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湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）2024年中考三模数学试题
1．（2024·长沙模拟）春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024·长沙模拟）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024·长沙模拟）估算的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
4．（2024·长沙模拟） 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点的距离最短 D．以上说法都不对
5．（2024·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2024·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
7．（2024·长沙模拟）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（　　）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
8．（2024·长沙模拟）如图，已知四边形内接于，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024·长沙模拟）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，则总人数可表示为（　　）
A．4（x﹣1） B．4（x+1） C．2x﹣8 D．2（x+1）+8
10．（2024·长沙模拟）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．（2024·长沙模拟）化简的结果是　 　．
12．（2024·长沙模拟）一个多边形的内角和等于900°，这个多边形的边数是　 　．
13．（2024·长沙模拟）某数学兴趣小组做“任意拋掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意拋掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为　 　．（结果精确到0.1）
14．（2024·长沙模拟）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是　 　．
15．（2024·长沙模拟）若a是一元二次方程的一个根，则的值是　 　．
16．（2024·长沙模拟）为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是　 　．
17．（2024·长沙模拟）计算：．
18．（2024·长沙模拟）解不等式组：
19．（2024·长沙模拟）人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空： ；
（2）求的度数．
20．（2024·长沙模拟）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节、重五节、天中节等，日期在每年农历五月初五，是集祈福辟邪、拜神祭祖、欢庆饮食和娱乐为一体的民俗大节．某校今年6月开设了以“端午”为主题的活动课程，每位学生可在“折纸龙”、“做香囊、“采艾叶””与“包粽子”四门课程中任意且只选择其中一门，学校统计调查了本校部分学生的选课情况，小明据此绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求本次被调查的学生人数．
（2）该校共有2000名学生，若每间教室最多可安排40名学生，试估计开设“包粽子“课程的教室至少需要几间．
21．（2024·长沙模拟）如图，在扇形中，，，分别以A、B两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，连接与弧交于点P，连接与交于点D．
（1）求证：射线为的角平分线；
（2）求线段的长度．
22．（2024·长沙模拟）今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一，4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右，长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．
（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）
①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．（　　）
②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．（　　）
（2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次，若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率．
23．（2024·长沙模拟）如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的长．
24．（2024·长沙模拟）如图1，A、B、C是⊙O上三点，，，延长，交于点E，过点O作的平行线交射线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的长；
（3）设的长为x，记，，，四边形的面积分别为，，，．
小乐：存在实数x，使得成立；
小善：对于任意实数x，都有成立．
请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理．
25．（2024·长沙模拟）我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点、满足，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．
（1）判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“√”，错的打“×”．
①（　　　）；
②（　　　）；
③（　　　）；
（2）是否存在A、B两点既是一次函数上的“冲刺点”，又是二次函数上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由．
（3）若“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1，若以A、B为顶点的正方形边长为1，求c值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、∵该图是中心对称图形，∴A符合题意；
B、∵该图不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图不是中心对称图形，∴D不符合题意；故答案为：A.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故选B．
【分析】
常用科学记数法把绝对值较小的数字表示成的形式，其中，取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由于62夹在两个连续平方数49与64之间，则62的算术平方根必然在7与8之间，则必然介于5和6之间 ．
4．【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：由题意可得，这样做的道理为“两点确定一条直线”，
故答案为：B.
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可求解.
5．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-2x3）2=4x6，故此选项计算正确，符合题意；
B、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、x8÷x2=x6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算可判断C选项；完全平方公式的展开式是一个三项式，据此可判断D选项.
6．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：因为我国中小学生人数众多，其睡眠情况也不需要特别精确，
所以对我国中小学生的睡眠情况的调查，宜采用抽样调查，故选项A不正确；
因为B中数据1，2，5，5，5，3，3，重复出现次数最多的是5，平均数为，故该组数据的众数与平均数都不是3，
故选项B说法不正确；
因为0.01＜0.1，方差越小，波动越小，数据越稳定，
所以甲组数据比乙组数据稳定，故选项C说法正确；
因为抛掷硬币正面朝上属于随机事件，抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面朝上”
故选项D说法不正确.
故答案为：C.
【分析】抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断A；找出出现次数最多的数据可得众数，求出数据之和，然后除以数据的个数可得平均数，据此判断B；根据方差越小，波动越小可判断C；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，据此可判断D.
7．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
乙的角和边b与的角和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等，
故选：B．
【分析】
A、两边且一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不符全题意；
B、两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即“ASA”，符合题意；
C、甲不正确，不符合题意；
D、乙正确，不符合题意．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
由于圆内接四边形对角互补可得，再根据圆周角定理可知等于的2倍．
9．【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵有x辆车，
∴总人数为4（x﹣1）或2x+8.
故答案为：A.
【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为4 (x-1)，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为2x+8.
10．【答案】A
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【分析】
①由图象可知：当y最大时，x为0；当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，由于汽车是匀速行驶，故函数是一次函数，符合题意；
②由图象可知，当y最大时，x为0；当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，由于水是匀速排放，故函数是一次函数，符合题意；
③由于矩形面积y是其中一条边长x的二次函数，则图象应该是抛物线而不是直线，故不符合题意．
11．【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把分式的分子因式分解，然后月份化简解题．
12．【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，根据题意，
可得：，
解得：，
所以，这个多边形的边数是7．
故答案为：7．
【分析】利用多边形内角和公式列方程解题即可．
13．【答案】0.4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为，，，，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.40左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故答案为：0.4.
【分析】根据大量重复实验频率稳定的数值即为概率解题即可．
14．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理得：母线
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线，然后代入公式计算解题．
15．【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2+2a=3，待求式可变形为2(a2+2a)，然后代入计算即可.
16．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图， 连结.
则，
又
∴，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】
连结，由切线长定理可得等于，且等于等于，则由“HL”可证，借助三角形的特殊角及全等的性质可得等于，最后解即可．
17．【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值以及二次根式的化简等运算法则．
18．【答案】解：
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞-4，
所以不等式组的解集为：-4＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”求出公共部分即可．
19．【答案】（1）
（2）
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】
解：（1）
由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
（2）
由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）由折叠的性质可知，，则；
（2）由于在中，可转化为的正弦值，因而可求得的度数，再直角三角形两锐角互余即可得解.
20．【答案】（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图如下：
（2）解：（间），
答：估计开设“包粽子“课程的教室至少需要18间
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用“包粽子”的人数除以占比求出被调查的总人数，再根据总人数减去其他类型的人数得到选择“采艾叶”的人数，补全统计图；
（2）用2000乘“包粽子”的占比，再除以40解答．
（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，
∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图如下：
（2）（间），
答：估计开设“包粽子“课程的教室至少需要18间．
21．【答案】（1）证明：连接，，
由作图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的角平分线
（2）解：∵，为的平分线，
∴，，
∴．
在中，，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS得到，根据全等三角形的对应角相等得到结论．
（2）根据三线合一得到，，然后根据预选的定义得到OD长解题即可．
（1）证明：连接，，
由作图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的角平分线．
（2）解：∵，为的平分线，
∴，，
∴．
在中，，
∵，
∴．
22．【答案】（1）×，√
（2）解：设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
【分析】（1）利用整体1减去外地游客的占比求出本地游客的占比，利用“文和友5天接待客人约30万人次”四算平均每天接待客人的数量判断解题；
（2）设年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程解答即可．
（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
（2）设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%．
23．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得．
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）根据垂直的定义得到，则由同位角相等两直线平行可得；又，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可知CE等于BE等于6、DE等于BD等于CD；再由两直线平行内错角相等可把转化到上，可解先求出EF的长，此时可设出CD的长，再DF的长可表示，可利用勾股定理得到关于CD的一元二次方程，解方程即可．
24．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵A、C两点都在圆上，
∴，
为等腰三角形，，
同理，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
（3）证明：小乐不正确，小善正确，理由如下，
小乐：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
小善：假设成立．
∴，
∴，
∴，
，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用圆周角相等和等边对等角证明结论即可．（2）根据等边对等角和等量代换得到，即可得到，然后证明为平行四边形的性质，推导，根据对应边成比例解题即可．
（3）根据题意用S1表示S2和S3，代入计算判断小乐的说法；假设，求出解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵A、C两点都在圆上，
∴，
为等腰三角形，，
同理，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：小乐不正确，小善正确，
理由如下，
小乐：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
小善：假设成立．
∴，
∴，
∴，
，
∴．
25．【答案】（1）①×；②√；③×
（2）解：根据题意，函数和图象的两个交点A和B是一组“冲刺点”．对于函数，当时，其图象为经过原点的直线，存在“冲刺点”．
令，把代入，得，
由根与系数的关系可知，则两函数图象的两个交点不是“冲刺点”．
故两函数不存在共同的“冲刺点”
（3）解：设“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点坐标为、．把A、B两点坐标分别代入函数，联立方程组得：
解得，，
∴A、B两点在直线上．
∴．
∵以A、B为顶点的正方形边长为1，
∴当A、B两点为正方形的对角线顶点时，；
当A、B两点为正方形的相邻顶点时，；
又∵，其中h代表三个点P到直线的距离．
∴当时，；时，．
如图所示，，直线和分别是到直线距离为h的直线，均可由向上或向下平移h单位得到．当“冲刺函数”的图象开口向上，并且与相切，则抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1；同理，当“冲刺函数”的图象开口向下，并且与相切，抛物线上也有且只有3个点P满足的面积为1．
则两直线解析式：：，：，
因为与相切只有一个交点，把代入得：，令，则，
∴当时，或，
同理，把代入得：令，则，
∴当时，或．
故当时，或；当时，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
1 / 1湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学（湖南师大附中梅溪湖中学）2024年中考三模数学试题
1．（2024·长沙模拟）春节期间，贴春联、送祝福一直是我们的优良传统．下列用篆书书写的春联中“五福临门”四个字，其中可以看成中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】A、∵该图是中心对称图形，∴A符合题意；
B、∵该图不是中心对称图形，∴B不符合题意；
C、∵该图不是中心对称图形，∴C不符合题意；
D、∵该图不是中心对称图形，∴D不符合题意；故答案为：A.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
2．（2024·长沙模拟）清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径线约为米，用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故选B．
【分析】
常用科学记数法把绝对值较小的数字表示成的形式，其中，取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．（2024·长沙模拟）估算的值应在（　　）
A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间
【答案】A
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
由于62夹在两个连续平方数49与64之间，则62的算术平方根必然在7与8之间，则必然介于5和6之间 ．
4．（2024·长沙模拟） 值日生每天值完日后，总是先把每一列最前和最后的课桌摆好，然后再依次摆中间的课桌，很快就能把课桌摆得整整齐齐，他们这样做的道理是（　　）
A．两点之间，线段最短 B．两点确定一条直线
C．两点的距离最短 D．以上说法都不对
【答案】B
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：由题意可得，这样做的道理为“两点确定一条直线”，
故答案为：B.
【分析】根据直线的性质：两点确定一条直线即可求解.
5．（2024·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、（-2x3）2=4x6，故此选项计算正确，符合题意；
B、x2与x3不是同类项，不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C、x8÷x2=x6，故此选项计算错误，不符合题意；
D、（a+b）2=a2+2ab+b2，故此选项计算错误，不符合题意.
故答案为：A.
【分析】由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方，底数不变，指数相乘，进行计算可判断A选项；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断B选项；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算可判断C选项；完全平方公式的展开式是一个三项式，据此可判断D选项.
6．（2024·长沙模拟）下列说法正确的是（　　）
A．为了解我国中小学生的睡眠情况，应采取全面调查的方式
B．一组数据1，2，5，5，5，3，3的众数和平均数都是3
C．若甲、乙两组数的方差分别是0.01，0.1，则甲组数据比乙组数据更稳定
D．抛掷一枚硬币200次，一定有100次“正面向上”
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；平均数及其计算；方差；众数
【解析】【解答】解：因为我国中小学生人数众多，其睡眠情况也不需要特别精确，
所以对我国中小学生的睡眠情况的调查，宜采用抽样调查，故选项A不正确；
因为B中数据1，2，5，5，5，3，3，重复出现次数最多的是5，平均数为，故该组数据的众数与平均数都不是3，
故选项B说法不正确；
因为0.01＜0.1，方差越小，波动越小，数据越稳定，
所以甲组数据比乙组数据稳定，故选项C说法正确；
因为抛掷硬币正面朝上属于随机事件，抛掷一枚硬币200次，不一定有100次“正面朝上”
故选项D说法不正确.
故答案为：C.
【分析】抽样调查与普查：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，据此判断A；找出出现次数最多的数据可得众数，求出数据之和，然后除以数据的个数可得平均数，据此判断B；根据方差越小，波动越小可判断C；在一定条件下，可能发生，也可能不会发生的事件就是随机事件，据此可判断D.
7．（2024·长沙模拟）如图所示，甲、乙两个三角形中和全等的是（　　）
A．只有甲 B．只有乙 C．甲和乙 D．都不是
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：甲的边的夹角和的边的夹角不对应，故甲三角形与不全等；
乙的角和边b与的角和边b对应，故可利用“角边角”证明乙三角形与全等，
故选：B．
【分析】
A、两边且一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，不符全题意；
B、两角及夹边对应相等的两个三角形全等，即“ASA”，符合题意；
C、甲不正确，不符合题意；
D、乙正确，不符合题意．
8．（2024·长沙模拟）如图，已知四边形内接于，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵四边形内接于，
∴，而，
∴，
∴．
故选：B．
【分析】
由于圆内接四边形对角互补可得，再根据圆周角定理可知等于的2倍．
9．（2024·长沙模拟）中国古代《孙子算经》中有个问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐；若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果设有x辆车，则总人数可表示为（　　）
A．4（x﹣1） B．4（x+1） C．2x﹣8 D．2（x+1）+8
【答案】A
【知识点】列式表示数量关系
【解析】【解答】解：∵有x辆车，
∴总人数为4（x﹣1）或2x+8.
故答案为：A.
【分析】由4人乘一车，恰好剩余1辆车无人坐，求总人数为4 (x-1)，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，求总人数为2x+8.
10．（2024·长沙模拟）下面的三个问题中都有两个变量：
①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y与行驶时间x；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y与放水时间x；
③用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y与一边长x，其中，变量y与变量x之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】A
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：①汽车从A地匀速行驶到B地，汽车的剩余路程y随行驶时间x的增大而减小，故①可以利用该图象表示；
②将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y随放水时间x的增大而减小，故②可以利用该图象表示；
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【分析】
①由图象可知：当y最大时，x为0；当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，由于汽车是匀速行驶，故函数是一次函数，符合题意；
②由图象可知，当y最大时，x为0；当x最大时，y为零，即y随x的增大而减小，由于水是匀速排放，故函数是一次函数，符合题意；
③由于矩形面积y是其中一条边长x的二次函数，则图象应该是抛物线而不是直线，故不符合题意．
11．（2024·长沙模拟）化简的结果是　 　．
【答案】
【知识点】约分
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】把分式的分子因式分解，然后月份化简解题．
12．（2024·长沙模拟）一个多边形的内角和等于900°，这个多边形的边数是　 　．
【答案】7
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设该多边形的边数为n，根据题意，
可得：，
解得：，
所以，这个多边形的边数是7．
故答案为：7．
【分析】利用多边形内角和公式列方程解题即可．
13．（2024·长沙模拟）某数学兴趣小组做“任意拋掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意拋掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为　 　．（结果精确到0.1）
【答案】0.4
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为，，，，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.40左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故答案为：0.4.
【分析】根据大量重复实验频率稳定的数值即为概率解题即可．
14．（2024·长沙模拟）圆锥的底面半径，高，则圆锥的侧面积是　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：由勾股定理得：母线
∴．
故答案为：．
【分析】根据勾股定理求出圆锥的母线，然后代入公式计算解题．
15．（2024·长沙模拟）若a是一元二次方程的一个根，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：6.
【分析】根据方程解的概念，将x=a代入方程中可得a2+2a=3，待求式可变形为2(a2+2a)，然后代入计算即可.
16．（2024·长沙模拟）为了测量一个圆形铁环的半径，小华采用了如下方法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为的直角三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到有关数据，进而求得铁环的半径，若测得，则铁环的半径是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；切线的性质；解直角三角形；全等三角形中对应角的关系
【解析】【解答】解：如图， 连结.
则，
又
∴，
∴，
∴.
故答案为：
【分析】
连结，由切线长定理可得等于，且等于等于，则由“HL”可证，借助三角形的特殊角及全等的性质可得等于，最后解即可．
17．（2024·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式．
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后加减；运算时要注意正确运用零指数幂，二次根式的性质，特殊角的三角函数值以及二次根式的化简等运算法则．
18．（2024·长沙模拟）解不等式组：
【答案】解：
解不等式①得：x＜1，
解不等式②得：x＞-4，
所以不等式组的解集为：-4＜x＜1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两不等式的解集，再根据“同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了”求出公共部分即可．
19．（2024·长沙模拟）人教版初中数学八年级下册第页数学活动告诉我们一种折纸得特殊角的方法：
①对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平；
②再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕，同时得到线段．请你根据提供的材料完成下面的问题．
（1）填空： ；
（2）求的度数．
【答案】（1）
（2）
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】
解：（1）
由折叠可知：，，
∴，
故答案为：；
（2）
由折叠可知：，
在中，，
∴，
∴，
∴．
【分析】
（1）由折叠的性质可知，，则；
（2）由于在中，可转化为的正弦值，因而可求得的度数，再直角三角形两锐角互余即可得解.
20．（2024·长沙模拟）端午节，又称端阳节、龙舟节、重午节、重五节、天中节等，日期在每年农历五月初五，是集祈福辟邪、拜神祭祖、欢庆饮食和娱乐为一体的民俗大节．某校今年6月开设了以“端午”为主题的活动课程，每位学生可在“折纸龙”、“做香囊、“采艾叶””与“包粽子”四门课程中任意且只选择其中一门，学校统计调查了本校部分学生的选课情况，小明据此绘制了两幅不完整的统计图，请你根据图表信息回答下列问题：
（1）补全条形统计图，并求本次被调查的学生人数．
（2）该校共有2000名学生，若每间教室最多可安排40名学生，试估计开设“包粽子“课程的教室至少需要几间．
【答案】（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图如下：
（2）解：（间），
答：估计开设“包粽子“课程的教室至少需要18间
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）用“包粽子”的人数除以占比求出被调查的总人数，再根据总人数减去其他类型的人数得到选择“采艾叶”的人数，补全统计图；
（2）用2000乘“包粽子”的占比，再除以40解答．
（1）由选“包粽子”人数18人，在扇形统计图中占比，可得，
∴本次调查抽取的学生人数为50人．
其中选“采艾叶”的人数：．
补全条形统计图如下：
（2）（间），
答：估计开设“包粽子“课程的教室至少需要18间．
21．（2024·长沙模拟）如图，在扇形中，，，分别以A、B两点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点C，连接与弧交于点P，连接与交于点D．
（1）求证：射线为的角平分线；
（2）求线段的长度．
【答案】（1）证明：连接，，
由作图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的角平分线
（2）解：∵，为的平分线，
∴，，
∴．
在中，，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）连接，，根据SSS得到，根据全等三角形的对应角相等得到结论．
（2）根据三线合一得到，，然后根据预选的定义得到OD长解题即可．
（1）证明：连接，，
由作图可知，，
∵，，
∴，
∴，
∴射线为的角平分线．
（2）解：∵，为的平分线，
∴，，
∴．
在中，，
∵，
∴．
22．（2024·长沙模拟）今年以来，长沙文旅各项数据增长强劲，长沙也是国内热门旅游目的地之一，4月29日，五一商圈累计客流量将近120万人次，其中外地游客占比65%左右，长沙新消费品牌因人流量大也业绩喜人，文和友5天接待客人约30万人次．
（1）请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确．（对的打“√”，错的打“×”）
①4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右．（　　）
②今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次．（　　）
（2）另据一报道：长沙2021年五一假期，共接待游客约200万人次，在2023年五一假期，共接待游客约288万人次，若2021年至2023年的年平均增长率保持相同，求出长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率．
【答案】（1）×，√
（2）解：设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
【分析】（1）利用整体1减去外地游客的占比求出本地游客的占比，利用“文和友5天接待客人约30万人次”四算平均每天接待客人的数量判断解题；
（2）设年平均增长率为x，根据题意列一元二次方程解答即可．
（1）解：①∵外地游客占比65%左右，
∴本地游客占比为，
故4月29日当天，长沙五一商圈本地游客占比45%左右是错误的．
②文和友5天接待客人约30万人次，
∴平均每天接待客人约为（万人次），
故今年长沙文和友五一期间平均每天接待客人约6万人次是正确的．
故答案为：①×；②√．
（2）设长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为x．根据题意，得
解得：，（不合题意，舍去）
答：长沙2021年至2023年五一假期接待游客人次的年平均增长率为20%．
23．（2024·长沙模拟）如图，在中，是上一点，，过点D作于点F，过点C作交的延长线于点E．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得．
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）根据垂直的定义得到，则由同位角相等两直线平行可得；又，则两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
（2）由平行四边形的性质可知CE等于BE等于6、DE等于BD等于CD；再由两直线平行内错角相等可把转化到上，可解先求出EF的长，此时可设出CD的长，再DF的长可表示，可利用勾股定理得到关于CD的一元二次方程，解方程即可．
24．（2024·长沙模拟）如图1，A、B、C是⊙O上三点，，，延长，交于点E，过点O作的平行线交射线于点F，连接．
（1）求证：；
（2）如图2，若，求的长；
（3）设的长为x，记，，，四边形的面积分别为，，，．
小乐：存在实数x，使得成立；
小善：对于任意实数x，都有成立．
请判断以上两位同学的说法是否正确，并选择其中一个进行证明或说理．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∵A、C两点都在圆上，
∴，
为等腰三角形，，
同理，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴
（3）证明：小乐不正确，小善正确，理由如下，
小乐：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
小善：假设成立．
∴，
∴，
∴，
，
∴
【知识点】平行四边形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）利用圆周角相等和等边对等角证明结论即可．（2）根据等边对等角和等量代换得到，即可得到，然后证明为平行四边形的性质，推导，根据对应边成比例解题即可．
（3）根据题意用S1表示S2和S3，代入计算判断小乐的说法；假设，求出解答．
（1）证明：∵，
∴，
∵A、C两点都在圆上，
∴，
为等腰三角形，，
同理，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（3）证明：小乐不正确，小善正确，
理由如下，
小乐：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴不成立．
小善：假设成立．
∴，
∴，
∴，
，
∴．
25．（2024·长沙模拟）我们约定，在直角坐标系中，若不相同的两个点、满足，则称A、B互为“冲刺点”，若函数y上存在一组冲刺点，则称函数y为“冲刺函数”．
（1）判断下列函数是否为“冲刺函数”，对的在括号里打“√”，错的打“×”．
①（　　　）；
②（　　　）；
③（　　　）；
（2）是否存在A、B两点既是一次函数上的“冲刺点”，又是二次函数上的“冲刺点”，若存在，求出这样的“冲刺点”坐标，若不存在，说明理由．
（3）若“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点，若P为函数上一动点，且该抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1，若以A、B为顶点的正方形边长为1，求c值．
【答案】（1）①×；②√；③×
（2）解：根据题意，函数和图象的两个交点A和B是一组“冲刺点”．对于函数，当时，其图象为经过原点的直线，存在“冲刺点”．
令，把代入，得，
由根与系数的关系可知，则两函数图象的两个交点不是“冲刺点”．
故两函数不存在共同的“冲刺点”
（3）解：设“冲刺函数”上的“冲刺点”为A、B两点坐标为、．把A、B两点坐标分别代入函数，联立方程组得：
解得，，
∴A、B两点在直线上．
∴．
∵以A、B为顶点的正方形边长为1，
∴当A、B两点为正方形的对角线顶点时，；
当A、B两点为正方形的相邻顶点时，；
又∵，其中h代表三个点P到直线的距离．
∴当时，；时，．
如图所示，，直线和分别是到直线距离为h的直线，均可由向上或向下平移h单位得到．当“冲刺函数”的图象开口向上，并且与相切，则抛物线上有且只有3个点P满足的面积为1；同理，当“冲刺函数”的图象开口向下，并且与相切，抛物线上也有且只有3个点P满足的面积为1．
则两直线解析式：：，：，
因为与相切只有一个交点，把代入得：，令，则，
∴当时，或，
同理，把代入得：令，则，
∴当时，或．
故当时，或；当时，或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-动态几何问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
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