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余弦定理
一.知识点
1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
a2＝b2＋c2－2bccosA，
b2＝a2＋c2－2accosB，
c2＝a2＋b2－2abcosC.
2.余弦定理的推论：，，．
3.设、、是的角、、的对边，则：
①若，则；
②若，则；
③若，则．
4.利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题：
(1)已知三边，求三个角；
(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.
二.题型
类型一 已知两边和一角解三角形
例1 在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A.
解析：方法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝，sin15°＝sin(45°－30°)＝.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋8－2×(＋)＝8－4，∴c＝－.
又b>a，∴B>A.∴角A为锐角．
由正弦定理，得sinA＝sinC＝×＝.
∴A＝30°.
变式训练1　在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，求角A、C和边a.
解析：方法一：由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，
∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.
当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°.
当a＝6时，由余弦定理sinA＝＝＝1.
∴A＝90°，∴C＝60°.
类型二 已知三边解三角形
例2 在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，求A，B，C.
解析：(1)由余弦定理得
cosA＝＝＝，
cosB＝＝＝，
∴A＝60°，B＝45°.
∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°.
变式训练2　在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.
解析：∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理，有cosA＝＝－，
∴A＝120°.∴sinA＝.
由正弦定理，得sinC＝sinA＝×＝.
类型三 判断三角形的形状
例3 已知△ABC，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，满足acosA＋bcosB＝ccosC，判断△ABC的形状．
解析：由余弦定理得cosA＝，cosB＝，
cosC＝，代入已知条件得
a·＋b·－c·＝0.
去分母整理得
a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0.
展开整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
所以△ABC是直角三角形．
变式训练3　在△ABC中，若已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，并且sinC＝2sinBcosA，试判断△ABC的形状．
解析：由正弦定理，可得sinB＝，sinC＝.
由余弦定理，得cosA＝.
代入sinC＝2sinBcosA，得c＝2b·.
整理得a＝b.
又因为(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，所以a2＋b2－c2＝ab，即cosC＝＝. 故C＝.又a＝b，所以△ABC为等边三角形．
三.练习
1．在△ABC中，若sin2A＋sin2BA．钝角三角形 B．直角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
解析：由sin2A＋sin2B所以cosC＝<0，所以∠C为钝角，
即△ABC为钝角三角形．
答案：A
2．在△ABC中，a＝1，B＝60°，c＝2，则b等于(　　)
A．1 B.
C. D．3
解析：b2＝a2＋c2－2accosB＝1＋4－2×1×2×＝3，故b＝.
答案：C
3．在△ABC中，c2－a2－b2＝ab，则角C为(　　)
A．60° B．45°或135°
C．150° D．30°
解析：∵cosC＝＝＝－，
∴C＝150°.
答案：C
4．在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝3∶5∶7，则此三角形的最大内角的度数等于________．21cnjy.com
解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝3∶5∶7，不妨设a＝3，b＝5，c＝7，则c边最大，∴角C最大．∴cosC＝＝＝－，∵0°∴C＝120°.
答案：120°
5．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
已知a＝4，c＝6，cosB＝，
(1)求b的值；
(2)求sinC的值．
解析：(1)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝42＋62－2×4×6×＝40，∴b＝2.【来源：21·世纪·教育·网】
(2)解法一：由余弦定理，得
cosC＝＝＝.
∵C是△ABC的内角．∴sinC＝＝.
解法二：∵cosB＝，且B是△ABC的内角，
∴sinB＝＝.根据正弦定理，＝，得sinC＝＝＝.
例2 在△ABC中，若a＝2，b＝2，c＝＋，求A，B，C.
解析：(1)由余弦定理得
cosA＝＝＝，
cosB＝＝＝，
∴A＝60°，B＝45°.
∴C＝180°－A－B＝180°－60°－45°＝75°.

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