方案是否可行，并说明理由；
（2）请你同时利用皮尺和测角仪，通过测量长度、角度等几何量，利用解直角三角形的知识求水塘的最大宽度，写出你的测量方案及求解过程.（要求：测量得到的长度用字母a，b，c…表示，角度用α，β，…表示，测量方案的示意图在备用图表示出来）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
根据无理数的定义可知，四个数中只有是无理数，
故选：C．
【分析】
无限不循环小数叫无理数，常见的无理数有三类：①类，含的加减乘除算式；②开方开不尽的数；③虽有规律但却是无限不循环的小数．
2．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是中心对称图形，故符合题意；
B、不是中心对称图形，故不符合题意；
C、不是中心对称图形，故不符合题意；
D、不是中心对称图形，故不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B.
【分析】
常用科学记数法把绝对值较大的数字表示成的形式，其中，取这个数字整数部分数字位数与1的差．
4．【答案】C
【知识点】分母有理化；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、不一定成立，原式计算错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】
本题主要考查了分母有理化，二次根式加法计算，积的乘方的逆运算和合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
5．【答案】A
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：由统计图可知，指标氨氮的个数最多，则该流域主要江河最严重的污染指标是氨氮，
故选：A．
【分析】
观察频数分布直方图找到频数最多的指标即可．
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由题意可知：，解得
故答案为：C．
【分析】对于一次函数，当时， y随x的增大而增大，因此列出不等式，解出k即可.
7．【答案】B
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
当时，，解得，
故选：B．
【分析】
先利用待定系数法求出对应的反比例函数解析式，再求出当时的值即可.
8．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴且，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
由两边对应成比例且夹角相等可证，再利用相似比求解即可．
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在菱形中，对角线与相交于点O，
∴，
∵点E是边的中点，
∴，
∵在中，sin∠，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由菱形的对角线互相垂直平分可得OE是Rt斜边上的中线，则BC等于OE的2倍等于10，则AD等于BC等于10；再解Rt可求得OA的值，再利用勾股定理可得OD的值，则对角线AC、BD可求；最后由菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解．
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得
∴，即，故①正确；
如图所示，过点C作于F，则四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，故②正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，故③正确；
故选D．
【分析】
① 由全等三角形的性质得到等于，等于，，则等量代换得，则是等腰直角三角形，则利用勾股定理可证结论正确；
② 过点作于，则四边形是矩形，可得等于，等于，则由三角形两边关系定理得与的和大于，即结论正确；
③ 由① 知与的平方和等于平方的一半，由完全平方公式的特点知与的平方和大于、之积的2倍，等量代换得平方的一半大于、之积的2倍，由于都是正数，则结论正确．
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=5.
【分析】根据二次根式的平方的运算法则计算即可。
12．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
整理可得，解得．
故答案为：．
【分析】
一元二次方程（为常数且）的根的判别式是．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程无实数根．
13．【答案】700
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设还需要含盐的盐水x克，
由题意得，，
解得，
∴还需要含盐的盐水700克，
故答案为：700．
【分析】
设还需要含盐的盐水克，根据溶质总量相等列一元一次方程并解方程即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：设用A、B、C表示三个开关，列表如下：
由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中能使小灯泡发光的结果数有，，，共4种，
∴能使小灯泡发光的概率为，
故答案为：．
【分析】
两步试验可通过画树状图或列表格法求概率，列表格时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
15．【答案】2
【知识点】弧长的计算；圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l，
由题意得，，
∴，
∴，
故答案为：2．
【分析】
先根据圆锥底面圆周长等于其侧面展开图的弧长可求出母线长，再根据扇形面积计算公式计算即可．
16．【答案】165
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴，
故答案为：165．
【分析】
由两直线平行内错角相等可把转化为的邻补角和的邻补角的和即可．
17．【答案】36
【知识点】圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
由题意得，，
∴，
∴为了使5台监视器能够监控整个展区，则监视器的监控角度至少要，
故答案为；36．
【分析】
如图所示，由于整个圆被五等分，因此劣弧AE所对的圆心角为，要使5台监视器能够监控整个展区，则监视器C的监控角最小为的度数，直接利用圆周角定理即可 ．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平移的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，，，，的横坐标依次为1，2，3，2025，
∴阴影矩形的一边长都为1，
记轴于点，轴于点，轴于点，且交于点，如图所示：
将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，则，
把代入得：，即，
∴，
根据反比例函数中的几何意义，可得：，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于反比例函数与两坐标轴和原点围成的矩形面积等于，因此可将面积为，，，的矩形向左平移到面积为的矩形的下方，再利用矩形的面积差求解即可．
19．【答案】解：解不等式得，
解不等式得，
∴．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】本题主要考查了解不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题的关键，分别求解两个不等式，再依据口诀“同大取大、同小取小、大于小的且小于大的取中间、大于大的且小于小的无解”确定不等式组的解集．
20．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先利用分式的混合运算法则进行化简，计算时先通分从而把括号内的异分母分式加法运算转化为同分母分式的加法运算，再把除法运算转化为乘法运算，并对分子分母分别分解因式并约分，化结果为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行计算即可．
21．【答案】（1）如图，直线即为所求；
（2）解：中，，
，
是的垂直平分线，
，
。
。
，
，
的周长为
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）分别以B、C为圆心，大于长为半径画弧，再过两弧交点画直线交AB于点E即可；
（2）先利用勾股定理求得，再利用线段垂直平分线的性质可得，则等边对等角即等于；再由等角的补角相等可得等于，则等角对等边得，从而得出等于，则 周长可求．
22．【答案】（1）解：由题意得，
（2）解：设当柑橘的销售单价为x元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为w元，由题意得，，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为450，
∴柑橘的销售单价定为35元时，该商店销售柑橘每天获得的利润最大，最大利润为450元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
（1）由于单价每提高1元，则每天销量减少2件，当售价为元时，则提高价格元，则每天销量为：件；
（2）当柑橘的销价为元时，该商店销售柑橘每天获得的利润为元，由总利润等于单个利润乘以销量可得是关于的二次函数，由于该二次函数的二次项系数为负，则其有最大值并求出即可．
23．【答案】解：（1），
∴该班在第一次“环保知识测试”中学生测试成绩x（分）为“”的频率为；
（2）人，
∴估计该年级第一次“环保知识测试”成绩在80分以上（不含80分）的学生人数为120人；
（3）从中位数看，该班第一次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，第二次“环保知识测试”成绩的中位数在范围内，
∴从中位数看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
从频率的看，该班第一次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
第二次“环保知识测试”成绩在80分以上的频率为，
∴频率角度看，第二次的测试成绩好于第一次的测试成绩；
∴老师带领学生积极开展环保主题实践活动的效果非常好．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【分析】
（1）频率频数总数；
（2）用600乘以第一次“环保知识测试”中成绩在80分及以上的人数占比即可；
（3）利用中位数和两次成绩在80分以上的频率两个角度出发进行比较即可．
24．【答案】（1）证明：连接，
∵，点F是的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（2）解：连接，
∵是直径，
∴，
∵在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴在中，．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由垂直平分得等于，由等腰三角形的性质结合圆周角定理可得等于，则平行，由内错角相等可得，则结论得证；
（2）连接，由是直径可得，解中，等于，由（1）知等于，则有等于，由“三线合一”得到也等于，再解即可．
25．【答案】（1）解：①∵，
∴，
由表格可知，当或时，，
∴关于x的方程的解为或；
②把代入中得：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴且且；
（2）解：由（2）可知，∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴抛物线的最小值为，且离对称轴越远函数值越大，
∴当时，，
∵，
∴，
∴；
当时，，，此时符合题意；
当时，，此时不满足题意；
综上所述，.
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【分析】
（1）①由二次函数的解析式知方程实质当函数值等于即得到方程，对照表格即可求出方程的两个根；②先利用二次函数图象上点的坐标特征结合表格可把代入到函数解析式中得出等于，再利用表格可分别用含字母的代数式表示出和，再根据已知不等式即可求出字母的取值范围；
（2）当时，可代入点的坐标求得，则抛物线解析式为，即抛物线开口向上，对称轴为直线，则二次函数有最小值，即等于，则等于，此时可分类讨论，当；；时，分别令计算即可．
26．【答案】（1）解：甲同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
甲同学的测量方案可行；
乙同学的测量方案可行，理由如下：
，，
，
，
，
，
，
，
，
乙同学的测量方案可行；
（2）解：测量过程：
（ⅰ）在水塘外选点，如图，用测角仪在点处测得，在点A处测得；
（ⅱ）用皮尺测得．
求解过程：
由测量知，在中，，，．
过点作，垂足为．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故水塘的最大宽度为．
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）根据相似三角形的判定和性质进行回答即可；
（2）测量过程：在水塘外选点，用测角仪在点处测得，在点A处测得；用皮尺测得；求解过程：过点作，垂足为，根据锐角三角函数的定义推得，，，根据，即可求得．
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