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2024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学试题(五)
1．（2024九下·长沙模拟）的倒数为（　　）
A．2024 B． C． D．
2．（2024九下·长沙模拟）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·长沙模拟）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
4．（2024九下·长沙模拟）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024九下·长沙模拟）如图在中，A为边上一点，，平分，，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024九下·长沙模拟）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024九下·长沙模拟）为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公交车的车流量，则下列说法正确的是（　　）
A．小车的车流量比公交车的车流量稳定
B．小车的车流量比公交车的方差较大
C．小车与公交车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公交车车流量的变化趋势相同
8．（2024九下·长沙模拟）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024九下·长沙模拟），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（　　）
A． B． C． D．
11．（2024九下·长沙模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是　 　．
12．（2024九下·长沙模拟）分解因式：=　 　．
13．（2024九下·长沙模拟）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为　 　．
14．（2024九下·长沙模拟）已知是方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
15．（2024九下·长沙模拟）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为　 　．（结果保留根号）
16．（2024九下·长沙模拟）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是　 　．
17．（2024九下·长沙模拟）计算：
18．（2024九下·长沙模拟）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
19．（2024九下·长沙模拟）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
20．（2024九下·长沙模拟）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
21．（2024九下·长沙模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点A的坐标为，点D是边上的动点，过点D作交边于点E，作交边于点F，连接，设，的面积为S．
（1）求线段的长度关于的函数解析式，并写出的范围；
（2）当取何值时，S的值最大？请求出S的最大值．
22．（2024九下·长沙模拟）中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
23．（2024九下·长沙模拟）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
（1）点的“简朴”点是________；
（2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
24．（2024九下·长沙模拟）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．
（1）如果，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
25．（2024九下·长沙模拟）如图1所示，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
（1）填空：______，______，______；
（2）如图1所示，当时，求点P的坐标；
（3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴-的倒数是，
故答案为：D．
【分析】根据乘积为1的两个数是互为倒数解答即可．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2502.7亿=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可表示。
3．【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：D．
【分析】
由于圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体为圆锥．
4．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A.∵k=6＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B.∵k=-6＜0，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
C.∵k=6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D.∵k=-6＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质对每个选项一一判断即可。
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行线得到，根据角平分线得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和求出即可解题．
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
7．【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：．小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，故该选项不符合题意；
．小车的车流量的不如公交车稳定，所以小车的车流量方差比公交车大，则此项正确，故该选项符合题意；
．小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误 ，故该选项不符合题意；
．小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据图象的变化情况逐项判断解题即可．
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC的距离，
∵AD=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项ABD不符合题意，选项C不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定方法判断求解即可。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】得出反比例函数的图象位于一、三象限，即可得到，求出k的取值范围即可．
10．【答案】A
【知识点】弧长的计算；探索规律-图形的递变规律
11．【答案】x＜1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：1﹣x＞0，
解得：x＜1．
故答案为：x＜1．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．【答案】m（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n-9n
=n(m2-9)
=n(m+3)(m-3).
故答案为：n(m+3)(m-3).
【分析】先提取公因式，再由平方差公式因式分解即可。
13．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点A（-1，-2）和点B（2，m），
∴-1×(-2)=2m，
∴m=1，
∴B（2，1）.
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，-1.），
∴S△AOB=×1×1+×1×2=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得-1×(-2)=2m，求出m的值，得到B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式，令x=0，求出y的值，得到与y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴k=7，
故答案为：7
【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。
15．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，，
∴
∴，
∴支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的比值求出，，然后利用线段的和差解答即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；勾股定理；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意作图如下：连接BE，
∵若与 过点A，且AB=7，
∴的半径为7，
∵过点D，它的半径为r，且CD=DE，
∴CE=CD+DE=2r，
∵BC=3，∠C=90°，
∴，，
∵点D在边AC上，点E在CA延长线上，
∴CD≤AC，CE＞AC，
∴，，
∴，
∵与有公共点，
∴AB-DE≤BE≤AB+DE，
∴，
∴不等式①可化为3r2-14r-40≤0，
解方程3r2-14r-40=0，得：r=-2或r=，
结合图象可知，当y≤0时，-2≤r≤，
即不等式①的解集为：-2≤r≤，
同理可得：不等式②的解集为r≥2或r≤，
则不等式组的解集为2≤r≤，
∵，
∴半径r的取值范围是，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理，圆与圆的位置关系，二次函数与不等式等计算求解即可。
17．【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值、二次根式的化简，零指数次幂、代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可．
18．【答案】解：原式
∵a为满足的整数且，
∴，
∴取，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先把括号内的异分母分式加减转化为同分母分式加减，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化原式为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行运算即可.
19．【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点作于点，则得到矩形ADEF；解中可得，则AF可知；再利用坡比解即可．
20．【答案】（1），补全条形统计图如下：
（2），，；
（3）解：用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可用C类人数除以所占百分比即得样本容量；用样本容量减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）用B、D两项人数分别除以样本容量即可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
21．【答案】（1）解：过点作于点，连接，如图，
∵顶点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S的值最大，S的最大值为
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，即可得到是等边三角形，可得，再根据勾股定理求出OB长，然后根据平行得到，根据对应边成比例解题即可；（2）根据三角形的面积公式列二次函数，配方得到最值解题．
（1）解：过点作于点，连接，如图，
∵顶点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S的值最大，S的最大值为．
22．【答案】（1）解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，根据数量=总价÷单价，列分式方程解题即可；
（2）设购买m本《孙子算经》，根据题意列关于m的一元一次不等式求出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，根据总费用=单价×数量得到w关于m的函数关系式，然后根据函数的增减性求最值即可．
（1）解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少．
23．【答案】（1）
（2）解：将点M（1，-3）代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即
（3）解：根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
【分析】（1）根据“简朴”点的定义解答即可；
（2）先将点M的坐标代入解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，再利用“简朴曲线”的定义解答即可；
（3）先根据“简朴点”的定义求出点B的坐标，把点B代入抛物线解析式得到，即可得到，求出“简朴曲线”的关系式并化为顶点式，即可得到，求出n的取值范围即可．
（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
（2）将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．
24．【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，点边中点，设，，则
由（1）可得
∴，
∴，
又∵
∴，
∴
即，
∵，
在中，，
∴，
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）解：①当时，点与点重合，舍去；②当时，如图所示，延长交于点.
，即：
∵点是的中点，，
∴，
设
∵
∴，
∴，即：
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
连接交于点，
∵，
∴
∴，
∴，
在与中，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换可得，则同位角相等两直线平行，即；在中，由于点F、G分别平分OB和OD，则由中位线定理可得，则结论可证；
（2）由（1）知，则等于等于，又是公共角，则可证，由相似比可得是和的比例中项，若设，则等于，等于，则在中应用勾股定理即可求得，则可求；
（3）由于是以为腰的等腰三角形，可分为两种情况，即：①当时，②当时；对于①，由于OB＝OD，则不存在OG＝OD，故应排除；对于②，由于已证，可得，还可证，得出；再证，可得，则；连接交于点，可证明，利用相似比结合已知条件还可证，由相似比可得，则由OD等于OB，即．
25．【答案】（1），2，
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍），，
∴点P坐标为；
（3）解：①如图2，作，且使，连接FH，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，
．
故答案为：；2；；
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得到，，由，求出A点的坐标，再在中，利用正切的定义解题即可；
（2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，根据正切得到即可得到，进而得到，根据对应边成比例解题即可；
（3）①作，且使，连接．即可根据得到，进而得到，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，求出点Q的坐标，再根据勾股定理求解即可；
②作轴，交BC于点T，利用待定系数法求出BC解析式，设，，得到三角形面积的二次函数，根据S的取值范围求出k的取值范围解题．
（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，
．
故答案为：，2，，；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍），，
∴点P坐标为；
（3）①如图2，作，且使，连接FH，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴．
1 / 12024年湖南省长沙市雅礼集团中考模拟数学试题(五)
1．（2024九下·长沙模拟）的倒数为（　　）
A．2024 B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：∵，
∴-的倒数是，
故答案为：D．
【分析】根据乘积为1的两个数是互为倒数解答即可．
2．（2024九下·长沙模拟）某市政府在2022年着力稳定宏观经济大盘，全市经济发展取得新成效，全年生产总值实现2502.7亿元．数据2502.7亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：2502.7亿=，
故答案为：B
【分析】根据科学记数法的定义即可表示。
3．（2024九下·长沙模拟）如图是一个立体图形的三视图，该立体图形是（　　）
A．三棱柱 B．圆柱 C．三棱锥 D．圆锥
【答案】D
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，
根据俯视图是圆可判断出这个几何体应该是圆锥．
故选：D．
【分析】
由于圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是圆，则该几何体为圆锥．
4．（2024九下·长沙模拟）下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：A.∵k=6＞0，
∴y随x的增大而增大，不符合题意；
B.∵k=-6＜0，
∴y随x的增大而减小，符合题意；
C.∵k=6＞0，
∴在每个象限内，y随x的增大而减小，不符合题意；
D.∵k=-6＜0，
∴在每个象限内，y随x的增大而增大，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质对每个选项一一判断即可。
5．（2024九下·长沙模拟）如图在中，A为边上一点，，平分，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据平行线得到，根据角平分线得到∠BCD的度数，再根据三角形内角和求出即可解题．
6．（2024九下·长沙模拟）某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱，也是馈赠亲友的尚佳礼品，首批“脆红李”成熟后，当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件，求购进的第一批“脆红李”的单价．设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据题意可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，由题意得，
故答案为：A
【分析】设购进的第一批“脆红李”的单价为x元/件，根据“当地某电商用12000元购进这种“脆红李”进行销售，面市后，线上订单猛增供不应求，该电商又用11000元购进第二批这种“脆红李”，由于更多“脆红李”成熟，单价比第一批每件便宜了5元，但数量比第一批多购进了40件”进而即可列出等式，即可求解。
7．（2024九下·长沙模拟）为了调查不同时间段的车流量，某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流量，如图是各时间段的小车与公交车的车流量，则下列说法正确的是（　　）
A．小车的车流量比公交车的车流量稳定
B．小车的车流量比公交车的方差较大
C．小车与公交车车流量在同一时间段达到最小值
D．小车与公交车车流量的变化趋势相同
【答案】B
【知识点】折线统计图；方差
【解析】【解答】解：．小车的车流量不稳定，公车的车流量较为稳定，则此项错误，故该选项不符合题意；
．小车的车流量的不如公交车稳定，所以小车的车流量方差比公交车大，则此项正确，故该选项符合题意；
．小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量，则此项错误 ，故该选项不符合题意；
．小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加；大车车流量的变化趋势是先增加、再减小，则此项错误，故该选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据图象的变化情况逐项判断解题即可．
8．（2024九下·长沙模拟）在四边形中，．下列说法能使四边形为矩形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定
【解析】【解答】解：∵AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠B=90°，
∴AB⊥AD，AB⊥BC，
∴AB的长为AD与BC的距离，
∵AD=CD，
∴CD⊥AD，CD⊥BC，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴选项ABD不符合题意，选项C不符合题意，
故答案为：C.
【分析】根据矩形的判定方法判断求解即可。
9．（2024九下·长沙模拟），为反比例函数的图像上两点，当时，有，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵当时，有，
∴反比例函数的图象位于一、三象限，
∴，
解得：，
故答案为：C．
【分析】得出反比例函数的图象位于一、三象限，即可得到，求出k的取值范围即可．
10．（2024九下·长沙模拟）如图，四边形是边长为的正方形，曲线是由多段的圆心角所对的弧组成的．其中，的圆心为A，半径为；的圆心为B，半径为；的圆心为C，半径为；的圆心为D，半径为，…，按规律循环延伸曲线，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】弧长的计算；探索规律-图形的递变规律
11．（2024九下·长沙模拟）函数y= 的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】x＜1
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据题意得：1﹣x＞0，
解得：x＜1．
故答案为：x＜1．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
12．（2024九下·长沙模拟）分解因式：=　 　．
【答案】m（m+3）（m-3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n-9n
=n(m2-9)
=n(m+3)(m-3).
故答案为：n(m+3)(m-3).
【分析】先提取公因式，再由平方差公式因式分解即可。
13．（2024九下·长沙模拟）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则的面积为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象过点A（-1，-2）和点B（2，m），
∴-1×(-2)=2m，
∴m=1，
∴B（2，1）.
设直线AB的解析式为y=kx+b，则
解得，
∴y=x-1，
令x=0，得y=-1，
∴直线AB与y轴的交点为（0，-1.），
∴S△AOB=×1×1+×1×2=.
故答案为：.
【分析】根据点A、B在反比例函数图象上可得-1×(-2)=2m，求出m的值，得到B（2，1），利用待定系数法求出直线AB的解析式，令x=0，求出y的值，得到与y轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式进行计算.
14．（2024九下·长沙模拟）已知是方程的两个实数根，且，则的值为　 　．
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
∴k=7，
故答案为：7
【分析】根据根与系数的关系求出，再代入方程即可求解。
15．（2024九下·长沙模拟）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为．这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金分割．如图，乐器上的一根弦长，两个端点A，B固定在乐器面板上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则支撑点C，D之间的距离为　 　．（结果保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，，
∴，
∵点D是靠近点A的黄金分割点，，
∴
∴，
∴支撑点C，D之间的距离为，
故答案为：．
【分析】根据黄金分割的比值求出，，然后利用线段的和差解答即可．
16．（2024九下·长沙模拟）在中，点D在边上，点E在延长线上，且，如果过点A，过点D，若与有公共点，那么半径r的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；勾股定理；圆与圆的位置关系
【解析】【解答】解：由题意作图如下：连接BE，
∵若与 过点A，且AB=7，
∴的半径为7，
∵过点D，它的半径为r，且CD=DE，
∴CE=CD+DE=2r，
∵BC=3，∠C=90°，
∴，，
∵点D在边AC上，点E在CA延长线上，
∴CD≤AC，CE＞AC，
∴，，
∴，
∵与有公共点，
∴AB-DE≤BE≤AB+DE，
∴，
∴不等式①可化为3r2-14r-40≤0，
解方程3r2-14r-40=0，得：r=-2或r=，
结合图象可知，当y≤0时，-2≤r≤，
即不等式①的解集为：-2≤r≤，
同理可得：不等式②的解集为r≥2或r≤，
则不等式组的解集为2≤r≤，
∵，
∴半径r的取值范围是，
故答案为：.
【分析】利用勾股定理，圆与圆的位置关系，二次函数与不等式等计算求解即可。
17．（2024九下·长沙模拟）计算：
【答案】解：原式
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算绝对值、二次根式的化简，零指数次幂、代入特殊角的三角函数值，然后合并解题即可．
18．（2024九下·长沙模拟）先化简，再求值；，其中为满足的整数．
【答案】解：原式
∵a为满足的整数且，
∴，
∴取，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
分式的化简求值，先把括号内的异分母分式加减转化为同分母分式加减，再将除法转化为乘法并对分子分母分别分解因式，再约分化原式为最简分式或整式，最后再代入字母的值进行运算即可.
19．（2024九下·长沙模拟）为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝，如图，拦水坝的横断面为梯形，斜面坡度是指坡面的铅直高度与水平宽度的比．已知斜坡长度为20米，，求斜坡的长．（结果精确到米）（参考数据：）
【答案】解：过点作于点，则四边形是矩形，
在中，，
．
∴．
∵，
∴在中，（米）．
答：斜坡的长约为10米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】过点作于点，则得到矩形ADEF；解中可得，则AF可知；再利用坡比解即可．
20．（2024九下·长沙模拟）在深化教育综合改革、提升区域教育整体水平的进程中，某中学以兴趣小组为载体，加强社团建设，艺术活动学生参与面达，通过调查统计，八年级二班参加学校社团的情况（每位同学只能参加其中一项）：A．剪纸社团，B．泥塑社团，C．陶笛社团，D．书法社团，E．合唱社团，并绘制了如下两幅不完整的统计图．
（1）该班共有学生_________人，并把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中，___________，___________，参加剪纸社团对应的扇形圆心角为_______度；
（3）小鹏和小兵参加了书法社团，由于参加书法社团几位同学都非常优秀，老师将从书法社团的学生中选取2人参加学校组织的书法大赛，请用“列表法”或“画树状图法”，求出恰好是小鹏和小兵参加比赛的概率．
【答案】（1），补全条形统计图如下：
（2），，；
（3）解：用表示社团的五个人，其中A，B分别代表小鹏和小兵树状图如下：
共20种等可能情况，有2种情恰好是小鹏和小兵参加比赛，
故恰好选中小鹏和小兵的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）本次调查的学生总数：（人），
D、书法社团的人数为：(人)，如图所示
故答案为：50；
（2）
由图知，，
∴，参加剪纸的圆心角度数为
故答案为：20，10，
【分析】
（1）观察条形统计图与扇形统计图可用C类人数除以所占百分比即得样本容量；用样本容量减去其它四项的人数可得到D的人数，然后补图即可；
（2）用B、D两项人数分别除以样本容量即可求出m，n的值，A项目的人数与总人数比值乘即可得出圆心角的度数；
（3）画树状图展示所有20种等可能的结果数，再找出恰好选中小鹏和小兵的结果数，然后利用概率公式求解．
21．（2024九下·长沙模拟）在如图所示的平面直角坐标系中，菱形的一边在轴正半轴上，顶点A的坐标为，点D是边上的动点，过点D作交边于点E，作交边于点F，连接，设，的面积为S．
（1）求线段的长度关于的函数解析式，并写出的范围；
（2）当取何值时，S的值最大？请求出S的最大值．
【答案】（1）解：过点作于点，连接，如图，
∵顶点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S的值最大，S的最大值为
【知识点】二次函数的最值；菱形的性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，即可得到是等边三角形，可得，再根据勾股定理求出OB长，然后根据平行得到，根据对应边成比例解题即可；（2）根据三角形的面积公式列二次函数，配方得到最值解题．
（1）解：过点作于点，连接，如图，
∵顶点的坐标为，
∴，，，
∴，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，S的值最大，S的最大值为．
22．（2024九下·长沙模拟）中国是世界文明古国之一．数学是中国古代科学中一门重要学科，其发展源远流长，成就辉煌．《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的，用600元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》多买5本．
（1）求《孙子算经》、《周髀算经》两种图书的单价分别为多少元？
（2）国际数学节是为了纪念中国古代数学家祖冲之而设立的节日．为筹备“3.14数学节”活动，某校计划到该书店购买这两种图书共80本，且购买的《周髀算经》数量不少于《孙子算经》数量的一半．由于购买量大，书店打折优惠，两种图书均按八折出售，求两种图书分别购买多少本时费用最少？
【答案】（1）解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设《周髀算经》的单价是x元，根据数量=总价÷单价，列分式方程解题即可；
（2）设购买m本《孙子算经》，根据题意列关于m的一元一次不等式求出m的取值范围，设购买这两种图书共花费w元，根据总费用=单价×数量得到w关于m的函数关系式，然后根据函数的增减性求最值即可．
（1）解：设《周髀算经》的单价是x元，则《孙子算经》的单价是元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴．
答：《孙子算经》的单价是30元，《周髀算经》的单价是40元；
（2）设购买m本《孙子算经》，则购买本《周髀算经》，
根据题意得：，解得：．
设购买这两种图书共花费w元，则，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
又∵，且m为正整数，
∴当时，w取得最小值，此时．
答：当购买53本《孙子算经》27本《周髀算经》时，总费用最少．
23．（2024九下·长沙模拟）在数学活动课上，小明兴趣小组对二次函数的图象进行了深入的探究，如果将二次函数图象上的点的横坐标不变，纵坐标变为点的横、纵坐标之和，就会得到的一个新的点，他们把这个点定义为点的“简朴”点．他们发现：二次函数所有简朴点构成的图象也是一条抛物线，于是把这条抛物线定义为的“简朴曲线”．例如，二次函数的“简朴曲线”就是，请按照定义完成：
（1）点的“简朴”点是________；
（2）如果抛物线经过点，求该抛物线的“简朴曲线”；
（3）已知抛物线图象上的点的“简朴点”是，若该抛物线的“简朴曲线”的顶点坐标为，当时，求的取值范围．
【答案】（1）
（2）解：将点M（1，-3）代入抛物线得：，
解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即
（3）解：根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
【分析】（1）根据“简朴”点的定义解答即可；
（2）先将点M的坐标代入解析式，求出a的值，得出抛物线解析式，再利用“简朴曲线”的定义解答即可；
（3）先根据“简朴点”的定义求出点B的坐标，把点B代入抛物线解析式得到，即可得到，求出“简朴曲线”的关系式并化为顶点式，即可得到，求出n的取值范围即可．
（1）解：根据题意可知，点A(x，y)的“简朴”点是，
∴点P（1，2）的“简朴”点的纵坐标为1+2=3，即．
故答案为：．
（2）将点M（1，-3）代入抛物线得：，解得：，
即抛物线的解析式为，
∴抛物线的“简朴曲线”为，
即．
（3）根据题意可知，点是点B（x，y）的“简朴”点，
∴，解得：，即，
将点代入抛物线得：，则，
∴抛物线为，
∴抛物线的“简朴曲线”为：
，
即
∵其顶点坐标为（m，n），
∴，
将n看作c的函数，
∵，
时，n有最大值，且最大值为1，
当0≤c≤3时，，n有最小值，且最小值为，
∴当0≤c≤3时，n的取值范围是．
24．（2024九下·长沙模拟）如图（1）所示，已知在中，，在边上，点为边中点，为以为圆心，为半径的圆分别交，于点，，联结交于点．
（1）如果，求证：四边形为平行四边形；
（2）如图（2）所示，联结，如果，求边的长；
（3）联结，如果是以为腰的等腰三角形，且，求的值．
【答案】（1）证明：∵
∴
∵
∴，
∴
∴，
∵是的中点，，
∴是的中位线，
∴，即，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵，点边中点，设，，则
由（1）可得
∴，
∴，
又∵
∴，
∴
即，
∵，
在中，，
∴，
∴
解得：或（舍去）
∴；
（3）解：①当时，点与点重合，舍去；②当时，如图所示，延长交于点.
，即：
∵点是的中点，，
∴，
设
∵
∴，
∴，即：
∵
∴，
∴，
∴，
∴，
连接交于点，
∵，
∴
∴，
∴，
在与中，，，
∴，
又，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由等边对等角结合等量代换可得，则同位角相等两直线平行，即；在中，由于点F、G分别平分OB和OD，则由中位线定理可得，则结论可证；
（2）由（1）知，则等于等于，又是公共角，则可证，由相似比可得是和的比例中项，若设，则等于，等于，则在中应用勾股定理即可求得，则可求；
（3）由于是以为腰的等腰三角形，可分为两种情况，即：①当时，②当时；对于①，由于OB＝OD，则不存在OG＝OD，故应排除；对于②，由于已证，可得，还可证，得出；再证，可得，则；连接交于点，可证明，利用相似比结合已知条件还可证，由相似比可得，则由OD等于OB，即．
25．（2024九下·长沙模拟）如图1所示，已知抛物线与x轴交于A，两点，与y轴交于点．点P为第一象限抛物线上的点，连接，，，．
（1）填空：______，______，______；
（2）如图1所示，当时，求点P的坐标；
（3）如图2所示，点D在y轴负半轴上，，点Q为抛物线上一点，．点E，F分别为的边，上的动点，且，记的最小值为m．
①求m的值；
②设的面积为S，若，请直接写出k的取值范围．
【答案】（1），2，
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍），，
∴点P坐标为；
（3）解：①如图2，作，且使，连接FH，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，
．
故答案为：；2；；
【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式，即可得到，，由，求出A点的坐标，再在中，利用正切的定义解题即可；
（2）过点C作轴，交BP于点D，过点P作轴，交y轴于点E，根据正切得到即可得到，进而得到，根据对应边成比例解题即可；
（3）①作，且使，连接．即可根据得到，进而得到，即Q，F，H共线时，的值最小．作于点G，设，则，求出点Q的坐标，再根据勾股定理求解即可；
②作轴，交BC于点T，利用待定系数法求出BC解析式，设，，得到三角形面积的二次函数，根据S的取值范围求出k的取值范围解题．
（1）解：∵抛物线经过点，，
∴，
解得，
∴抛物线解析式为：，
∴抛物线与x轴交于A、两点，
∴时，，
解得：，，
∴，
∴，，
在中，
．
故答案为：，2，，；
（2）过点C作轴，交于点D，过点P作轴，交y轴于点E，
∵，，，
∴，
由（1）可得，，即，
∴，
∵，
∴，
∵轴，轴，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设点P坐标为，则，，
解得：（舍），，
∴点P坐标为；
（3）①如图2，作，且使，连接FH，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴Q，F，H共线时，的值最小，作于点G，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
设，则，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴，
∴；
②如图3，作轴，交于点T，
∵BC解析式为，
设，，
则，
∵点P在第一象限，
∴，
∴，
∴．
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