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§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.两圆x2+y2-2y=0与x2+y2-4=0的位置关系是(　　)
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
2.直线y=k(x-5)-2(k∈R)与圆(x-3)2+(y+1)2=6的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
3.(2024·菏泽模拟)过点E(a，-1)向圆M：(x-1)2+(y-1)2=2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB=，则(　　)
A.a=2或a=-1 B.a=-2或a=1
C.a=-3或a=1 D.a=3或a=-1
4.在平面直角坐标系Oxy中，直线l：ax+by=1上有且仅有一点P，使|OP|=2，则直线l被圆C：x2+y2=16截得的弦长为(　　)
A.2 B.2 C.4 D.4
5.圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0恒过的定点为(　　)
A.(-2，1)，(2，-1) B.(-1，-2)，(2，1)
C.(-1，-2)，(1，2) D.(-2，-1)，(2，1)
6.已知A，B是圆C1：x2+y2=3上的动点，且|AB|=2.P是圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1上的动点，则|+|的取值范围是(　　)
A.[8，12] B.[6，10]
C.[10，14] D.[6，14]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知直线l：y=kx-k，k∈R，圆C：x2+y2=4，则下列结论正确的有(　　　　)
A.直线l过定点(1，0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短为2
D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k=±1
8.(2024·青岛模拟)已知动点M，N分别在圆C1：(x-1)2+(y-2)2=1和C2：(x-3)2+(y-4)2=3上，动点P在x轴上，则(　　　　)
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|+|PN|的最小值为2
D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.若直线kx-y+2k=0(k∈Z)与圆(x-1)2+(y-2)2=4有公共点，则k的一个取值是　　　　.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x=ty+1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2+y2=1是直线族mx+ny=1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为　　　　　　　.
四、解答题(共27分)
11.(13分)已知两圆x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.
(1)m取何值时，两圆外切？(5分)
(2)当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.(8分)
12.(14分)已知圆C：x2+(y-1)2=5，直线l：mx-y+1-m=0与圆C交于A，B两点.
(1)若|AB|=3，求实数m的值；(6分)
(2)若点P为直线l所过定点，且|PB|=2|AP|，求直线l的方程.(8分)
13题6分，14题5分，共11分
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)=-2+，则(　　　　)
A.f(x)只有1个零点 B.直线y=2x-1与曲线y=f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2个零点 D.曲线y=f(x)与圆x2+(y-1)2=1外切
14.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)=若直线y=knx与y=f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则++…+=　　　　　.
答案精析
1.B　2.B　3.D
4.D　[直线l：ax+by=1上有且仅有一点P，
使|OP|=2，则坐标原点到直线的距离d=|OP|=2，因为圆C的圆心为O(0，0)，半径r=4.截得的弦长为2=2=4.]
5.D　[圆C：x2+y2+ax-2ay-5=0的方程化为a(x-2y)+(x2+y2-5)=0，
由
得或
故圆C恒过定点(-2，-1)，(2，1).]
6.D　[如图，设弦AB的中点为D，
则由|AB|=2得，|C1D|==1，
即D点的轨迹方程为x2+y2=1.
又|+|=2||，
由于P点在圆C2：(x-3)2+(y-4)2=1上，
所以C2(3，4)，|C1C2|=5，
所以|C1C2|-1-1≤||≤|C1C2|+1+1，
即3≤||≤7，
所以|+|=2||的取值范围是[6，14].]
7.ABD　[对于A，直线l：y=kx-k，即y=k(x-1)，则直线l过定点(1，0)，故A正确；
对于B，因为12+02=1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2+y2=4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；
对于C，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x=1，直线l被圆C截得的弦长为2=2但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故C错误；
对于D，直线l：kx-y-k=0，圆心C(0，0)到直线l的距离d==得k=±1，故D正确.]
8.BD　[圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1=1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2=A错误；
|C1C2|=2>1+圆C1和圆C2外离，B正确；
圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x-1)2+(y+2)2=1，C0(1，-2)，连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，由圆的性质得，|PM|+|PN|≥|PC1|-1+|PC2|-=|PC0|+|PC2|-1-≥|C0C2|-1-=2-1-当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误；
设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|==当且仅当t=1，即P(1，0)时取等号，D正确.]
9.0(答案不唯一)
解析　直线kx-y+2k=0恒过定点(-2，0)，
圆(x-1)2+(y-2)2=4的圆心为(1，2)，半径r=2，
显然点(-2，0)在圆外，若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离d=≤2，
化简得5k2-12k≤0，
解得0≤k≤.
又k∈Z，则k=0或1或2.
即k的一个取值是0.
10.m2+n2=1
解析　由定义可知，mx+ny=1与x2+y2=1相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx+ny=1的距离等于1，则d==1，m2+n2=1.
11.解　两圆的标准方程分别为
(x-1)2+(y-3)2=11，
(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
=+.
解得m=25+10.
(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0，
即4x+3y-23=0.
所以公共弦的长为
2×=2.
12.解　(1)由题意可知，圆C：x2+(y-1)2=5的圆心为C(0，1)，半径r=.
∴圆心C到直线l：mx-y+1-m=0的距离为d=
由+=5，
解得m=±1.
(2)∵直线l的方程mx-y+1-m=0可化为y-1=m(x-1)，
∴直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴=(1-x1，1-y1)，
=(x2-1，y2-1)，
∵=
∴(1-x1，1-y1)=(x2-1，y2-1)，
∴1-x1=(x2-1)，
∴x2=3-2x1， ①
由得
(1+m2)x2-2m2x+m2-5=0， (※)
∴x1+x2= ②
由①②解得x1=
代入(※)式(1+m2)-2m2·+m2-5=0 m2-1=0，
解得m=±1，
∴直线l的方程为x-y=0或x+y-2=0.
13.ABD　[令y=f(x)，得x2+(y+2)2=4(y≥-2)，则f(x)的图象为半圆，如图所示，
令y=0，解得x=0，由图可知，f(x)只有1个零点，A正确，C错误；
联立y=2x-1与x2+(y+2)2=4，
消去x并整理得5y2+18y+1=0，
解得y1=
y2=(舍去)，
所以直线y=2x-1与曲线y=f(x)有唯一公共点，B正确；
半圆x2+(y+2)2=4(y≥-2)与圆x2+(y-1)2=1的圆心分别为(0，-2)，(0，1)，半径分别为2，1，
所以圆心距为|1-(-2)|=3=1+2，即圆心距等于半径之和，
所以曲线y=f(x)与圆x2+(y-1)2=1外切，D正确.]
14.
解析　当-1≤x≤1时，y=f(x)=即x2+y2=1，y≥0，
当x>1时，f(x)=f(x-2)，所以可得函数f(x)的周期为2，
画出函数图象，如图所示.
若直线y=knx与y=f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
根据图象知，直线y=knx与第n+1个半圆相切，不妨设其圆心为On+1(2n，0)，切点为P，连接POn+1，
所以在Rt△OPOn+1中，
tan∠POOn+1=
==kn，
kn==
故==
=
所以++…+
==.§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
课标要求　1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量 化 方程观点 Δ　　　0 Δ　　　0 Δ　　　0
几何观点 d　　　r d　　　r d　　　r
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d=|O1O2|)
图形 量的关系
外离
外切
相交
内切
内含
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|=　　　　　　.
(2)代数法：设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|=　　　　　　　　　　　　　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(　　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径.(　　)
2.直线3x+4y=5与圆x2+y2=16的位置关系是(　　)
A.相交且直线经过圆心 B.相切
C.相离 D.相交且直线不经过圆心
3.直线2x-y+1=0与圆x2+y2=2交于A，B两点，则弦AB的长度为(　　)
A. B. C. D.
4.圆C1：x2+y2=4与圆C2：x2+y2-8x-6y+16=0的位置关系是(　　)
A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.
(3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x用替换，y用替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2+y2+D1x+E1y+F1=0与C2：x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
题型一　直线与圆的位置关系
命题点1　位置关系的判断
例1　(多选)已知圆C：(x-2)2+y2=16，直线l：mx+y-3m-1=0，则下列结论中正确的是(　　)
A.直线l恒过定点(3，1)
B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交
D.直线l与圆C相离
思维升华　判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
命题点2　弦长问题
例2　已知直线l：y=kx+3与圆C：(x-1)2+(y-1)2=4交于A，B两点，若|AB|=2，则k等于(　　)
A.- B. C. D.-
思维升华　弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l=2.
命题点3　切线问题
例3　(多选)过点A(4，-3)作圆(x-3)2+(y-1)2=1的切线，所得切线方程为(　　)
A.x=4 B.15x+8y-36=0
C.y=-3 D.8x-15y-3=0
思维升华　当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d=r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y-y0=k(x-x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ=0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
命题点4　直线与圆位置关系中的最值问题
例4　已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：x2+y2-2x-2y+1=0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.
思维升华　涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
跟踪训练1　(1)(多选)已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=25，直线l：(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0.则下列命题正确的有(　　)
A.直线l恒过定点(3，1)
B.y轴被圆C截得的弦长为2
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x-y-5=0
(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2+y2=4上，直线l：4x+3y-12=0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则(　　)
A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为2
B.满足·=0的点P仅有1个
C.点P到直线l距离的最大值为
D.|+|的最小值是1
题型二　圆与圆的位置关系
例5　(多选)已知圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R.则下列选项正确的是(　　)
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max=10
C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a<
D.当a=时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为
思维升华　(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
跟踪训练2　(多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2+y2+2x-3=0与圆O2：x2+y2-2y-1=0交于A，B两点，则下列选项中正确的是(　　)
A.点(1，-1)在圆O2内
B.直线AB的方程为x+y-1=0
C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
答案精析
落实主干知识
1.<　=　>　>　=　<
2.d>r1+r2　d=r1+r2　|r1-r2|3.(1)2　(2)·
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　
2.D　3.B　4.A　
探究核心题型
例1　AC　[圆C：(x-2)2+y2=16的圆心C(2，0)，半径r=4，直线l：m(x-3)+y-1=0恒过定点(3，1)，显然=<4=r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确.]
例2　A　[圆C：(x-1)2+(y-1)2=4的圆心C(1，1)，r=2，
所以圆心C(1，1)到直线l：y=kx+3的距离d=
而d===1，
所以d==1，解得k=-.]
例3　AB　[由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，-3)的切线斜率存在时，设切线方程为y=k(x-4)-3，
则圆心到切线的距离d==1，
可得k=-
所以y=-(x-4)-3，
即15x+8y-36=0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x=4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x+8y-36=0或x=4.]
例4　2
解析　圆C：x2+y2-2x-2y+1=0，
即圆C：(x-1)2+(y-1)2=1，
所以圆心C(1，1)，半径r=1，
如图，连接PC，
因为S四边形PACB=2S△PAC=2××|AP|·|AC|=|AP|=
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心C到直线3x+4y+8=0的距离d，即d==3，
所以四边形PACB面积的最小值为=2.
跟踪训练1　(1)ACD　[由已知可得，圆心C(1，2)，半径r=5，
直线方程可化为l：m(2x+y-7)+x+y-4=0，
由可得
所以直线l恒过定点(3，1)，A正确；
将x=0代入圆的方程有1+(y-2)2=25，解得y=2±2
所以y轴被圆C截得的弦长为4B错误；
因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为=<5=r，
所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；
当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l被圆C截得的弦长最短，则l的斜率k应满足·k=-1，所以k=2，
代入点斜式方程有y-1=2(x-3)，即2x-y-5=0，D正确.]
(2)ACD　[点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O的半径为r，过点B作圆O的切线，所以点B到切点的距离为==2故A正确；
由中点坐标公式得线段AB的中点为M由两点间距离公式得|AB|=5，则以线段AB为直径的圆M的方程为+(y-2)2=
因为|OM|==
而-2=+2=
满足<<所以圆M与圆O相交，所以满足·=0的点P有2个，故B错误；
圆心O到直线l的距离为=半径r=2，所以点P到直线l距离的最大值为故C正确；
线段AB的中点为M
则=+)，
所以|+|=2||，
因为|PM|min=|OM|-r=-2=
所以|+|的最小值是1，故D正确.]
例5　ABD　[由圆C1：(x-1)2+(y-2a)2=9，圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R，
可知C1(1，2a)，C2(4，-a)，故直线C1C2的方程为y+a=-a(x-4)，即y=-a(x-3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确；
圆C1的半径r1=3，又圆C2：x2+y2-8x+2ay+a2+12=0，a∈R即(x-4)2+(y+a)2=4，a∈R，
圆C2的半径r2=2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|=r1+r2=3+2=5，
|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=10，B正确；
若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，又|C1C2|==
则3-2<|C1C2|<3+2，即1<<5，解得-当a=时，两圆相交，
圆C1：(x-1)2+=9，
圆C2：(x-4)2+=4，
将两方程相减可得公共弦方程为6x-2y-=0，则C1到直线6x-2y-=0的距离为
=
则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2=D正确.]
跟踪训练2　BC　[因为12+(-1)2-2×(-1)-1=3>0，所以点(1，-1)在圆O2外，故A错误；
因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x+y-1=0，即公共弦AB所在直线的方程为x+y-1=0，故B正确；
圆O1的圆心坐标为(-1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x+y-1=0的距离d==所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2+故C正确；
直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线段AB长的弦，故D错误.](共75张PPT)
第八章
§8.4　直线与圆、圆与圆的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系.
2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d，圆的半径为r)
相离 相切 相交
图形
量化 方程观点 Δ 0 Δ 0 Δ 0
几何观点 d r d r d r
<
＝
>
>
＝
<
图形 量的关系
外离 ___________
外切 ___________
相交 ________________
2.圆与圆的位置关系(☉O1，☉O2的半径分别为r1，r2，d＝|O1O2|)
d>r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2| 图形 量的关系
内切 ___________
内含 ___________
d＝|r1－r2|
d<|r1－r2|
3.直线被圆截得的弦长
(1)几何法：弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形，弦长|AB|＝
.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，代入，消去y，得关于x的一元二次方程，则|MN|＝ .
2
·
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若两圆没有公共点，则两圆一定外离.(　　)
(2)若两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交.(　　)
(3)若直线的方程与圆的方程组成的方程组有且只有一组实数解，则直线与圆相切.(　　)
(4)在圆中最长的弦是直径.(　　)
×
×
√
√
2.直线3x＋4y＝5与圆x2＋y2＝16的位置关系是
A.相交且直线经过圆心 B.相切
C.相离 D.相交且直线不经过圆心
√
圆心到直线的距离d＝＝1<4，且直线3x＋4y＝5不经过点(0，0)，所以直线与圆相交且不经过圆心.
3.直线2x－y＋1＝0与圆x2＋y2＝2交于A，B两点，则弦AB的长度为
A. B.
C. D.
√
设圆x2＋y2＝2的圆心为C(0，0)，半径r＝，
因为C(0，0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝，
所以|AB|＝2＝2.
4.圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0的位置关系是
A.外切 B.相交 C.外离 D.内切
圆C1的圆心C1(0，0)，半径r1＝2，
圆C2可化为(x－4)2＋(y－3)2＝9，
∴圆心C2(4，3)，半径r2＝3，
∴|C1C2|＝＝5＝r1＋r2，
故两圆外切.
√
1.牢记三个相关结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.
注意：求该类直线的方程亦可以用“留一代一”的方式进行，即将x2用xx0替换，y2用yy0替换，x
用替换，y用替换.
2.灵活应用两圆相交时公共弦的性质
圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：
(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；
(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；
(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
命题点1　位置关系的判断
例1　(多选)已知圆C：(x－2)2＋y2＝16，直线l：mx＋y－3m－1＝0，则下列结论中正确的是
A.直线l恒过定点(3，1) B.直线l与圆C相切
C.直线l与圆C相交 D.直线l与圆C相离
直线与圆的位置关系
题型一
√
√
圆C：(x－2)2＋y2＝16的圆心C(2，0)，半径r＝4，直线l：m(x－3)＋y－1＝0恒过定点(3，1)，显然<4＝r，因此点(3，1)在圆C内，直线l与圆C相交，B，D错误，A，C正确.
判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系判断.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
思维升华
命题点2　弦长问题
例2　已知直线l：y＝kx＋3与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4交于A，B两点，若|AB|＝2，则k等于
A.－ B.
C. D.－
√
圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝4的圆心C(1，1)，r＝2，
所以圆心C(1，1)到直线l：y＝kx＋3的距离d＝，
而d＝＝1，
所以d＝＝1，解得k＝－.
弦长的两种求法
(1)代数法：将直线和圆的方程联立方程组，根据弦长公式求弦长.
(2)几何法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
思维升华
命题点3　切线问题
例3　(多选)过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，所得切线方程为
A.x＝4 B.15x＋8y－36＝0
C.y＝－3 D.8x－15y－3＝0
√
√
由圆心为(3，1)，半径为1，当过点A(4，－3)的切线斜率存在时，设切线方程为y＝k(x－4)－3，
则圆心到切线的距离d＝＝1，可得k＝－，
所以y＝－(x－4)－3，即15x＋8y－36＝0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x＝4，显然与圆相切，
综上，切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
当切线方程斜率存在时，圆的切线方程的求法
(1)几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d，然后令d＝r，进而求出k.
(2)代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，然后令判别式Δ＝0进而求得k.
注意验证斜率不存在的情况.
思维升华
命题点4　直线与圆位置关系中的最值问题
例4　已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，则四边形PACB面积的最小值为　　　　.
2
圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，
即圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以圆心C(1，1)，半径r＝1，
如图，连接PC，
因为S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|·|AC|＝|AP|＝，
所以求S四边形PACB的最小值就是求|PC|的最小值，而|PC|的最小值就是圆心
C到直线3x＋4y＋8＝0的距离d，即d＝＝3，
所以四边形PACB面积的最小值为＝2.
涉及与圆的切线有关的线段长度范围(最值)问题，解题关键是能够把所求线段长表示为关于圆心与直线上的点的距离的函数的形式，利用求函数值域的方法求得结果.
思维升华
跟踪训练1　(1)(多选)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0.则下列命题正确的有
A.直线l恒过定点(3，1)
B.y轴被圆C截得的弦长为2
C.直线l与圆C恒相交
D.直线l被圆C截得弦长最短时，直线l的方程为2x－y－5＝0
√
√
√
由已知可得，圆心C(1，2)，半径r＝5，
直线方程可化为l：m(2x＋y－7)＋x＋y－4＝0，
由可得
所以直线l恒过定点(3，1)，A正确；
将x＝0代入圆的方程有1＋(y－2)2＝25，解得y＝2±2，
所以y轴被圆C截得的弦长为4，B错误；
因为点(3，1)到圆心C(1，2)的距离为<5＝r，
所以点(3，1)在圆内，直线l与圆C恒相交，C正确；
当圆心C(1，2)与定点(3，1)的连线恰好与l垂直时，圆心到直线的距离最大，
直线l被圆C截得的弦长最短，则l的斜率k应满足·k＝－1，所以k＝2，
代入点斜式方程有y－1＝2(x－3)，即2x－y－5＝0，D正确.
(2)(多选)(2024·南京模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝4上，直线l：4x＋3y－12＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，则
A.过点B作圆O的切线，则点B到切点的距离为2
B.满足·＝0的点P仅有1个
C.点P到直线l距离的最大值为
D.||的最小值是1
√
√
√
点A(3，0)，点B(0，4)，设圆O的半径为r，过点B作圆O的切线，所以点B到切点的距离为＝2，故A正确；
由中点坐标公式得线段AB的中点为M，由两点间距离公式得|AB|＝5，则以线段AB为直径的圆M的方程为＋(y－2)2＝，
因为|OM|＝，
而－2＝，＋2＝，
满足<<，所以圆M与圆O相交，所以满足·＝0的点P有2个，故B
错误；
圆心O到直线l的距离为，半径r＝2，所以点P到直线l距离的最大值为，故C正确；
线段AB的中点为M，则)，
所以||＝2||，
因为|PM|min＝|OM|－r＝－2＝，
所以||的最小值是1，故D正确.
例5　(多选)已知圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R.则下列选项正确的是
A.直线C1C2恒过定点(3，0)
B.当圆C1和圆C2外切时，若P，Q分别是圆C1，C2上的动点，则|PQ|max＝10
C.若圆C1和圆C2共有2条公切线，则a<
D.当a＝时，圆C1与圆C2相交弦的弦长为
圆与圆的位置关系
题型二
√
√
√
由圆C1：(x－1)2＋(y－2a)2＝9，圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R，
可知C1(1，2a)，C2(4，－a)，故直线C1C2的方程为y＋a＝－a(x－4)，即y＝－a(x－3)，则直线C1C2恒过定点(3，0)，A正确；
圆C1的半径r1＝3，又圆C2：x2＋y2－8x＋2ay＋a2＋12＝0，a∈R即(x－4)2＋(y＋a)2＝4，a∈R，
圆C2的半径r2＝2，当圆C1和圆C2外切时，|C1C2|＝r1＋r2＝3＋2＝5，
|PQ|max＝|C1C2|＋r1＋r2＝10，B正确；
若圆C1和圆C2共有2条公切线，则两圆相交，
又|C1C2|＝，
则3－2<|C1C2|<3＋2，即1<<5，解得－当a＝时，两圆相交，
圆C1：(x－1)2＋＝9，
圆C2：(x－4)2＋＝4，
将两方程相减可得公共弦方程为6x－2y－＝0，
则C1到直线6x－2y－＝0的距离为，
则圆C1与圆C2相交弦的弦长为2，D正确.
(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
思维升华
跟踪训练2　(多选)(2024·长沙模拟)若圆O1：x2＋y2＋2x－3＝0与圆O2：x2＋y2－2y－1＝0交于A，B两点，则下列选项中正确的是
A.点(1，－1)在圆O2内
B.直线AB的方程为x＋y－1＝0
C.圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋
D.圆O2上存在两点P，Q，使得|PQ|>|AB|
√
√
因为12＋(－1)2－2×(－1)－1＝3>0，所以点(1，－1)在圆O2外，故A错误；
因为圆O1和圆O2相交，将两圆方程相减可得x＋y－1＝0，即公共弦AB所在直线的方程为x＋y－1＝0，故B正确；
圆O1的圆心坐标为(－1，0)，半径为2，圆心O1到直线AB：x＋y－1＝0的
距离d＝，所以圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为2＋，
故C正确；
直线AB经过圆O2的圆心(0，1)，所以线段AB是圆O2的直径，故圆O2中不存在比线段AB长的弦，故D错误.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B D D D D ABD BD
题号 9 10 13 14
答案 0(答案不唯一) m2＋n2＝1 ABD
答案
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两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为和.
(1)当两圆外切时，
.
解得m＝25＋10.
11.
答案
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(2)两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2×＝2.
11.
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(1)由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝.
∴圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为
d＝，
由＝5，
解得m＝±1.
(2)∵直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内，
12.
答案
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设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，
∵，
∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，
∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①
由得
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答案
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(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)
∴x1＋x2＝， ②
由①②解得x1＝，
代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
12.
一、单项选择题
1.两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是
A.相交 B.内切 C.外切 D.内含
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知识过关
答案
两圆方程可分别化为x2＋(y－1)2＝1，x2＋y2＝4.两圆圆心分别为O1(0，1)，O2(0，0)，半径分别为r1＝1，r2＝2.因为|O1O2|＝1＝r2－r1，所以两圆内切.
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答案
2.直线y＝k(x－5)－2(k∈R)与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6的位置关系为
A.相离 B.相交
C.相切 D.无法确定
√
直线y＝k(x－5)－2恒过定点(5，－2)，将定点(5，－2)代入圆的方程，得(5－3)2＋(－2＋1)2＝5<6，则定点(5，－2)在圆(x－3)2＋(y＋1)2＝6内部，所以直线与圆必相交.
3.(2024·菏泽模拟)过点E(a，－1)向圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2作两条切线，切点分别为A，B，若∠AEB＝，则
A.a＝2或a＝－1 B.a＝－2或a＝1
C.a＝－3或a＝1 D.a＝3或a＝－1
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答案
圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝2的圆心M(1，1)，半径r＝，连接AM，ME，
依题意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，
则|EM|＝2|AM|＝2，
于是＝2，
整理得a2－2a－3＝0，
所以a＝3或a＝－1.
4.在平面直角坐标系Oxy中，直线l：ax＋by＝1上有且仅有一点P，使|OP|＝2，则直线l被圆C：x2＋y2＝16截得的弦长为
A.2 B.2 C.4 D.4
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直线l：ax＋by＝1上有且仅有一点P，
使|OP|＝2，则坐标原点到直线的距离d＝|OP|＝2，
因为圆C的圆心为O(0，0)，半径r＝4.
截得的弦长为2＝2＝4.
答案
5.圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0恒过的定点为
A.(－2，1)，(2，－1) B.(－1，－2)，(2，1)
C.(－1，－2)，(1，2) D.(－2，－1)，(2，1)
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答案
圆C：x2＋y2＋ax－2ay－5＝0的方程化为a(x－2y)＋(x2＋y2－5)＝0，
由得或
故圆C恒过定点(－2，－1)，(2，1).
6.已知A，B是圆C1：x2＋y2＝3上的动点，且|AB|＝2.P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上的动点，则||的取值范围是
A.[8，12] B.[6，10]
C.[10，14] D.[6，14]
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答案
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答案
如图，设弦AB的中点为D，
则由|AB|＝2得，|C1D|＝＝1，
即D点的轨迹方程为x2＋y2＝1.
又||＝2||，
由于P点在圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝1上，
所以C2(3，4)，|C1C2|＝5，
所以|C1C2|－1－1≤||≤|C1C2|＋1＋1，即3≤||≤7，
所以||＝2||的取值范围是[6，14].
二、多项选择题
7.已知直线l：y＝kx－k，k∈R，圆C：x2＋y2＝4，则下列结论正确的有
A.直线l过定点(1，0)
B.直线l与圆C恒相交
C.直线l被圆C截得的弦长最短为2
D.若直线l被圆C截得的弦长为，则k＝±1
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答案
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√
对于A，直线l：y＝kx－k，即y＝k(x－1)，则直线l过定点(1，0)，故A正确；
对于B，因为12＋02＝1<4，所以定点(1，0)在圆C：x2＋y2＝4内部，所以直线l与圆C恒相交，故B正确；
对于C，当直线l与x轴垂直时，直线l被圆C截得的弦长最短，此时l：x＝1，直线l被圆C截得的弦长为2＝2，但此时直线l的斜率不存在，不符合题意，故C错误；
对于D，直线l：kx－y－k＝0，圆心C(0，0)到直线l的距离d＝，
得k＝±1，故D正确.
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8.(2024·青岛模拟)已知动点M，N分别在圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝1和C2：(x－3)2＋(y－4)2＝3上，动点P在x轴上，则
A.圆C2的半径为3
B.圆C1和圆C2外离
C.|PM|＋|PN|的最小值为2
D.过点P作圆C1的切线，则点P到切点的最短距离为
√
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答案
圆C1的圆心C1(1，2)，半径r1＝1，圆C2的圆心C2(3，4)，半径r2＝，A错误；
|C1C2|＝2>1＋，圆C1和圆C2外离，B正确；
圆C1关于x轴对称的圆为C0：(x－1)2＋(y＋2)2＝1，C0(1，－2)，
连接C0C2交x轴于点P1，连接P1C1，
由圆的性质得，|PM|＋|PN|≥|PC1|－1＋|PC2|－
＝|PC0|＋|PC2|－1－
≥|C0C2|－1－＝2－1－，
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答案
当且仅当点P与P1重合，且M，N分别是线段P1C1，P1C2与圆C1和圆C2的交点时取等号，C错误；
设点P(t，0)，过点P作圆C1的切线，设切点为A，则|PA|＝≥，当且仅当t＝1，即P(1，0)时取等号，D正确.
三、填空题
9.若直线kx－y＋2k＝0(k∈Z)与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4有公共点，则k的一个取值是　　 　　.
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答案
0(答案不唯一)
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答案
直线kx－y＋2k＝0恒过定点(－2，0)，
圆(x－1)2＋(y－2)2＝4的圆心为(1，2)，半径r＝2，
显然点(－2，0)在圆外，若直线与圆有公共点，
则圆心到直线的距离d＝≤2，
化简得5k2－12k≤0，解得0≤k≤.
又k∈Z，则k＝0或1或2.
即k的一个取值是0.
10.直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如x＝ty＋1表示过点(1，0)且斜率不为0的直线，直线的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线.若圆C1：x2＋y2＝1是直线族mx＋ny＝1(m，n∈R)的包络曲线，则m，n满足的关系式为　　　　 　.
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答案
m2＋n2＝1
由定义可知，mx＋ny＝1与x2＋y2＝1相切，则圆C1的圆心(0，0)到直线mx
＋ny＝1的距离等于1，则d＝＝1，m2＋n2＝1.
四、解答题
11.已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值时，两圆外切？
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答案
两圆的标准方程分别为(x－1)2＋(y－3)2＝11，
(x－5)2＋(y－6)2＝61－m(m<61)，
则圆心分别为(1，3)，(5，6)，
半径分别为和.
当两圆外切时，.
解得m＝25＋10.
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答案
两圆的公共弦所在直线的方程为
(x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.
所以公共弦的长为2×＝2.
(2)当m＝45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长.
12.已知圆C：x2＋(y－1)2＝5，直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C交于A，B两点.
(1)若|AB|＝3，求实数m的值；
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答案
由题意可知，圆C：x2＋(y－1)2＝5的圆心为C(0，1)，半径r＝.
∴圆心C到直线l：mx－y＋1－m＝0的距离为d＝，
由＝5，
解得m＝±1.
(2)若点P为直线l所过定点，且|PB|＝2|AP|，求直线l的方程.
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答案
∵直线l的方程mx－y＋1－m＝0可化为y－1＝m(x－1)，
∴直线l过定点P(1，1)，且P(1，1)在圆C内，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵P(1，1)，
∴＝(1－x1，1－y1)，＝(x2－1，y2－1)，
∵，
∴(1－x1，1－y1)＝(x2－1，y2－1)，
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答案
∴1－x1＝(x2－1)，∴x2＝3－2x1， ①
由得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0， (※)
∴x1＋x2＝， ②
由①②解得x1＝，
代入(※)式(1＋m2)－2m2·＋m2－5＝0 m2－1＝0，
解得m＝±1，
∴直线l的方程为x－y＝0或x＋y－2＝0.
13.(多选)(2024·北京朝阳区模拟)已知函数f(x)＝－2＋，则
A.f(x)只有1个零点
B.直线y＝2x－1与曲线y＝f(x)有唯一公共点
C.f(x)恰有2个零点
D.曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1外切
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√
能力拓展
√
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答案
令y＝f(x)，得x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)，则f(x)的图象为半圆，如图所示，
令y＝0，解得x＝0，由图可知，f(x)只有1个零点，A正确，C错误；
联立y＝2x－1与x2＋(y＋2)2＝4，
消去x并整理得5y2＋18y＋1＝0，
解得y1＝，
y2＝(舍去)，
所以直线y＝2x－1与曲线y＝f(x)有唯一公共点，B正确；
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答案
半圆x2＋(y＋2)2＝4(y≥－2)与圆x2＋(y－1)2＝1的圆心分别为(0，－2)，(0，1)，半径分别为2，1，
所以圆心距为|1－(－2)|＝3＝1＋2，
即圆心距等于半径之和，
所以曲线y＝f(x)与圆x2＋(y－1)2＝1外切，D正确.
14.(2024·内蒙古模拟)已知f(x)＝若直线y＝knx与y＝
f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，则＋…＋＝　　　　.
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答案
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答案
当－1≤x≤1时，y＝f(x)＝，即x2＋y2＝1，y≥0，
当x>1时，f(x)＝f(x－2)，所以可得函数f(x)的周期为2，
画出函数图象，如图所示.
若直线y＝knx与y＝f(x)的图象有2n(n∈N*)个交点，
根据图象知，直线y＝knx与第n＋1个半圆相切，
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答案
不妨设其圆心为On＋1(2n，0)，切点为P，连接POn＋1，
所以在Rt△OPOn＋1中，
tan∠POOn＋1＝＝kn，
kn＝，
故，
所以＋…＋
＝.
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