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§8.6　双曲线
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知双曲线mx2-y2=1(m>0)的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±2x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
2.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，-4)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.
3.(2025·张家口模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
4.(2024·安阳模拟)已知双曲线的方程为5mx2-my2=5(m∈R，m≠0)，则不因m的变化而变化的是(　　)
A.顶点坐标 B.渐近线方程
C.焦距 D.离心率
5.已知点P是双曲线-=1右支上的一点，点A，B分别是圆(x+6)2+y2=4和圆(x-6)2+y2=1上的点.则|PA|-|PB|的最小值为(　　)
A.3 B.5 C.7 D.9
6.(2024·天津河西区模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|=3|OM|，则双曲线C的离心率为(　　)
A. B. C.2 D.3
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·南通调研)已知双曲线C：-=1(b>0)的右焦点为F，直线l：x+by=0是C的一条渐近线，P是l上一点，则(　　　　)
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于-
8.已知A为双曲线C：-=1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有(　　　　)
A.若|AB|=10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.>2
D.|AF|-|AM|的最小值为8
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|=13，|AB|=10，则C的离心率为　　　　.
10.(2024·郑州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且+=2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a=2，经过点A(-5，2)；(6分)
(2)过点P(-，2)，且与椭圆+=1有相同焦点的双曲线方程.(7分)
12.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；(7分)
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|+|PF|的最小值.(8分)
每小题5分，共10分
13.(2024·天津)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为(　　)
A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
14.将双曲线-=1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y=的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比例函数y=的图象为双曲线.同样“对勾函数”y=x+也能由双曲线的图象绕原点旋转得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为(　　)
A.4 B.4 C.2 D.2
答案精析
1.A　2.C
3.B　[由题意可得=tan =
所以a=b，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
即x±y=0，
焦点(c，0)到渐近线x+y=0的距离d===2，所以c=4，
又a2+b2=c2=16，a=b，
所以b2=4，a2=12，
所以C的方程为-=1.]
4.B　[将双曲线方程化为标准方程可得
-=1，
当m>0时，双曲线-=1表示焦点在x轴上的双曲线，且a2=b2=c2=
此时顶点坐标为渐近线方程为y=±x，焦距2c=
离心率e===；
当m<0时，双曲线-=1表示焦点在y轴上的双曲线，
且a2=-b2=-c2=-
此时顶点坐标为渐近线方程为y=±x，
焦距2c=
离心率e===.
综上可得，不因m的变化而变化的是渐近线方程.]
5.B　[由双曲线-=1可知，
a=4，b=2c==6，
且圆(x+6)2+y2=4的圆心为F1(-6，0)，半径r1=2，圆(x-6)2+y2=1的圆心为F2(6，0)，半径r2=1，
由圆的性质可知
|PA|≥|PF1|-r1=|PF1|-2，
|PB|≤|PF2|+r2=|PF2|+1，
可得|PA|-|PB|≥(|PF1|-2)-(|PF2|+1)=|PF1|-|PF2|-3，
可知F1(-6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|-|PF2|=2a=8，
可得|PA|-|PB|≥|PF1|-|PF2|-3=5，
所以|PA|-|PB|的最小值为5.]
6.B　[由题意得F1(-c，0)，由双曲线的对称性，设一条渐近线的方程为bx-ay=0，
所以|MF1|===b，
由勾股定理得|OM|
==a，
因为MF1垂直于渐近线，
所以cos∠MOF1=
因为|MF2|=3|OM|，
所以|MF2|=3a，
而|OF2|=c，
在△MOF2中，由余弦定理得
cos∠MOF2=
因为∠MOF1+∠MOF2=π，
所以+=0，
化简得c2=6a2，所以c=a，
故e==.]
7.AD　[双曲线C：-=1的渐近线方程为bx±2y=0，依题意得-=-解得b=
对于A，C的虚轴长为2b=2A正确；
对于B，C的离心率e==B错误；
对于C，点F(0)到直线l：x+y=0的距离为=
即|PF|的最小值为C错误；
对于D，直线l：x+y=0的斜率为-而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于-D正确.]
8.ABD　[设双曲线的右焦点为F1，依题意，四边形AFBF1为平行四边形，如图，
由双曲线C：-=1知a=4，b=3，c=5.
对于A，|AB|=10=|FF1|，
则四边形AFBF1为矩形，AF⊥BF，A正确；
对于B，由双曲线定义得
|AF|-|AF1|=8，
而|FF1|=10，AF⊥BF，
则|AF|2+|AF1|2=|FF1|2，
即+2|AF||AF1|=|FF1|2，
于是|AF||AF1|=18，因此△ABF的面积S=|AF||AF1|=9，B正确；
对于C，在Rt△AFM中，
==
双曲线C：-=1的渐近线方程为y=±x，直线AF的斜率为<
即有>
>=C错误；
对于D，|AF|-|AM|=8+|AF1|-|AM|≥8，当且仅当|AF1|=|AM|时取等号，D正确.]
9.
解析　|F1A|=13，|AF2|=|AB|=5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|==12.
由双曲线定义可得
2a=|F1A|-|AF2|=8，
2c=|F1F2|=12，
化简得a=4，c=6，
则C的离心率e==.
10.2
解析　如图，由e===
可得a=b，
故双曲线C：-=1的渐近线方程为y=±x，
由双曲线的对称性，
不妨设A(x1，x1)，B(x2，-x2)，
因为+=2
则点P为AB的中点，
则P
将其代入x2-y2=a2中，整理得x1x2=a2，
又|OA|=|x1|，|OB|=|x2|，且OA⊥OB，
则△AOB的面积为
|x1|×|x2|=6，
即a2=6，解得a=
故双曲线的实轴长为2.
11.解　(1)因为a=2且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为-=1(b>0)，
将点A(-5，2)代入双曲线的方程得
-=1，解得b2=16，
因此，双曲线的标准方程为-=1.
(2)在椭圆+=1中，
c==
所以椭圆的焦点坐标为F1(-0)，F2(0)，
设双曲线的标准方程为-=1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，
所以a2+b2=c2=5，
点P(-2)代入双曲线方程，
可得-=1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2-=1.
12.解　(1)-=1的渐近线的方程为y=±x，即bx±ay=0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx-ay=0，则点F(c，0)到bx-ay=0的距离
d==b=4，
又因为焦距2c=10，所以c=5，
所以a2=c2-b2=9，
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(-5，0)，
|PA|+|PF|=|PA|+|PF0|+2a=|PA|+|PF0|+6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|+|PF0|最小，且最小值为|AF0|=17.
故|PA|+|PF|的最小值为17+6=23.
13.C　[由题意可知，∠F1PF2=90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1==2，
根据双曲线定义|PF1|-|PF2|=2a，
得|PF1|=4a，|PF2|=2a，
=|PF1||PF2|=×4a×2a=4a2，
又=8，所以a2=2，
所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2
=(4a)2+(2a)2=20a2=40.
又|F1F2|2=4c2，所以c2=10，
又a2+b2=c2，所以b2=8，
所以双曲线的方程为-=1.]
14.D　[“对勾函数”y=x+的两条渐近线分别为y=x和x=0，夹角为60°，实轴所在直线是两条渐近线夹角的角平分线，所以实轴所在直线的倾斜角为60°，斜率为方程为y=x，
联立解得或所以此“对勾函数”所对应的双曲线的两个顶点为或
所以实轴长为=2.]§8.6　双曲线
课标要求　1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的　　　　　等于非零常数(　　　　|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的　　　　，两焦点间的距离叫做双曲线的　　　　.
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
2.双曲线的标准方程和简单几何性质
标准方程 ＝1(a>0，b>0) ＝1(a>0，b>0)
图形
性质 焦点
焦距
范围 或 　　，y∈R y≤-a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴：　　　　　； 对称中心：　　　
顶点
轴 实轴：线段　　　　　，长：　　　　；虚轴：线段B1B2，长：　　　　；实半轴长：　　　　，虚半轴长：　　　　
渐近线
离心率 e=∈　　　　
a，b，c的关系 c2=　　　　　(c>a>0，c>b>0)
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，-4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)方程-=1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(3)双曲线-=1(m>0，n>0)的渐近线方程是±=0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
2.双曲线x2-4y2=1的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3.(多选)已知双曲线方程-=1，下列说法中正确的有(　　)
A.焦点坐标为(0，±5)
B.虚轴长为6
C.焦距为10
D.渐近线方程为y=±x
4.设F1，F2分别为双曲线Γ：-=1的左、右焦点，点M在Γ的右支上，线段F1M与Γ的左支相交于点N，且|MF2|=|MN|，则|F1N|=　　　　　　.
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min=a+c，|PF2|min=c-a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
题型一　双曲线的定义及应用
例1　(1)已知圆C1：(x+3)2+y2=1和圆C2：(x-3)2+y2=9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为(　　)
A.x2-=1(x≥1) B.x2-=1
C.x2-=1(x≤-1) D.-x2=1
(2)设双曲线C：x2-=1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·=0，||=||，则b等于(　　)
A.1 B. C. D.2
圆锥曲线的第二定义
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线.
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
典例　(1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为　　　　.
思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|-|PF2||=2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
跟踪训练1　(1)设P是双曲线-=1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|=9，则|PF2|等于(　　)
A.1 B.17
C.1或17 D.5或13
(2)已知F1，F2分别是双曲线C：x2-=1的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|+|MF2|=6，则∠MF1F2=　　　　　　.
题型二　双曲线的标准方程
例2　(1)过点(2，2)且与椭圆9x2+3y2=27有相同焦点的双曲线方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
(2)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(-，1)，且与双曲线C2：x2-3y2=1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
思维升华　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为-=λ(λ≠0)，与双曲线-=1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为-=1(-a2<λ跟踪训练2　双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，点A(，1)在双曲线C上，且满足·=0，则双曲线C的标准方程为　　　　　　.
题型三　双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例3　(2024·石家庄质检)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实半轴长为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A.y=±x B.y=±x
C.y=±x D.y=±x
思维升华　(1)渐近线方程的求法：令-=0，即得两渐近线方程±=0.
(2)在双曲线-=1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k=±，满足关系式e2=1+k2.
命题点2　离心率
例4　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|=4a，且=12a2，则双曲线C的离心率e等于(　　)
A. B.
C.+1 D.
思维升华　求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2=a2+b2和e=转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
命题点3　与双曲线有关的范围(最值)
例5　若双曲线C：x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　　　　　.
思维升华　与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
跟踪训练3　(1)(多选)已知双曲线C：-=1(m>0)，则下列说法正确的是(　　)
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m=2
C.若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则m=2
D.若m=2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
(2)(多选)(2024·泉州模拟)已知双曲线C：-x2=1(a>0)的一条渐近线方程为y=x，上、下焦点分别为F1，F2，则(　　)
A.C的方程为-x2=1
B.C的离心率为2
C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|+|AF2|的最小值为2
D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π
答案精析
落实主干知识
1.绝对值　小于　焦点　焦距
2.F1(-c，0)，F2(c，0)　F1(0，-c)，F2(0，c)　|F1F2|=2c　x≤-a
x≥a　坐标轴　原点　A1(-a，0)，A2(a，0)　A1(0，-a)，A2(0，a)　A1A2　2a　2b　a　b　y=±x　y=±x　(1，+∞)　a2+b2
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　
2.C　3.BC　4.3
探究核心题型
例1　(1)C　[设动圆M的半径为r，
则|MC1|=r+1，|MC2|=r+3，
则|MC2|-|MC1|=2<|C1C2|=6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2-=1的左半支.]
(2)B　[设|MF2|=t(t>0)，
结合题意得
|NF2|=t，
|MN|=t，
结合双曲线的定义可得
|MF2|-|MF1|=2，
则|MF1|=t-2，
又由双曲线的定义可得
|NF1|-|NF2|=2，
则t+t-2-t=2，解得t=2
所以|NF1|=|MN|+|MF1|=2+2
|NF2|=2∠F1NF2=45°，在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|=
==2
所以c=则b2=c2-a2=3-1=2，
即b=.]
微拓展
典例　(1)+=1
解析　依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x=
由椭圆第二定义知=
∵c=2，故a=4，∴b2=a2-c2=12，
∴椭圆方程为+=1.
(2)
解析　设M到直线x==的距离为d，由双曲线第二定义知，
=e=∴d=|MF2|，
∴|MA|+|MF2|=|MA|+d，
如图，可知(|MA|+d)min=xA-=9-=.
跟踪训练1　(1)B　[由双曲线-=1得a=4，b=2c=6，
由双曲线的定义可得
||PF1|-|PF2||=2a=8.
因为|PF1|=9，所以|9-|PF2||=8，得|PF2|=1或17，
若|PF2|=1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c-a=2，不成立；
若|PF2|=17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c+a=10，成立.
所以|PF2|=17.]
(2)30°
解析　由题意可得|F1F2|
=2=2
由双曲线的定义得|MF1|-|MF2|=2，
而|MF1|+|MF2|=6，
解得|MF1|=4，|MF2|=2，
由余弦定理得cos∠MF1F2
=
==
所以∠MF1F2=30°.
例2　(1)D　[由9x2+3y2=27，
得+=1，
所以焦点在y轴上，且c==.
设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，
所以解得
所以双曲线的方程为-=1.]
(2)A　[由双曲线C1与双曲线C2：x2-3y2=1有相同的渐近线，
故可设双曲线C1的方程为
x2-3y2=λ(λ≠0)，
又因为C1过点A(-1)，
代入双曲线C1的方程得15-3=λ，
解得λ=12，
所以双曲线C1的标准方程是
-=1.]
跟踪训练2　-=1
解析　由题可设F1(-c，0)，F2(c，0)，c>0，
因为A(1)，
所以=(-c--1)=(c--1)，
因为·=0，
所以·=3-c2+1=0，
解得c=2，
又因为
解得a2=b2=2，
所以双曲线C的标准方程为-=1.
例3　B　[设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，双曲线的渐近线方程为by±ax=0，
由点到直线的距离公式可得==b=3，
又双曲线C：-=1(a>0，b>0)的实半轴长为所以a=
所以双曲线C的渐近线方程为3y±x=0，即y=±x.]
例4　D　[由双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a，
∵|PF2|=4a，∴|PF1|=6a，
设∠F1PF2=θ，θ∈(0，π)，
则=|PF1||PF2|sin θ
=×6a×4a×sin θ=12a2sin θ=12a2，
∴sin θ=1，θ=
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|+=|F1F2|2，
∴36a2+16a2=4c2，即52a2=4c2，
∴e2===13，∴e=.]
例5　3
解析　由题意可知a=1，b=c==2，且|PF1|-|PF2|=2，
设|PF2|=m≥c-a=1，则|PF1|=m+2，
可得|PF1|·|PF2|=m(m+2)在[1，+∞)上单调递增，
所以当m=1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3.
跟踪训练3　(1)BC　[由双曲线C：-=1且m>0，
得实轴长为2a=2A错误；
渐近线方程为y=±x，若渐近线相互垂直，则-=-1 m=2，B正确；
若(2，0)为焦点，则c=2，则2+m=c2=4 m=2，C正确；
若m=2，则双曲线C：-=1，故双曲线C上的点到焦点距离的最小值为c-a=2-D错误.]
(2)BC　[对于A，双曲线C：-x2=1(a>0)的渐近线方程为y=±ax，则a=
于是双曲线C的方程为3y2-x2=1，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率e==2，故B正确；
对于C，F1F2
由双曲线的定义得，
|PA|+|AF2|=|PA|+|AF1|+2a
≥|PF1|+=+=2
当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号，故C正确；
对于D，由点M(2t)在双曲线上支上，得t=
=|F1F2|·2=△MF1F2的周长为|MF1|+|MF2|+|F1F2|
=++=
设△MF1F2的内切圆半径为r，
则=r=解得r=
因此△MF1F2的内切圆面积为π，故D错误.](共91张PPT)
第八章
§8.6　双曲线
数学
大
一
轮
复
习
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.
2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).
3.了解双曲线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.双曲线的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的 等于非零常数(_____
|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的 ，两焦点间的距离叫做双曲线的 .
注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.
(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.
(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
绝对值
小于
焦点
焦距
标准方程
图形
性质 焦点 ____________________ ____________________
焦距 ____________ 范围 或 ，y∈R y≤－a或y≥a，x∈R
对称性 对称轴： ；对称中心：______ 2.双曲线的标准方程和简单几何性质
F1(－c，0)，F2(c，0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
|F1F2|＝2c
x≤－a
x≥a
坐标轴
原点
标准方程
性质 顶点 _____________________ ____________________
轴 实轴：线段 ，长： ；虚轴：线段B1B2，长： ；实半轴长： ，虚半轴长：___ 渐近线 __________ __________
离心率 a，b，c的关系 c2＝ (c>a>0，c>b>0) A1(－a，0)，A2(a，0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
A1A2
2a
2b
a
b
y＝±x
y＝±x
(1，＋∞)
a2＋b2
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.(　　)
(2)方程＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线.(　　)
(3)双曲线＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是±＝0.(　　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　　)
×
×
√
√
2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为
A. B. C. D.
√
因为x2－4y2＝1，即x2－＝1，
所以a＝1，b＝，c＝，
所以e＝.
3.(多选)已知双曲线方程＝1，下列说法中正确的有
A.焦点坐标为(0，±5) B.虚轴长为6
C.焦距为10 D.渐近线方程为y＝±x
√
√
由双曲线方程＝1，
得a＝4，b＝3，c＝＝5，
又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；
所以虚轴长为2b＝6，B选项正确；
焦距为2c＝10，C选项正确；
渐近线方程为y＝±x＝±x，D选项错误.
4.设F1，F2分别为双曲线Γ：＝1的左、右焦点，点M在Γ的右支上，线段F1M与Γ的左支相交于点N，且|MF2|＝|MN|，则|F1N|＝　　.
因为点M在Γ的右支上，F1，F2分别为双曲线Γ的左、右焦点，
所以|MF1|－|MF2|＝2×＝3，
又|MF1|＝|MN|＋|NF1|，|MF2|＝|MN|，
所以|F1N|＝|MF1|－|MF2|＝3.
3
1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.
2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a＋c，|PF2|min＝c－a.
3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为
A.x2－＝1(x≥1) B.x2－＝1
C.x2－＝1(x≤－1) D.－x2＝1
双曲线的定义及应用
题型一
√
设动圆M的半径为r，
则|MC1|＝r＋1，|MC2|＝r＋3，
则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，
根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2－＝1的左半支.
(2)设双曲线C：x2－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线分别交双曲线左、右两支于点M，N，连接MF2，NF2，若·＝0，||＝||，则b等于
A.1 B. C. D.2
√
设|MF2|＝t(t>0)，
结合题意得|NF2|＝t，|MN|＝t，
结合双曲线的定义可得|MF2|－|MF1|＝2，
则|MF1|＝t－2，
又由双曲线的定义可得|NF1|－|NF2|＝2，
则t＋t－2－t＝2，解得t＝2，
所以|NF1|＝|MN|＋|MF1|＝2＋2，
|NF2|＝2，∠F1NF2＝45°，
在△F1NF2中，由余弦定理得|F1F2|＝
＝＝2，
所以c＝，则b2＝c2－a2＝3－1＝2，
即b＝.
平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：
(1)当0(2)当e>1时，轨迹为双曲线.
①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.
②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±.
圆锥曲线的第二定义
微拓展
典例　(1)椭圆＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝的距离之比为，则椭圆方程为　 　 　　.
＝1
依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x＝，
由椭圆第二定义知，
∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，
∴椭圆方程为＝1.
(2)已知双曲线＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|＋|MF2|的最小值为　 　.
设M到直线x＝的距离为d，由双曲线第二定义知，
＝e＝，∴d＝|MF2|，
∴|MA|＋|MF2|＝|MA|＋d，
如图，可知(|MA|＋d)min＝xA－＝9－.
在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.
思维升华
跟踪训练1　(1)设P是双曲线＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PF2|等于
A.1 B.17
C.1或17 D.5或13
√
由双曲线＝1得
a＝4，b＝2，c＝6，
由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.
因为|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，
若|PF2|＝1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c－a＝2，不成立；
若|PF2|＝17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c＋a＝10，成立.
所以|PF2|＝17.
(2)已知F1，F2分别是双曲线C：x2－＝1的左、右焦点，点M在双曲线的右支上，且|MF1|＋|MF2|＝6，则∠MF1F2＝　　　.
30°
由题意可得|F1F2|＝2＝2，
由双曲线的定义得|MF1|－|MF2|＝2，
而|MF1|＋|MF2|＝6，
解得|MF1|＝4，|MF2|＝2，
由余弦定理得
cos∠MF1F2＝
＝，
所以∠MF1F2＝30°.
例2　(1)过点(2，2)且与椭圆9x2＋3y2＝27有相同焦点的双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
双曲线的标准方程
题型二
√
由9x2＋3y2＝27，得＝1，
所以焦点在y轴上，且c＝.
设双曲线的方程为＝1(a>0，b>0)，
所以解得
所以双曲线的方程为＝1.
(2)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，
故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，
又因为C1过点A(－，1)，
代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，
解得λ＝12，
所以双曲线C1的标准方程是＝1.
求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.
(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可
将双曲线方程设为＝λ(λ≠0)，与双曲线＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为＝1(－a2<λ思维升华
跟踪训练2　双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1，F2，点A(，1)在双曲线C上，且满足·＝0，则双曲线C的标准方程为
　　　　　　.
＝1
由题可设F1(－c，0)，F2(c，0)，c>0，
因为A(，1)，
所以＝(－c－，－1)，＝(c－，－1)，
因为·＝0，
所以·＝3－c2＋1＝0，解得c＝2，
又因为解得a2＝b2＝2，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
命题点1　渐近线
例3　(2024·石家庄质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长
为，其上焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线C的渐近线方程为
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
双曲线的几何性质
题型三
√
设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0)，
双曲线的渐近线方程为by±ax＝0，
由点到直线的距离公式可得＝b＝3，
又双曲线C：＝1(a>0，b>0)的实半轴长为，所以a＝，
所以双曲线C的渐近线方程为3y±x＝0，即y＝±x.
(1)渐近线方程的求法：令＝0，即得两渐近线方程±＝0.
(2)在双曲线＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±，满足关系式e2＝1＋k2.
思维升华
命题点2　离心率
例4　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c(c>0).若双曲线C右支上存在点P，使得|PF2|＝4a，且＝12a2，则双曲线C的离心率e等于
A. B. C.＋1 D.
√
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
∵|PF2|＝4a，∴|PF1|＝6a，
设∠F1PF2＝θ，θ∈(0，π)，
则|PF1||PF2|sin θ＝×6a×4a×sin θ＝12a2sin θ＝12a2，
∴sin θ＝1，θ＝，
∴△PF1F2为直角三角形，
∴|＝|F1F2|2，
∴36a2＋16a2＝4c2，即52a2＝4c2，
∴e2＝＝13，∴e＝.
求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2＋b2和e＝转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围).
思维升华
命题点3　与双曲线有关的范围(最值)
例5　若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C右支上的
动点，则|PF1|·|PF2|的最小值为　　.
3
由题意可知a＝1，b＝，c＝＝2，且|PF1|－|PF2|＝2，
设|PF2|＝m≥c－a＝1，则|PF1|＝m＋2，
可得|PF1|·|PF2|＝m(m＋2)在[1，＋∞)上单调递增，
所以当m＝1时，|PF1|·|PF2|取得最小值3.
与双曲线有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是双曲线的性质.
(2)利用函数，尤其是二次函数.
(3)利用不等式，尤其是基本不等式.
思维升华
跟踪训练3　(1)(多选)已知双曲线C：＝1(m>0)，则下列说法正确的是
A.双曲线C的实轴长为2
B.若双曲线C的两条渐近线相互垂直，则m＝2
C.若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则m＝2
D.若m＝2，则双曲线C上的点到焦点距离的最小值为2
√
√
由双曲线C：＝1且m>0，
得实轴长为2a＝2，A错误；
渐近线方程为y＝±x，若渐近线相互垂直，则－＝－1 m＝2，B正确；
若(2，0)为焦点，则c＝2，则2＋m＝c2＝4 m＝2，C正确；
若m＝2，则双曲线C：＝1，故双曲线C上的点到焦点距离的最小
值为c－a＝2－，D错误.
(2)(多选)(2024·泉州模拟)已知双曲线C：－x2＝1(a>0)的一条渐近线方程为y＝x，上、下焦点分别为F1，F2，则
A.C的方程为－x2＝1
B.C的离心率为2
C.若点A(x0，y0)为双曲线C上支上的任意一点，P(2，0)，则|PA|＋|AF2|的
最小值为2
D.若点M(2，t)为双曲线C上支上的一点，则△MF1F2的内切圆面积为2π
√
√
对于A，双曲线C：－x2＝1(a>0)的渐近线方程为y＝±ax，则a＝，
于是双曲线C的方程为3y2－x2＝1，故A错误；
对于B，双曲线C的离心率e＝＝2，故B正确；
对于C，F1，F2，
由双曲线的定义得，
|PA|＋|AF2|＝|PA|＋|AF1|＋2a≥|PF1|＋＝2，
当且仅当点A为线段PF1与双曲线上支的交点时取等号，故C正确；
对于D，由点M(2，t)在双曲线上支上，得t＝，
|F1F2|·2，△MF1F2的周长为|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|
＝，
设△MF1F2的内切圆半径为r，
则×r＝，解得r＝，
因此△MF1F2的内切圆面积为π，故D错误.
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课时精练
对一对
答案
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A C B B B B AD ABD
题号 9 10 13 　14 答案 C 　D 答案
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(1)因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
(2)在椭圆＝1中，c＝，
11.
答案
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所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，可得＝1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
11.
答案
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(1)＝1的渐近线的方程为
y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，
则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
12.
答案
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(2)记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
12.
一、单项选择题
1.已知双曲线mx2－y2＝1(m>0)的实轴长为1，则该双曲线的渐近线方程为
A.y＝±2x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±x
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知识过关
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答案
由题可知双曲线的实轴长为2，
则2＝1，解得m＝4，
所以该双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
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答案
2.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，－4)，点
(－6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为
A.4 B.3 C.2 D.
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答案
设F1(0，－4)，F2(0，4)，P(－6，4)，
则|F1F2|＝2c＝8，
|PF1|＝＝10，
|PF2|＝＝6，
则2a＝|PF1|－|PF2|＝10－6＝4，
则e＝＝2.
3.(2025·张家口模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为，其焦点到渐近线的距离为2，则C的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
由题意可得＝tan ，所以a＝b，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，
焦点(c，0)到渐近线x＋y＝0的距离
d＝＝2，所以c＝4，
又a2＋b2＝c2＝16，a＝b，
所以b2＝4，a2＝12，
所以C的方程为＝1.
4.(2024·安阳模拟)已知双曲线的方程为5mx2－my2＝5(m∈R，m≠0)，则不因m的变化而变化的是
A.顶点坐标 B.渐近线方程
C.焦距 D.离心率
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答案
将双曲线方程化为标准方程可得＝1，
当m>0时，双曲线＝1表示焦点在x轴上的双曲线，
且a2＝，b2＝，c2＝，
此时顶点坐标为，渐近线方程为y＝±x，焦距2c＝，
离心率e＝；
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答案
当m<0时，双曲线＝1表示焦点在y轴上的双曲线，
且a2＝－，b2＝－，c2＝－，
此时顶点坐标为，渐近线方程为y＝±x，焦距2c＝，
离心率e＝.
综上可得，不因m的变化而变化的是渐近线方程.
5.已知点P是双曲线＝1右支上的一点，点A，B分别是圆(x＋6)2＋y2＝4和圆(x－6)2＋y2＝1上的点.则|PA|－|PB|的最小值为
A.3 B.5 C.7 D.9
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答案
由双曲线＝1可知，
a＝4，b＝2，c＝＝6，
且圆(x＋6)2＋y2＝4的圆心为F1(－6，0)，半径r1＝2，圆(x－6)2＋y2＝1的圆心为F2(6，0)，半径r2＝1，
由圆的性质可知|PA|≥|PF1|－r1＝|PF1|－2，
|PB|≤|PF2|＋r2＝|PF2|＋1，
可得|PA|－|PB|≥(|PF1|－2)－(|PF2|＋1)＝|PF1|－|PF2|－3，
1
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答案
可知F1(－6，0)，F2(6，0)为双曲线的焦点，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝8，
可得|PA|－|PB|≥|PF1|－|PF2|－3＝5，
所以|PA|－|PB|的最小值为5.
6.(2024·天津河西区模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，且|MF2|＝3|OM|，则双曲线C的离心率为
A. B. C.2 D.3
√
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答案
由题意得F1(－c，0)，由双曲线的对称性，
设一条渐近线的方程为bx－ay＝0，
所以|MF1|＝＝b，
由勾股定理得|OM|＝＝a，
因为MF1垂直于渐近线，
所以cos∠MOF1＝，
因为|MF2|＝3|OM|，所以|MF2|＝3a，
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答案
而|OF2|＝c，
在△MOF2中，由余弦定理得
cos∠MOF2＝，
因为∠MOF1＋∠MOF2＝π，
所以＝0，
化简得c2＝6a2，所以c＝a，
故e＝.
二、多项选择题
7.(2024·南通调研)已知双曲线C：＝1(b>0)的右焦点为F，直线l：x
＋by＝0是C的一条渐近线，P是l上一点，则
A.C的虚轴长为2
B.C的离心率为
C.|PF|的最小值为2
D.直线PF的斜率不等于－
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√
答案
√
双曲线C：＝1的渐近线方程为bx±2y＝0，
依题意得－＝－，解得b＝，
对于A，C的虚轴长为2b＝2，A正确；
对于B，C的离心率e＝，B错误；
对于C，点F(，0)到直线l：x＋y＝0的距离为，
即|PF|的最小值为，C错误；
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答案
对于D，直线l：x＋y＝0的斜率为－，而点F不在l上，点P在l上，则直线PF的斜率不等于－，D正确.
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答案
8.已知A为双曲线C：＝1上位于第一象限内的点，过点A作x轴的垂线，垂足为M，点B与点A关于原点对称，F为双曲线C的左焦点，则下列结论正确的有
A.若|AB|＝10，则AF⊥BF
B.若AF⊥BF，则△ABF的面积为9
C.>2
D.|AF|－|AM|的最小值为8
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答案
√
√
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答案
设双曲线的右焦点为F1，依题意，四边形AFBF1为平行四边形，如图，
由双曲线C：＝1知a＝4，b＝3，c＝5.
对于A，|AB|＝10＝|FF1|，
则四边形AFBF1为矩形，AF⊥BF，A正确；
对于B，由双曲线定义得|AF|－|AF1|＝8，
而|FF1|＝10，AF⊥BF，
则|AF|2＋|AF1|2＝|FF1|2，
即＋2|AF||AF1|＝|FF1|2，
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答案
于是|AF||AF1|＝18，因此△ABF的面积
S＝|AF||AF1|＝9，B正确；
对于C，在Rt△AFM中，
，
双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，直线AF的斜率为<，
即有>，>，C错误；
对于D，|AF|－|AM|＝8＋|AF1|－|AM|≥8，当且仅当|AF1|＝|AM|时取等号，D正确.
三、填空题
9.(2024·新课标全国Ⅰ)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作平行于y轴的直线交C于A，B两点，若|F1A|＝13，
|AB|＝10，则C的离心率为　　.
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答案
|F1A|＝13，|AF2|＝|AB|＝5，
且AF2⊥F1F2，
|F1F2|＝＝12.
由双曲线定义可得2a＝|F1A|－|AF2|＝8，
2c＝|F1F2|＝12，
化简得a＝4，c＝6，
则C的离心率e＝.
10.(2024·郑州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，A，B分别是它的两条渐近线上的点(不与坐标原点O重合)，点P在双曲线C上且＝2，△AOB的面积为6，则该双曲线的实轴长为　　　.
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答案
如图，由e＝可得a＝b，
故双曲线C：＝1的渐近线方程为y＝±x，
由双曲线的对称性，不妨设A(x1，x1)，B(x2，－x2)，
因为＝2，
则点P为AB的中点，
则P，
将其代入x2－y2＝a2中，整理得x1x2＝a2，
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答案
又|OA|＝|x1|，|OB|＝|x2|，且OA⊥OB，
则△AOB的面积为×|x1|×|x2|＝6，
即a2＝6，解得a＝，
故双曲线的实轴长为2.
四、解答题
11.求适合下列条件的双曲线的标准方程.
(1)焦点在x轴上，a＝2，经过点A(－5，2)；
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答案
因为a＝2，且双曲线的焦点在x轴上，
可设双曲线的标准方程为＝1(b>0)，
将点A(－5，2)代入双曲线的方程得
＝1，解得b2＝16，
因此，双曲线的标准方程为＝1.
(2)过点P(－，2)，且与椭圆＝1有相同焦点的双曲线方程.
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答案
在椭圆＝1中，c＝，
所以椭圆的焦点坐标为F1(－，0)，F2(，0)，
设双曲线的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
因为双曲线与椭圆有相同焦点，所以a2＋b2＝c2＝5，
点P(－，2)代入双曲线方程，可得＝1，
联立解得
所以双曲线的标准方程为x2－＝1.
12.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦距为10，F为双曲线的右焦点，且点F到渐近线的距离为4.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
＝1的渐近线的方程为y＝±x，即bx±ay＝0，
由双曲线的对称性不妨取渐近线为bx－ay＝0，
则点F(c，0)到bx－ay＝0的距离d＝＝b＝4，
又因为焦距2c＝10，所以c＝5，
所以a2＝c2－b2＝9，
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)若点A(12，0)，点P为双曲线C左支上一点，求|PA|＋|PF|的最小值.
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答案
记双曲线C的左焦点为F0，则F0(－5，0)，
|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF0|＋2a＝|PA|＋|PF0|＋6，
当F0，P，A三点共线时，|PA|＋|PF0|最小，
且最小值为|AF0|＝17.
故|PA|＋|PF|的最小值为17＋6＝23.
13.(2024·天津)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，
F2.P是双曲线右支上一点，且直线PF2的斜率为2，△PF1F2是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
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答案
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能力拓展
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答案
由题意可知，∠F1PF2＝90°，
又直线PF2的斜率为2，
可得tan∠PF2F1＝＝2，
根据双曲线定义|PF1|－|PF2|＝2a，
得|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，
|PF1||PF2|＝×4a×2a＝4a2，
又＝8，所以a2＝2，
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答案
所以|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2
＝(4a)2＋(2a)2＝20a2＝40.
又|F1F2|2＝4c2，所以c2＝10，
又a2＋b2＝c2，所以b2＝8，
所以双曲线的方程为＝1.
14.将双曲线＝1绕原点逆时针旋转45°后，能得到反比例函数y＝的图象(其渐近线分别为x轴和y轴)，所以我们也称反比例函数y＝的图象为双曲线.同样“对勾函数”y＝x＋也能由双曲线的图象绕原点旋转
得到，则此“对勾函数”所对应的双曲线的实轴长为
A.4 B.4 C.2 D.2
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答案
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答案
“对勾函数”y＝x＋的两条渐近线分别为y＝x和x＝0，夹角为60°，
实轴所在直线是两条渐近线夹角的角平分线，所以实轴所在直线的倾斜角为60°，斜率为，方程为y＝x，
联立解得或
所以此“对勾函数”所对应的双曲线的两个顶点为或，
所以实轴长为＝2.
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