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第八章　§8.1　直线的方程
分值：83分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.若向量a=(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
2.已知直线(a-)x+y+2=0的倾斜角为30°，则a等于(　　)
A.2 B. C. D.0
3.已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<<β，则下列关系正确的是(　　)
A.0C.k1<04.已知直线l倾斜角的余弦值为-，且经过点(2，1)，则直线l的方程为(　　)
A.2x+y-5=0 B.2x-y-3=0
C.x-2y=0 D.x+2y-4=0
5.(2024·重庆期末)函数y=ex+1的图象在点(0，1+)处的切线的倾斜角为(　　)
A. B. C. D.
6.若直线y=-在y轴上的截距为-1，且它的倾斜角是直线y=x+的倾斜角的2倍，则(　　)
A.m=-4，n=-3 B.m=4，n=3
C.m=4，n=-3 D.m=-4，n=3
7.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi+1|(i=1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi+1|(i=1，2，3，…，9)均为18 m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|=84 m，|OA1|=78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为(　　)
A.± B.± C.± D.±
8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为(　　)
A.- B.- C.- D.-
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.下列命题中错误的是(　　　　)
A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B.任何直线都存在斜率和倾斜角
C.直线的一般式方程为Ax+By+C=0
D.任何一条直线至少要经过两个象限
10.下列结论正确的有(　　　　)
A.直线l：2x+y-2=0在x轴上的截距为1
B.如果AB<0，BC<0，那么直线Ax+By+C=0不经过第三象限
C.直线kx-y-2k+1=0恒过定点(2，1)
D.方程y-4=k(x-3)可以表示平面内所有过点(3，4)的直线
11.下列说法正确的是(　　　　)
A.直线y=ax-2a+3(a∈R)必过定点(2，3)
B.直线y+1=2x在y轴上的截距为1
C.直线x+y+3=0的倾斜角为150°
D.点A(2，-3)，B(-3，-2)，直线l：mx+y-m-1=0与线段AB相交，则实数m的取值范围是
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为-1，则直线l的一般式方程是　　　　　　　　.
13.若θ∈，则经过两点P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)的直线的倾斜角为　　　　　　.
14.已知点A(-1，3)，B(3，2)，过点P的直线l与线段AB相交，则直线l的倾斜角的取值范围为　　　　　　，直线l的斜率的取值范围为　　　　　　.
每小题5分，共10分
15.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则直线l的斜率为　　　　　　.
16.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为　　　　　　　　　.
答案精析
1.A　2.C
3.D　[依题意得k1=tan α，k2=tan β，α∈β∈
而y=tan x在和
上单调递增，且在上，y=tan x>0，在上，y=tan x<0，
所以tan β<04.A　[设直线l的倾斜角为θ∈[0，π)，则cos θ=-
可得sin θ==
则直线l的斜率k=tan θ==-2，
且直线l经过点(2，1)，
所以直线l的方程为y-1=-2(x-2)，
即2x+y-5=0.]
5.C　[根据题意，函数y=ex+1，y'=ex，
当x=0时，y'=
设该切线的倾斜角为α(0≤α<π)，则tan α=所以α=即函数y=ex+1的图象在点(0，1+)处的切线的倾斜角为.]
6.D　[y=-=-x-
令x=0得y=-=-1，得n=3，即y=-x-1，
设直线y=x+的倾斜角为α，
则tan α=
显然α是锐角，则tan 2α===得-=
得m=-4.]
7.B　[由题意知{|OPi|}，{|OAi|}(i=1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，
所以|OP10|=|OP1|+9×4=84+9×4=120，|OA10|=|OB10|=|OA1|+9×18=78+9×18=240，
则P10(0，120)，A10(240，0)，
B10(-240，0)，
所以==
==-
即最长拉索所在直线的斜率为±.]
8.C　[由题意可设直线l：y-8=k(x-6)(k<0)，
即y=kx+8-6k(k<0).
不妨假设A在x轴上，
则AB(0，8-6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6-8-6k，
所以△ABC的面积S
=(8-6k)
=
≥(64+2)=32+16
当且仅当-=-12k(k<0)，
即k=-时，等号成立.]
9.BCD　[若直线的倾斜角α∈则其斜率k=tan α<0，A正确；
倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；
直线的一般式方程为Ax+By+C=0，A2+B2≠0，C错误；
当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.]
10.AC　[对于A，当y=0时，x=1，即直线l：2x+y-2=0在x轴上的截距为1，A正确；
对于B，由AB<0，BC<0，得直线Ax+By+C=0的斜率->0，在y轴上的截距->0，
因此直线Ax+By+C=0经过第一、二、三象限，B错误；
对于C，直线kx-y-2k+1=0，
即k(x-2)-(y-1)=0恒过定点(2，1)，C正确；
对于D，方程y-4=k(x-3)不能表示直线x=3，D错误.]
11.AC　[直线y=ax-2a+3=a(x-2)+3过定点(2，3)，A选项正确；
直线y+1=2x即y=2x-1，纵截距为-1，B选项错误；
直线x+y+3=0的斜率为-倾斜角为150°，C选项正确；
直线l：mx+y-m-1=0即m(x-1)+y-1=0过定点C(1，1)，画出图象如图所示，其中kAC==-4，kBC==直线l的斜率为-m，所以-m≥或-m≤-4，解得m≥4或m≤-D选项错误.]
12.x-y+=0
解析　由直线l的倾斜角为可得直线l的斜率为tan=
又由直线l在x轴上的截距为-1，所以直线方程为y=(x+1)，即直线l的一般式方程是x-y+=0.
13.-θ
解析　当θ=0时，Q(0，1)，此时直线的倾斜角为；
当θ≠0时，因为P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)，
所以kPQ=又因为tan
==
且-θ∈∪
所以直线的倾斜角为-θ.
综上，直线的倾斜角为-θ.
14.　(-∞，-1]∪[1，+∞)
解析　如图所示，由点A(-1，3)，
B(3，2)，P
可得直线PA的斜率为=-1，直线PB的斜率为=1，
由直线l与线段AB相交，可得直线l的斜率的取值范围是(-∞，-1]∪[1，+∞)；由斜率与倾斜角的关系得倾斜角的取值范围为.
15.
解析　由题意，设直线方程为y=kx+b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y=k(x-2)+b+1，化简得y=kx-2k+b+1，因为平移后与原直线重合，则kx+b=kx-2k+b+1，解得k=即直线l的斜率为.
16.3x-y-5=0
解析　设直线l的方程为y=3x+d，当直线l与L相交时，随着d的减小，L在这条直线上半部分的面积一定增加，
下半部分的面积一定减小，任意一条过A(2，1)的直线将圆1与圆2组成的区域划分为面积相等的两个区域，任意一条过B(3，4)的直线将圆3与圆4组成的区域划分为面积相等的两个区域，对于其余的四个圆，直线AB将其平分，因此直线AB将L划分为面积相等的两个区域且kAB==3，∴直线AB的方程为y-1=3(x-2)，即直线l：3x-y-5=0.§8.1　直线的方程
课标要求　1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
1.直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l　　　　的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为　　　　　　　　.
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的　　　　　叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k=　　　　　.(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k=　　　　　　.
4.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 不含直线x=x0
斜截式 不含垂直于x轴的直线
两点式 不含直线x=x1和直线y=y1
截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 平面直角坐标系内的直线都适用
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.(　　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(　　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　)
(4)截距一定是正数.(　　)
2.直线x-y+2 025=0的倾斜角是(　　)
A.30° B.45° C.60° D.90°
3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为　　　　　　　　　　　　.
4.直线x+(m+1)y+m=0(m∈R)所过的定点坐标为　　　　.
1.掌握倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
2.直线的方向向量
当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k).
3.谨记以下两个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y=kx+b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x=ty+b.
题型一　直线的倾斜角与斜率
例1　(1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A.k1C.k1(2)直线(1-a2)x+y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.
C.∪ D.∪
思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.
跟踪训练1　(1)(多选)已知直线l：x+y-2=0，则下列选项中正确的有(　　)
A.直线l的斜率为-
B.直线l的倾斜角为
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v=(-，3)
(2)(2025·信阳模拟)动点P在函数y=-(x+1)(x≥0)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角的取值范围是(　　)
A. B.∪
C. D.
题型二　求直线的方程
例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是(　　)
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示
B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示
C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y=kx+b表示
(2)(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A.直线y=5x-3在y轴上的截距为-3
B.过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+1=0
C.A(1，3)，B(2，5)，C(-2，-3)三点共线
D.经过点(-1，1)且倾斜角是直线y=2x+3的倾斜角的两倍的直线方程为4x+3y+1=0
思维升华　求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
跟踪训练2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(-1，-3)，且斜率为-；
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的区域的面积为6；
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.
题型三　直线方程的综合应用
例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
延伸探究
1.在本例条件下，当|OA|+|OB|取最小值时，求直线l的方程.
2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
思维升华　直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
跟踪训练3　(1)(2024·菏泽模拟)“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)已知O是坐标原点，直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R).若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，则△AOB的面积最小值为　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
2.(1)向上　(2)0°≤α<180°
3.(1)正切值　tan α　(2)
4.y-y0=k(x-x0)　y=kx+b　=(x1≠x2，y1≠y2)
+=1　Ax+By+C=0(A2+B2≠0)
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　
2.C　3.3x-2y=0或x+y-5=0　4.(1，-1)
探究核心题型
例1　(1)A　[当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1(2)C　[设(1-a2)x+y+1=0的倾斜角为α∈[0，π)，
由题意可知，直线的斜率k=a2-1≥-1，即tan α≥-1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.]
跟踪训练1　(1)AD　[由l：x+y-2=0，可得y=-x+2，故其斜率为k=-倾斜角为故A项正确，B项错误；
由直线y=-x+2知其斜率k<0，纵截距b=2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；
取直线l上两点A(0，2)，B(-1)，可得=(-3)，即直线l的一个方向向量为v=(-3)，故D项正确.]
(2)C　[设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，
因为函数y=--(x≥0)，
所以y'=--
=-≤-×2=-
当且仅当3=即x=时取等号，
又因为θ∈[0，π)，所以tan θ≤-
所以θ的取值范围为.]
例2　(1)BC　[经过定点P0(x0，y0)的直线，当斜率存在时，可以用方程y-y0=k(x-x0)表示，当斜率不存在时，用方程x=x0表示，A错误；
经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2-x1)·(y-y1)=(y2-y1)·(x-x1)表示，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C正确；
经过定点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y=kx+b表示，D错误.]
(2)ACD　[直线y=5x-3在y轴上的截距为-3，故A正确；
当在x轴、y轴上的截距都为0时，直线方程为4x-3y=0；当在x轴、y轴上的截距都不为0时，设直线方程为x-y=m，则m=3-4=-1，所以直线方程为x-y+1=0，故过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x-y+1=0或4x-3y=0，故B错误；
因为kAB==2，kAC==2，所以kAB=kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(-2，-3)三点共线，故C正确；
设直线y=2x+3的倾斜角为α，则tan α=2，显然α是锐角，因此所求直线的斜率k=tan 2α===-所以所求的直线方程为y-1=-(x+1)，即4x+3y+1=0，故D正确.]
跟踪训练2　解　(1)∵所求直线过点A(-1，-3)，且斜率为-
∴直线方程为y+3=-(x+1)，即x+4y+13=0.
(2)设直线方程为y=x+b，
令x=0，得y=b，
令y=0，得x=-b，
∴|b|·=6，解得b=±3，
∴直线方程为y=x±3，
即3x-4y±12=0.
(3)当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y=kx，
又直线过点(2，1)，
∴1=2k，解得k=
∴直线方程为y=x，即x-2y=0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为+=1，
由题意可得解得
∴直线方程为+=1，
即x+2y-4=0，
综上，所求直线方程为x-2y=0或x+2y-4=0.
例3　解　方法一　设直线l的方程为
y-1=k(x-2)(k<0)，
则AB(0，1-2k)，
S△AOB=(1-2k)·
=
≥
=×(4+4)=4，
当且仅当-4k=-且k<0，
即k=-时，等号成立.
故直线l的方程为y-1=-(x-2)，
即x+2y-4=0.
方法二　设直线l的方程为+=1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，
所以+=1，
则1=+≥2故ab≥8，
故S△AOB的最小值为ab=×8=4，
当且仅当=即a=4，b=2时，等号成立，
故直线l的方程为+=1，
即x+2y-4=0.
延伸探究
1.解　由本例方法二知+=1，a>0，b>0，
所以|OA|+|OB|=a+b
=(a+b)·
=3++≥3+2
当且仅当=
即a=2+b=1+时，等号成立，
所以当|OA|+|OB|取最小值时，直线l的方程为x+y-2-=0.
2.解　由本例方法一知A
B(0，1-2k)(k<0).
所以|MA|·|MB|=·
=2×=2≥4.
当且仅当-k=-且k<0，
即k=-1时，等号成立.
此时直线l的方程为x+y-3=0.
跟踪训练3　(1)C　[要使y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限，
则解得-因此，“直线y=(k-1)x+2k+1经过第一、二、四象限”是“-(2)4
解析　由题意知m≠-1，
又(m+1)x+y-2m-3=0，
令x=0，得y=2m+3，
令y=0，得x=
由得到m>-1，
所以S△AOB=×(2m+3)×=
令m+1=t>0，得到S△AOB==
=×8=4，
当且仅当4t=即t=时取等号，此时m=-.(共71张PPT)
第八章
§8.1　直线的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.
2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式).
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线的方向向量
设A，B为直线上的两点，则就是这条直线的方向向量.
2.直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l_____
的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为 .
向上
0°≤α<180°
3.直线的斜率
(1)定义：把一条直线的倾斜角α的 叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示，即k＝ .(α≠90°)
(2)过两点的直线的斜率公式
如果直线经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，其斜率k＝ .
正切值
tan α
4.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 _______________ 不含直线x＝x0
斜截式 __________ 不含垂直于x轴的直线
两点式 ______________________________ 不含直线x＝x1和直线y＝y1
截距式 _________ 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 ________________________ 平面直角坐标系内的直线都适用
y－y0＝k(x－x0)
y＝kx＋b
(x1≠x2，y1
≠y2)
＝1
Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角.(　　)
(2)直线的斜率越大，倾斜角就越大.(　　)
(3)若直线的倾斜角为α，则斜率为tan α.(　　)
(4)截距一定是正数. (　　)
×
√
×
×
2.直线x－y＋2 025＝0的倾斜角是
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
根据题意，设直线x－y＋2 025＝0的倾斜角为α，
因为其斜率k＝tan α＝，
又由0°≤α<180°，所以α＝60°.
3.过点P(2，3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为_________________
　　 　.
当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＝1，
则＝1，
解得a＝5，直线方程为x＋y－5＝0.
所以直线方程为3x－2y＝0或x＋y－5＝0.
3x－2y＝0或x＋y
－5＝0
4.直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)所过的定点坐标为　　　　 .
直线x＋(m＋1)y＋m＝0(m∈R)可以化为m(y＋1)＋y＋x＝0，
令解得故所过的定点坐标为(1，－1).
(1，－1)
1.掌握倾斜角与斜率的关系
(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系.
(2)当直线l的倾斜角α∈时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈时，α越大，直线l的
斜率越大.
(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率.
2.直线的方向向量
当直线的斜率k存在时，直线的一个方向向量为(1，k).
3.谨记以下两个关键点
(1)“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.
(2)当直线的斜率存在时，可设直线的方程为y＝kx＋b；当直线的斜率不为0时，可设直线的方程为x＝ty＋b.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)如图，若直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则
A.k1B.k3C.k1D.k3√
直线的倾斜角与斜率
题型一
当倾斜角为锐角时，斜率为正，倾斜角越大，倾斜程度越大，斜率越大；当倾斜角为钝角时，斜率为负，所以k1(2)直线(1－a2)x＋y＋1＝0(a∈R)的倾斜角的取值范围是
A. B.
C.∪ D.∪
√
设(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角为α∈[0，π)，
由题意可知，直线的斜率k＝a2－1≥－1，
即tan α≥－1，且α∈[0，π)，所以α∈∪.
直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)已知直线l：x＋y－2＝0，则下列选项中正确的有
A.直线l的斜率为－
B.直线l的倾斜角为
C.直线l不经过第四象限
D.直线l的一个方向向量为v＝(－，3)
√
√
由l：x＋y－2＝0，可得y＝－x＋2，故其斜率为k＝－，倾斜角为，故A项正确，B项错误；
由直线y＝－x＋2知其斜率k<0，纵截距b＝2>0，所以直线l不经过第三象限，经过第四象限，故C项错误；
取直线l上两点A(0，2)，B(，－1)，可得＝(－，3)，即直线l的一个方向向量为v＝(－，3)，故D项正确.
(2)(2025·信阳模拟)动点P在函数y＝－(x＋1)(x≥0)的图象上，以P为切点的切线的倾斜角的取值范围是
A. B.∪
C. D.
√
设以P点为切点的切线的倾斜角为θ，
因为函数y＝－(x≥0)，
所以y'＝－
＝－≤－×2＝－，
当且仅当3，即x＝时取等号，
又因为θ∈[0，π)，所以tan θ≤－，
所以θ的取值范围为.
例2　(1)(多选)下列四个选项中，正确的是
A.经过定点P0(x0，y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示
B.经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程
(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示
C.两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线
D.经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示
求直线的方程
题型二
√
√
经过定点P0(x0，y0)的直线，当斜率存在时，可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示，当斜率不存在时，用方程x＝x0表示，A错误；
经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(x2－x1)·(y－y1)＝(y2－y1)·(x－x1)表示，B正确；
两点式适用于不垂直于x轴和y轴的直线，C正确；
经过定点A(0，b)且垂直于x轴的直线不能用方程y＝kx＋b表示，D错误.
(2)(多选)下列说法中，正确的是
A.直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3
B.过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0
C.A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线
D.经过点(－1，1)且倾斜角是直线y＝2x＋3的倾斜角的两倍的直线方程为
4x＋3y＋1＝0
√
√
√
直线y＝5x－3在y轴上的截距为－3，故A正确；
当在x轴、y轴上的截距都为0时，直线方程为4x－3y＝0；当在x轴、y轴上的截距都不为0时，设直线方程为x－y＝m，则m＝3－4＝－1，所以直线方程为x－y＋1＝0，故过点(3，4)且在x轴、y轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋1＝0或4x－3y＝0，故B错误；
因为kAB＝＝2，kAC＝＝2，所以kAB＝kAC，所以A(1，3)，B(2，5)，C(－2，－3)三点共线，故C正确；
设直线y＝2x＋3的倾斜角为α，则tan α＝2，显然α是锐角，因此所求直线的斜率k＝tan 2α＝＝－，所以所求的直线方程为y－1＝－(x＋1)，即4x＋3y＋1＝0，故D正确.
求直线方程的两种方法
(1)直接法：由题意确定出直线方程的适当形式.
(2)待定系数法：先由直线满足的条件设出直线方程，方程中含有待定的系数，再由题设条件求出待定系数.
思维升华
跟踪训练2　求符合下列条件的直线方程：
(1)直线过点A(－1，－3)，且斜率为－；
∵所求直线过点A(－1，－3)，且斜率为－，
∴直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋4y＋13＝0.
(2)斜率为，且与两坐标轴围成的区域的面积为6；
设直线方程为y＝x＋b，
令x＝0，得y＝b，
令y＝0，得x＝－b，
∴|b|·＝6，解得b＝±3，
∴直线方程为y＝x±3，即3x－4y±12＝0.
(3)直线过点(2，1)，且横截距为纵截距的两倍.
当横截距与纵截距都为0时，可设直线方程为y＝kx，
又直线过点(2，1)，∴1＝2k，解得k＝，
∴直线方程为y＝x，即x－2y＝0；
当横截距与纵截距都不为0时，
可设直线方程为＝1，
由题意可得解得
∴直线方程为＝1，即x＋2y－4＝0，
综上，所求直线方程为x－2y＝0或x＋2y－4＝0.
例3　已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，求直线l的方程.
直线方程的综合应用
题型三
方法一　设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k<0)，
则A，B(0，1－2k)，
S△AOB＝(1－2k)·
＝
≥
＝×(4＋4)＝4，
当且仅当－4k＝－且k<0，
即k＝－时，等号成立.
故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.
方法二　设直线l的方程为＝1，且a>0，b>0，
因为直线l过点M(2，1)，所以＝1，
则1＝≥2，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为ab＝×8＝4，
当且仅当，即a＝4，b＝2时，等号成立，
故直线l的方程为＝1，即x＋2y－4＝0.
延伸探究
1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.
由本例方法二知，＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b
＝(a＋b)·＝3＋≥3＋2，
当且仅当，即a＝2＋，b＝1＋时，等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋y－2－＝0.
2.在本例条件下，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程.
由本例方法一知A，B(0，1－2k)(k<0).
所以|MA|·|MB|＝·
＝2×＝2≥4.
当且仅当－k＝－且k<0，即k＝－1时，等号成立.
此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决.
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·菏泽模拟)“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、
四象限”是“－A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
要使y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限，
则解得－因此，“直线y＝(k－1)x＋2k＋1经过第一、二、四象限”是“－的充要条件.
(2)已知O是坐标原点，直线l的方程为(m＋1)x＋y－2m－3＝0(m∈R).若直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，则△AOB的面积最小值为　　.
4
由题意知m≠－1，又(m＋1)x＋y－2m－3＝0，令x＝0，得y＝2m＋3，令y＝0，
得x＝，由得到m>－1，
所以S△AOB＝×(2m＋3)××，
令m＋1＝t>0，得到S△AOB＝××
≥×8＝4，
当且仅当4t＝，即t＝时取等号，此时m＝－.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C D A C D B C
题号 9 10 11 12 13 答案 BCD AC AC 题号 14 15 16 答案 3x－y－5＝0 一、单项选择题
1.若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角为
A. B. C. D.
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知识过关
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答案
设直线l的倾斜角为α(0≤α<π)，
若向量a＝(，1)是直线l的一个方向向量，
则直线l的斜率为k＝tan α＝，
因为0≤α<π，所以α＝.
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答案
2.已知直线(a－)x＋y＋2＝0的倾斜角为30°，则a等于
A.2 B. C. D.0
√
直线(a－)x＋y＋2＝0的斜率为－a，
所以tan 30°＝－a＝，解得a＝.
3.已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，倾斜角分别为α，β.若α<<β，则下列关系正确的是
A.0C.k1<0√
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答案
依题意得k1＝tan α，k2＝tan β，α∈，β∈，
而y＝tan x在和上单调递增，
且在上，y＝tan x>0，
在上，y＝tan x<0，
所以tan β<04.已知直线l倾斜角的余弦值为－，且经过点(2，1)，则直线l的方程为
A.2x＋y－5＝0 B.2x－y－3＝0
C.x－2y＝0 D.x＋2y－4＝0
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设直线l的倾斜角为θ∈[0，π)，则cos θ＝－，
可得sin θ＝，
则直线l的斜率k＝tan θ＝＝－2，
且直线l经过点(2，1)，
所以直线l的方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
答案
5.(2024·重庆期末)函数y＝ex＋1的图象在点(0，1＋)处的切线的倾斜角为
A. B. C. D.
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根据题意，函数y＝ex＋1，y'＝ex，
当x＝0时，y'＝，
设该切线的倾斜角为α(0≤α<π)，则tan α＝，
所以α＝，
即函数y＝ex＋1的图象在点(0，1＋)处的切线的倾斜角为.
答案
6.若直线y＝－在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线y＝x＋的倾斜角的2倍，则
A.m＝－4，n＝－3 B.m＝4，n＝3
C.m＝4，n＝－3 D.m＝－4，n＝3
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y＝－＝－x－，
令x＝0得y＝－＝－1，得n＝3，即y＝－x－1，
设直线y＝x＋的倾斜角为α，则tan α＝，
显然α是锐角，则tan 2α＝，得－，得m＝－4.
答案
7.斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉索上端相邻两个锚的间距|PiPi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为4 m，拉索下端相邻两个锚的间距|AiAi＋1|(i＝1，2，3，…，9)均为18 m.最短拉索的锚P1，A1满足|OP1|＝84 m，|OA1|＝78 m，以B10A10所在直线为x轴，OP10所在直线为y轴，则最长拉索所在直线的斜率为
A.± B.±
C.± D.±
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由题意知{|OPi|}，{|OAi|}(i＝1，2，3，…，10)分别是公差为4和18的等差数列，
所以|OP10|＝|OP1|＋9×4＝84＋9×4＝120，|OA10|＝|OB10|＝|OA1|＋9×18＝78＋9×18＝240，
则P10(0，120)，A10(240，0)，B10(－240，0)，
所以，
＝－，
即最长拉索所在直线的斜率为±.
8.已知直线l的斜率小于0，且l经过点P(6，8)，并与坐标轴交于A，B两点，C(4，0)，当△ABC的面积取得最小值时，直线l的斜率为
A.－ B.－
C.－ D.－
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由题意可设直线l：y－8＝k(x－6)(k<0)，即y＝kx＋8－6k(k<0).
不妨假设A在x轴上，则A，B(0，8－6k)，易知A在C右侧，
记O为坐标原点，因为线段OA与OB的长度分别为6－，8－6k，
所以△ABC的面积S＝(8－6k)
＝≥(64＋2)＝32＋16，
当且仅当－＝－12k(k<0)，即k＝－时，等号成立.
答案
二、多项选择题
9.下列命题中错误的是
A.若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B.任何直线都存在斜率和倾斜角
C.直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0
D.任何一条直线至少要经过两个象限
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若直线的倾斜角α∈，则其斜率k＝tan α<0，A正确；
倾斜角为的直线不存在斜率，B错误；
直线的一般式方程为Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0，C错误；
当直线与x轴或y轴重合时，该直线不经过任何象限，D错误.
10.下列结论正确的有
A.直线l：2x＋y－2＝0在x轴上的截距为1
B.如果AB<0，BC<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过第三象限
C.直线kx－y－2k＋1＝0恒过定点(2，1)
D.方程y－4＝k(x－3)可以表示平面内所有过点(3，4)的直线
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对于A，当y＝0时，x＝1，即直线l：2x＋y－2＝0在x轴上的截距为1，A正确；
对于B，由AB<0，BC<0，得直线Ax＋By＋C＝0的斜率－>0，在y轴上的截距－>0，
因此直线Ax＋By＋C＝0经过第一、二、三象限，B错误；
对于C，直线kx－y－2k＋1＝0，即k(x－2)－(y－1)＝0恒过定点(2，1)，C正确；
对于D，方程y－4＝k(x－3)不能表示直线x＝3，D错误.
答案
11.下列说法正确的是
A.直线y＝ax－2a＋3(a∈R)必过定点(2，3)
B.直线y＋1＝2x在y轴上的截距为1
C.直线x＋y＋3＝0的倾斜角为150°
D.点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l：mx＋y－m－1＝0与线段AB相交，
则实数m的取值范围是
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答案
直线y＝ax－2a＋3＝a(x－2)＋3过定点(2，3)，A选项正确；
直线y＋1＝2x即y＝2x－1，纵截距为－1，B选项错误；
直线x＋y＋3＝0的斜率为－，倾斜角为150°，
C选项正确；
直线l：mx＋y－m－1＝0即m(x－1)＋y－1＝0过定点C(1，1)，画出图象
如图所示，其中kAC＝＝－4，kBC＝，直线l的斜率为－m，所以－m≥或－m≤－4，解得m≥4或m≤－，D选项错误.
三、填空题
12.若直线l的倾斜角为且在x轴上的截距为－1，则直线l的一般式方程是　　　　　　　　.
x－y＋＝0
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答案
由直线l的倾斜角为，可得直线l的斜率为tan ，
又由直线l在x轴上的截距为－1，所以直线方程为y＝(x＋1)，即直线l的一般式方程是x－y＋＝0.
13.若θ∈，则经过两点P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)的直线的倾斜角
为　 　　.
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答案
－θ
当θ＝0时，Q(0，1)，此时直线的倾斜角为；
当θ≠0时，因为P(0，0)，Q(sin θ，cos θ)，
所以kPQ＝，
又因为tan，
且－θ∈∪，
所以直线的倾斜角为－θ.
综上，直线的倾斜角为－θ.
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答案
14.已知点A(－1，3)，B(3，2)，过点P的直线l与线段AB相交，则
直线l的倾斜角的取值范围为　　　　　，直线l的斜率的取值范围为
　　　　　　 .
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答案
(－∞，－1]∪[1，＋∞)
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答案
如图所示，由点A(－1，3)，B(3，2)，P，
可得直线PA的斜率为＝－1，
直线PB的斜率为＝1，
由直线l与线段AB相交，可得直线l的斜率的取值范围是(－∞，－1]∪[1，＋∞)；由斜率与倾斜角的关系得倾斜角的取值范围为.
15.若直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，
回到原来的位置，则直线l的斜率为　　.
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答案
能力拓展
由题意，设直线方程为y＝kx＋b，直线沿x轴向右平移2个单位长度，再沿y轴向上平移1个单位长度后，直线方程为y＝k(x－2)＋b＋1，化简得y＝kx－2k＋b＋1，因为平移后与原直线重合，则kx＋b＝kx－2k＋b＋1，
解得k＝，即直线l的斜率为.
16.如图，8个半径为1的圆摆在坐标平面的第一象限(每个圆与相邻的圆或坐标轴外切)，设L为八个圆形区域的并集，斜率为3的直线l将L划分为面积相等的两个区域，则直线l的方程为　　　　　　　.
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答案
3x－y－5＝0
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答案
设直线l的方程为y＝3x＋d，当直线l与L相交时，随着d的减小，L在这条直线上半部分的面积一定增加，下半部分的面积一定减小，任意一条过A(2，1)的直线将圆1与圆2组成的区域划分为面积相等的两个区域，任意一条过B(3，4)的直线将圆3与圆4组成的区域划分为面积相等的两个区域，
对于其余的四个圆，直线AB将其平分，
因此直线AB将L划分为面积相等的两个区域且kAB＝＝3，
∴直线AB的方程为y－1＝3(x－2)，即直线l：3x－y－5＝0.

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