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§8.7　离心率的范围问题
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2=，则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
2.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
3.(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：-=1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x-2)2+y2=1有公共点，则C1的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C.(1，2) D.(1，2]
4.已知F1，F2分别为双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，当取最小值时，双曲线离心率e的取值范围是(　　)
A.(1，+∞) B.(2，3]
C.(1，3] D.(1，2]
5.已知椭圆C：+=1(a>b>0)的长轴长大于4，当m变化时，直线x-my+2-2m=0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
6.设F1，F2分别为椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x=上一点，若∠F2PF1=30°，则椭圆C的离心率的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·邯郸调研)已知双曲线C：-=1，则(　　　　)
A.λ的取值范围是(-6，3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1，3)
8.已知椭圆Γ：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(，1)在椭圆Γ外，点Q在椭圆Γ上，则(　　　　)
A.椭圆Γ的离心率的取值范围是
B.当椭圆Γ的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2-，2+]
C.对任意点Q都有·>0
D.+的最小值为2
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足2a·sin∠PF1F2=3c·sin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围为　　　　　　.
10.(2024·贵阳质检)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足|AB|=2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　　　.
答案精析
1.D　2.A
3.B　[∵双曲线的渐近线方程为bx±ay=0，且渐近线与圆(x-2)2+y2=1有公共点，
∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，
即≤1，
∴3b2≤a2，∴c2=a2+b2≤a2，
∴14.C　[因为F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，
所以|PF2|-|PF1|=2a，
代入
得=
=|PF1|+4a+
≥2+4a=8a，
当且仅当|PF1|=2a时取等号，
即|PF1|=2a，
又点P是双曲线左支上任意一点，
所以|PF1|≥c-a，
即2a≥c-a e≤3，
又e>1，所以15.B　[因为直线x-my+2-2m=0即x+2=m(y+2)，
所以该直线过定点(-2，-2)，
所以点(-2，-2)在C上，
则+=1，
即4(a2+b2)=a2b2，
则4(2a2-c2)=a2(a2-c2)，
所以a2==
因为C的长轴长大于4
所以a>2a2>12，所以>3，
解得6.B　[设P的坐标为
根据椭圆的对称性，不妨设t>0，椭圆的半焦距为c，
则F1(-c，0)，F2(c，0)，
设直线PF1的倾斜角为θ，直线PF2的倾斜角为α，
则tan θ=tan α=
因为α-θ=30°，
所以tan(α-θ)=
故=
=
由基本不等式有a2-c2+t2
≥2·t，
故
==
当且仅当a2-c2=t2时，等号成立，
故e≥又0所以椭圆的离心率的取值范围为.]
7.AC　[对于A，∵-=1表示双曲线，
∴(λ+6)(3-λ)>0，解得-6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得-6<λ<3，故λ+6>0，3-λ>0，
∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c(c>0)，则c2=λ+6+3-λ=9，
∴c=3，即焦距2c=6，故C正确；
对于D，离心率e=
∵-6<λ<3，∴0<<3，
∴e的取值范围是(1，+∞)，故D错误.]
8.AB　[由题意得a=2，
又点P(1)在椭圆Γ外，
则+>1，解得0所以椭圆Γ的离心率
e==>
即椭圆Γ的离心率的取值范围是故A正确；
当e=时，c=b==1，
所以|QF1|的取值范围是[a-c，a+c]，
即[2-2+]，故B正确；
设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(-c，0)，F2(c，0)，
由于·=b2-c2=2b2-a2<0，
所以存在点Q使得·≤0，故C错误；
(|QF1|+|QF2|)
=2++≥2+2=4，
当且仅当|QF1|=|QF2|=2时，等号成立，
又|QF1|+|QF2|=4，所以+≥1，故D错误.]
9.
解析　在△PF1F2中，由正弦定理知
==
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|+|PF2|=2a，
又P是异于左、右顶点的一点，
∴|PF1|=∈(a-c，a+c)，
即1-e<<1+e，
又010.(1)
解析　显然满足|AB|=2a的直线l其中有1条为x轴，此时A，B为左、右顶点.
当直线l过F，刚好垂直于x轴时，令x=c，可求得|AB|=此时直线l只有1条，
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.
如图，由双曲线的对称性知当2a>时，刚好有2条，总共3条，满足题意，
即b21，
则双曲线C的离心率的取值范围为(1).§8.7　离心率的范围问题
重点解读　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
题型一　利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
例1　(1)已知椭圆M：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2=a2-b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
(2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2=60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为(　　)
A.2 B.1
C. D.2
思维升华　此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值范围.
跟踪训练1　已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　.
题型二　利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
例2　(1)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|=5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)
A. B. C.2 D.
(2)已知F1，F2分别是椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|+|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
思维升华　利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(或不等式组)来求解离心率的范围问题.
跟踪训练2　已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若对所有的点P均满足|PF1|+|PF2|≥4a-4b，则E的离心率的取值范围为(　　)
A.(2，+∞) B.
C. D.
题型三　利用几何图形的性质求离心率的范围
例3　(1)已知双曲线-=1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是(　　)
A.(1，2) B.[4，+∞)
C.(2，+∞) D.[2，+∞)
(2)已知两定点A(-1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y=x+3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为(　　)
A. B.
C. D.
思维升华　利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系来求解离心率的范围问题.
跟踪训练3　已知F1，F2分别是双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e的取值范围是(　　)
A.[，+∞) B.(，+∞)
C.(1，) D.(1，]
答案精析
例1　(1)A　[由基本不等式及椭圆定义可知|PF1|·|PF2|≤=a2，
当且仅当|PF1|=|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴c≤a≤c，∴≤e≤.]
(2)C　[不妨设|PF1|=m，
|PF2|=n(m>n)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m+n=2a1，m-n=2a2，于是m=a1+a2，n=a1-a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2+n2-2mncos 60°=4c2 +-(a1+a2)(a1-a2)=4c2，
则+3=4c2，得+=4，
由基本不等式得
4=+≥2 e1e2≥
当且仅当e1=e2=时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为.]
跟踪训练1　
解析　由右焦点为F(20)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|==5.
因为△APF的周长不小于18，
所以|PA|+|PF|≥13.
设F2(-20)为双曲线的左焦点，可得|PF|=|PF2|+2a，故|PA|+|PF|=|PA|+|PF2|+2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|+|PF2|+2a取得最小值，最小值为|AF2|+2a，即5+2a，
所以5+2a≥13，即a≥4，
因为c=2所以e==又e>1，所以e的取值范围为.
例2　(1)B　[根据双曲线的定义可得
|PF1|-|PF2|=2a，
因为|PF1|=5|PF2|，
所以|PF1|=|PF2|=
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c-a，
即≥c-a，所以≥c，
所以1(2)C　[由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|=|QF2|，所以|PF1|+|QF2|=|PA|，
由椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min=
所以ab≤2b2，即
又0即0跟踪训练2　D　[由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
即|PF1|=|PF2|+2a，由|PF1|+|PF2|≥4a-4b，可得2|PF2|+2a≥4a-4b，即|PF2|≥a-2b，
又|PF2|的最小值为c-a(当点P为双曲线右顶点时取得最小值)，
可得c-a≥a-2b，即2a-c≤2b.
当2a-c≤0，即≥2时，不等式显然成立；当2a-c>0，即1<<2时，
(2a-c)2≤4b2=4c2-4a2，
可得<2.
综上可知，双曲线E的离心率的取值范围为.]
例3　(1)D　[若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率的绝对值∴
∴e2==1+≥4，故此双曲线离心率的取值范围是[2，+∞).]
(2)A　[椭圆C以A，B为焦点，
即c=1，b2=a2-1，故可设椭圆方程为+=1(a>1)，
联立方程
消去y得(2a2-1)x2+6a2x+10a2-a4=0，由题意易知Δ=36a4-4(2a2-1)(10a2-a4)≥0，
即a4-6a2+5≥0，
得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥
所以0所以e的最大值为.]
跟踪训练3　B　[设直线AF1：y=k(x+c)
即kx-y+kc=0，
则点F2(c，0)到直线AF1的距离为=2a，
即|k|=<即a2所以e=>.](共48张PPT)
第八章
§8.7　离心率的范围问题
数学
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一
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复
习
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
重点解读
例1　(1)已知椭圆M：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆M上任意一点，且|PF1|·|PF2|最大值的取值范围为[2c2，3c2](其中c2＝a2－b2，c>0)，则椭圆M的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
利用圆锥曲线的定义求离心率的范围
题型一
由基本不等式及椭圆定义可知
|PF1|·|PF2|≤＝a2，
当且仅当|PF1|＝|PF2|时，等号成立，
∴|PF1|·|PF2|的最大值为a2，
由题意知2c2≤a2≤3c2，
∴c≤a≤c，∴≤e≤.
(2)已知F1，F2为椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，∠F1PF2＝60°，则椭圆与双曲线离心率之积的最小值为
A.2 B.1 C. D.2
√
不妨设|PF1|＝m，|PF2|＝n(m>n)，
椭圆的长半轴长为a1，离心率为e1，双曲线的实半轴长为a2，离心率为e2，两曲线的半焦距均为c，
由椭圆及双曲线的定义得m＋n＝2a1，m－n＝2a2，
于是m＝a1＋a2，n＝a1－a2，
在△PF1F2中，由余弦定理得
m2＋n2－2mncos 60°＝4c2
－(a1＋a2)(a1－a2)＝4c2，
则＋3＝4c2，得＝4，
由基本不等式得4＝≥2 e1e2≥，
当且仅当e1＝，e2＝时，等号成立，
所以椭圆与双曲线离心率之积的最小值为.
此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，以及余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的取值范围.
思维升华
跟踪训练1　已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于
18，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　.
由右焦点为F(2，0)，点A的坐标为(0，1)，可得|AF|＝＝5.
因为△APF的周长不小于18，所以|PA|＋|PF|≥13.
设F2(－2，0)为双曲线的左焦点，可得|PF|＝|PF2|＋2a，故|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋2a，
当A，P，F2三点共线时，|PA|＋|PF2|＋2a取得最小值，最小值为|AF2|＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4，
因为c＝2，所以e＝≤，
又e>1，所以e的取值范围为.
例2　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝5|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为
A. B. C.2 D.
利用圆锥曲线的性质求离心率的范围
题型二
√
根据双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，
因为|PF1|＝5|PF2|，
所以|PF1|＝，|PF2|＝，
因为点P在双曲线的右支上，
所以|PF2|≥c－a，
即≥c－a，所以≥c，
所以1所以双曲线的离心率e的最大值为.
(2)已知F1，F2分别是椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，且PF1∥QF2.若|PF1|＋|QF2|≥b，则C的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
由点P，Q是C上位于x轴上方的任意两点，
延长PF1交椭圆于另一交点，记为A，
由PF1∥QF2再结合椭圆的对称性，
易知|AF1|＝|QF2|，所以|PF1|＋|QF2|＝|PA|，
由椭圆过焦点的弦中通径最短，
所以当PA垂直于x轴时，|PA|最短，
所以b≤|PA|min＝，所以ab≤2b2，即≥，
又0利用圆锥曲线的性质，如：椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(或不等式组)来求解离心率的范围问题.
思维升华
跟踪训练2　已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在E上，若对所有的点P均满足|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，则E的离心率的取值范围为
A.(2，＋∞) B.
C. D.
√
由题意，根据双曲线的对称性，不妨设点P在E的右支上，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即|PF1|＝|PF2|＋2a，
由|PF1|＋|PF2|≥4a－4b，可得2|PF2|＋2a≥4a－4b，即|PF2|≥a－2b，
又|PF2|的最小值为c－a(当点P为双曲线右顶点时取得最小值)，
可得c－a≥a－2b，即2a－c≤2b.
当2a－c≤0，即≥2时，不等式显然成立；
当2a－c>0，即1<<2时，(2a－c)2≤4b2＝4c2－4a2，
可得≤<2.
综上可知，双曲线E的离心率的取值范围为.
例3　(1)已知双曲线＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是
A.(1，2) B.[4，＋∞)
C.(2，＋∞) D.[2，＋∞)
√
利用几何图形的性质求离心率的范围
题型三
若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，
则该直线的斜率小于等于渐近线的斜率的绝对值，
∴≥，
∴e2＝＝1＋≥4，故此双曲线离心率的取值范围是[2，＋∞).
(2)已知两定点A(－1，0)和B(1，0)，动点P(x，y)在直线l：y＝x＋3上移动，椭圆C以A，B为焦点且经过点P，则椭圆C的离心率的最大值为
A. B. C. D.
√
椭圆C以A，B为焦点，即c＝1，b2＝a2－1，
故可设椭圆方程为＝1(a>1)，
联立方程
消去y得(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0，
由题意易知Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)≥0，即a4－6a2＋5≥0，
得a2≥5或a2≤1(舍去)，解得a≥，
所以0利用几何图形中几何量的大小，例如线段的长度、角的大小等，构造几何度量之间的关系来求解离心率的范围问题.
思维升华
跟踪训练3　已知F1，F2分别是双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，若在双曲线右支上存在点A使得点F2到直线AF1的距离为2a，则双曲线离心率e的取值范围是
A.[，＋∞) B.(，＋∞)
C.(1，) D.(1，]
√
设直线AF1：y＝k(x＋c)，
即kx－y＋kc＝0，
则点F2(c，0)到直线AF1的距离为＝2a，
即|k|＝<，即a2.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D A B C B B AC AB
题号 9 　10
答案 　(1，)
一、单项选择题
1.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
由题意，设椭圆的上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，
则只需∠F1BF2≥即可.
当∠F1BF2＝时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，
故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤.
又01
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
2.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，则椭圆离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
因为以F1F2为直径的圆与椭圆有四个交点，所以b即b2所以e2>，即e>，
又因为0所以椭圆离心率的取值范围为.
3.(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2＋y2＝1有公共点，则C1的离心率的取值范围为
A. B.
C.(1，2) D.(1，2]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∵双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，且渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1有公共点，
∴圆心(2，0)到渐近线的距离小于等于半径，
即≤1，
∴3b2≤a2，∴c2＝a2＋b2≤a2，
∴1答案
4.已知F1，F2分别为双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，当取最小值时，双曲线离心率e的取值范围是
A.(1，＋∞) B.(2，3]
C.(1，3] D.(1，2]
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
因为F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，P为双曲线左支上的任意一点，
所以|PF2|－|PF1|＝2a，
代入，得＝|PF1|＋4a＋
≥2＋4a＝8a，
当且仅当|PF1|＝2a时取等号，即|PF1|＝2a，
又点P是双曲线左支上任意一点，
所以|PF1|≥c－a，即2a≥c－a e≤3，
又e>1，所以1答案
5.已知椭圆C：＝1(a>b>0)的长轴长大于4，当m变化时，直线x－my＋2－2m＝0与C都恒过同一个点，则C的离心率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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答案
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10
因为直线x－my＋2－2m＝0即x＋2＝m(y＋2)，
所以该直线过定点(－2，－2)，
所以点(－2，－2)在C上，则＝1，即4(a2＋b2)＝a2b2，
则4(2a2－c2)＝a2(a2－c2)，
所以a2＝，
因为C的长轴长大于4，
所以a>2，a2>12，所以>3，
解得答案
6.设F1，F2分别为椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，若∠F2PF1＝30°，则椭圆C的离心率的取值范围为
A. B.
C. D.
√
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答案
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设P的坐标为，
根据椭圆的对称性，不妨设t>0，椭圆的半焦距为c，
则F1(－c，0)，F2(c，0)，
设直线PF1的倾斜角为θ，直线PF2的倾斜角为α，
则tan θ＝，tan α＝，
因为α－θ＝30°，所以tan(α－θ)＝，
答案
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故，
由基本不等式有a2－c2＋t2≥2·t，
故≤，
当且仅当a2－c2＝t2时，等号成立，
故e≥，又0答案
二、多项选择题
7.(2024·邯郸调研)已知双曲线C：＝1，则
A.λ的取值范围是(－6，3)
B.C的焦点可在x轴上也可在y轴上
C.C的焦距为6
D.C的离心率e的取值范围为(1，3)
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√
答案
√
对于A，∵＝1表示双曲线，
∴(λ＋6)(3－λ)>0，解得－6<λ<3，故A正确；
对于B，由A项可得－6<λ<3，故λ＋6>0，3－λ>0，
∴C的焦点只能在x轴上，故B错误；
对于C，设C的半焦距为c(c>0)，则c2＝λ＋6＋3－λ＝9，
∴c＝3，即焦距2c＝6，故C正确；
对于D，离心率e＝，
∵－6<λ<3，∴0<<3，
∴e的取值范围是(1，＋∞)，故D错误.
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答案
8.已知椭圆Γ：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，
点P(，1)在椭圆Γ外，点Q在椭圆Γ上，则
A.椭圆Γ的离心率的取值范围是
B.当椭圆Γ的离心率为时，|QF1|的取值范围是[2－，2＋]
C.对任意点Q都有·>0
D.的最小值为2
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答案
√
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由题意得a＝2，
又点P(，1)在椭圆Γ外，
则>1，解得0所以椭圆Γ的离心率e＝>，
即椭圆Γ的离心率的取值范围是，故A正确；
当e＝时，c＝，b＝＝1，
所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－，2＋]，故B正确；
答案
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设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c，0)，F2(c，0)，
由于·＝b2－c2＝2b2－a2<0，
所以存在点Q使得·≤0，故C错误；
(|QF1|＋|QF2|)＝2＋≥2＋2＝4，
当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，
又|QF1|＋|QF2|＝4，所以≥1，故D错误.
答案
三、填空题
9.已知椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，半焦距为c，且在该椭圆上存在异于左、右顶点的一点P，满足2a·sin∠PF1F2＝
3c·sin∠PF2F1，则椭圆离心率的取值范围为　　　　.
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答案
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答案
在△PF1F2中，由正弦定理知，
又∵P在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a，
又P是异于左、右顶点的一点，
∴|PF1|＝∈(a－c，a＋c)，
即1－e<<1＋e，
又010.(2024·贵阳质检)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足|AB|＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　　.
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答案
(1，)
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答案
显然满足|AB|＝2a的直线l其中有1条为x轴，此时A，B为左、右顶点.
当直线l过F，刚好垂直于x轴时，令x＝c，可求得|AB|＝，此时直线l只有1条，
加上前面的1条，总共2条，不满足题意.
如图，由双曲线的对称性知当2a>时，
刚好有2条，总共3条，满足题意，
即b21，
则双曲线C的离心率的取值范围为(1，).

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