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正弦定理
一.知识点
把三角形的三个角和它们的对边叫作三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程，叫做解三角形．
1、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
2、正弦定理的变形公式：①，，；
②，，；
③；
④．
3、三角形面积公式：．
4．应用正弦定理可解两类三角形
(1)已知两角和任意一边，求第三个角和另外两边；
(2)已知两边和其中一边的对角，求第三边和另外两角．
其中类型(1)只有一解，类型(2)可能有两解、一解或无解．
5.三角形内角定理的变形：
由A+B+C=π，知A=π-(B+C)，可得出：
sin A=sin(B+C)，cos A=-cos(B+C).
而=-，有sin=cos，cos=sin.
二.题型
题型一:已知两角和任意一边，求第三个角和另外两边
1.已知在
2.在△ABC中，已知BC=12，A=60°，B=45°，那么AC=
题型二: 已知两边和其中一边的对角，求第三边和另外两角．
1、在
解：∵
∴
2、
解：
，
　3.在△ABC中，根据下列条件解三角形：
(1)c=，A=45°，a=2；
(2)c=3，A=45°，a=2.
【解答】
(1)可得sin C=，所以C=30°或C=150°.
又因为C+A<180°，所以C=150°不符合要求.
所以C=30°，B=105°，b===+1.
(2)可得sin C=.
因为>1，所以此三角形无解.
三.练习
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝，b＝，B＝60°，那么A＝(　　)
A．45°　　　　B．135°
C．45°或135° D．60°
解析：由正弦定理可得sinA＝，但a答案：A
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3，则AC＝(　　)
A．4 B．2
C. D.
解析：由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝2.
答案：B
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝(　　)
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：∵根据正弦定理＝＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，
∴acosA＝bsinB可化为sinAcosA＝sin2B.
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是(　　)
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且＝＝，试判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理＝＝＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入＝＝中，得＝＝，
即＝＝，
6.锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=2bsin A，则角B=　　　　.
7.△ABC中，若a=2，b=3，C=，则△ABC的面积为　　　　

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