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2024年湖南省衡阳市八中教育集团中考模拟数学试题
1．（2024九下·衡阳模拟）在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四中液体的沸点如下表：
液体 液态氧 液态氮 酒精 水
沸点
其中沸点最低的液体为（　　）
A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水
【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴沸点最低的液体为液态氮．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的比较大小解题即可．
2．（2024九下·衡阳模拟）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为468000米/分，把“468000”用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．（2024九下·衡阳模拟）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题．
4．（2024九下·衡阳模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据单项式与单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式运算法则逐项判断解题即可．
5．（2024九下·衡阳模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴的周长：的周长，
∵的周长为8，
∴的周长为20，
故选：B．
【分析】
位似图形是特殊的相似图形，其位似比等于相似比，周长比等于位似比．
6．（2024九下·衡阳模拟）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C．当，时，
四边形可能为等腰梯形，
所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即平行四边形的概念，故结论正确；
B、由两直线平行同旁内角互补结合等量代换可得另一组边分别平行，回归到概念，故结论正确；
C、四边形可能是平行四边形也可能是梯形，故结论错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形判定定理之一，故结论正确．
7．（2024九下·衡阳模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量x的值即可．
8．（2024九下·衡阳模拟）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁
人数（个）
2 8 3
在下列统计量，不受影响的是（　　）
A．中位数，方差 B．众数，方差
C．平均数，中位数 D．中位数，众数
【答案】D
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：岁，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数的定义即可求出答案.
9．（2024九下·衡阳模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人为（x-5）人.
∵第二次每人所得与第一次相同.
∴得到方程为：
故答案为：D.
【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人为（x-5）人，通过题意得出第二次每人所得与第一次相同，即可列出方程.
10．（2024九下·衡阳模拟）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
，，
，
在第四象限，
故选D．
【分析】
由于抛物线开口向上，所以；因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以，即，则在第四象限．
11．（2024九下·衡阳模拟）在函数 中，自变量的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．（2024九下·衡阳模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
13．（2024九下·衡阳模拟）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
可把问题抽象为平行线问题，则由两直线平行内错角相等可把转化于的补角上即可．
14．（2024九下·衡阳模拟）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为　 　．
【答案】5
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度得到直线，
将点代入得：，
故答案为：5.
【分析】根据平移的规律先求出直线，再将点代入计算求解即可。
15．（2024九下·衡阳模拟）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线统计图．该事件最有可能是　 　（填序号）．
①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取1个球是红球．
【答案】③
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： ①多次经过该路口时，看见红灯的概率为；
②掷一枚硬币，正面朝上的概率为；
③从中任取1个球是红球的概率为，
由折线统计图可知发生的频率接近，
故该事件最有可能是③，
故答案为：③．
【分析】根据统计图得到发生的频率接近，然后求出每个事件的概率判断解题．
16．（2024九下·衡阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则实数 m的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
【分析】
若关于的一元二次方程，则根的送别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．（2024九下·衡阳模拟）如图，内接于，是的直径，，则　 　．
【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆周角定理解题即可．
18．（2024九下·衡阳模拟）如图，在正方形中，E为上的点，连接．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点H，交的延长线于点G．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点H，交的延长线于点G，
∴是的角平分线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
在中，
．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴．
在中，．
故答案为：．
【分析】根据题中作图判断EP是 的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC，再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论.
19．（2024九下·衡阳模拟）先化简再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先把括号内的异分母分式减法转化为同分母分式减法，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化原式为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行运算即可.
20．（2024九下·衡阳模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由线段中点的性质可得，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，结合已知用边角边可证 ABC≌ BDE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可求解．
21．（2024九下·衡阳模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
22．（2024九下·衡阳模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，
∴解得，
点坐标为，
把代入得，
解方程组得，
一次函数解析式为；
当时，，
则AB与y轴的交点坐标为C，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设AB与y轴相交于点C，求出点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC计算解题．
23．（2024九下·衡阳模拟）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次参与问卷调查的初中生共有 人，将条形统计图补充完整；
（2）“较差”所对应的圆心角度数为 度：
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
【答案】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
抽取的学生中良好的人数为：（人），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：80；
（2）36
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）“较差”所对应的圆心角度数为，
故答案为：36°．
【分析】（1）根据优秀的人数除以占比求出总人数，然后利用总人数减去其它等级的人数得到良好的人数，补全条形统计图；
（2）用360°乘以“较差”的人数的占比求出“较差”所对应的圆心角度数；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可．
（1）解：抽取的学生人数为：（人），
抽取的学生中良好的人数为：（人），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：80；
（2）“较差”所对应的圆心角度数为．
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
24．（2024九下·衡阳模拟）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时．
求：
（1）弹袋B转过的路程．
（2）杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米．
（参考数据：）
【答案】（1）解：∵米，∴弹袋B转过的路程（米），
答：弹袋B转过的路程为米
（2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，
在中，∵米，
∴（米），
，
在中，
∵，米，
∴（米），
∴（米），
即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据弧长公式求解即可；
（2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可．
25．（2024九下·衡阳模拟）如图，在⊙O中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径交于点F，连结交于点G，连结，连结交于点N，过点C的切线交的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若⊙O的半径为5，，求的长．
【答案】（1）解：∵点C，D是的三等分点，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的腿轮得到，利用切线的性质得到，即可得到结论；
（2）利用ASA得到，即可得到，设，根据勾股定理求出AG长，然后表示正切即可；
（3）根据勾股定理得到，求出x值，然后推导，得到即可解题．
（1）∵点C，D是的三等分点，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
26．（2024九下·衡阳模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
【答案】（1）解：在一次函数中，当时，，∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：直线过定点，理由如下：设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
1 / 12024年湖南省衡阳市八中教育集团中考模拟数学试题
1．（2024九下·衡阳模拟）在标准大气压下，液态氧、液态氮、酒精、水四中液体的沸点如下表：
液体 液态氧 液态氮 酒精 水
沸点
其中沸点最低的液体为（　　）
A．液态氧 B．液态氮 C．酒精 D．水
2．（2024九下·衡阳模拟）2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功．在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为468000米/分，把“468000”用科学记数法表示应是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024九下·衡阳模拟）下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2024九下·衡阳模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·衡阳模拟）如图，和是以点为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（　　）
A．16 B．20 C．24 D．28
6．（2024九下·衡阳模拟）如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（　　）
A． B． C． D．
7．（2024九下·衡阳模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．（2024九下·衡阳模拟）某校篮球队有20名队员，统计所有队员的年龄制成如下的统计表，表格不小心被滴上了墨水，看不清13岁和14岁队员的具体人数．
年龄（岁） 12岁 13岁 14岁 15岁 16岁
人数（个）
2 8 3
在下列统计量，不受影响的是（　　）
A．中位数，方差 B．众数，方差
C．平均数，中位数 D．中位数，众数
9．（2024九下·衡阳模拟）数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分100元钱，每人分得若干，若再加上5人，平分150元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第二次分钱的人数．设第二次分钱的人数为x人，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
10．（2024九下·衡阳模拟）已知，二次函数的图象如图所示，则点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
11．（2024九下·衡阳模拟）在函数 中，自变量的取值范围是　 　.
12．（2024九下·衡阳模拟）因式分解：　 　．
13．（2024九下·衡阳模拟）在两千多年前，我们的先祖就运用杠杆原理发明了木杆秤，学名叫作戥子．如图，这是一杆古秤在称物时的状态，已知，则的度数为　 　．
14．（2024九下·衡阳模拟）若直线向上平移3个单位长度后经过点，则的值为　 　．
15．（2024九下·衡阳模拟）某数学兴趣小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线统计图．该事件最有可能是　 　（填序号）．
①一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，多次经过该路口时，看见红灯的概率；
②掷一枚硬币，正面朝上；
③暗箱中有1个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取1个球是红球．
16．（2024九下·衡阳模拟）若关于x的一元二次方程有两个相等实数根，则实数 m的值为　 　．
17．（2024九下·衡阳模拟）如图，内接于，是的直径，，则　 　．
18．（2024九下·衡阳模拟）如图，在正方形中，E为上的点，连接．以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点H，交的延长线于点G．若，，则的长为　 　．
19．（2024九下·衡阳模拟）先化简再求值：，其中．
20．（2024九下·衡阳模拟）如图，B是的中点，，.求证：．
21．（2024九下·衡阳模拟）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元：
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
22．（2024九下·衡阳模拟）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点两点．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）求的面积；
23．（2024九下·衡阳模拟）“青年大学习”是由共青团中央发起，广大青年参与，通过学习来提升自身理论水平、思维层次的行动．某校为了解九年级学生学习“青年大学习”的情况，随机抽取部分九年级学生进行了问卷调查，按照调查结果，将学习情况分为优秀、良好、合格、较差四个等级．学校绘制了如下不完整的统计图，根据图中信息解答下列问题：
（1）本次参与问卷调查的初中生共有 人，将条形统计图补充完整；
（2）“较差”所对应的圆心角度数为 度：
（3）该校某班有4名同学（2名男同学、2名女同学）在调查中获得“优秀”等级，班主任将从这4名同学中随机选取2名同学，代表班级参加学校组织的“青年大学习”演讲大赛，请用列表或画树状图的方法，求所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率．
24．（2024九下·衡阳模拟）如图1，投石机是古代威力巨大的武器，是现代大炮的鼻祖，我国在汉朝时期就被大量运用于战场．它由杠杆、支架、弹袋和重锤等部件组成．其原理是通过弹力使杠杆绕着支点A旋转把石头甩出，以达到伤敌的效果．如图2是投石机的示意图，杠杆米，杠杆初始位置与地面成角，即．当杠杆甩出石头停止旋转时．
求：
（1）弹袋B转过的路程．
（2）杠杆旋转停止时弹袋B距离地面多少米．
（参考数据：）
25．（2024九下·衡阳模拟）如图，在⊙O中，是一条不过圆心O的弦，点C，D是的三等分点，直径交于点F，连结交于点G，连结，连结交于点N，过点C的切线交的延长线于点H．
（1）求证：；
（2）若，求的值；
（3）若⊙O的半径为5，，求的长．
26．（2024九下·衡阳模拟）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线经过B、C两点，与x轴的另一交点为点A．
（1）如图1，求抛物线的解析式；
（2）如图2，点D为直线上方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点E，求的最大值；
（3）如图3，P、Q分别为抛物线上第一、四象限两动点，设直线解析式为，连接、，分别交y轴于M、N两点，若在P、Q两点运动过程中，始终有与的积等于2．试探究直线是否过某一定点．若是，请求出该定点坐标；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数大小比较的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴沸点最低的液体为液态氮．
故答案为：B．
【分析】根据有理数的比较大小解题即可．
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A.
【分析】根据用科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成的形式，其中1≤|a|<10 ， n等于原数的整数位数减去1，据此可得答案.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A.该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；
B.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C.该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D.该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意．
故答案为：A．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的定义“把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形”逐项判断解题．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；完全平方公式及运用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，故不正确；
B．，故不正确；
C．，正确；
D．，故不正确；
故答案为：C．
【分析】根据单项式与单项式的乘法，同底数幂的除法，积的乘方，完全平方公式运算法则逐项判断解题即可．
5．【答案】B
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，
∴，
∴，
∴的周长：的周长，
∵的周长为8，
∴的周长为20，
故选：B．
【分析】
位似图形是特殊的相似图形，其位似比等于相似比，周长比等于位似比．
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
B．∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意；
C．当，时，
四边形可能为等腰梯形，
所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意；
D．∵，，
∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】
A、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即平行四边形的概念，故结论正确；
B、由两直线平行同旁内角互补结合等量代换可得另一组边分别平行，回归到概念，故结论正确；
C、四边形可能是平行四边形也可能是梯形，故结论错误；
D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，是平行四边形判定定理之一，故结论正确．
7．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解： 观察图象可得，当或时，一次函数的图象位于反比例函数图象的上方，
∴不等式的解集为或．
故答案为：A．
【分析】观察函数图象得到一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量x的值即可．
8．【答案】D
【知识点】中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：由表可知，年龄为13岁与年龄为14岁的频数和为，
故该组数据的众数为15岁，
总数为20，按大小排列后，第10个和第11个数为15，15，
则中位数为：岁，
故统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故答案为：D．
【分析】根据中位数，众数的定义即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人为（x-5）人.
∵第二次每人所得与第一次相同.
∴得到方程为：
故答案为：D.
【分析】设第二次分钱的人数为x人，则第一次分钱的人为（x-5）人，通过题意得出第二次每人所得与第一次相同，即可列出方程.
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由图可知二次函数的图象开口向上，对称轴在y轴右侧，
，，
，
在第四象限，
故选D．
【分析】
由于抛物线开口向上，所以；因为抛物线的对称轴在轴右侧，所以，即，则在第四象限．
11．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由题意可得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：.
【分析】先提取公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可．
13．【答案】
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，依题意，，
∴，
∵，，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
可把问题抽象为平行线问题，则由两直线平行内错角相等可把转化于的补角上即可．
14．【答案】5
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：将直线向上平移3个单位长度得到直线，
将点代入得：，
故答案为：5.
【分析】根据平移的规律先求出直线，再将点代入计算求解即可。
15．【答案】③
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解： ①多次经过该路口时，看见红灯的概率为；
②掷一枚硬币，正面朝上的概率为；
③从中任取1个球是红球的概率为，
由折线统计图可知发生的频率接近，
故该事件最有可能是③，
故答案为：③．
【分析】根据统计图得到发生的频率接近，然后求出每个事件的概率判断解题．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得，
即的值为．
故答案为：．
【分析】
若关于的一元二次方程，则根的送别式；当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
17．【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：是的直径，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】利用直径所对的圆周角是直角得到，然后根据直角三角形的两锐角互余求出的度数，再根据圆周角定理解题即可．
18．【答案】
【知识点】正方形的性质；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵以点E为圆心，以任意长为半径作弧分别交，于点N，M，再分别以M，N为圆心，以大于长为半径作弧，两弧在内交于点P，连接并延长交于点H，交的延长线于点G，
∴是的角平分线，
∴．
∵四边形是正方形，
∴．
∵，
∴．
在中，
．
∵，
∴，，
∴，
∴．
∴，
∴．
在中，．
故答案为：．
【分析】根据题中作图判断EP是 的角平分线，利用线段比和勾股定理求出EC，再利用角平分线的性质和平行线的性质得到CG，利用相似三角形的判定和性质求出DH，最后利用勾股定理得结论.
19．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先把括号内的异分母分式减法转化为同分母分式减法，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化原式为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行运算即可.
20．【答案】证明：∵B是的中点，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】由线段中点的性质可得，由平行线的性质“两直线平行同位角相等”可得，结合已知用边角边可证 ABC≌ BDE，根据全等三角形的性质“全等三角形的对应角相等”即可求解．
21．【答案】（1）解：设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，
可得方程，
解得，
原方程的解为，
答：甲种书的单价为35元，乙种书的单价为30元．
（2）解：设购买甲种书本，则购买乙种书本，
根据题意可得，
解得，
故该校最多可以购买甲种书40本，
答：该校最多可以购买甲种书40本．
【知识点】二元一次方程组的其他应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价为x元，乙种书的单价为y元，根据2本甲种书的价格1本乙种书的价格；3本甲种书的价格2本乙种书的价格，列出方程组，求得方程组的解，即可得到答案；
（2）设购买甲种书本，得到购买乙种书本，根据购买甲种书的总价购买乙种书的总价，列出不等式，求得不等式的解集，即可得到答案.
22．【答案】解：把代入得，
反比例函数解析式为，
把代入得，
∴解得，
点坐标为，
把代入得，
解方程组得，
一次函数解析式为；
当时，，
则AB与y轴的交点坐标为C，
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）设AB与y轴相交于点C，求出点C的坐标，然后利用S△AOB=S△AOC+S△BOC计算解题．
23．【答案】（1）解：抽取的学生人数为：（人），
抽取的学生中良好的人数为：（人），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：80；
（2）36
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）“较差”所对应的圆心角度数为，
故答案为：36°．
【分析】（1）根据优秀的人数除以占比求出总人数，然后利用总人数减去其它等级的人数得到良好的人数，补全条形统计图；
（2）用360°乘以“较差”的人数的占比求出“较差”所对应的圆心角度数；
（3）画树状图得到所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，利用概率公式解题即可．
（1）解：抽取的学生人数为：（人），
抽取的学生中良好的人数为：（人），
将条形统计图补充完整如下：
故答案为：80；
（2）“较差”所对应的圆心角度数为．
（3）画树状图如图：
共有12个等可能的结果，所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的结果有8个，
则所选两位同学恰好是1名男同学和1名女同学的概率为．
24．【答案】（1）解：∵米，∴弹袋B转过的路程（米），
答：弹袋B转过的路程为米
（2）解：过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，
在中，∵米，
∴（米），
，
在中，
∵，米，
∴（米），
∴（米），
即杠杆旋转停止时弹袋B距离地面米
【知识点】弧长的计算；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据弧长公式求解即可；
（2）过点A作于点F，过点作，交的延长线于点E，先解得到米，再求出，进而解得到米，最后求出的长即可．
25．【答案】（1）解：∵点C，D是的三等分点，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
【知识点】圆周角定理；切线的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）根据垂径定理的腿轮得到，利用切线的性质得到，即可得到结论；
（2）利用ASA得到，即可得到，设，根据勾股定理求出AG长，然后表示正切即可；
（3）根据勾股定理得到，求出x值，然后推导，得到即可解题．
（1）∵点C，D是的三等分点，
∴，
∵是⊙O的直径，
∴，
∵是⊙O的切线，
∴，
∴．
（2）如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，，
在中，，
即，
∴，
∴，
∴．
（3）如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，
即，
解得，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，．
26．【答案】（1）解：在一次函数中，当时，，∴，
当时，，
∴，
将点B、C代入中，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为
（2）解：设，过点D作轴交于G点，过点A作轴交于H点，如图，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵点D为直线上方抛物线上，
∴，
当时，有最大值，最大值为
（3）解：直线过定点，理由如下：设直线的解析式为，，，
当时，，，
设直线的解析式为，直线的解析式为，则，
当时，，，
当时，，，
∵，
∴，
∴，
整理得，
∴直线经过点
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-线段周长问题
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