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§8.3　圆的方程
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.(2024·北京)圆x2+y2-2x+6y=0的圆心到直线x-y+2=0的距离为(　　)
A. B.2 C.3 D.3
2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为(　　)
A.x2+(y-1)2=1
B.(x-2)2+y2=4
C.(x-2)2+(y-4)2=4
D.x2+(y-4)2=4
3.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2+y2-2x-4y+a=0的两条切线，则a的取值范围是(　　)
A.(3，+∞) B.(-1，3)
C.(3，5) D.(5，+∞)
4.已知A(-1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x-)+n(y-1)=0的距离的最大值为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
5.(2024·南宁模拟)已知坐标原点O在直线mx-2y=2m+8上的射影为点P(x0，y0)，则x0，y0必然满足的关系是(　　)
A.+=5
B.+=5
C.+=20
D.+=20
6.已知m∈R，直线l1：mx-y-m+3=0与直线l2：x+my-m-5=0相交于点P，则P到直线2x+y+7=0的距离的取值范围是(　　)
A.[，3] B.(，3]
C.[2，4] D.(2，4]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.设圆C：(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，则下列命题正确的是(　　　　)
A.任意k∈R，圆的面积都是4π
B.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个
D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
8.(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2+y2-2|x|-2|y|=0(x，y不同时为0)，则(　　　　)
A.曲线E围成图形的面积为8+4π
B.曲线E的长度为4π
C.曲线E上的点到原点的最小距离为
D.曲线E上任意两点间最大距离为4
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知P(m，n)是圆C：x2+y2-8x-6y+23=0上一点，则的最小值是　　　　　　.
10.已知圆C以C(1，1)为圆心，且与直线mx-y-2m=0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.
(1)求圆C的方程；(6分)
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足=3，求点Q的轨迹方程.(7分)
12.(14分)已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x-y-1=0上.
(1)求圆C1的方程；(6分)
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x+3)2+(y+4)2=9上的点，点P是直线x+y=0上的点，求|PM|+|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)已知圆C：x2+(y-2)2=2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则(　　　　)
A.≤|AP|≤3 B.∠PAC的最大值为
C.△PAC面积的最大值为2 D.·的最大值为12
14.(2024·佳木斯模拟)已知圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB=120°，则|x1+y1-4|+|x2+y2-4|的最大值是(　　)
A.8 B.6 C.8 D.12
答案精析
1.D　2.D　3.C
4.C　[由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆(去除点A和点B)，圆心坐标为(0，0)，半径为1，又直线l：m(x-)+n(y-1)=0，其过定点(1)，故距离的最大值为+1=3.]
5.B　[直线l：mx-2y=2m+8，
即m(x-2)-2(y+4)=0恒过定点A(2，-4)，
由原点O在直线l上的射影为点P，得OP⊥l，
则点P在以OA为直径的圆上(去除点(2，0))，
该圆圆心为(1，-2)，半径为r==
所以x0，y0必然满足的关系是+=5.]
6.D　[因为m·1+(-1)·m=0，
所以直线l1与l2始终垂直，
又由条件可得直线l1恒过定点M(1，3)，直线l2恒过定点N(5，1)，
所以两直线的交点P在以线段MN为直径的圆上，该圆的圆心坐标为(3，2)，半径为|MN|
==
所以该圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=5，
圆上点(1，1)是过定点M(1，3)且斜率不存在的直线与过定点N(5，1)且斜率为0的直线的交点，故点P的轨迹不经过点(1，1).
圆心(3，2)到直线2x+y+7=0的距离d==3
所以圆上的点到直线2x+y+7=0的距离的最大值和最小值分别为4和2
又点(1，1)到直线2x+y+7=0的距离为2应舍去，
所以P到直线2x+y+7=0的距离的取值范围是(24].]
7.AD　[由于对任意k∈R，圆的半径都是2，故面积都是4π，A正确；
由于(3-k)2+(0-k)2=2k2-6k+9=2+>4，故圆C必定不过点(3，0)，B错误；
对k=2-和k=2+均有(2-k)2=2，故(2-k)2+(2-k)2=4，即圆C经过点(2，2)，C错误；
圆心C(k，k)始终在直线y=x上，D正确.]
8.ABD　[当x≥0，y≥0，且x，y不同时为0时，
曲线E：(x-1)2+(y-1)2=2；
当x≥0，y<0时，
曲线E：(x-1)2+(y+1)2=2；
当x<0，y≥0时，
曲线E：(x+1)2+(y-1)2=2；
当x<0，y<0时，
曲线E：(x+1)2+(y+1)2=2.
画出曲线E的图形，如图所示.
对于A，曲线E围成的图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为2×2+2π×=8+4π，故A正确；
对于B，曲线E由四个半径为的半圆组成，故周长为2×2π×=4π，故B正确；
对于C，曲线E上的点到原点的最小距离为2，故C错误；
对于D，当曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，距离最大，最大为4故D正确.]
9.2
解析　表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，
由x2+y2-8x-6y+23=0可化为(x-4)2+(y-3)2=2，
则圆心为(4，3)，半径为点(1，0)到圆心的距离为=3
所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3-=2
即的最小值是2.
10.(x-1)2+(y-1)2=2
解析　直线mx-y-2m=0可化为m(x-2)-y=0，
所以解得
所以直线过定点A(2，0)，
当CA与直线mx-y-2m=0垂直时，圆C的半径最大，半径为=
所以圆C的标准方程为
(x-1)2+(y-1)2=2.
11.解　(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB=0，所以线段AB的垂直平分线方程为x=2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r=|AC|=
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由=3
得(8-x0，-y0)=3(8-x，-y)，
所以
又点P在圆C上，
故(x0-2)2+=10，
所以(3x-18)2+(3y)2=10，
化简得点Q的轨迹方程为(x-6)2+y2=.
12.解　(1)由题意知线段AB的中点坐标为
kAB==1，
∴线段AB的垂直平分线方程为
y-=-
即y=5-x，
联立解得
即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r=|AC1|=1，
其方程为(x-2)2+(y-3)2=1.
(2)注意到点C1(2，3)和点C2(-3，-4)在直线x+y=0的两侧，
直线x+y=0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-3≥|C1C2|-4=-4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在C1，C2之间时等号成立，
则|PM|+|PN|的最小值为-4，
此时点P为直线C1C2与x+y=0的交点，过C1，C2的直线方程为7x-5y+1=0，
联立
解得
∴点P的坐标为.
13.ACD　[圆C的圆心为C(0，2)，半径r=
圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d=2
∴2-r≤|AP|≤2+r，
即≤|AP|≤3故A正确；
根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，
此时△APC为直角三角形，
由于|AC|=2|CP|=2
∴∠PAC=
故∠PAC的最大值为故B错误；
由于|AC|=2|CP|=2
∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，
即△PAC面积的最大值为×2=2，故C正确；
如图，当与同向共线时·取最大值，
||=2||=3
∴·=12，故D正确.]
14.D　[由圆x2+y2=8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得|OA|=|OB|=2
设弦AB的中点为E，则OE⊥AB，
由∠AOB=120°，
得∠ABO=∠BAO=30°，
所以|OE|=|OA|=
所以点E的轨迹是以为半径，O为圆心的圆，
|x1+y1-4|+|x2+y2-4|
=
表示A，B两点到直线x+y-4=0的距离之和的倍，
因为E为弦AB的中点，
故A，B两点到直线x+y-4=0的距离之和等于点E到直线x+y-4=0的距离的2倍，
圆心O到直线x+y-4=0的距离为=2
所以点E到直线x+y-4=0的距离的最大值为2+=3
所以|x1+y1-4|+|x2+y2-4|的最大值是×3×2=12.]§8.3　圆的方程
课标要求　1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于　　　　的点的集合叫做圆
方程 标准 (x-a)2+(y-b)2=r2(r>0) 圆心C　　　　　
半径为　　
一般 x2+y2+Dx+Ey+F=0 (D2+E2-4F>0) 圆心C　　　　　　　
半径r=　　　　　　　
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在　　　　，即(x0-a)2+(y0-b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|=r M在　　　　，即(x0-a)2+(y0-b)2=r2 M在圆上；
(3)|MC|1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)(x-2)2+(y+1)2=a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.(　　)
(3)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0，B=0，D2+E2-4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外，则++Dx0+Ey0+F>0.(　　)
2.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0关于直线x-y+t=0对称，则实数t等于(　　)
A.-3 B.1 C.-1 D.3
3.(多选)已知圆C：x2+y2-4x+6y+11=0与点A(0，-5)，则(　　)
A.圆C的半径为2
B.点A在圆C外
C.点A在圆C内
D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
4.以点A(0，-1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为　　　　　　　　.
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
题型一　圆的方程
例1　设☉M的圆心M在直线2x+y-1=0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　　　　　　.
思维升华　求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
跟踪训练1　(2024·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y=2x-1相切，则圆C的标准方程为　　　　　　.
题型二　与圆有关的轨迹问题
命题点1　直接法
例2　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的倍，则△MAB面积的最大值为(　　)
A.8 B.8 C.4 D.
命题点2　定义法
例3　已知圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|=2，则点A的轨迹方程是(　　)
A.y2=4x
B.x2+y2-2x-2y-3=0
C.x2+y2-2y-3=0
D.y2=-4x
命题点3　相关点代入法
例4　(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2+y2=16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为(　　)
A.+=1(y>0)
B.+=1(y>0)
C.+=1(y>0)
D.+=1(y>0)
思维升华　求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(-1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
阿波罗尼斯圆
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
典例　(1)设A，B是平面上两点，则满足＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(，0)，B，且k＝，则点P所在圆M的方程为　　　　　　.
题型三　与圆有关的最值问题
命题点1　利用几何性质求最值
例5　(多选)已知实数x，y满足x2+y2-4y+3=0，则(　　)
A.当x≠0时，的最小值是-
B.x2+y2的最小值是1
C.y-x的最小值是2-
D.|x+y+3|的最小值为2
命题点2　利用对称性求最值
例6　已知A(0，2)，点P在直线x+y+2=0上，点Q在圆C：x2+y2-4x-2y=0上，则|PA|+|PQ|的最小值是　　　　　　.
命题点3　利用函数求最值
例7　设点P(x，y)是圆x2+(y-3)2=1上的动点，定点A(2，0)，B(-2，0).则·的最大值为　　　　.
思维升华　与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ=，t=ax+by，(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
(3)求解形如|PM|+|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
跟踪训练3　(1)(2024·商洛模拟)已知P(x0，y0)是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上任意一点，则的最大值为(　　)
A.-2 B.-
C. D.
(2)已知圆C：(x-3)2+(y-4)2=1，设点P是圆C上的动点.记d=|PB|2+|PA|2，其中A(0，1)，B(0，-1)，则d的最大值为　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.定长　(a，b)　r　　
2.(1)圆外　(2)圆上　(3)圆内
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　
2.D　3.BD　4.(x-1)2+y2=2
探究核心题型
例1　(x-1)2+(y+1)2=5
解析　方法一　设☉M的方程为
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，
则解得
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
方法二　设☉M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)，
则M
∴
解得
∴☉M的方程为
x2+y2-2x+2y-3=0，
即(x-1)2+(y+1)2=5.
方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB==-线段AB的中点坐标为
∴线段AB的垂直平分线方程为
y-=3
即3x-y-4=0.
联立解得
∴M(1，-1)，
∴r2=|MA|2
=(3-1)2+[0-(-1)]2=5，
∴☉M的方程为(x-1)2+(y+1)2=5.
跟踪训练1　(x-3)2+y2=5
解析　方法一　设圆C的圆心为(m，0)，
则由于该点到直线y=2x-1的距离d==
结合圆C与直线相切，知圆C的半径为.
所以圆C的标准方程是
(x-m)2+y2=.
而圆C过点(1，1)，所以(1-m)2+12=解得m=3.
所以圆C的标准方程是
(x-3)2+y2=5.
方法二　因为点(1，1)在直线y=2x-1上，
所以圆C与直线y=2x-1的切点为(1，1)，
则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y-1=-(x-1)，
即y=-x+
又因为圆心C在x轴上，
则0=-x+得x=3，
即C(3，0)，圆C的半径为=故圆C的标准方程是(x-3)2+y2=5.
例2　A　[以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，
且A(-2，0)，B(2，0)，
由|MA|=|MB|，
得(x+2)2+y2=2(x-2)2+2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x-6)2+y2=32(y≠0)，半径r=4
如图，有S△MAB≤·|AB|·r=8.
所以△MAB面积的最大值为8.]
例3　B　[因为圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，
所以圆心C(1，1)，半径r=1，
因为点M是圆上的动点，
所以|MC|=1，
又AM与圆相切，且|AM|=2，
则|AC|==
设A(x，y)，则(x-1)2+(y-1)2=5，
即x2+y2-2x-2y-3=0，
所以点A的轨迹方程为
x2+y2-2x-2y-3=0.]
例4　A　[设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0=2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2+y2=16(y>0)上，
所以x2+4y2=16(y>0)，
即+=1(y>0)，
即点M的轨迹方程为
+=1(y>0).]
跟踪训练2　解　(1)方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC=-1，
又kAC=kBC=
所以·=-1，
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为
x2+y2-2x-3=0(y≠0)，
即(x-1)2+y2=4(y≠0).
方法二　设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(y≠0).
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x=y=
所以x0=2x-3，y0=2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(y≠0)，
将x0=2x-3，y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4(y≠0)，
即(x-2)2+y2=1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).
微拓展
典例　(1)x2+y2=3
解析　设P(x，y)，由题意可得=
即|PA|=|PB|，
则+y2=2
整理得x2+y2=3.
(2)
解析　依题意，由sin A=2sin B，
得|BC|=2|AC|，acos B+bcos A
=+=c=2，
即|AB|=2，以AB边所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设A(1，0)，B(-1，0)，C(x，y)，x≠0，
由|BC|=2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，其方程为+y2=x≠0，
边AB上的高的最大值为
所以(S△ABC)max=.
例5　BC　[由x2+y2-4y+3=0，得x2+(y-2)2=1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r=1的圆.
设=k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
由y=kx(x≠0)，则≤1，
解得k≥或k≤-故A错误；
因为x2+y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x=0，y=1时，x2+y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y-x=b，则y=x+b，b表示当直线y=x+b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则≤1，
解得2-≤b≤2+
即y-x的最小值是2-故C正确；
|x+y+3|表示圆上的点到直线x+y+3=0距离的倍，
圆心(0，2)到直线x+y+3=0的距离为d=
则|x+y+3|的最小值为=5-故D错误.]
例6　2
解析　因为圆C：x2+y2-4x-2y=0，
即(x-2)2+(y-1)2=5，
所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r=的圆.
设点A(0，2)关于直线x+y+2=0的对称点为A'(m，n)，
所以
解得故A'(-4，-2).
连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x+y+2=0于P，此时，
|PA'|+|PQ|取得最小值，
由对称性可知|PA|+|PQ|=|PA'|+|PQ|=|A'Q|=|A'C|-r=2.
例7　12
解析　方法一　由题意，
得=(2-x，-y)，
=(-2-x，-y)，
所以·=x2+y2-4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程x2+(y-3)2=1，
故x2=-(y-3)2+1，
所以·
=-(y-3)2+1+y2-4
=6y-12.
易知2≤y≤4，
所以当y=4时·的值最大，
最大值为6×4-12=12.
方法二　(极化恒等式)
由题意知线段AB的中点为O(0，0)=(4，0)，
·=[(+)2-(-)2]
=-=||2-4，
易知||2的最大值为[+1]2=16，
所以·的最大值为12.
跟踪训练3　(1)D　[设k=
变形可得k(x0-3)-y0-1=0，则的几何意义为直线k(x-3)-y-1=0的斜率，
圆C：x2+y2-2x-2y+1=0可化为(x-1)2+(y-1)2=1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.
因为P(x0，y0)是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0上任意一点，
所以圆C与直线k(x-3)-y-1=0有公共点，即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x-3)-y-1=0的距离不大于圆C的半径，
所以≤1，
解得≤k≤
即的最大值为.]
(2)74
解析　设P(x0，y0)，则d=|PB|2+|PA|2=+(y0+1)2++(y0-1)2=2(+)+2+表示圆上任一点到原点距离的平方，∴(+)max=(5+1)2=36，∴dmax=74.(共88张PPT)
第八章
§8.3　圆的方程
数学
大
一
轮
复
习
1.理解确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，掌握圆的标准方程与一般方程.
2.能根据圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面上到定点的距离等于 的点的集合叫做圆 方程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心C______
半径为___
一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F>0) 圆心C____________
半径r＝_________________
定长
(a，b)
r
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
(1)|MC|>r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2 M在圆外；
(2)|MC|＝r M在 ，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2 M在圆上；
(3)|MC|圆外
圆上
圆内
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.(　　)
(2)(x－2)2＋(y＋1)2＝a2(a≠0)表示以(2，1)为圆心，a为半径的圆.(　　)
(3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
(4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则＋Dx0＋Ey0＋F>0.(　　)
×
√
√
√
2.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，则实数t等于
A.－3 B.1 C.－1 D.3
√
由x2＋y2＋2x－4y＋1＝0得(x＋1)2＋(y－2)2＝4，
则圆心坐标为(－1，2)，
又因为圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线x－y＋t＝0对称，
故由圆的对称性可知，圆心(－1，2)在直线x－y＋t＝0上，
则t＝y－x＝2－(－1)＝3.
3.(多选)已知圆C：x2＋y2－4x＋6y＋11＝0与点A(0，－5)，则
A.圆C的半径为2 B.点A在圆C外
C.点A在圆C内 D.点A与圆C上任一点距离的最小值为
√
因为x2＋y2－4x＋6y＋11＝0，即(x－2)2＋(y＋3)2＝2，所以圆心为C(2，－3)，半径r＝，故A错误；
又|AC|＝＝2>r，所以点A在圆C外，故B正确，C错误；
因为|AC|＝2，所以点A与圆C上任一点距离的最小值为|AC|－r＝，故D正确.
√
4.以点A(0，－1)，B(2，1)为直径端点的圆的方程为　　　　　　　.
由题意可知，圆心为线段AB的中点(1，0)，
且|AB|＝＝2，
所以圆的半径r＝，
因此，所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
(x－1)2＋y2＝2
1.掌握圆的两个性质
(1)圆心在过切点且垂直于切线的直线上；
(2)圆心在任一弦的中垂线上.
2.牢记两个相关结论
(1)圆的“直径式”方程：以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
(2)圆的参数方程：圆心为(a，b)，半径为r的圆的参数方程为
其中θ为参数，可用来设圆上的点的坐标.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　设☉M的圆心M在直线2x＋y－1＝0上，点(3，0)和(0，1)均在☉M上，则☉M的方程为　　　 　　　　　.
圆的方程
题型一
(x－1)2＋(y＋1)2＝5
方法一　设☉M的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，
则解得
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法二　设☉M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
则M，
∴解得
∴☉M的方程为x2＋y2－2x＋2y－3＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
方法三　设A(3，0)，B(0，1)，☉M的半径为r，
则kAB＝＝－，线段AB的中点坐标为，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝3，
即3x－y－4＝0.
联立解得∴M(1，－1)，
∴r2＝|MA|2＝(3－1)2＋[0－(－1)]2＝5，
∴☉M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝5.
求圆的方程的常用方法
(1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程.
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值.
思维升华
跟踪训练1　(2024·南昌模拟)设圆心在x轴的圆C过点(1，1)，且与直线y＝2x－1相切，则圆C的标准方程为　　　　　　　.
(x－3)2＋y2＝5
方法一　设圆C的圆心为(m，0)，
则由于该点到直线y＝2x－1的距离d＝，
结合圆C与直线相切，知圆C的半径为.
所以圆C的标准方程是(x－m)2＋y2＝.
而圆C过点(1，1)，所以(1－m)2＋12＝，解得m＝3.
所以圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
方法二　因为点(1，1)在直线y＝2x－1上，
所以圆C与直线y＝2x－1的切点为(1，1)，
则过圆心C和切点(1，1)的直线方程为y－1＝－(x－1)，即y＝－x＋，
又因为圆心C在x轴上，则0＝－x＋，得x＝3，
即C(3，0)，圆C的半径为，
故圆C的标准方程是(x－3)2＋y2＝5.
命题点1　直接法
例2　已知线段AB的长度为4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的
倍，则△MAB面积的最大值为
A.8 B.8
C.4 D.
与圆有关的轨迹问题
题型二
√
以线段AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，
设M(x，y)，且A(－2，0)，B(2，0)，
由|MA|＝|MB|，得(x＋2)2＋y2＝2(x－2)2＋2y2，
化简得M的轨迹方程为圆(x－6)2＋y2＝32(y≠0)，
半径r＝4，
如图，有S△MAB≤·|AB|·r＝8.
所以△MAB面积的最大值为8.
命题点2　定义法
例3　已知圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，点M是圆上的动点，AM与圆相切，且|AM|＝2，则点A的轨迹方程是
A.y2＝4x B.x2＋y2－2x－2y－3＝0
C.x2＋y2－2y－3＝0 D.y2＝－4x
√
因为圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
因为点M是圆上的动点，所以|MC|＝1，
又AM与圆相切，且|AM|＝2，
则|AC|＝，
设A(x，y)，则(x－1)2＋(y－1)2＝5，
即x2＋y2－2x－2y－3＝0，
所以点A的轨迹方程为x2＋y2－2x－2y－3＝0.
命题点3　相关点代入法
例4　(2024·新课标全国Ⅱ)已知曲线C：x2＋y2＝16(y>0)，从C上任意一点P向x轴作垂线段PP'，P'为垂足，则线段PP'的中点M的轨迹方程为
A.＝1(y>0) B.＝1(y>0)
C.＝1(y>0) D.＝1(y>0)
√
设点M(x，y)，
则P(x，y0)，P'(x，0)，
因为M为PP'的中点，
所以y0＝2y，即P(x，2y)，
又P在曲线x2＋y2＝16(y>0)上，
所以x2＋4y2＝16(y>0)，
即＝1(y>0)，
即点M的轨迹方程为＝1(y>0).
求与圆有关的轨迹问题的常用方法
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程.
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程.
(3)相关点代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式.
思维升华
跟踪训练2　已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0).求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
方法一　设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且AC，BC斜率均存在，
所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，
所以·＝－1，
化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)，
即(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
方法二　设线段AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0).
设M(x，y)，C(x0，y0)，
因为B(3，0)，且M是线段BC的中点，
所以由中点坐标公式得x＝，y＝，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4(y≠0)，
即(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
因此直角边BC的中点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(y≠0).
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
“阿波罗尼斯圆”的定义：平面内到两个定点A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距离之比为正数λ(λ≠1)的点的轨迹是以C为圆心，为半径的圆，即为阿波罗尼斯圆.
阿波罗尼斯圆
微拓展
典例　(1)设A，B是平面上两点，则满足＝k(其中k为常数，k>0且k≠1)的点P的轨迹是一个圆，已知A(，0)，B，且k＝，则
点P所在圆M的方程为　　　　　.
x2＋y2＝3
设P(x，y)，由题意可得，，即|PA|＝|PB|，
则＋y2＝2，
整理得x2＋y2＝3.
(2)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin A＝2sin B，
acos B＋bcos A＝2，则△ABC面积的最大值为　　　.
依题意，由sin A＝2sin B，
得|BC|＝2|AC|，acos B＋bcos A
＝＝c＝2，
即|AB|＝2，以AB边所在的直线为x轴，
线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设A(1，0)，B(－1，0)，C(x，y)，x≠0，
由|BC|＝2|AC|，则C的轨迹为阿波罗尼斯圆，
其方程为＋y2＝，x≠0，
边AB上的高的最大值为，
所以()max＝.
命题点1　利用几何性质求最值
例5　(多选)已知实数x，y满足x2＋y2－4y＋3＝0，则
A.当x≠0时，的最小值是－
B.x2＋y2的最小值是1
C.y－x的最小值是2－
D.|x＋y＋3|的最小值为2
√
与圆有关的最值问题
题型三
√
由x2＋y2－4y＋3＝0，得x2＋(y－2)2＝1.该方程表示圆心为C(0，2)，半径r＝1的圆.
设＝k(x≠0)，则k表示圆上的点(除去点(0，1)
和(0，3))与原点O(0，0)连线的斜率，
由y＝kx(x≠0)，则≤1，
解得k≥或k≤－，故A错误；
因为x2＋y2表示圆上的点到原点的距离的平方，又圆心在y轴上，
所以当x＝0，y＝1时，x2＋y2取得最小值，且最小值为1，故B正确；
设y－x＝b，则y＝x＋b，b表示当直线y＝x＋b与圆有公共点时，直线在y轴上的截距，
则≤1，
解得2－≤b≤2＋，
即y－x的最小值是2－，故C正确；
|x＋y＋3|表示圆上的点到直线x＋y＋3＝0距离的倍，
圆心(0，2)到直线x＋y＋3＝0的距离为d＝，
则|x＋y＋3|的最小值为×＝5－，故D错误.
命题点2　利用对称性求最值
例6　已知A(0，2)，点P在直线x＋y＋2＝0上，点Q在圆C：x2＋y2－4x－2y＝0上，则|PA|＋|PQ|的最小值是　　　.
2
因为圆C：x2＋y2－4x－2y＝0，
即(x－2)2＋(y－1)2＝5，
所以圆C是圆心为C(2，1)，半径r＝的圆.
设点A(0，2)关于直线x＋y＋2＝0的对称点为A'(m，n)，
所以
解得故A'(－4，－2).
连接A'C交圆C于Q(图略)，交直线x＋y＋2＝0于P，此时，|PA'|＋|PQ|取得最小值，
由对称性可知|PA|＋|PQ|＝|PA'|＋|PQ|＝|A'Q|＝|A'C|－r＝2.
命题点3　利用函数求最值
例7　设点P(x，y)是圆x2＋(y－3)2＝1上的动点，定点A(2，0)，B(－2，0).则·的最大值为　　　.
12
方法一　由题意，得＝(2－x，－y)，＝(－2－x，－y)，
所以·＝x2＋y2－4，
由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程
x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，
所以·＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.
易知2≤y≤4，所以当y＝4时，·的值最大，最大值为6×4－12＝12.
方法二　(极化恒等式)
由题意知线段AB的中点为O(0，0)，＝(4，0)，
·[()2－()2]
＝＝||2－4，
易知||2的最大值为[＋1]2＝16，
所以·的最大值为12.
与圆有关的最值问题的求解方法
(1)借助几何性质求最值：形如μ＝，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形
式的最值问题.
(2)建立函数关系式求最值：列出关于所求目标式子的函数关系式，然后根据关系式的特征选用配方法、判别式法、基本不等式法等求最值.
思维升华
(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·商洛模拟)已知P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1
＝0上任意一点，则的最大值为
A.－2 B.－
C. D.
√
设k＝，
变形可得k(x0－3)－y0－1＝0，
则的几何意义为直线k(x－3)－y－1＝0的斜率，
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1，所以圆C的圆心为C(1，1)，半径为1.
因为P(x0，y0)是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0上任意一点，
所以圆C与直线k(x－3)－y－1＝0有公共点，
即圆C的圆心C(1，1)到直线k(x－3)－y－1＝0的距离不大于圆C的半径，
所以≤1，
解得≤k≤，
即的最大值为.
(2)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，设点P是圆C上的动点.记d＝|PB|2＋|PA|2，其中A(0，1)，B(0，－1)，则d的最大值为　　　.
74
设P(x0，y0)，则d＝|PB|2＋|PA|2＝＋(y0＋1)2＋＋(y0－1)2＝2()＋2，表示圆上任一点到原点距离的平方，∴()max＝(5＋1)2＝36，∴dmax＝74.
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课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D D C C B D AD ABD
题号 9 10 13 　14 答案 (x－1)2＋(y－1)2＝2 ACD 　D 答案
1
2
3
4
5
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8
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11
12
13
14
(1)由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
(2)设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
11.
答案
1
2
3
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10
11
12
13
14
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
11.
答案
1
2
3
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10
11
12
13
14
(1)由题意知线段AB的中点坐标为，
kAB＝＝1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，即y＝5－x，
联立解得
即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r＝|AC1|＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
12.
答案
1
2
3
4
5
6
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8
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11
12
13
14
(2)注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线且M，N在
C1，C2之间时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－4，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
12.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
联立解得
∴点P的坐标为.
12.
一、单项选择题
1.(2024·北京)圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为
A. B.2 C.3 D.3
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
知识过关
答案
将圆的方程化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋3)2＝10，
所以该圆的圆心(1，－3)到直线x－y＋2＝0的距离
为＝3.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
答案
2.圆心在y轴上，半径为2，且过点(2，4)的圆的方程为
A.x2＋(y－1)2＝1 B.(x－2)2＋y2＝4
C.(x－2)2＋(y－4)2＝4 D.x2＋(y－4)2＝4
√
依题意设圆心坐标为(0，b)，则圆的方程为x2＋(y－b)2＝4，又22＋(4－b)2＝4，解得b＝4，所以圆的方程为x2＋(y－4)2＝4.
3.(2024·西安模拟)若过点P(0，1)可作圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0的两条切线，则a的取值范围是
A.(3，＋∞) B.(－1，3) C.(3，5) D.(5，＋∞)
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
圆x2＋y2－2x－4y＋a＝0，即圆(x－1)2＋(y－2)2＝5－a，则5－a>0，
解得a<5，又过点P(0，1)有两条切线，
则点P在圆外，>，
即2>5－a，解得a>3，故3答案
4.已知A(－1，0)，B(1，0)，若点P满足PA⊥PB，则点P到直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距离的最大值为
A.1 B.2 C.3 D.4
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
由PA⊥PB可得点P的轨迹为以线段AB为直径的圆(去除点A和点B)，圆心坐标为(0，0)，半径为1，又直线l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其过定点(，1)，故距离的最大值为＋1＝3.
答案
5.(2024·南宁模拟)已知坐标原点O在直线mx－2y＝2m＋8上的射影为点P(x0，y0)，则x0，y0必然满足的关系是
A.＝5
B.＝5
C.＝20
D.＝20
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直线l：mx－2y＝2m＋8，
即m(x－2)－2(y＋4)＝0恒过定点A(2，－4)，
由原点O在直线l上的射影为点P，得OP⊥l，
则点P在以OA为直径的圆上(去除点(2，0))，
该圆圆心为(1，－2)，半径为r＝，
所以x0，y0必然满足的关系是＝5.
答案
6.已知m∈R，直线l1：mx－y－m＋3＝0与直线l2：x＋my－m－5＝0相交于点P，则P到直线2x＋y＋7＝0的距离的取值范围是
A.[，3] B.(，3]
C.[2，4] D.(2，4]
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因为m·1＋(－1)·m＝0，所以直线l1与l2始终垂直，
又由条件可得直线l1恒过定点M(1，3)，直线l2恒过定点N(5，1)，
所以两直线的交点P在以线段MN为直径的圆上，
该圆的圆心坐标为(3，2)，半径为|MN|＝，
所以该圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝5，
圆上点(1，1)是过定点M(1，3)且斜率不存在的直线与过定点N(5，1)且斜率为0的直线的交点，故点P的轨迹不经过点(1，1).
答案
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圆心(3，2)到直线2x＋y＋7＝0的距离d＝＝3，
所以圆上的点到直线2x＋y＋7＝0的距离的最大值和最小值分别为4和2，
又点(1，1)到直线2x＋y＋7＝0的距离为2，应舍去，
所以P到直线2x＋y＋7＝0的距离的取值范围是(2，4].
答案
二、多项选择题
7.设圆C：(x－k)2＋(y－k)2＝4(k∈R)，则下列命题正确的是
A.任意k∈R，圆的面积都是4π
B.存在k∈R，使得圆C过点(3，0)
C.经过点(2，2)的圆C有且只有一个
D.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上
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答案
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由于对任意k∈R，圆的半径都是2，故面积都是4π，A正确；
由于(3－k)2＋(0－k)2＝2k2－6k＋9＝2≥>4，
故圆C必定不过点(3，0)，B错误；
对k＝2－和k＝2＋，均有(2－k)2＝2，故(2－k)2＋(2－k)2＝4，即圆C经过点(2，2)，C错误；
圆心C(k，k)始终在直线y＝x上，D正确.
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答案
8.(2024·丹东模拟)已知曲线E：x2＋y2－2|x|－2|y|＝0(x，y不同时为0)，则
A.曲线E围成图形的面积为8＋4π
B.曲线E的长度为4π
C.曲线E上的点到原点的最小距离为
D.曲线E上任意两点间最大距离为4
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答案
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答案
当x≥0，y≥0，且x，y不同时为0时，曲线E：(x－1)2＋(y－1)2＝2；
当x≥0，y<0时，曲线E：(x－1)2＋(y＋1)2＝2；
当x<0，y≥0时，曲线E：(x＋1)2＋(y－1)2＝2；
当x<0，y<0时，曲线E：(x＋1)2＋(y＋1)2＝2.
画出曲线E的图形，如图所示.
对于A，曲线E围成的图形可分割为一个边长为2的正方形和四个半径为的半圆，
故面积为2×2＋2π×＝8＋4π，故A正确；
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答案
对于B，曲线E由四个半径为的半圆组成，
故周长为2×2π×＝4π，故B正确；
对于C，曲线E上的点到原点的最小距离为2，故C错误；
对于D，当曲线E上任意两点的连线过圆心及原点时，
距离最大，最大为4，故D正确.
三、填空题
9.已知P(m，n)是圆C：x2＋y2－8x－6y＋23＝0上一点，则的最小值是　　 　.
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答案
表示圆上的点P(m，n)到点(1，0)的距离，
由x2＋y2－8x－6y＋23＝0可化为(x－4)2＋(y－3)2＝2，
则圆心为(4，3)，半径为，
点(1，0)到圆心的距离为＝3，
所以点P(m，n)到点(1，0)的距离的最小值为3＝2，
即的最小值是2.
10.已知圆C以C(1，1)为圆心，且与直线mx－y－2m＝0(m∈R)相切，则满足以上条件的圆C的半径最大时，圆C的标准方程为　　　 　　　.
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答案
(x－1)2＋(y－1)2＝2
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直线mx－y－2m＝0可化为m(x－2)－y＝0，
所以解得
所以直线过定点A(2，0)，
当CA与直线mx－y－2m＝0垂直时，圆C的半径最大，
半径为，
所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案
四、解答题
11.已知圆C的圆心在x轴上，并且过A(1，3)，B(3，3)两点.
(1)求圆C的方程；
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答案
由题意可知，线段AB的中点为(2，3)，kAB＝0，所以线段AB的垂直平分线方程为x＝2，
它与x轴的交点为圆心C(2，0)，
又半径r＝|AC|＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
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答案
设P(x0，y0)，Q(x，y)，
由＝3，得(8－x0，－y0)＝3(8－x，－y)，
所以
又点P在圆C上，故(x0－2)2＋＝10，
所以(3x－18)2＋(3y)2＝10，
化简得点Q的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝.
(2)若P为圆C上任意一点，定点M(8，0)，点Q满足＝3，求点Q的轨迹方程.
12.已知圆C1经过点A(1，3)和B(2，4)，圆心在直线2x－y－1＝0上.
(1)求圆C1的方程；
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答案
由题意知线段AB的中点坐标为，
kAB＝＝1，
∴线段AB的垂直平分线方程为y－＝－，
即y＝5－x，
联立解得
即圆C1的圆心为C1(2，3)，半径r＝|AC1|＝1，
其方程为(x－2)2＋(y－3)2＝1.
(2)若M，N分别是圆C1和圆C2：(x＋3)2＋(y＋4)2＝9上的点，点P是直线x＋y＝0上的点，求|PM|＋|PN|的最小值，以及此时点P的坐标.
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答案
注意到点C1(2，3)和点C2(－3，－4)在直线x＋y＝0的两侧，
直线x＋y＝0与两圆分别相离，如图所示.
∴|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－3≥|C1C2|－4＝－4，
当且仅当M，N，P，C1，C2五点共线
且M，N在C1，C2之间时等号成立，
则|PM|＋|PN|的最小值为－4，
此时点P为直线C1C2与x＋y＝0的交点，
过C1，C2的直线方程为7x－5y＋1＝0，
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答案
联立解得
∴点P的坐标为.
13.(多选)已知圆C：x2＋(y－2)2＝2，点P是圆C上的一个动点，点A(2，0)，则
A.≤|AP|≤3 B.∠PAC的最大值为
C.△PAC面积的最大值为2 D.·的最大值为12
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答案
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能力拓展
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答案
圆C的圆心为C(0，2)，半径r＝，
圆心C(0，2)到A(2，0)的距离d＝2，
∴2－r≤|AP|≤2＋r，
即≤|AP|≤3，故A正确；
根据题意，如图，当CP⊥AP时，∠PAC取得最大值，
此时△APC为直角三角形，由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴∠PAC＝，
故∠PAC的最大值为，故B错误；
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答案
由于|AC|＝2|CP|＝2，
∴当AC⊥CP时，△PAC的面积最大，
即△PAC面积的最大值为×2×＝2，故C正确；
如图，当与同向共线时，·取最大值，
||＝2，||＝3，
∴·＝12，故D正确.
14.(2024·佳木斯模拟)已知圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，若∠AOB＝120°，则|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是
A.8 B.6
C.8 D.12
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答案
由圆x2＋y2＝8上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
得|OA|＝|OB|＝2，
设弦AB的中点为E，则OE⊥AB，
由∠AOB＝120°，得∠ABO＝∠BAO＝30°，
所以|OE|＝|OA|＝，
所以点E的轨迹是以为半径，O为圆心的圆，
|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|＝，
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答案
返回
表示A，B两点到直线x＋y－4＝0的距离之和的倍，
因为E为弦AB的中点，
故A，B两点到直线x＋y－4＝0的距离之和等于点E
到直线x＋y－4＝0的距离的2倍，
圆心O到直线x＋y－4＝0的距离为＝2，
所以点E到直线x＋y－4＝0的距离的最大值为2＝3，
所以|x1＋y1－4|＋|x2＋y2－4|的最大值是×3×2＝12.

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