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浙江省杭州市萧山区湘湖未来学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷
1．（2025九下·萧山开学考）在数轴上表示和之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：如图所示：
在数轴上表示和两点之间的整数有，，，，共个．
故答案为：A．
【分析】根据题意找出满足条件的所有整数即可求解．
2．（2025九下·萧山开学考）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
3．（2025九下·萧山开学考）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 用科学记数法表示为4.4×109.
故答案为：C.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n，的形式，其中1≤| a|＜ 10，n是原数的整数位数减一。
4．（2025九下·萧山开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】（1）（3）根据合并同类项法则计算；
（2）利用同底数幂相乘法则计算；
（4）利用同底数幂相除法则计算．
5．（2025九下·萧山开学考）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a；
∴．
∴D符合题意.
故选D．
【分析】
本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可．
6．（2025九下·萧山开学考）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为4，则的面积为（　　）
A．9 B．10 C．25 D．12
【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴，和相似，
∴和相似比为：，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】先根据位似，求出相似比，再利用相似三角形的性质求出面积比，然后求出的面积．
7．（2025九下·萧山开学考）已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，解得，
∴此不等式组的解集为：，
故答案为：B.
【分析】根据点所在的象限，列出不等式组求解．
8．（2025九下·萧山开学考）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点在第一象限角平分线上，
∴，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可．
9．（2025九下·萧山开学考）已知，为反比例函数上的两个不同的点，且，则的值是（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
又∵即与同号，
当时， 此时
所以；
当时， 此时
所以；
综上所述，的值恒为正数，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数可知反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答
10．（2025九下·萧山开学考）如图，在平行四边形中，连接，且，过点A作于点M，过点D作于点N，且，在的延长线上取一点P，满足，则的长是（　　）
A． B． C．6 D．12
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴由勾股定理得：．
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质得出，得出，证得，得出，由勾股定理可得出答案．
11．（2025九下·萧山开学考）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
12．（2025九下·萧山开学考）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以得，
，
解得：，
检验：当时，，
是方程的解．
故答案为：．
【分析】先去分母，化为一元一次方程求解．再检验根．
13．（2025九下·萧山开学考）如图，是半径为3的的切线，切点为A，的延长线交于点C，连接，若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵是半径为3的的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用切线的性质证得，再利用三角形外角的性质求得∠AOC，然后利用弧长公式求解．
14．（2025九下·萧山开学考）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　 　．
【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，圆、矩形、菱形属于中心对称图形，共有种，
∴从张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是，
故答案为：．
【分析】求出张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式求解．
15．（2025九下·萧山开学考）如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则　 　．
【答案】1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别为的中点，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度．
16．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有　 　．（只填序号）
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形，
，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
由现有条件无法证明，
不一定成立，
故结论错误；
如图，连接、，
，，是的中点，
，，
，
，
且，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故结论正确；
，，
，
，
，
故结论正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
【分析】由余角性质可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；
由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；
连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得及∠CFB的度数，再由三角形的内角和定理及对顶角性质可得，进而可得，利用可证得，由全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可判断结论；
由勾股定理及线段和差，即可判断结论④；
综上，即可得出所有正确的结论．
17．（2025九下·萧山开学考）计算：
【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方、化去绝对值、计算特殊三角函数值、负指数幂，再计算实数混合运算．
18．（2025九下·萧山开学考）解方程组：
【答案】
由①得：
②+③得：
把 代入②得：
方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意，利用加减消元法解方程组得到答案即可。
19．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，，点B在边上，且．
（1）求的长；
（2）求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；求正切值
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角的和差可得出的度数，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得答案；
（2）直接利用锐角的正切的含义求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵，，
∴，
∴．
20．（2025九下·萧山开学考）某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
【答案】（1）解：∵D项目有33人，占11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：（人，
∵F项目占62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：（人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人.
（2）解：（人，
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人.
（3）解：如：由第一项可知：阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少；
由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．（答案不唯一）.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是小时的人数，及它所占抽样学生人数的百分比，求出参与本次抽样调查的学生人数，再根据图书馆借阅的人数占总数人的百分比求出其人数；
（2）根据 平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的所占百分比，乘以该校学生数可求解；
（3）根据各项目的人数，比较后作出判断．
（1）解：参与本次抽样调查的学生人数为：（人，
选择“从图书馆借阅”的人数为：（人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）解：（人，
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人；
（3）解：如：由第一项可知：阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少；
由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．（答案不唯一）
21．（2025九下·萧山开学考）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形，∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到．
（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
22．（2025九下·萧山开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线l：（其中n为常数）与x轴交于点A，与y轴交于点．
（1）求点M，N所确定的直线的函数表达式；
（2）小华同学设计了一个电脑动画程序，在直线l：中，输入n的值．
①当时，直线l会闪烁，求此时输入的n的值；
②当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，求此时所有整数 n的个数．
【答案】（1）解：设直线的解析式为，
，解得，
点M，N所确定的直线的函数表达式为；
（2）解：①在函数中，
当时，，
，
当时，，
，
，
（舍去负值），
；
②当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，此时所有整数 n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15个．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①根据解析式先求出，，利用三角形面积计算n值即可；②将M、N坐标分别代入求出两个n值，再确定n的范围写出符合条件的整数即可．
（1）解：设直线的解析式为，
，解得，
点M，N所确定的直线的函数表达式为；
（2）解：①在函数中，
当时，，
，
当时，，
，
，
（舍去负值），
；
②当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，此时所有整数 n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15个．
23．（2025九下·萧山开学考）已知和都是抛物线上的点．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）已知点和点都在此抛物线上，且，试比较和的大小，并说明理由．
（3）已知点，点，线段与此抛物线有且只有一个交点，请直接写出的取值范围．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）解：，理由：
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（3）解：∵点，点，
∴轴．当时，
解得，
∴直线与抛物线的交点为和，
∴这两点之间的距离为，
．
①当时，线段与此抛物线有且只有一个交点；
②当，即时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
综上所述，当或时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）由，点，可得轴，再求出直线与抛物线两个交点之间的距离，得出答案．
（1）解：由题意得，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）解：，
理由：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（3）解：∵点，点，
∴轴．当时，解得，
∴直线与抛物线的交点为和，
∴这两点之间的距离为，
．
①当时，线段与此抛物线有且只有一个交点；
②当，即时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
综上所述，当或时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
24．（2025九下·萧山开学考）如图，四边形内接于，，，垂足为．
（1）若，则______；______；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
【答案】（1），
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
且，
，
如图，过点作交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，.
【分析】（1）由等边对等角及三角形的内角和定理可得与∠ACB的度数，由圆内接四边形的性质定理即可求出的度数；由可得的度数，由直角三角形的两个锐角互余可得的度数，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由此即可求出的度数；
（2）由直角三角形的两个锐角互余可得，由等边对等角可得与∠ACB的度数，由三角形的内角和定理及同弧或等弧所对的圆周角相等可得，于是结论得证；
（3）过点作于点，由三线合一及题意，可得，过点作交的延长线于点，利用可证得，根据全等三角形性质由圆内接四边形的性质定理可得，根据两组对应角相等，可证得，即可得出对应边相似，设，则，根据勾股定理可得的长度，进而可得的值，即可求出的值．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
且，
，
如图，过点作交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
．
1 / 1浙江省杭州市萧山区湘湖未来学校2024-2025学年九年级下学期开学数学试卷
1．（2025九下·萧山开学考）在数轴上表示和之间的整数有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
2．（2025九下·萧山开学考）如图是由6个相同的小立方块搭成的几何体，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025九下·萧山开学考）中国倡导的“一带一路”建设将促进我国与世界各国的互利合作，根据规划，“一带一路”地区覆盖总人口约为4 400 000 000人，将这个数用科学记数法表示为（　　）
A． B．4.4×108 C．4.4×109 D．4.4×1010
4．（2025九下·萧山开学考）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九下·萧山开学考）已知一组数据a，2，4，1，6的中位数是4，那么a可以是（　　）
A．0 B．2 C．3 D．5
6．（2025九下·萧山开学考）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为4，则的面积为（　　）
A．9 B．10 C．25 D．12
7．（2025九下·萧山开学考）已知点在第三象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025九下·萧山开学考）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点在上，角两边与轴轴分别交于点，点，则等于（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2025九下·萧山开学考）已知，为反比例函数上的两个不同的点，且，则的值是（　　）
A．0 B．正数 C．负数 D．非负数
10．（2025九下·萧山开学考）如图，在平行四边形中，连接，且，过点A作于点M，过点D作于点N，且，在的延长线上取一点P，满足，则的长是（　　）
A． B． C．6 D．12
11．（2025九下·萧山开学考）分解因式：　 　．
12．（2025九下·萧山开学考）分式方程的解是　 　．
13．（2025九下·萧山开学考）如图，是半径为3的的切线，切点为A，的延长线交于点C，连接，若，则的长为　 　．
14．（2025九下·萧山开学考）在形状为等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形的张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是　 　．
15．（2025九下·萧山开学考）如图，点D、E分别为的中点，平分交于点F，若，则　 　．
16．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，M是的中点，点D在上，，，垂足分别为E，F，连接，则下列结论中：①；②；③；④．正确的有　 　．（只填序号）
17．（2025九下·萧山开学考）计算：
18．（2025九下·萧山开学考）解方程组：
19．（2025九下·萧山开学考）如图，在中，，，点B在边上，且．
（1）求的长；
（2）求的值．
20．（2025九下·萧山开学考）某校“综合与实践”小组为了解全校3600名学生的读书情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，形成了如下调查报告（不完整）：
请根据以上调查报告，解答下列问题：
（1）求参与本次抽样调查的学生人数及这些学生中选择“从图书馆借阅”的人数；
（2）估计该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数；
（3）该小组要根据以上调查报告在全班进行交流，假如你是小组成员，请结合以上两项调查数据分别写出一条你获取的信息．
21．（2025九下·萧山开学考）如图，的对角线相交于点O，平分，过点D作，过点C作，交于点P，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求的长．
22．（2025九下·萧山开学考）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，直线l：（其中n为常数）与x轴交于点A，与y轴交于点．
（1）求点M，N所确定的直线的函数表达式；
（2）小华同学设计了一个电脑动画程序，在直线l：中，输入n的值．
①当时，直线l会闪烁，求此时输入的n的值；
②当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，求此时所有整数 n的个数．
23．（2025九下·萧山开学考）已知和都是抛物线上的点．
（1）求此拋物线的解析式．
（2）已知点和点都在此抛物线上，且，试比较和的大小，并说明理由．
（3）已知点，点，线段与此抛物线有且只有一个交点，请直接写出的取值范围．
24．（2025九下·萧山开学考）如图，四边形内接于，，，垂足为．
（1）若，则______；______；
（2）求证：；
（3）若，，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数在数轴上的表示
【解析】【解答】解：如图所示：
在数轴上表示和两点之间的整数有，，，，共个．
故答案为：A．
【分析】根据题意找出满足条件的所有整数即可求解．
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看的图形为：，
故答案为：A．
【分析】根据三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，找到从正面看所得到的图形即可得出答案．
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 用科学记数法表示为4.4×109.
故答案为：C.
【分析】科学记数法表示绝对值较大的数，一般表示成a×10n，的形式，其中1≤| a|＜ 10，n是原数的整数位数减一。
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故本选项错误，不符合题意；
B、，故本选项正确，符合题意；
C、 与 不是同类项，不能合并，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】（1）（3）根据合并同类项法则计算；
（2）利用同底数幂相乘法则计算；
（4）利用同底数幂相除法则计算．
5．【答案】D
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：a的位置按照从小到大的排列是：1，2，4，a，6或1，2，4，6，a；
∴．
∴D符合题意.
故选D．
【分析】
本题考查的是中位数的定义，属于基本题型，熟知中位数的概念是解题的关键．根据中位数的定义先确定从小到大排列后a的位置，再解答即可．
6．【答案】C
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵和是以点O为位似中心的位似图形，，
∴，和相似，
∴和相似比为：，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】先根据位似，求出相似比，再利用相似三角形的性质求出面积比，然后求出的面积．
7．【答案】B
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：点在第三象限，
，解得，
∴此不等式组的解集为：，
故答案为：B.
【分析】根据点所在的象限，列出不等式组求解．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；角平分线的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：∵点在第一象限角平分线上，
∴，
解得：，
则点P的坐标为，
过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，如图，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，
由点P的坐标知，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：D．
【分析】根据角平分线的性质定理可得关于m的方程，解方程即可求得点P的坐标，过点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为D、E，证明即可．
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：，
，
∴反比例函数的图象位于二、四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
又∵即与同号，
当时， 此时
所以；
当时， 此时
所以；
综上所述，的值恒为正数，
故答案为：.
【分析】根据反比例函数可知反比例函数图象的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，据此即可解答
10．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：四边形是平行四边形，
，
又，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
∴由勾股定理得：．
故答案为：A．
【分析】由平行四边形的性质得出，得出，证得，得出，由勾股定理可得出答案．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：.
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以得，
，
解得：，
检验：当时，，
是方程的解．
故答案为：．
【分析】先去分母，化为一元一次方程求解．再检验根．
13．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接，
∵是半径为3的的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用切线的性质证得，再利用三角形外角的性质求得∠AOC，然后利用弧长公式求解．
14．【答案】
【知识点】中心对称及中心对称图形；概率公式
【解析】【解答】解：∵在等腰三角形、圆、矩形、菱形、正五边形中，圆、矩形、菱形属于中心对称图形，共有种，
∴从张纸片中随机抽取一张，抽到中心对称图形的概率是，
故答案为：．
【分析】求出张纸片中中心对称图形的个数，再利用概率公式求解．
15．【答案】1
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D、E分别为的中点，，
∴是的中位线，，
∴，，
∴，
∵平分交于点F，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：1．
【分析】利用三角形中位线性质得到，，利用中点定义得到，再利用平行线的性质和角平分线得到，则，即可得到的长度．
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：是直角三角形，
，
，，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，，
故结论正确；
由现有条件无法证明，
不一定成立，
故结论错误；
如图，连接、，
，，是的中点，
，，
，
，
且，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
故结论正确；
，，
，
，
，
故结论正确；
综上，正确的结论有：，
故答案为：．
【分析】由余角性质可得，利用可证得，然后利用全等三角形的性质即可判断结论；
由现有条件无法证明，因而不一定成立，由此即可判断结论；
连接、，由三线合一及直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得及∠CFB的度数，再由三角形的内角和定理及对顶角性质可得，进而可得，利用可证得，由全等三角形的性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理即可判断结论；
由勾股定理及线段和差，即可判断结论④；
综上，即可得出所有正确的结论．
17．【答案】解：
．
【知识点】负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算乘方、化去绝对值、计算特殊三角函数值、负指数幂，再计算实数混合运算．
18．【答案】
由①得：
②+③得：
把 代入②得：
方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据题意，利用加减消元法解方程组得到答案即可。
19．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
；
（2）∵，，∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；求正切值
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角的和差可得出的度数，再利用含的直角三角形的性质与勾股定理可得答案；
（2）直接利用锐角的正切的含义求解即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：；
（2）∵，，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：∵D项目有33人，占11%，
∴参与本次抽样调查的学生人数为：（人，
∵F项目占62%，
∴选择“从图书馆借阅”的人数为：（人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人.
（2）解：（人，
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人.
（3）解：如：由第一项可知：阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少；
由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．（答案不唯一）.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先根据条形统计图和扇形统计图可得平均每周阅读课外书的时间大约是小时的人数，及它所占抽样学生人数的百分比，求出参与本次抽样调查的学生人数，再根据图书馆借阅的人数占总数人的百分比求出其人数；
（2）根据 平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的所占百分比，乘以该校学生数可求解；
（3）根据各项目的人数，比较后作出判断．
（1）解：参与本次抽样调查的学生人数为：（人，
选择“从图书馆借阅”的人数为：（人，
答：参与本次抽样调查的学生人数为300人，选择“从图书馆借阅”的人数为186人；
（2）解：（人，
答：该校3600名学生中，平均每周阅读课外书时间在“8小时及以上”的人数约为1152人；
（3）解：如：由第一项可知：阅读时间为“小时”的人数最多，“小时”的人数最少；
由第二项可知：阅读的课外书的主要来源中“从图书馆借阅”的人数最多，“向他人借阅”的人数最少．（答案不唯一）
21．【答案】（1）证明∵四边形是平行四边形，∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得，进而利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定定理可得结论；
（2）先根据菱形的性质和勾股定理求得，，再证明四边形是矩形，利用矩形的对角线相等得到．
（1）证明∵四边形是平行四边形，
∴．
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
∴．
∵，，
∴四边形是平行四边形．
∴四边形是矩形，
∴．
22．【答案】（1）解：设直线的解析式为，
，解得，
点M，N所确定的直线的函数表达式为；
（2）解：①在函数中，
当时，，
，
当时，，
，
，
（舍去负值），
；
②当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，此时所有整数 n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15个．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①根据解析式先求出，，利用三角形面积计算n值即可；②将M、N坐标分别代入求出两个n值，再确定n的范围写出符合条件的整数即可．
（1）解：设直线的解析式为，
，解得，
点M，N所确定的直线的函数表达式为；
（2）解：①在函数中，
当时，，
，
当时，，
，
，
（舍去负值），
；
②当直线过点时，，解得，
当直线过点时，，解得，
当点M，N位于直线l的两侧时，直线l会变成红色，此时所有整数 n有3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，17共15个．
23．【答案】（1）解：由题意得，解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）解：，理由：
∵抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（3）解：∵点，点，
∴轴．当时，
解得，
∴直线与抛物线的交点为和，
∴这两点之间的距离为，
．
①当时，线段与此抛物线有且只有一个交点；
②当，即时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
综上所述，当或时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得；
（2）根据二次函数的增减性可得结论；
（3）由，点，可得轴，再求出直线与抛物线两个交点之间的距离，得出答案．
（1）解：由题意得，
解得，
∴此抛物线的解析式为．
（2）解：，
理由：∵抛物线的解析式为，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线．
∵
∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，
∴；
（3）解：∵点，点，
∴轴．当时，解得，
∴直线与抛物线的交点为和，
∴这两点之间的距离为，
．
①当时，线段与此抛物线有且只有一个交点；
②当，即时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
综上所述，当或时，线段与此抛物线有且只有一个交点．
24．【答案】（1），
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
且，
，
如图，过点作交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：（1），，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，.
【分析】（1）由等边对等角及三角形的内角和定理可得与∠ACB的度数，由圆内接四边形的性质定理即可求出的度数；由可得的度数，由直角三角形的两个锐角互余可得的度数，由同弧或等弧所对的圆周角相等可得，由此即可求出的度数；
（2）由直角三角形的两个锐角互余可得，由等边对等角可得与∠ACB的度数，由三角形的内角和定理及同弧或等弧所对的圆周角相等可得，于是结论得证；
（3）过点作于点，由三线合一及题意，可得，过点作交的延长线于点，利用可证得，根据全等三角形性质由圆内接四边形的性质定理可得，根据两组对应角相等，可证得，即可得出对应边相似，设，则，根据勾股定理可得的长度，进而可得的值，即可求出的值．
（1）解：，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：，；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，过点作于点，
，
，
，，
，
且，
，
如图，过点作交的延长线于点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
，
．
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