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2024年湖南省长沙市中考数学考前冲刺模拟题
1．（2024九下·长沙模拟）的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．
2．（2024九下·长沙模拟）截至目前中国森林面积达到175 000 000公顷，森林覆盖率为18.21％，人工林面积居世界首位，其中数字175 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．179×106 B．17.5×107 C．1.75×108 D．0.175×109
3．（2024九下·长沙模拟）化简： =（　　）
A．0 B．1 C．x D．
4．（2024九下·长沙模拟）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024九下·长沙模拟）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长可能为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
6．（2024九下·长沙模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
B．为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生是所抽取的一个样本
C．为了了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
D．为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是200
7．（2024九下·长沙模拟）在菱形ABCD中，，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
8．（2024九下·长沙模拟）如图，若a∥b，∠1=50°，则∠2＝（　　）
A．50° B．130° C．60° D．120°
9．（2024九下·长沙模拟）利用一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象解关于x的不等式kx+b≤0，若它的解集是x≥﹣2，则一次函数y＝kx+b的图象为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·长沙模拟）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．（2024九下·长沙模拟）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：　 　．
12．（2024九下·长沙模拟）不等式组 的解集为　 　．
13．（2024九下·长沙模拟）如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率　 　．
14．（2024九下·长沙模拟）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为　 　．
15．（2024九下·长沙模拟）AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝　 　cm．
16．（2024九下·长沙模拟）如图，扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是　 　．
17．（2024九下·长沙模拟）计算： ．
18．（2024九下·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
19．（2024九下·长沙模拟）某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．
20．（2024九下·长沙模拟）某学校为了了解学生对新开设的四种社团活动(A．编织，B．厨艺，C．泥塑，D．劳技)的喜好情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的同学选择一项)，将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并填上图中“B”的百分比．
（3）补全条形统计图．
21．（2024九下·长沙模拟）如图，在A岛附近，半径约为250km的范围内是暗礁区，往北300km处有一灯塔B，往西400千米处有一灯塔C，现有一渔船沿CB航行，渔船是否会进入暗礁区？说明理由．
22．（2024九下·长沙模拟）某自行车经营店销售A型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：
(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)今年经过改造升级后，A型车每辆销售价比去年增加400元．已知A型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份A型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
　 型车 型车
进货价格(元/辆) 1000 1100
销售价格(元/辆) 1500
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多，最大利润是多少？
23．（2024九下·长沙模拟）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
24．（2024九下·长沙模拟）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
25．（2024九下·长沙模拟）已知平行四边形OABC，如图1，A（a，b），其中a，b满足，AB与y轴交于点D．
（1）直接写出A点坐标 ；
（2）如图2，点Q，P分别为x，y轴上的点，将△POQ沿PQ折叠使O恰好落在BA边上的E点，过E作EF//y轴交PQ于点T，交OC于点F．
①求证：TF=PD；
②若T（x，y），求x，y的关系式；
（3）如图3，等腰Rt△MND，∠DNM=90°，连MA，S为MA的中点，连NS，MO，探究NS，MO的关系．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是2.
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 175 000 000 =1.75×108.
故答案为：C.
【分析】科学记数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ，
故选C.
4．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形逐项判断解题．
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，所以不能组成三角形．
∴第三边的长为7．
故答案为：B．
【分析】分7为腰长或7为底边两种情况，利用三角形的三边关系判断解题.
6．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】A、∵为了安全，对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查必须逐个检查，对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，不能采用抽样调查的方式，应该采用普查的方式，故A不符合题意；
B、根据样本的定义可知：为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生的身高信息是所抽取的一个样本，故B不符合题意；
C、∵全市中学生人数太多，为了了解全市中学生的睡眠情况，不应该采用普查的方式，应该采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、根据样本容量的定义可知：“为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是200”是正确的，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查，抽样调查，总体，个体，样本，样本容量等对每个选项一一判断即可。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DE交AP于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB，
∵DE是线段AP的垂直平分线，
∴DE⊥AP，OA＝OP，
∴DA＝DP，
∴DP＝CD，故①正确；
∵AE＝EB，AO＝OP，
∴OE//PB，
∴PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴PA2＋PB2＝AB2＝CD2，故②正确；
若∠DCP＝75°，则∠CDP＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；
∵∠ADC＝60°，DA＝DP＝DC，
∴∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，∠CPA＝（360°－60°）＝150°，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设DE交AP于点O，根据垂直平分线的到DA＝DP，然后根据菱形的边长相等判断①；根据勾股定理判断②；利用∠DCP＝75°，逆推得到DP平分∠ADC判断②；根据等边对等角得到∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，然后根据周角求出∠CPA判断④解题即可.
8．【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=50°．
故答案为：A.．
【分析】根据两直线平行，同位角相等解题即可.
9．【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式kx+b≤0的解集是x≥﹣2，
∴x≥﹣2时，y＝kx+b的图象位于x轴的下方，C选项符合，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到x≥﹣2时，一次函数图象位于x轴的下方的图象解题．
10．【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意将9个小球按3个一组分成3组，第一次称两组，
①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组中的其中两个球，若平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边即为重球；
②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边的其中两个球，若平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边即为重球.
故选项为：C.
【分析】由题意将9个小球按3个一组分成3组称，用天平每一次称两组，选重的一边继续称，称两次即可.
11．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式解答即可.
12．【答案】﹣3＜x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得：x＜2，
解②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集是：﹣3＜x＜2．
故答案是：﹣3＜x＜2．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由圆环被分成4个相等的区域，可知吉祥物“冰墩墩”放在区域①、②、③、④的概率是相等的，
因此吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率为：．
故答案为：．
【分析】根据几何图形面积，根据概率公式解题即可．
14．【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得： =﹣，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a，），
∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为8．
【分析】设P的坐标是 推出A的坐标和B的坐标，求出 求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接BO
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，
∴，
∵OE＝cm，BD⊥AC，
∴cm，
∴，，
∵OF⊥BC，
∴，
∴，
如图，
∵OE＝cm，BD⊥AC， ，
∴，
∵OF⊥BC，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】连接BO，当A、O在BD的两侧时，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可。
16．【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形半径长度为r，圆心角为n，
由题意得：，
由②÷①可得：r=24，
将r=24代入①可得：n=150°.
故答案为150°.
【分析】根据扇形的面积和弧长公式计算解题.
17．【答案】解：
=3 +3﹣2
= +3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】用二次根式的性质将各项化简，再合并同类二次根式即可求解。
18．【答案】解∶
=
=，
当，时，原式=．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式、平方差公式及完全平方公式将括号展开，再合并同类项得出化简结果，最后代值计算即可.
19．【答案】解：如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，
设，
在中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
答：旗杆的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，设，在中，根据正切的定义求出DH长，在中，根据正切得到，利用求出x值解题即可.
20．【答案】（1）解：名，
∴这次调查中，一共调查了200名学生
（2）解：，
∴扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为；
，
∴“B”的百分比为，
画图如下：
（3）解：名，
∴C的人数为60名，
补全统计图如下：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据A、B、D的人数之和除以它们得占比和即可得到调查人数即可；
（2）用360度乘以D组的人数占比求出圆心角度数，用B组的人数除以总人数乘以100%求出百分比，然后补全扇形统计图；
（3）求出C组的人数，补全条形统计图解题．
（1）解：名，
∴这次调查中，一共调查了200名学生；
（2）解：，
∴扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为；
，
∴“B”的百分比为，
画图如下：
（3）解：名，
∴C的人数为60名，
补全统计图如下：
21．【答案】解：渔船是会进入暗礁区，理由如下：
过点A作AD⊥BC，
∵AC＝400km，AB＝300km，
∴BC＝ ＝500km，
∵
∴AD＝240km，
∵240km＜250km，
∴会进入暗礁区
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，根据勾股定理求出BC的长，然后利用三角形的面积求出AD的长与250km比较解答即可．
22．【答案】（1）解：（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，则去年A行自行车售价为元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
∴今年1月份的A型自行车售价为1200元
（2）解：设购买A型自行车辆，则型自行车辆，
解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，获得利润做大，此时
(元）
即A型进17辆，型进33辆时获利最多
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，根据题意列分式方程，解方程求出m的值解题；
（2）设购买A型自行车辆，利润为w元，表示出函数关系式，然后求出a的取值范围，利用一次函数的增减性得到利润的最值解题.
（1）解：（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，
则去年A行自行车售价为元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
∴今年1月份的A型自行车售价为1200元；
（2）解：设购买A型自行车辆，则型自行车辆，
解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，获得利润做大，此时
(元）
即A型进17辆，型进33辆时获利最多．
23．【答案】答：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据全等三角形的性质或得AC等于BC，∠EAC等于∠B，AE等于BD，则等量代换可得 AD与AE的平方和等于DE的平方，则可∠EAD为直角，等量代换可得∠ACB也为直角，则△ABC是等腰直角三角形．
24．【答案】（1）1；2
（2）5；3
解：（3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m．
则篱笆长度为：
当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8．
答：至少需要8m的篱笆
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，
∴，
∴
即，当，即x＝1时，函数有最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）∵x＞1，
∴
∴
即，当，即x＝3时，代数式的最小值为5；
故答案为：5，3；
【分析】（1）根据材料中的公式计算解题；
（2）先化简，再运用公式计算解题；
（3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，利用材料公式计算解题．
25．【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，即．
即A点坐标为(5，5)．
（2）①如图，连接TO，设OE、TP交于点G．
由翻折可知，，EG=GO．
∵轴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴线段PT与线段OE互相垂直平分，
∴四边形OPET为菱形，
∴OT=EP．
在和中，
，
∴，
∴．
②由T点坐标为(x，y)可知：，．
再由①可推出．
又∵．
∴．
∴，即．
（3）如图，延长MN至P，使MN=PN，连接DP，AP．延长MO交AP于点Q，设线段NS与MO交与点J，PD与MO交与点K．
根据为等腰直角三角形和所做辅助线可得也为等腰直角三角形．
∴，
由题干可知，．
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵S为MA中点，N为MP中点，
∴线段NS为中位线，
∴，且．
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即NS⊥MO．
综上可知，且NS⊥MO．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
1 / 12024年湖南省长沙市中考数学考前冲刺模拟题
1．（2024九下·长沙模拟）的倒数是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是2.
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数进行解答.
2．（2024九下·长沙模拟）截至目前中国森林面积达到175 000 000公顷，森林覆盖率为18.21％，人工林面积居世界首位，其中数字175 000 000用科学记数法表示为（　　）
A．179×106 B．17.5×107 C．1.75×108 D．0.175×109
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：∵ 175 000 000 =1.75×108.
故答案为：C.
【分析】科学记数法：将一个数字表示成 a×10的n次幂的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，由此即可得出答案.
3．（2024九下·长沙模拟）化简： =（　　）
A．0 B．1 C．x D．
【答案】C
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式= ，
故选C.
4．（2024九下·长沙模拟）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义“把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形逐项判断解题．
5．（2024九下·长沙模拟）已知等腰三角形的两条边长分别是7和3，则第三条边的长可能为（ ）
A．8 B．7 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：分两种情况讨论：
①当7为腰长，3为底边时，三边为7、7、3，能组成三角形，故第三边的长为7，
②当3为腰长，7为底边时，三边为7、3、3，3+3=6＜7，所以不能组成三角形．
∴第三边的长为7．
故答案为：B．
【分析】分7为腰长或7为底边两种情况，利用三角形的三边关系判断解题.
6．（2024九下·长沙模拟）下列说法中正确的是（　　）
A．对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，采用抽样调查的方式
B．为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生是所抽取的一个样本
C．为了了解全市中学生的睡眠情况，应该采用普查的方式
D．为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是200
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】A、∵为了安全，对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查必须逐个检查，对“神舟十三号载人飞船”零部件的检查，不能采用抽样调查的方式，应该采用普查的方式，故A不符合题意；
B、根据样本的定义可知：为了解某市20000名学生的身高情况，从中抽取了1000名学生的身高信息，其中1000名学生的身高信息是所抽取的一个样本，故B不符合题意；
C、∵全市中学生人数太多，为了了解全市中学生的睡眠情况，不应该采用普查的方式，应该采用抽样调查的方式，故C不符合题意；
D、根据样本容量的定义可知：“为检验一批电话手表的质量，从中随机抽取了200枚，则样本容量是200”是正确的，故D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据全面调查，抽样调查，总体，个体，样本，样本容量等对每个选项一一判断即可。
7．（2024九下·长沙模拟）在菱形ABCD中，，点E为AB边的中点，DE是线段AP的垂直平分线，连接DP、BP、CP，下列结论：①DP=CD；②；③；④，其中正确的是（　　）
A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，设DE交AP于O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴DA＝DC＝AB，
∵DE是线段AP的垂直平分线，
∴DE⊥AP，OA＝OP，
∴DA＝DP，
∴DP＝CD，故①正确；
∵AE＝EB，AO＝OP，
∴OE//PB，
∴PB⊥PA，
∴∠APB＝90°，
∴PA2＋PB2＝AB2＝CD2，故②正确；
若∠DCP＝75°，则∠CDP＝30°，
∵∠ADC＝60°，
∴DP平分∠ADC，显然不符合题意，故③错误；
∵∠ADC＝60°，DA＝DP＝DC，
∴∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，∠CPA＝（360°－60°）＝150°，故④正确；
故答案为：C.
【分析】设DE交AP于点O，根据垂直平分线的到DA＝DP，然后根据菱形的边长相等判断①；根据勾股定理判断②；利用∠DCP＝75°，逆推得到DP平分∠ADC判断②；根据等边对等角得到∠DAP＝∠DPA，∠DCP＝∠DPC，然后根据周角求出∠CPA判断④解题即可.
8．（2024九下·长沙模拟）如图，若a∥b，∠1=50°，则∠2＝（　　）
A．50° B．130° C．60° D．120°
【答案】A
【知识点】两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵a∥b，
∴∠1=∠2=50°．
故答案为：A.．
【分析】根据两直线平行，同位角相等解题即可.
9．（2024九下·长沙模拟）利用一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象解关于x的不等式kx+b≤0，若它的解集是x≥﹣2，则一次函数y＝kx+b的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：∵不等式kx+b≤0的解集是x≥﹣2，
∴x≥﹣2时，y＝kx+b的图象位于x轴的下方，C选项符合，
故答案为：C．
【分析】根据图象得到x≥﹣2时，一次函数图象位于x轴的下方的图象解题．
10．（2024九下·长沙模拟）有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：由题意将9个小球按3个一组分成3组，第一次称两组，
①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组中的其中两个球，若平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边即为重球；
②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边的其中两个球，若平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边即为重球.
故选项为：C.
【分析】由题意将9个小球按3个一组分成3组称，用天平每一次称两组，选重的一边继续称，称两次即可.
11．（2024九下·长沙模拟）写出一个在实数范围内能用平方差公式分解因式的多项式：　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】根据平方差公式解答即可.
12．（2024九下·长沙模拟）不等式组 的解集为　 　．
【答案】﹣3＜x＜2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： ，
解①得：x＜2，
解②得：x＞﹣3，
则不等式组的解集是：﹣3＜x＜2．
故答案是：﹣3＜x＜2．
【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的解集．
13．（2024九下·长沙模拟）如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内．吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由圆环被分成4个相等的区域，可知吉祥物“冰墩墩”放在区域①、②、③、④的概率是相等的，
因此吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率为：．
故答案为：．
【分析】根据几何图形面积，根据概率公式解题即可．
14．（2024九下·长沙模拟）如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则△PAB的面积为　 　．
【答案】8
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P在y=上，
∴|xp|×|yp|=|k|=1，
∴设P的坐标是（a，）（a为正数），
∵PA⊥x轴，
∴A的横坐标是a，
∵A在y=﹣上，
∴A的坐标是（a，﹣），
∵PB⊥y轴，
∴B的纵坐标是，
∵B在y=﹣上，
∴代入得： =﹣，
解得：x=﹣3a，
∴B的坐标是（﹣3a，），
∴PA=|﹣（﹣）|=，PB=|a﹣（﹣3a）|=4a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，
∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是：PA×PB=××4a=8．
故答案为8．
【分析】设P的坐标是 推出A的坐标和B的坐标，求出 求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可.
15．（2024九下·长沙模拟）AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC，过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，OE＝cm，则OF＝　 　cm．
【答案】或
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接BO
∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，BD＝12cm，
∴，
∵OE＝cm，BD⊥AC，
∴cm，
∴，，
∵OF⊥BC，
∴，
∴，
如图，
∵OE＝cm，BD⊥AC， ，
∴，
∵OF⊥BC，
∴，
∴.
故答案为：或.
【分析】连接BO，当A、O在BD的两侧时，根据垂径定理求出BE，根据勾股定理求出OB，再根据勾股定理计算即可。
16．（2024九下·长沙模拟）如图，扇形的弧长是，面积是，则此扇形的圆心角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设扇形半径长度为r，圆心角为n，
由题意得：，
由②÷①可得：r=24，
将r=24代入①可得：n=150°.
故答案为150°.
【分析】根据扇形的面积和弧长公式计算解题.
17．（2024九下·长沙模拟）计算： ．
【答案】解：
=3 +3﹣2
= +3
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】用二次根式的性质将各项化简，再合并同类二次根式即可求解。
18．（2024九下·长沙模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解∶
=
=，
当，时，原式=．
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式、平方差公式及完全平方公式将括号展开，再合并同类项得出化简结果，最后代值计算即可.
19．（2024九下·长沙模拟）某校研究性学习小组测量学校旗杆的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为，在教学楼五楼D处测得旗杆顶部的仰角为，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知米，求旗杆的高度．
【答案】解：如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，
设，
在中，，
∴，
∴，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
解得，，
∴，
答：旗杆的高度为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】如图，过点D作于点H，则四边形是矩形，设，在中，根据正切的定义求出DH长，在中，根据正切得到，利用求出x值解题即可.
20．（2024九下·长沙模拟）某学校为了了解学生对新开设的四种社团活动(A．编织，B．厨艺，C．泥塑，D．劳技)的喜好情况，在全校范围内随机抽取若干名学生进行问卷调查(每个被调查的同学选择一项)，将数据进行整理并绘制成以下两幅不完整的统计图．
（1）这次调查中，一共调查了多少名学生？
（2）求出扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数，并填上图中“B”的百分比．
（3）补全条形统计图．
【答案】（1）解：名，
∴这次调查中，一共调查了200名学生
（2）解：，
∴扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为；
，
∴“B”的百分比为，
画图如下：
（3）解：名，
∴C的人数为60名，
补全统计图如下：
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【分析】（1）根据A、B、D的人数之和除以它们得占比和即可得到调查人数即可；
（2）用360度乘以D组的人数占比求出圆心角度数，用B组的人数除以总人数乘以100%求出百分比，然后补全扇形统计图；
（3）求出C组的人数，补全条形统计图解题．
（1）解：名，
∴这次调查中，一共调查了200名学生；
（2）解：，
∴扇形统计图中“D”所在扇形的圆心角的度数为；
，
∴“B”的百分比为，
画图如下：
（3）解：名，
∴C的人数为60名，
补全统计图如下：
21．（2024九下·长沙模拟）如图，在A岛附近，半径约为250km的范围内是暗礁区，往北300km处有一灯塔B，往西400千米处有一灯塔C，现有一渔船沿CB航行，渔船是否会进入暗礁区？说明理由．
【答案】解：渔船是会进入暗礁区，理由如下：
过点A作AD⊥BC，
∵AC＝400km，AB＝300km，
∴BC＝ ＝500km，
∵
∴AD＝240km，
∵240km＜250km，
∴会进入暗礁区
【知识点】勾股定理的实际应用-（台风、噪音、触礁、爆破）影响范围问题
【解析】【分析】过点A作AD⊥BC，根据勾股定理求出BC的长，然后利用三角形的面积求出AD的长与250km比较解答即可．
22．（2024九下·长沙模拟）某自行车经营店销售A型，型两种品牌自行车，今年进货和销售价格如下表：
(今年1年内自行车的售价与进价保持不变)今年经过改造升级后，A型车每辆销售价比去年增加400元．已知A型车去年1月份销售总额为3.6万元，今年1月份A型车的销售数量与去年1月份相同，而销售总额比去年1月份增加．
　 型车 型车
进货价格(元/辆) 1000 1100
销售价格(元/辆) 1500
（1）若设今年1月份的型自行车售价为元/辆，求的值？
（2）该店计划8月份再进一批型和型自行车共50辆，且型车数量不超过型车数量的2倍，应如何进货才能使这批自行车获利最多，最大利润是多少？
【答案】（1）解：（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，则去年A行自行车售价为元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
∴今年1月份的A型自行车售价为1200元
（2）解：设购买A型自行车辆，则型自行车辆，
解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，获得利润做大，此时
(元）
即A型进17辆，型进33辆时获利最多
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，根据题意列分式方程，解方程求出m的值解题；
（2）设购买A型自行车辆，利润为w元，表示出函数关系式，然后求出a的取值范围，利用一次函数的增减性得到利润的最值解题.
（1）解：（1）设今年1月份的A型自行车售价为元，
则去年A行自行车售价为元．
根据题意，得，
解得：，
经检验，是所列分式方程的解，
∴今年1月份的A型自行车售价为1200元；
（2）解：设购买A型自行车辆，则型自行车辆，
解得：，且为整数
所以利润
因为，所以随的增大而减小，
∴当时，获得利润做大，此时
(元）
即A型进17辆，型进33辆时获利最多．
23．（2024九下·长沙模拟）如图，D为AB上一点，△ACE≌△BCD，AD2+DB2=DE2，试判断△ABC的形状，并说明理由.
【答案】答：△ABC是等腰直角三角形，
理由是：∵△ACE≌△BCD，
∴AC=BC，∠EAC=∠B，AE=BD，
∵AD2+DB2=DE2，
∴AD2+AE2=DE2，
∴∠EAD=90°，
∴∠EAC+∠DAC=90°，
∴∠DAC+∠B=90°，
∴∠ACB=180°﹣90°=90°，
∵AC=BC，
∴△ABC是等腰直角三角形．
【知识点】等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据全等三角形的性质或得AC等于BC，∠EAC等于∠B，AE等于BD，则等量代换可得 AD与AE的平方和等于DE的平方，则可∠EAD为直角，等量代换可得∠ACB也为直角，则△ABC是等腰直角三角形．
24．（2024九下·长沙模拟）阅读材料：设a＞0，b＞0．∵（）2≥0，∴a﹣2+≥0，即a+（当＝，即a＝时，取“＝”）．由此可得结论：若a＞0，b＞0，则当a＝时，a+有最小值2．
理解概念：（1）若x＞0，则x＝ 时，函数x+有最小值为 ．
拓展应用：（2）若x＞1，则代数式x+的最小值为 ，此时x＝ ；
解决问题：（3）学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一边AD靠墙（如图，墙足够长），面积为8m2，求至少需要多少米的篱笆？
【答案】（1）1；2
（2）5；3
解：（3）设AB＝xm，则CD＝xm，BC＝m．
则篱笆长度为：
当且仅当x＝2时，2x+有最小值是8．
答：至少需要8m的篱笆
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的应用
【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，
∴，
∴
即，当，即x＝1时，函数有最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）∵x＞1，
∴
∴
即，当，即x＝3时，代数式的最小值为5；
故答案为：5，3；
【分析】（1）根据材料中的公式计算解题；
（2）先化简，再运用公式计算解题；
（3）设AB＝xm，根据长方形的周长列式，利用材料公式计算解题．
25．（2024九下·长沙模拟）已知平行四边形OABC，如图1，A（a，b），其中a，b满足，AB与y轴交于点D．
（1）直接写出A点坐标 ；
（2）如图2，点Q，P分别为x，y轴上的点，将△POQ沿PQ折叠使O恰好落在BA边上的E点，过E作EF//y轴交PQ于点T，交OC于点F．
①求证：TF=PD；
②若T（x，y），求x，y的关系式；
（3）如图3，等腰Rt△MND，∠DNM=90°，连MA，S为MA的中点，连NS，MO，探究NS，MO的关系．
【答案】解：（1）∵，
∴，
∴，即．
即A点坐标为(5，5)．
（2）①如图，连接TO，设OE、TP交于点G．
由翻折可知，，EG=GO．
∵轴，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
∴，
∴线段PT与线段OE互相垂直平分，
∴四边形OPET为菱形，
∴OT=EP．
在和中，
，
∴，
∴．
②由T点坐标为(x，y)可知：，．
再由①可推出．
又∵．
∴．
∴，即．
（3）如图，延长MN至P，使MN=PN，连接DP，AP．延长MO交AP于点Q，设线段NS与MO交与点J，PD与MO交与点K．
根据为等腰直角三角形和所做辅助线可得也为等腰直角三角形．
∴，
由题干可知，．
∴，，
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
∵S为MA中点，N为MP中点，
∴线段NS为中位线，
∴，且．
∴．
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即NS⊥MO．
综上可知，且NS⊥MO．
【知识点】三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；相似三角形的判定-AA
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