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§8.5　椭　圆
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(-4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
2.若椭圆+=1(a>0)的离心率为，则该椭圆的半焦距为(　　)
A. B.
C.3或 D.3或
3.设椭圆+=1(m>0，n>0)的两个焦点分别为F1(0，2)与F2(0，-2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m2+n2等于(　　)
A.4+2 B.2 C.28 D.36
4.(2024·泸州模拟)已知点P在椭圆C：+=1上，C的左焦点为F，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|的值为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.8
5.已知P为椭圆C：+=1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，O为坐标原点，|PO|=a，且|PF1|·|PF2|=a2，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
6.已知椭圆C：+=1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|+|PF|的最大值为(　　)
A. B.5 C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知椭圆C：+=1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意一点，以下结论正确的是(　　　　)
A.椭圆C的离心率为
B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3
D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
8.已知圆O：x2+y2=3经过椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是(　　　　)
A.椭圆C的长轴长为2
B.椭圆C的短轴长为2
C.椭圆C的离心率为
D.点P的坐标为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知椭圆C的焦点F1，F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为　　　　　　　　　.
10.设F1，F2分别是椭圆E：+=1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|=2|QF2|，则椭圆E的离心率为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)如图所示，已知椭圆+=1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°，求椭圆的离心率；(6分)
(2)若椭圆的焦距为2，且=2，求椭圆的方程.(7分)
12.(15分)已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是4，离心率是.
(1)求椭圆的标准方程；(6分)
(2)若点P在该椭圆上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2=120°，求△PF1F2的面积.(9分)
每小题5分，共10分
13.已知点P是椭圆+=1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为(　　)
A.2 B. C. D.
14.(2025·信阳模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2和上顶点A的直线l交C于另外一点B，若=λ，且△F1F2B的面积为，则实数λ的值为(　　)
A.3 B. C.3或7 D.或7
答案精析
1.B　2.D　3.C
4.C　[因为椭圆C：+=1，
所以a=3，b=2则c=1，
设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，记线段PF的中点为Q，连接OQ，
因为|OF|=c=1，
所以|OQ|=1，
因为O，Q分别为FF1和PF的中点，
所以OQ∥F1P，所以|PF1|=2|OQ|=2，
又|PF|+|PF1|=2a=6，
所以|PF|=6-|PF1|=4.]
5.C　[令F1(-c，0)，F2(c，0)，显然点P不在x轴上=+)，则4=++2||||cos∠F1PF2，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，
因此4|PO|2+|F1F2|2=2(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1||PF2|，
而|PF1|+|PF2|=2a，
于是3a2+4c2=2(2a)2-3a2，整理得2c2=a2，
则e2==又06.B　[如图，设椭圆C的左焦点为F1(-1，0)，
因为+=<1，
所以点A在椭圆内部.
由椭圆定义可得|PF|=4-|PF1|，
所以|PA|+|PF|=4+|PA|-|PF1|≤4+|AF1|
=4+=4+1=5.]
7.BD　[椭圆C：+=1，则a=4，b=2c==2.
对于A，e==故A错误；
对于B，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=12，故B正确；
对于C，|PF1|的最小值为a-c=2，故C错误；
对于D，|PF1|·|PF2|≤=a2=16，当且仅当|PF1|=|PF2|=4时等号成立，故D正确.]
8.BD　[因为圆O：x2+y2=3经过椭圆C：+=1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，所以c=又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，则=|F1F2|·xP=×2·xP=1，故xP=代入圆的方程可得+=3，所以yP=故点P的坐标为故D正确；
将点P的坐标代入椭圆方程可得+=1，又a2=b2+c2=b2+3，解得a=2，b=1，故椭圆C的长轴长为4，短轴长为2，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率e==故C不正确.]
9.+=1
解析　设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，依题意得
即解得
则椭圆的短半轴长b==
所以椭圆C的标准方程为+=1.
10.
解析　设|QF2|=m(m>0)，
则|PF2|=2m，|PQ|=3m，
根据椭圆定义，
|PF1|=2a-2m，|QF1|=2a-m，
又因为PF1⊥PQ，
所以在Rt△PF1Q中，
+|PQ|2=
即(2a-2m)2+(3m)2=(2a-m)2，解得m=a，
则|PF2|=a，|PF1|=a，
则在Rt△PF1F2中，
+=
即+=(2c)2，
所以e2==e=.
11.解　(1)若∠F1AB=90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|=|OF2|，即b=c.
所以a=c，故e==.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，
设B(x，y)，
由=2得
解得
代入+=1，得+=1，
解得a2=3.
所以b2=a2-c2=3-1=2，
所以椭圆方程为+=1.
12.解　(1)由题可得
解得
所以椭圆的标准方程是+=1.
(2)由(1)知
|F1F2|=2c=2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
=+|F1F2|2-2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2=|PF1|2+4+2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|+|PF2|=4，
即|PF2|=4-|PF1|， ②
将②代入①，解得|PF1|=
所以=|PF1|·|F1F2|·sin 120°=×2×=.
因此△PF1F2的面积是.
13.B　[由+=1，得a2=16，b2=7，所以a=4，b=c==3，
所以|PF1|+|F1F2|+|PF2|
=2a+2c=8+6=14.
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|+|F1F2|+|PF2|)r=|F1F2|yP，
所以×14×1=×6yP，
得yP=.]
14.D　[由题意可知
|AF1|=|AF2|=a，
因为=λ
则|F2B|=
|F1B|=2a-|AB|=a+.
设∠F1AF2=θ∈(0，π)，
在△F1AB中，由余弦定理可得=+|AB|2-2|AF1|·|AB|cos θ，
即=a2+-2a·cos θ，
解得cos θ=.
又因为=-
则=asin θ-a2sin θ，
解得sin θ=可得θ=或θ=.
若θ=则cos θ==
解得λ=符合题意；
若θ=则cos θ==-
解得λ=7，符合题意.
综上所述，实数λ的值为或7.]§8.5　椭　圆
课标要求　1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用.
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于　　　　(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的　　　　，两焦点间的距离叫做椭圆的　　　　.
注意：(1)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数=|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|+|MF2|=常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
2.椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
范围
顶点
轴长 短轴长为　　　　，长轴长为　　　　
焦点
焦距 |F1F2|=　　　
对称性 对称轴：　　　　　　，对称中心：　　　　
离心率
a，b，c的关系
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(3)+=1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
2.已知平面内一动点P到两定点F1(-2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
3.(2024·黔东南模拟)椭圆+=1(m>0)的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4.若椭圆C：+=1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为(　　)
A.3 B.2+
C.2 D.+1
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2=θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max=a+c，|PF1|min=a-c.
(3)|PF1|·|PF2|≤=a2.
(4)4c2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a+c).
题型一　椭圆的定义及其应用
例1　(1)已知动圆M和圆C1：(x+1)2+y2=36内切，并和圆C2：(x-1)2+y2=4外切，则动圆圆心M的轨迹是(　　)
A.直线
B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆
D.焦点在y轴上的椭圆
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|=|OM|，则△PF1F2的面积为(　　)
A. B. C.3 D.4
思维升华　椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
跟踪训练1　(1)设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A.1 B.2 C.4 D.5
(2)已知F1，F2分别为椭圆C：+=1(4>b>0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且△AF1F2为等边三角形；过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长为　　　　　　.
题型二　椭圆的标准方程
例2　(1)过点(-3，2)且与+=1有相同焦点的椭圆的标准方程是(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(-，-2)和B(-2，1)两点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　.
思维升华　根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)；与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为+=1(a>b>0，m>-b2)；与椭圆+=1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为+=λ或+=λ(a>b>0，λ>0).
跟踪训练2　(1)(2024·九江模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2，则椭圆C的方程为(　　)
A.+y2=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短轴长的3倍，则该椭圆的方程为　　　　.
题型三　椭圆的几何性质
命题点1　离心率
例3　(2024·大庆模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|=|AF2|，则椭圆C的离心率是(　　)
A. B. C. D.
思维升华　求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e=求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e=求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)
例4　(多选)已知椭圆+=1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P为椭圆上任一点，则(　　)
A.的最大值为4
B.|PF1|的取值范围是[4-2，4+2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为2
思维升华　与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
跟踪训练3　(1)(多选)已知椭圆+=1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|+|BF2|的最大值为8
C.离心率为
D.椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=
(2)已知椭圆C：+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　　　.
答案精析
落实主干知识
1.常数　焦点　焦距
2.-a≤x≤a且-b≤y≤b　-b≤x≤b且-a≤y≤a　A1(-a，0)，A2(a，0)，B1(0，-b)，B2(0，b)　A1(0，-a)，A2(0，a)，B1(-b，0)，B2(b，0)　2b
2a　F1(-c，0)，F2(c，0)　F1(0，-c)，F2(0，c)　2c　x轴和y轴　原点
e=(0自主诊断
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.B　3.A　4.A
探究核心题型
例1　(1)C　[设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x+1)2+y2=36内切，且与圆C2：(x-1)2+y2=4外切，
可得|MC1|=6-r，|MC2|=r+2，
所以|MC1|+|MC2|=8>|C1C2|=2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a=8，2c=2，
可得a=4，c=1，
则b==
所以动点M的轨迹方程为+=1，
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.]
(2)A　[由题意可得a=3，b=c==2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|=2|OM|=2|OF2|=2c=4，
根据椭圆定义，可得|PF1|=2a-|PF2|=2，又因为|F1F2|=2c=4，
所以△PF1F2为等腰三角形，且F2到PF1的距离为
h==
故△PF1F2的面积为|PF1|·h=.]
跟踪训练1　(1)B　[因为椭圆C：+y2=1，
所以a=2，b=1，c=
又因为·=0，
所以⊥即PF1⊥PF2，
设|PF1|=m(m>0)，|PF2|=n(n>0)，
则m+n=4， ①
且m2+n2= ②
由①2-②得2mn=4，即mn=2，
所以|PF1|·|PF2|=2.]
(2)16
解析　由C：+=1(4>b>0)，得a=4，
因为△AF1F2为等边三角形，
过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
得|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，
则△ADE的周长为|AD|+|AE|+|DE|=|DF2|+|EF2|+|DF1|+|EF1|=2a+2a=4a=4×4=16.
例2　(1)B　[由题意得椭圆+=1的焦点坐标为(0)，(-0)，
因为所求椭圆与椭圆+=1有相同的焦点，
设所求椭圆的方程为+=1(a>)，
由于该椭圆经过点(-3，2)，则将点代入方程得+=1，
解得a2=15(a2=3舍去)，
故所求椭圆的标准方程为+=1.]
(2)+=1
解析　设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0，n>0，m≠n)，将A和B的坐标代入方程得
解得
则所求椭圆的标准方程为+=1.
跟踪训练2　(1)D　[如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB∥AF2，
又OB⊥x轴，
∴AF2⊥x轴.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2=
设|AF2|=t(t>0)，
则|AF1|=2t，|F1F2|=t.
∵△AF1F2的面积为2
∴t×t=2t=2.
∴2a=|AF1|+|AF2|=3t=6，a=3，
2c=|F1F2|=t=2c=
b2=a2-c2=6，
则椭圆C的方程为+=1.]
(2)+=1或+=1
解析　若焦点在x轴上，设该椭圆的方程为
+=1(a>b>0)，
则由题意得
解得
∴该椭圆的方程为+=1；
若焦点在y轴上，设该椭圆的方程为
+=1(a>b>0)，
则由题意得
解得
∴该椭圆的方程为+=1.
例3　A　[由题可知|BF1|=|BF2|=a，
所以
解得
由cos∠AF1F2+cos∠BF1F2=0，
得+=0，
整理得a2=3c2，
所以e==.]
例4　AB　[对于A，依题意知a=4，b=2，c=2当P为短轴端点时，()max=×2c×b=4故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a-c，a+c]，即[4-24+2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO==所以∠F2BO=所以∠F1BF2=即∠F1PF2的最大值为最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|=
又+=1，所以=16-4
所以|PB|=
=
=
又-2≤y0≤2，故当y0=-时，|PB|max==故D错误.]
跟踪训练3　(1)BD　[易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，|AB|最短，∴|AB|==4，解得b2=6，∴椭圆方程为+=1.
对于A，椭圆的短轴长为2b=2故A错误；
对于B，∵△ABF2的周长为|AB|+|AF2|+|BF2|=|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=12，且|AB|min=4，∴=12-|AB|min=8，故B正确；
对于C，∵c==a=3，∴离心率e==故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|=|PF2|=a=3，|F1F2|=2c=2
∴cos∠F1PF2==>0，又∠F1PF2为三角形内角，
∴∠F1PF2∈
∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2=故D正确.]
(2)
解析　设椭圆C的半焦距为c(c>0)，
则c==a，
==-1，
因为|AF2|∈[a-c，a+c]，
即|AF2|∈
所以-1∈
即的取值范围是.(共80张PPT)
第八章
§8.5　椭　圆
数学
大
一
轮
复
习
1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.掌握椭圆的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的 ，两焦点间的距离叫做椭圆的
.
注意：(1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在.
常数
焦点
焦距
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 ＝1(a>b>0) ＝1(a>b>0)
范围 _____________________ _____________________
顶点 _____________________ _____________________ ________________________________________________
2.椭圆的简单几何性质
－a≤x≤a且－b≤y≤b
－b≤x≤b且－a≤y≤a
A1(－a，0)，A2(a，0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b，0)，B2(b，0)
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
轴长 短轴长为 ，长轴长为____
焦点 ____________________ ____________________
焦距 |F1F2|＝____
对称性 对称轴： ，对称中心：_____
离心率 ______________
a，b，c的关系 ____________
2b
2a
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
2c
x轴和y轴
原点
e＝(0a2＝b2＋c2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)到两定点的距离之和为定值的点的轨迹是椭圆.(　　)
(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形.(　　)
(3)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆.(　　)
(4)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.(　　)
×
×
√
×
2.已知平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，则动点P的轨迹方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
因为平面内一动点P到两定点F1(－2，0)，F2(2，0)的距离之和为8，且8>|F1F2|＝4，
所以动点P的轨迹为焦点位于x轴的椭圆，
设椭圆方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c(c>0)，
则解得
故动点P的轨迹方程为＝1.
3.(2024·黔东南模拟)椭圆＝1(m>0)的离心率为
A. B. C. D.
√
由椭圆的标准方程可得a2＝5m，b2＝3m，
所以离心率e＝＝.
4.若椭圆C：＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为
A.3 B.2＋
C.2 D.＋1
由题意知a＝2，b＝，所以c＝1，则椭圆上的点到焦点距离的最大值为a＋c＝3.
√
椭圆中常见结论：
P为椭圆上任意一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，设∠F1PF2＝θ，如图所示.
(1)当P为短轴端点时，θ最大，最大；当点P为长轴端点时，θ最小为0.
(2)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a－c.
(3)|PF1|·|PF2|≤＝a2.
(4)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
(5)焦点三角形的周长为2(a＋c).
返回
微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知动圆M和圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，并和圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，则动圆圆心M的轨迹是
A.直线 B.圆
C.焦点在x轴上的椭圆 D.焦点在y轴上的椭圆
椭圆的定义及其应用
题型一
√
设动圆的圆心M的坐标为(x，y)，半径为r，
因为动圆M与圆C1：(x＋1)2＋y2＝36内切，
且与圆C2：(x－1)2＋y2＝4外切，
可得|MC1|＝6－r，|MC2|＝r＋2，
所以|MC1|＋|MC2|＝8>|C1C2|＝2，
根据椭圆的定义知，动点M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝8，2c＝2，
可得a＝4，c＝1，则b＝，
所以动点M的轨迹方程为＝1，
所以其轨迹为焦点在x轴上的椭圆.
(2)(2025·长沙模拟)已知点O为坐标原点，椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，设线段PF1的中点为M，且|OF2|＝|OM|，则△PF1F2的面积为
A. B.
C.3 D.4
√
由题意可得a＝3，b＝，c＝＝2.
如图，因为O，M分别是F1F2和PF1的中点，
所以|PF2|＝2|OM|＝2|OF2|＝2c＝4，
根据椭圆定义，可得|PF1|＝2a－|PF2|＝2，又因为|F1F2|＝2c＝4，
所以△PF1F2为等腰三角形，
且F2到PF1的距离为h＝，
故△PF1F2的面积为|PF1|·h＝.
椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等.
(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题.
思维升华
跟踪训练1　(1)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|等于
A.1 B.2 C.4 D.5
√
因为椭圆C：＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
又因为·＝0，
所以⊥，即PF1⊥PF2，
设|PF1|＝m(m>0)，|PF2|＝n(n>0)，
则m＋n＝4， ①
且m2＋n2＝， ②
由①2－②得2mn＝4，即mn＝2，所以|PF1|·|PF2|＝2.
(2)已知F1，F2分别为椭圆C：＝1(4>b>0)的左，右焦点，A为椭圆C的上顶点，且△AF1F2为等边三角形；过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，则△ADE的周长为　　　.
16
由C：＝1(4>b>0)，得a＝4，
因为△AF1F2为等边三角形，
过F1且垂直于AF2的直线与椭圆C交于D，E两点，
所以直线DE为线段AF2的垂直平分线，
得|AD|＝|DF2|，|AE|＝|EF2|，
则△ADE的周长为|AD|＋|AE|＋|DE|＝|DF2|＋|EF2|＋|DF1|＋|EF1|
＝2a＋2a＝4a＝4×4＝16.
例2　(1)过点(－3，2)且与＝1有相同焦点的椭圆的标准方程是
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
椭圆的标准方程
题型二
√
由题意得椭圆＝1的焦点坐标为(，0)，(－，0)，
因为所求椭圆与椭圆＝1有相同的焦点，
设所求椭圆的方程为＝1(a>)，
由于该椭圆经过点(－3，2)，则将点代入方程得，＝1，
解得a2＝15(a2＝3舍去)，
故所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)已知椭圆C的焦点在坐标轴上，且经过A(－，－2)和B(－2，1)两
点，则椭圆C的标准方程为　　　　　　.
＝1
设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
将A和B的坐标代入方程得
解得
则所求椭圆的标准方程为＝1.
根据条件求椭圆方程的主要方法
(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义.
(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m
≠n)；与椭圆＝1(a>b>0)共焦点的椭圆方程可设为＝1(a>b>0，m>－b2)；与椭圆＝1(a>b>0)有相同离心率的椭圆方程可设为＝λ或＝λ(a>b>0，λ>0).
思维升华
跟踪训练2　(1)(2024·九江模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且倾斜角为的直线交C于第一象限内一点A.若线段AF1的中点在y轴上，△AF1F2的面积为2，则椭圆C的方程为
A.＋y2＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
如图，∵O为线段F1F2的中点，B为线段AF1的中点，
∴OB∥AF2，又OB⊥x轴，∴AF2⊥x轴.
在Rt△AF1F2中，∠AF1F2＝，
设|AF2|＝t(t>0)，则|AF1|＝2t，|F1F2|＝t.
∵△AF1F2的面积为2，
∴×t×t＝2，t＝2.
∴2a＝|AF1|＋|AF2|＝3t＝6，a＝3，
2c＝|F1F2|＝t＝2，c＝，b2＝a2－c2＝6，
则椭圆C的方程为＝1.
(2)已知椭圆的中心在原点且过点P(3，2)，焦点在坐标轴上，长轴长是短
轴长的3倍，则该椭圆的方程为　　　　　　　　 .
＝1或＝1
若焦点在x轴上，设该椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
则由题意得解得
∴该椭圆的方程为＝1；
若焦点在y轴上，设该椭圆的方程为＝1(a>b>0)，
则由题意得解得
∴该椭圆的方程为＝1.
命题点1　离心率
例3　(2024·大庆模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别
为F1，F2，B(0，b)，若经过F1的弦AB满足|AB|＝|AF2|，则椭圆C的离心率是
A. B. C. D.
椭圆的几何性质
题型三
√
由题可知|BF1|＝|BF2|＝a，
所以
解得
由cos∠AF1F2＋cos∠BF1F2＝0，
得＝0，
整理得a2＝3c2，
所以e＝.
求椭圆离心率或其范围的方法
(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝求解.
(2)由a与b的关系，利用变形公式e＝求解.
(3)构造a，c的方程.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
思维升华
命题点2　与椭圆有关的范围(最值)
例4　(多选)已知椭圆＝1，F1，F2为左、右焦点，B为上顶点，P
为椭圆上任一点，则
A.的最大值为4
B.|PF1|的取值范围是[4－2，4＋2]
C.不存在点P使PF1⊥PF2
D.|PB|的最大值为2
√
√
对于A，依题意知a＝4，b＝2，c＝2，当P为短轴端点时，()max＝×2c×b＝4，故A正确；
对于B，由椭圆的性质知|PF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[4－2，4＋2]，故B正确；
对于C，sin∠F2BO＝，所以∠F2BO＝，所以∠F1BF2＝，即∠F1PF2的最大值为，最小值为0，所以存在点P使PF1⊥PF2，故C错误；
对于D，设P(x0，y0)，
所以|PB|＝，
又＝1，所以＝16－4，
所以|PB|＝
＝，
又－2≤y0≤2，故当y0＝－时，|PB|max＝，故D错误.
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)已知椭圆＝1(0A.椭圆的短轴长为
B.|AF2|＋|BF2|的最大值为8
C.离心率为
D.椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝
√
√
易知当AB⊥x轴时，即线段AB为通径时，|AB|最短，
∴|AB|＝＝4，解得b2＝6，∴椭圆方程为＝1.
对于A，椭圆的短轴长为2b＝2，故A错误；
对于B，∵△ABF2的周长为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋|BF2|＝4a＝12，且|AB|min＝4，∴＝12－|AB|min＝8，故B正确；
对于C，∵c＝，a＝3，∴离心率e＝，故C错误；
对于D，易知当点P位于短轴端点时，∠F1PF2最大，此时|PF1|＝|PF2|＝a＝3，|F1F2|＝2c＝2，
∴cos∠F1PF2＝>0，
又∠F1PF2为三角形内角，∴∠F1PF2∈，
∴椭圆上不存在点P，使得∠F1PF2＝，故D正确.
(2)已知椭圆C：＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为C上一动点，则的取值范围是　　　　.
返回
设椭圆C的半焦距为c(c>0)，
则c＝a，
－1，
因为|AF2|∈[a－c，a＋c]，
即|AF2|∈，所以－1∈，
即的取值范围是.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
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5
6
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12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D C C C B BD BD
题号 9 10 13 14
答案 ＝1 B D
答案
1
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6
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13
14
(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，故e＝.
(2)由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，得解得
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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14
代入＝1，得＝1，
解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆方程为＝1.
11.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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14
(1)由题可得解得
所以椭圆的标准方程是＝1.
(2)由(1)知|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
12.
答案
1
2
3
4
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14
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|， ②
将②代入①，解得|PF1|＝，
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×.
因此△PF1F2的面积是.
12.
一、单项选择题
1.若椭圆的焦点在x轴上且经过点(－4，0)，焦距为6，则该椭圆的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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14
知识过关
答案
由题意得a＝4，2c＝6，则c＝3，b2＝a2－c2＝7，
所以该椭圆的标准方程为＝1.
1
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答案
2.若椭圆＝1(a>0)的离心率为，则该椭圆的半焦距为
A. B. C.3或 D.3或
√
若椭圆的焦点在x轴上，则离心率e＝，得a2＝12，
此时半焦距c＝＝3；
若椭圆的焦点在y轴上，则离心率e＝，此时半焦距c＝.
所以该椭圆的半焦距为3或.
3.设椭圆＝1(m>0，n>0)的两个焦点分别为F1(0，2)与F2(0，－2).若此椭圆上存在点P使得△PF1F2为正三角形，则m2＋n2等于
A.4＋2 B.2 C.28 D.36
√
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14
答案
由已知可得椭圆的焦点位于y轴上且|PF1|＝|PF2|＝|F1F2|＝4，所以点P位于短轴的端点，且|PF1|＋|PF2|＝2n＝8，解得n＝4.又椭圆的半焦距c＝2，所以m2＝n2－c2＝12，所以m2＋n2＝28.
4.(2024·泸州模拟)已知点P在椭圆C：＝1上，C的左焦点为F，若线段PF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则|PF|的值为
A.2 B.3 C.4 D.8
√
1
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3
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5
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答案
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4
5
6
7
8
9
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13
14
答案
因为椭圆C：＝1，
所以a＝3，b＝2，则c＝1，
设椭圆的右焦点为F1，连接PF1，记线段PF的中点为Q，连接OQ，因为|OF|＝c＝1，所以|OQ|＝1，
因为O，Q分别为FF1和PF的中点，
所以OQ∥F1P，所以|PF1|＝2|OQ|＝2，
又|PF|＋|PF1|＝2a＝6，
所以|PF|＝6－|PF1|＝4.
5.已知P为椭圆C：＝1(a>b>0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，O为坐标原点，|PO|＝a，且|PF1|·|PF2|＝a2，则C的离心率为
A. B. C. D.
√
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答案
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14
答案
令F1(－c，0)，F2(c，0)，显然点P不在x轴上，)，则4＋2||||cos∠F1PF2，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2，因此4|PO|2＋|F1F2|2＝2(|PF1|＋|PF2|)2－4|PF1||PF2|，而|PF1|＋|PF2|＝2a，
于是3a2＋4c2＝2(2a)2－3a2，整理得2c2＝a2，
则e2＝，又06.已知椭圆C：＝1的右焦点为F，P为椭圆C上任意一点，点A的坐标为，则|PA|＋|PF|的最大值为
A. B.5 C. D.
√
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答案
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14
答案
如图，设椭圆C的左焦点为F1(－1，0)，
因为<1，
所以点A在椭圆内部.
由椭圆定义可得|PF|＝4－|PF1|，
所以|PA|＋|PF|＝4＋|PA|－|PF1|≤4＋|AF1|
＝4＋＝4＋1＝5.
二、多项选择题
7.已知椭圆C：＝1，且两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆C上任意
一点，以下结论正确的是
A.椭圆C的离心率为 B.△PF1F2的周长为12
C.|PF1|的最小值为3 D.|PF1|·|PF2|的最大值为16
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√
答案
√
椭圆C：＝1，则a＝4，b＝2，c＝＝2.
对于A，e＝，故A错误；
对于B，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝12，故B正确；
对于C，|PF1|的最小值为a－c＝2，故C错误；
对于D，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，当且仅当|PF1|＝|PF2|＝4时等
号成立，故D正确.
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答案
8.已知圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，
且P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，且△PF1F2的面积为1，则下列结论正确的是
A.椭圆C的长轴长为2 B.椭圆C的短轴长为2
C.椭圆C的离心率为 D.点P的坐标为
√
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答案
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14
答案
因为圆O：x2＋y2＝3经过椭圆C：＝1(a>b>0)的两个焦点F1，F2，
所以c＝，又P为圆O与椭圆C在第一象限内的公共点，则
|F1F2|·xP＝×2·xP＝1，故xP＝，代入圆的方程可得＝3，所以yP＝，故点P的坐标为，故D正确；
将点P的坐标代入椭圆方程可得＝1，又a2＝b2＋c2＝b2＋3，
解得a＝2，b＝1，故椭圆C的长轴长为4，短轴长为2，故A不正确，B正确；
则椭圆C的离心率e＝，故C不正确.
三、填空题
9.已知椭圆C的焦点F1，F2都在x轴上，P为椭圆C上一点，△PF1F2的周长为6，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆C的标准方程为
　　　　　　.
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答案
＝1
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答案
设椭圆的长半轴长为a，半焦距为c，
依题意得
即解得
则椭圆的短半轴长b＝，
所以椭圆C的标准方程为＝1.
10.设F1，F2分别是椭圆E：＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F2的直线交椭圆E于P，Q两点，且PF1⊥PQ，|PF2|＝2|QF2|，则椭圆E的离心率为
　　　.
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答案
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14
答案
设|QF2|＝m(m>0)，
则|PF2|＝2m，|PQ|＝3m，
根据椭圆定义，|PF1|＝2a－2m，|QF1|＝2a－m，
又因为PF1⊥PQ，
所以在Rt△PF1Q中，＋|PQ|2＝，
即(2a－2m)2＋(3m)2＝(2a－m)2，解得m＝a，
则|PF2|＝a，|PF1|＝a，
则在Rt△PF1F2中，，
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答案
即＝(2c)2，
所以e2＝，e＝.
四、解答题
11.如图所示，已知椭圆＝1(a>b>0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
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答案
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答案
若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，
所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c.
所以a＝c，故e＝.
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程.
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答案
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答案
由题意知A(0，b)，F2(1，0)，设B(x，y)，
由＝2，得解得
代入＝1，得＝1，
解得a2＝3.所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，
所以椭圆方程为＝1.
12.已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，长轴长是4，离心率是.
(1)求椭圆的标准方程；
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答案
由题可得解得
所以椭圆的标准方程是＝1.
(2)若点P在该椭圆上，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积.
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答案
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答案
由(1)知|F1F2|＝2c＝2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
＋|F1F2|2－2|PF1|·|F1F2|·cos 120°，
即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|. ①
由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，
即|PF2|＝4－|PF1|， ②
将②代入①，解得|PF1|＝，
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答案
所以|PF1|·|F1F2|·sin 120°
＝××2×.
因此△PF1F2的面积是.
13.已知点P是椭圆＝1上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，且△PF1F2的内切圆半径为1，当点P在第一象限时，P点的纵坐标为
A.2 B. C. D.
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答案
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能力拓展
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答案
由＝1，得a2＝16，b2＝7，
所以a＝4，b＝，c＝＝3，
所以|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|
＝2a＋2c＝8＋6＝14.
设△PF1F2的内切圆半径为r，
因为(|PF1|＋|F1F2|＋|PF2|)r＝|F1F2|yP，
所以×14×1＝×6yP，得yP＝.
14.(2025·信阳模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2，过点F2和上顶点A的直线l交C于另外一点B，若＝λ，且
△F1F2B的面积为，则实数λ的值为
A.3 B. C.3或7 D.或7
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答案
√
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答案
由题意可知|AF1|＝|AF2|＝a，
因为＝λ，
则|F2B|＝，|F1B|＝2a－，|AB|＝a＋.
设∠F1AF2＝θ∈(0，π)，
在△F1AB中，由余弦定理可得＋|AB|2－2|AF1|·|AB|cos θ，
即＝a2＋－2a·cos θ，
解得cos θ＝.
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答案
又因为，
则asin θ－a2sin θ，
解得sin θ＝，可得θ＝或θ＝.
若θ＝，则cos θ＝，
解得λ＝，符合题意；
若θ＝，则cos θ＝＝－，
解得λ＝7，符合题意.
综上所述，实数λ的值为或7.
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