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浙江省温州市龙湾区海城中学2024学年九年级第二学期数学适应性检测试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列四个实数最大的是（　　）
A．-3 B．0 C． D．2
2．（2025九下·温州月考）由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录.其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025九下·温州月考）如图，A，B是上的点，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点A，B对应点是点交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（　　）
A．6 B．7 C．9 D．11
8．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
9．反比例函数的图象上有两点，下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．（2025九下·温州月考）如图，在等腰直角三角形ABC中，是BC上一点，，连结AD，作，交BC的垂线CE于点.连结AE，交BC于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．xy C． D．
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．已知二元一次方程，若时，则　 　.
12．（2020八上·宜春期末）因式分解： =　 　．
13．（2025九下·温州月考）如图，在中，是BC边上一点，，若，则的度数为　 　.
14．在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球.已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为0.3，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为　 　.
15．（2025九下·温州月考）如图，点是以BC为直径的半圆上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于，交AC于.若时，则MN的值为　 　.
16．（2025九下·温州月考）如图，在直角坐标系中，是直线上一点，连结沿着AB折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点.若，则的值为　 　.
三、解答题（本题共8题，共72分）
17．计算：.
18．解方程组：.
19．为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的50名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）.
某中学50名男生的身高频数统计表
组别 分组 频数
I 3
II 5
III 14
IV 18
V 8
VI 2
（1）请判断这50名男生的身高中位数落在哪一组；
（2）这50名男生中身高175cm及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？
20．（2025九下·温州月考）如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角.已知高台CD为4米，请计算该树的高度AB.（参考数据：）
21．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，要用尺规在直角边BC上找一点使.
作图方法：延长AB，以为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点，连结CD交圆于点，连结AE交BC的点即为.
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求.
22．（2025九下·温州月考）一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同.请结合图象解答下列问题：
（1）分别求小轿车和大客车的速度；
（2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；
（3）求出发后经过多少小时两车相距10km？
23．已知二次函数的解析式为.
（1）若点在该二次函数的图象上，求的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当时，函数有最大值和最小值，求证：.
24．（2025九下·温州月考）如图，在四边形ABCD中，的平分线BE交AD于，过三点的圆交BC于，且BE恰好是圆的切线，是上一点，连结EG，FG.
（1）求的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若是的中点，，求AB的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-3＜0＜＜2，
∴最大的数是2；
故答案为：D.
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：凳子的主视图为：
故答案为：A.
【分析】根据正面看到的几何图形解答即可.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 20000000 = 2 × 107；
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D.不能再开方， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解.
5．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵ 不等式组无解，
∴a ≤ 2；
故答案为：B.
【分析】 根据不等式组解集的取值规则 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”即可得出a的取值范围.
6．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心是点O，
∴OB=OC=2B'C，即，
∵和是位似图形，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据位似中心可得OB=OC=2B'C，然后根据位似图形的性质得到，解题即可.
7．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当0 ≤x≤ 6时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x =-1(舍去)；
当6 ≤x≤ 8时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x = 9.5(舍去)；
当8 由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x = 9.5(x为整数，故舍去)；
当10 由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得 = 11，
当 x＞13时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得 = 11(舍去)；
综上所述，x的值为11；
故答案为：D.
【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答.
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：连接DA并延长交CF于点H，
则，，
又∵AD、CF是正方形的对角线，
∴∠EAD=∠HAC=∠ACH=45°，
∴∠AHC=90°，
∴AH=，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接DA并延长交CF于点H，然后得到∠AHC=90°，再根据勾股定理求出对角线长，然后利用正切的定义解答即可.
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由条件可知：函数位于第一、三象限，y随x的增大而减小，
∴①0 y2，
解得：0即当0 y2，
②0<2-t解得：1即当1 所以结合选项可知：B符合题意；
故答案为：B.
【分析】通过分析点P(t，y1)和Q(2-t，y2)在反比例函数y=中的横坐标t和2-t的取值范围，结合反比例函数的单调性，比较y1和y2的大小关系.
10．【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴BM=MC=AM=，
∵CF=x，
∴MF=CM-CF=4-x，
∵AM⊥BC，DE⊥BC，
∴AM∥CE，
使用△AMF∽△ECF，
∴，即，
整理得，
故答案为：D.
【分析】：过点A作AM⊥BC于点M，即可得到BM=MC=AM=4，然后证明△AMF∽△ECF，即可得到，然后代入数值整理计算解题即可.
11．【答案】2
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：将 代入 方程 中得，
，
解得：x=2；
故答案为：2.
【分析】利用代入法，将 y 的值代入方程，即可解出 x的值.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
【分析】利用因式分解法解题即可。
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=70°，
∴∠BEA=∠DAE，
又∵，
∴∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-70°-70°=40°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ADC=∠B=70°，∠BEA=∠DAE，然后根据等边对等角得到∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，即可求出∠ADE的度数，利用角的和差计算解题.
14．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有10个小球， 任意摸出一球是白球的概率为0.3 ，
∴白球的个数为：0.3×10=3（个），
若袋子中再加入2个红球，则球的总数为：10+2=12（个），
则袋子中再加入2个红球，摸出一球是白球的概率为：；
故答案为：.
【分析】根据概率公式先求出白球的个数，再根据概率公式即可得出答案.
概率=所求情况数与总情况数之比.
15．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，
∵D，E分别是和的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵BC是直径，
∴∠A=90°，
∴OFAG是矩形，BF=FA=4，AG=CG=3，
∴OF=3，OG=4，∠DOE=90°，
∴∠D=∠E=45°，
又∵，
∴OD=OE=5，
∴DF=FM=2，EG=NG=1，
∴AM=2，AN=2，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，即可得到OFAG是矩形，求出OF=3，OG=4，然后根据勾股定理求出半径为5，然后求出AM和AN长，利用勾股定理解题即可.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
17．【答案】解：原式=
=-1-4+3
=-5+3
=-2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘法法则，平方根、绝对值的代数意义，以及立方根定义化简，再根据加减法计算即可求出值.
18．【答案】解：，
①+②得，3x=6，
解得：x=2，
将x=2代入①式得，
2+y=3，
解得：y=1，
则方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可得出答案.
19．【答案】（1）解：由统计表可知，
前三个组(154.5 ~ 169.5)的频数之和是：3+5+14=22，
即前三个组包含22名男生，
则第25和第26名男生的身高落在第IV个组(169.5 ~ 174.5)，
∴这50名男生的身高中位数落在第IV组
（2）解：由统计表可知，
身高175cm及以上的男生人数为8+2=10，
占所有人数的×100%=20%
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)中位数的位置是第25和26个数据，通过累积频数确定其所在组别；
(2)统计身高≥175cm的频数并计算百分比.
20．【答案】解：过D作于E，设.
在Rt中，
在Rt中，
，即
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作于E，设，然后在Rt和Rt中，利用正切分别求出BC和AE长，然后利用线段的和差解题即可.
21．【答案】（1）证明：由作图可知，AD是的直径
.
即
.
即
（2），
，
，
，
，
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到然后根据等边对等角得到AC=CD，再根据三线合一和圆周角定理的推论得到结论即可；
（2）根据两角相等的两三角形相似得到，即可得到，代入数值求出AB长，然后根据正切的定义解题即可.
22．【答案】（1）由图象可知：小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
小轿车的速度为，大客车的速度为
（2）由图像可知：，
小轿车往返的速度相同，
，
设BC的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
设OD的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
（3）设OA的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过10km；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过0.5小时或2.6小时或2.8小时两车相距10km
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
(2)先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
(3)分，，三种情况，列方程解答即可.
23．【答案】（1）解：将（t，c）代入 中得，
，
解得：t=0或t=2
（2）解：(2)∵y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，
∴顶点坐标为（1，c-1），
∵ 顶点在轴上 ，
∴c-1=0，
解得：c=1，
故二次函数的解析式为
（3）解：∵y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当-1≤x≤2时，函数有最小值，
∵当x=-1时，y=3+c；
当x=2时，y=c，
∴当-1≤x≤2时，函数有最大值m=3+c，
∴mn=(c-1)(c+3)=c2+2c-3=(c+1)2-4，
∴当c=-1时，mn有最小值-4，
∴mn ≥-4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点(t，c)的坐标代入函数解析式，即可求出t的值；
(2)根据顶点在x轴上，可得顶点的纵坐标为0，从而可求出c的值，即可求出该二次函数的解析式；
(3)根据二次函数的图象与性质，可得当 -1 ≤x ≤2 时，函数有最大值和最小值，再分情况讨论即可.
24．【答案】（1）连结EC，
，
是直径，
是切线，
.
平分，
，
，
（2）①记EC与FG的交点为.
为直径，
，
，
四边形BEGF是平行四边形.
②连结EF，
是直径，
，即.
，
，
.
是的中点，
，
，
.
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连结EC，即可得到是直径，再根据切线的性质得到BE⊥EC，然后根据角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求出∠EGF的度数即可；
（2）①记EC与FG的交点为，得到，即可得到，进而得到结论即可；
②连结EF，则可得到∠EFC=90°，求出BE长，然后根据圆周角定理和三角形的内角和定理得到∠AEB的度数，再证明AB∥EF得到∠A=∠AEB，即可求出AB长.
1 / 1浙江省温州市龙湾区海城中学2024学年九年级第二学期数学适应性检测试题
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分.每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．下列四个实数最大的是（　　）
A．-3 B．0 C． D．2
【答案】D
【知识点】无理数的大小比较；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵-3＜0＜＜2，
∴最大的数是2；
故答案为：D.
【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，比较即可得出答案.
2．（2025九下·温州月考）由一个长方体和两个圆柱组合成的凳子如图所示，则它的主视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：凳子的主视图为：
故答案为：A.
【分析】根据正面看到的几何图形解答即可.
3．截止2025年2月14日，我国第三代自主超导量子计算机“本源悟空”全球访问量突破2000万次，刷新了我国自主量子算力服务规模记录.其中数据“2000万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 20000000 = 2 × 107；
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的表示方法即可得出答案.
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1 ≤ a < 10，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值< 1时，n是负数.
4．下列运算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A. ，正确，故A符合题意；
B. ，故B不符合题意；
C. ，故C不符合题意；
D.不能再开方， 故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的乘法，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，二次根式的性质与化简的运算法则进行计算即可求解.
5．若关于的一元一次不等式组无解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：∵ 不等式组无解，
∴a ≤ 2；
故答案为：B.
【分析】 根据不等式组解集的取值规则 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”即可得出a的取值范围.
6．（2025九下·温州月考）如图，A，B是上的点，是外的点，和是位似图形，位似中心为点，点A，B对应点是点交于点，若，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵位似中心是点O，
∴OB=OC=2B'C，即，
∵和是位似图形，
∴△AOB∽△A'OB'，
∴，
∴
故答案为：A.
【分析】根据位似中心可得OB=OC=2B'C，然后根据位似图形的性质得到，解题即可.
7．某班有5名同学的引体向上的成绩分别为6，6，8，10，13（单位：个），若又有一名同学的成绩为个，且这6名同学的中位数和平均数恰好相等，则的值为（　　）
A．6 B．7 C．9 D．11
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：当0 ≤x≤ 6时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x =-1(舍去)；
当6 ≤x≤ 8时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x = 9.5(舍去)；
当8 由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得x = 9.5(x为整数，故舍去)；
当10 由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得 = 11，
当 x＞13时，
由题意可得(x+6+6+8+10+13)=，
解得 = 11(舍去)；
综上所述，x的值为11；
故答案为：D.
【分析】要进行分类讨论，再根据中位数与平均数恰好相等，列式计算，再注意x为非负整数的条件，即可作答.
8．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACGF，连结CF，DF，设，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】正方形的性质；求正切值
【解析】【解答】解：连接DA并延长交CF于点H，
则，，
又∵AD、CF是正方形的对角线，
∴∠EAD=∠HAC=∠ACH=45°，
∴∠AHC=90°，
∴AH=，
∴，
∴，
故答案为：C.
【分析】连接DA并延长交CF于点H，然后得到∠AHC=90°，再根据勾股定理求出对角线长，然后利用正切的定义解答即可.
9．反比例函数的图象上有两点，下列正确的选项是（　　）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由条件可知：函数位于第一、三象限，y随x的增大而减小，
∴①0 y2，
解得：0即当0 y2，
②0<2-t解得：1即当1 所以结合选项可知：B符合题意；
故答案为：B.
【分析】通过分析点P(t，y1)和Q(2-t，y2)在反比例函数y=中的横坐标t和2-t的取值范围，结合反比例函数的单调性，比较y1和y2的大小关系.
10．（2025九下·温州月考）如图，在等腰直角三角形ABC中，是BC上一点，，连结AD，作，交BC的垂线CE于点.连结AE，交BC于，若设，在的运动过程中，下列代数式的值不变的是（　　）
A． B．xy C． D．
【答案】D
【知识点】等腰直角三角形；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB=AC，∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴BM=MC=AM=，
∵CF=x，
∴MF=CM-CF=4-x，
∵AM⊥BC，DE⊥BC，
∴AM∥CE，
使用△AMF∽△ECF，
∴，即，
整理得，
故答案为：D.
【分析】：过点A作AM⊥BC于点M，即可得到BM=MC=AM=4，然后证明△AMF∽△ECF，即可得到，然后代入数值整理计算解题即可.
二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分）
11．已知二元一次方程，若时，则　 　.
【答案】2
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：将 代入 方程 中得，
，
解得：x=2；
故答案为：2.
【分析】利用代入法，将 y 的值代入方程，即可解出 x的值.
12．（2020八上·宜春期末）因式分解： =　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=(a+2b)(a-2b) ．
【分析】利用因式分解法解题即可。
13．（2025九下·温州月考）如图，在中，是BC边上一点，，若，则的度数为　 　.
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ADC=∠B=70°，
∴∠BEA=∠DAE，
又∵，
∴∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，
∴∠ADE=180°-∠DAE-∠DEA=180°-70°-70°=40°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=70°-40°=30°，
故答案为：30°.
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ADC=∠B=70°，∠BEA=∠DAE，然后根据等边对等角得到∠B=∠AEB=∠DAE=∠DEA=70°，即可求出∠ADE的度数，利用角的和差计算解题.
14．在一个不透明的袋子中，装有10个除颜色外其他均相同的小球.已知从袋中任意摸出一球是白球的概率为0.3，若袋子中再加入2个红球，则摸出一球是白球的概率为　 　.
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵共有10个小球， 任意摸出一球是白球的概率为0.3 ，
∴白球的个数为：0.3×10=3（个），
若袋子中再加入2个红球，则球的总数为：10+2=12（个），
则袋子中再加入2个红球，摸出一球是白球的概率为：；
故答案为：.
【分析】根据概率公式先求出白球的个数，再根据概率公式即可得出答案.
概率=所求情况数与总情况数之比.
15．（2025九下·温州月考）如图，点是以BC为直径的半圆上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于，交AC于.若时，则MN的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；垂径定理的推论
【解析】【解答】解：连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，
∵D，E分别是和的中点，
∴OD⊥AB，OE⊥AC，
又∵BC是直径，
∴∠A=90°，
∴OFAG是矩形，BF=FA=4，AG=CG=3，
∴OF=3，OG=4，∠DOE=90°，
∴∠D=∠E=45°，
又∵，
∴OD=OE=5，
∴DF=FM=2，EG=NG=1，
∴AM=2，AN=2，
∴，
故答案为：.
【分析】连接OD交AB于点F，连接OE交AC于点G，即可得到OFAG是矩形，求出OF=3，OG=4，然后根据勾股定理求出半径为5，然后求出AM和AN长，利用勾股定理解题即可.
16．（2025九下·温州月考）如图，在直角坐标系中，是直线上一点，连结沿着AB折叠，点的对应点为，过点作轴，交直线于点，交轴于点.若，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；矩形的判定与性质；一次函数中的动态几何问题
三、解答题（本题共8题，共72分）
17．计算：.
【答案】解：原式=
=-1-4+3
=-5+3
=-2
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先利用乘法法则，平方根、绝对值的代数意义，以及立方根定义化简，再根据加减法计算即可求出值.
18．解方程组：.
【答案】解：，
①+②得，3x=6，
解得：x=2，
将x=2代入①式得，
2+y=3，
解得：y=1，
则方程组的解为：
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】利用加减消元法解方程组即可得出答案.
19．为了了解中学生的身体发育情况，对某中学同龄的50名男生的身高进行测量并整理得到如图的频数统计表（所有身高均为整数）.
某中学50名男生的身高频数统计表
组别 分组 频数
I 3
II 5
III 14
IV 18
V 8
VI 2
（1）请判断这50名男生的身高中位数落在哪一组；
（2）这50名男生中身高175cm及以上的人数有多少？占所有人数的百分之几？
【答案】（1）解：由统计表可知，
前三个组(154.5 ~ 169.5)的频数之和是：3+5+14=22，
即前三个组包含22名男生，
则第25和第26名男生的身高落在第IV个组(169.5 ~ 174.5)，
∴这50名男生的身高中位数落在第IV组
（2）解：由统计表可知，
身高175cm及以上的男生人数为8+2=10，
占所有人数的×100%=20%
【知识点】中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【分析】(1)中位数的位置是第25和26个数据，通过累积频数确定其所在组别；
(2)统计身高≥175cm的频数并计算百分比.
20．（2025九下·温州月考）如图，某数学兴趣小组为了测量河对面一棵大树的高度，在河的另一侧高台上的处测得树顶的仰角，高台处测得树顶的仰角.已知高台CD为4米，请计算该树的高度AB.（参考数据：）
【答案】解：过D作于E，设.
在Rt中，
在Rt中，
，即
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过D作于E，设，然后在Rt和Rt中，利用正切分别求出BC和AE长，然后利用线段的和差解题即可.
21．（2025九下·温州月考）如图，在Rt中，，要用尺规在直角边BC上找一点使.
作图方法：延长AB，以为圆心，AB为半径作圆，交AB的延长线于点，连结CD交圆于点，连结AE交BC的点即为.
（1）求证：通过尺规作图，；
（2）若，求.
【答案】（1）证明：由作图可知，AD是的直径
.
即
.
即
（2），
，
，
，
，
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到然后根据等边对等角得到AC=CD，再根据三线合一和圆周角定理的推论得到结论即可；
（2）根据两角相等的两三角形相似得到，即可得到，代入数值求出AB长，然后根据正切的定义解题即可.
22．（2025九下·温州月考）一辆小轿车和一辆大客车沿同一公路同时从甲地出发去乙地，图中折线和线段OD分别表示小轿车和大客车离开甲地的路程与时间的关系，其中小轿车往返的速度相同.请结合图象解答下列问题：
（1）分别求小轿车和大客车的速度；
（2）小轿车和大客车出发后，是否能再次相遇，若能相遇，求出相遇时与甲地的距离；若不能相遇，请说明理由；
（3）求出发后经过多少小时两车相距10km？
【答案】（1）由图象可知：小轿车的速度为：，
大客车的速度为：，
小轿车的速度为，大客车的速度为
（2）由图像可知：，
小轿车往返的速度相同，
，
设BC的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
设OD的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
联立方程组，得：，
解得：，
两车出发2.7小时后相遇，此时距离甲地108km
（3）设OA的解析式为，过点，
，
解得：，
的解析式为，
当时，
得：，解得：；
当时，则，
得：，
此时，两车相距超过10km；
当时，
得：，
解得：或；
综上所述，出发后经过0.5小时或2.6小时或2.8小时两车相距10km
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【分析】(1)根据函数图象中的数据，可以计算出小轿车和大客车的速度；
(2)先确定BC与OD所在直线的解析式，再联立方程组求解即可确定两车出发多少小时两车相遇，两车相遇时，距离甲地的路程；
(3)分，，三种情况，列方程解答即可.
23．已知二次函数的解析式为.
（1）若点在该二次函数的图象上，求的值；
（2）若该二次函数图象的顶点在轴上，求该二次函数的解析式；
（3）当时，函数有最大值和最小值，求证：.
【答案】（1）解：将（t，c）代入 中得，
，
解得：t=0或t=2
（2）解：(2)∵y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，
∴顶点坐标为（1，c-1），
∵ 顶点在轴上 ，
∴c-1=0，
解得：c=1，
故二次函数的解析式为
（3）解：∵y=x2-2x+c=（x-1）2+c-1，
∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，
∴当-1≤x≤2时，函数有最小值，
∵当x=-1时，y=3+c；
当x=2时，y=c，
∴当-1≤x≤2时，函数有最大值m=3+c，
∴mn=(c-1)(c+3)=c2+2c-3=(c+1)2-4，
∴当c=-1时，mn有最小值-4，
∴mn ≥-4
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)将点(t，c)的坐标代入函数解析式，即可求出t的值；
(2)根据顶点在x轴上，可得顶点的纵坐标为0，从而可求出c的值，即可求出该二次函数的解析式；
(3)根据二次函数的图象与性质，可得当 -1 ≤x ≤2 时，函数有最大值和最小值，再分情况讨论即可.
24．（2025九下·温州月考）如图，在四边形ABCD中，的平分线BE交AD于，过三点的圆交BC于，且BE恰好是圆的切线，是上一点，连结EG，FG.
（1）求的度数；
（2）当FG是圆的直径，
①求证：四边形BEGF是平行四边形；
②若是的中点，，求AB的长．
【答案】（1）连结EC，
，
是直径，
是切线，
.
平分，
，
，
（2）①记EC与FG的交点为.
为直径，
，
，
四边形BEGF是平行四边形.
②连结EF，
是直径，
，即.
，
，
.
是的中点，
，
，
.
，
，
，
，
【知识点】平行四边形的判定；圆周角定理；切线的性质
【解析】【分析】（1）连结EC，即可得到是直径，再根据切线的性质得到BE⊥EC，然后根据角平分线的定义和直角三角形的两锐角互余求出∠EGF的度数即可；
（2）①记EC与FG的交点为，得到，即可得到，进而得到结论即可；
②连结EF，则可得到∠EFC=90°，求出BE长，然后根据圆周角定理和三角形的内角和定理得到∠AEB的度数，再证明AB∥EF得到∠A=∠AEB，即可求出AB长.
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