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§8.8　抛物线
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为(　　)
A.x2=±3y B.y2=±6x
C.x2=±12y D.y2=±12x
2.已知抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是C上一点，且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则p等于(　　)
A. B.1 C.2或4 D.4或36
3.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|等于(　　)
A. B. C.3 D.2
4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2=8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP=60°，则四边形OAPB的周长为(　　)
A.64 B.64 C. D.
5.已知过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F的直线l垂直于x轴，且与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且|EF|=2.若kOP·kEQ=-2(O为坐标原点)，则C的准线方程为(　　)
A.x=-1 B.x=-
C.x=-2 D.x=-
6.已知x轴上一定点A(a，0)(a>0)，和抛物线y2=2px(p>0)上的一动点M，若|AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为(　　)
A. B.(0，p]
C. D.(0，2p]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|=6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则(　　　　)
A.p=2
B.抛物线的准线为直线y=-1
C.y0=2
D.△FPQ的面积为4
8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是(　　　　)
A.|MN|=|AB|
B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点
D.∠QFM=∠QMF
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.抛物线x2=y的准线方程是y=2，则实数a的值为　　　　　　.
10.已知点M(20，40)不在抛物线C：y2=2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|+|PF|的最小值为41，则p的值等于　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x=-2的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程；(5分)
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.(8分)
12.(15分)已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；(6分)
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y=x+4和y轴的距离之和的最小值.(9分)
每小题5分，共10分
13.已知抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，P为抛物线的焦点，则(　　)
A.A，B，C的纵坐标成等差数列 B.A，B，C到x轴的距离成等差数列
C.A，B，C到原点的距离成等差数列 D.A，B，C到点P的距离成等差数列
14.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2=2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为(　　)
A. B.1 C.2 D.
答案精析
1.C　2.D　3.C
4.D　[根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，
可得四边形OAPB为菱形，
又∠OAP=60°，可得∠AOP=60°，
故可设A(aa)(a>0)，
代入抛物线方程可得=8a，
解得a=
故|OA|=2a=
故四边形OAPB的周长为4×=.]
5.A　[由抛物线的方程y2=2px(p>0)，
得F
由抛物线的对称性，
不妨设P
Q
当点E的坐标为时，
kOP==2，
kEQ==
因为kOP·kEQ=-2，
所以2×=-2，
则p=-2(不符合题意，舍去)；
当点E的坐标为时，
kEQ==-
因为kOP·kEQ=-2，
所以2×=-2，
则p=2，所以抛物线C的准线方程为x=-1.]
6.B　[设M(x0，y0)(x0≥0)，
则=2px0，
所以|AM|=
=
=
因为|AM|≥a恒成立，
所以-(2a-2p)x0+a2≥a2恒成立，
所以-(2a-2p)x0≥0恒成立，
当x0=0时，显然恒成立，
当x0>0时，x0≥2a-2p恒成立，
所以2a-2p≤0，则a≤p，
又a>0，所以0即实数a的取值范围为(0，p].]
7.AD　[抛物线y2=2px(p>0)的准线为直线x=-
过点P向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|=|PM|=5+=6，解得p=2，则抛物线的方程为y2=4x，准线为直线x=-1，故A正确，B错误；
将x=5代入抛物线方程，解得y0=±2故C错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2)，
即|PQ|=2所以S△FPQ=×2×(5-1)=4故D正确.]
8.ABD　[如图，由抛物线的定义，
得|AC|=|AF|，
|BD|=|BF|，
又|MN|=
则|MN|==|AB|，A正确；
由|MN|=|AB|，|AM|=|MB|，
得|MN|=|AM|，
所以∠MAN=∠MNA.
而∠MNA=∠CAN，
所以∠MAN=∠CAN，
所以△ANC≌△ANF，
可知∠ACN=∠AFN=90°，
所以FN⊥AB，B正确；
在Rt△MNF中，|QN|=|QF|，可知∠QNF=∠QFN，所以∠QFM=∠QMF，D正确；
由∠QFM=∠QMF，可知|QF|=|QM|，所以|QN|=|QM|，即Q是MN的中点，C不正确.]
9.-
解析　由题意-=2，
解得a=-.
10.42或22
解析　当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|=|PD|，
|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
当点M，P，D三点共线时，
|PM|+|PF|的值最小.
由最小值为41，得20+=41，
解得p=42；
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当M，P，F三点共线时，
|PM|+|PF|的值最小为|MF|.
由最小值为41，
得=41，
解得p=22或p=58.
当p=58时，y2=116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.
综上，p=42或p=22.
①　　　　　　　②
11.解　(1)由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x=-2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x=-2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2=8x.
(2)设M
由两点间的距离公式得
|MA|=
=
=
当m2=16，即m=±4时，|MA|min=4
即当M的坐标为(2，4)或(2，-4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
12.解　(1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r=
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42+x2=(x-4)2+y2，化简得y2=8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2=8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y=x+4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y=x+4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|=|PF|-2，所以|PP1|+|PP2|=|PP1|+|PF|-2，
由图可知|PP1|+|PF|的最小值为点F到直线y=x+4的距离，
所以(|PP1|+|PF|)min=|FF1|==3所以|PP1|+|PP2|的最小值为3-2.
即点P到直线y=x+4和y轴的距离之和的最小值为3-2.
13.D　[设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P准线方程为x=-
因为抛物线y2=2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，所以有2x2=x1+x3，于是有
2=+
根据抛物线定义可得2|BP|=|AP|+|CP|，显然选项D正确；
当三点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(4，2)时，因为p>0，所以2×2=0+2不成立，因此选项A不正确；
因为A，B，C到x轴的距离分别为0，22p>0，所以2×2=0+2不成立，因此选项B不正确；
因为|AO|=0，|BO|=|CO|=p>0，所以2×=0+不成立，因此选项C不正确.]
14.B　[作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心为(0，y0)(y0>0)，若清洁钢球能触及凹槽的最底部，则清洁钢球的半径r=y0，
又抛物线x2=2y，y∈[0，10]上的点(x，y)到圆心距离的平方为
d2=x2+=2y+
=y2+2(1-y0)y+y∈[0，10]，
若d2的最小值在y=0时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，
故二次函数f(y)=y2+2(1-y0)y+图象的对称轴方程应满足-1+y0≤0，
所以y0≤1，所以0从而清洁钢球的半径r的取值范围为(0，1]，
所以清洁钢球的最大半径为1.]§8.8　抛物线
课标要求　1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.了解抛物线的简单应用.
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离　　　　的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的　　　　，直线l叫做抛物线的　　　　.
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点
准线方程
对称轴
顶点
离心率 e=　　
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.(　　)
(2)方程y=4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(　　)
(3)标准方程y2=2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2=±2py(p>0)，也可以写成y=ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(　　)
2.(多选)关于抛物线y2=-2x，下列说法正确的是(　　)
A.开口向左
B.焦点坐标为(-1，0)
C.准线为x=1
D.对称轴为x轴
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2=2px(p>0)上，若|PF|=，则p等于(　　)
A.3 B.6 C.9 D.12
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2=2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线的距离为　　　　.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2=，y1y2=-p2；
(2)+=；
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
题型一　抛物线的定义及应用
例1　(1)若抛物线x2=8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于(　　)
A. B.1
C. D.2
(2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2，0)是抛物线C：y2=2px的焦点，M是C上的点，O为坐标原点.则(　　)
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时，△OFM的面积为2
思维升华　“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2=4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是(　　)
A.4 B.6 C.7 D.9
(2)已知点P为抛物线y2=-4x上的动点，设点P到直线l：x=1的距离为d1，到直线x+y-4=0的距离为d2，则d1+d2的最小值是(　　)
A. B. C.2 D.
题型二　抛物线的标准方程
例2　(1)若抛物线过点(3，-4)，则抛物线的标准方程为　　　　　　　　　　.
(2)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|=2|BC|=4，则抛物线的标准方程为　　　　.
思维升华　求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
跟踪训练2　(1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，-9)，则抛物线C的方程为(　　)
A.x2=6y B.x2=12y
C.x2=18y D.x2=36y
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2=-2px(p>0)，C2：y2=2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|=2|PQ|=8，则p等于(　　)
A.4 B.6 C.8 D.12
题型三　抛物线的几何性质
例3　(1)(多选)对于抛物线x2=y，下列描述正确的是(　　)
A.开口向上，焦点为(0，2)
B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4
D.准线方程为y=-4
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2=8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则(　　)
A.焦点F的坐标为(4，0)
B.|AB|=x1+x2+4
C.y1y2=-8
D.+=
思维升华　应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
跟踪训练3　(1)(2024·重庆模拟)A，B是抛物线y2=2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标原点)的重心恰为F，若|AF|=5，则p等于(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(多选)已知抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则(　　)
A.p=2 B.|AB|≥4
C.·=-4 D.k1k2=-4
阿基米德三角形
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形叫做阿基米德三角形.如图.
2.阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德三角形顶点C的坐标为.
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
答案精析
落实主干知识
1.相等　焦点　准线
2.　　　　x=-　x=
y=-　y=　x轴　y轴
(0，0)　1
自主诊断
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　
2.AD　3.A　4.
探究核心题型
例1　(1)D　[已知抛物线的方程为x2=8y，可得p=4，
所以焦点为F(0，2)，准线为l：y=-2.
抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离，
即|AF|=y0+2，
又因为A到x轴的距离为y0，
由已知得y0+2=2y0，解得y0=2.]
(2)ABC　[由题意得=2，则p=4，A正确；
设M(x0，y0)，则|MF|=x0+|OF|=又因为x0≥0，所以|MF|≥|OF|，B正确；
由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等，故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切，C正确；
当∠OFM=120°时，设M在第一象限，则x0>2，y0>0，
故kMF==tan 60°=
即x0=+2，又=8x0，
所以-8y0-16=0，
解得y0=4或y0=-(舍去)，
所以S△OFM=|OF|×|y0|=×2×4=4D错误.]
跟踪训练1　(1)B　[抛物线y2=4x的准线方程为x=-1，由抛物线定义可得xM+1=10，故xM=10-1=9，则|yM|===6，即M到x轴的距离为6.]
(2)B　[直线l：x=1为抛物线y2=-4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x+y-4=0的垂线，
如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，d1+d2的值最小，为点F到直线x+y-4=0的距离.
∵F(-1，0)，∴(d1+d2)min==.]
例2　(1)y2=x或x2=-y
解析　∵点(3，-4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0)或x2=-2p1y(p1>0).
把点(3，-4)的坐标分别代入y2=2px和x2=-2p1y中，得(-4)2=2p·3，32=-2p1·(-4)，
则2p=2p1=.
∴所求抛物线的标准方程为
y2=x或x2=-y.
(2)y2=4x
解析　由题意知C为BF的中点，
因为|AF|=|AB|，
所以AC与BF垂直，
因为|AF|=2|BC|=4，
所以∠CAF=30°，
所以∠BAF=60°，
方法一　则△ABF为等边三角形，设AB交y轴于点D，如图，
在Rt△BCD中，易得|BD|=1，
即=1，p=2，
故抛物线的标准方程为y2=4x.
方法二　A
代入E：y2=2px(p>0)可得12=2p
化简得p2+4p-12=0，
由于p>0，所以p=2(p=-6舍去).
故抛物线的标准方程为y2=4x.
跟踪训练2　(1)B　[由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2=2py(p>0)，
则抛物线的焦点为则准线为y=-所以=-
解得p=6，
所以抛物线C的方程为x2=12y.]
(2)D　[方法一　如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|=2|PQ|=8，
∴|OM|=2，则xP=-2，又点P在抛物线C1：y2=-2px(p>0)上，
∴=4p，
则|PM|=2
在Rt△PMF1中，|MF1|=-2，
∵|PM|2+=
∴+=82，
∴p=12(p=-20舍去).
方法二　设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|=2|PQ|=8，
∴-x0+=2(-2x0)=8，
∴x0=-2，p=12.]
例3　(1)AC　[由抛物线x2=y，即x2=8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y=-2.]
(2)BD　[由抛物线y2=8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|=|AF|+|BF|=x1+2+x2+2=x1+x2+4，故B正确；
方法一　设直线AB的方程为x=my+2，与抛物线的方程联立，可得y2-8my-16=0，Δ>0，
则y1+y2=8m，y1y2=-16，
+=+
=+=+
=
=
=
=故C错误，D正确.
方法二　因为p=4，
所以y1y2=-p2=-16，
+==故C错误，D正确.]
跟踪训练3　(1)D　[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F
因为△OAB的重心恰为F，
则
解得
由y1=-y2可知A，B关于x轴对称，即x1=x2，
则x1+x2=2x1=即x1=
又因为|AF|=x1+==5，
解得p=4.]
(2)ABD　[因为抛物线y2=2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22=2p，解得p=2，故A正确；
所以抛物线方程为y2=4x，
则焦点为F(1，0)，
设直线l：x=my+1，
联立
消去x整理得y2-4my-4=0，
则Δ=16m2+16>0，
所以y1+y2=4m，y1y2=-4，
则x1+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2，
x1x2=(my1+1)(my2+1)
=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1，
所以|AB|=x1+x2+2=4m2+4≥4，故B正确；
因为=(x1，y1)=(x2，y2)，
所以·=x1x2+y1y2=-3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2=·=-4，故D正确.]
微拓展
典例　ABC　[对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过点A的切线方程为
y1y=p(x+x1)， ①
过点B的切线方程为
y2y=p(x+x2)， ②
又
联立①②③④，
解得两切线交点Q
又M
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y=p(x+x0)，
又直线AB经过焦点F
∴0=p∴x0=-C正确；
对于D，若底边AB过焦点，
则Q点的轨迹方程是x=-
易验证kQA·kQB=-1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点， ∴|QM|=+=++=p，由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB=|QM||y1-y2|
≥|QM|·≥p2，
当且仅当y1=-y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.](共84张PPT)
第八章
§8.8　抛物线
数学
大
一
轮
复
习
1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.
2.掌握抛物线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).
3.了解抛物线的简单应用.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.抛物线的概念
把平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .
注意：定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F且垂直于直线l的一条直线.
相等
焦点
准线
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图形
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
焦点 _________ _________ _________ _________
准线方程 ________ ______ _______ ______
2.抛物线的标准方程和简单几何性质
x＝－
x＝
y＝－
y＝
标准方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
对称轴 ______ ______ 顶点 ________ 离心率 e＝____ x轴
y轴
(0，0)
1
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹是抛物线.
(　　)
(2)方程y＝4x2表示焦点在x轴上的抛物线，焦点坐标是(1，0).(　　)
(3)标准方程y2＝2px(p>0)中的p的几何意义是焦点到准线的距离.(　　)
(4)焦点在y轴上的抛物线的标准方程x2＝±2py(p>0)，也可以写成y＝ax2(a≠0)，这与以前学习的二次函数的解析式是一致的.(　　)
×
×
√
√
2.(多选)关于抛物线y2＝－2x，下列说法正确的是
A.开口向左 B.焦点坐标为(－1，0)
C.准线为x＝1 D.对称轴为x轴
√
对于抛物线y2＝－2x，开口向左，焦点坐标为，
准线方程为x＝，对称轴为x轴，故AD正确.
√
3.(2024·驻马店模拟)已知点P(6，y0)在焦点为F的抛物线C：y2＝2px(p>0)上，若|PF|＝，则p等于
A.3 B.6 C.9 D.12
√
抛物线C：y2＝2px(p>0)，准线方程为x＝－，P(6，y0)，
由抛物线的定义可知|PF|＝6＋，解得p＝3.
4.(2024·宝鸡模拟)抛物线y2＝2px(p>0)过点A(2，2)，则点A到抛物线准线
的距离为　　.
由题意22＝2p×2，解得p＝1，所以抛物线的准线方程为x＝－，
故所求距离为2＋.
抛物线焦点弦的几个常用结论
设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则
(1)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(2)；
(3)以弦AB为直径的圆与准线相切；
(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.
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微点提醒
探究核心题型
第二部分
例1　(1)若抛物线x2＝8y上一点(x0，y0)到焦点的距离是该点到x轴距离的2倍，则y0等于
A. B.1 C. D.2
抛物线的定义及应用
题型一
√
已知抛物线的方程为x2＝8y，可得p＝4，
所以焦点为F(0，2)，准线为l：y＝－2.
抛物线上一点A(x0，y0)到焦点F的距离等于到准线l的距离，
即|AF|＝y0＋2，
又因为A到x轴的距离为y0，
由已知得y0＋2＝2y0，解得y0＝2.
(2)(多选)(2025·八省联考)已知F(2,0)是抛物线C:y2=2px的焦点,M是C上的点,O为坐标原点.则
A.p=4
B.|MF|≥|OF|
C.以M为圆心且过F的圆与C的准线相切
D.当∠OFM=120°时,△OFM的面积为2
√
√
√
由题意得=2,则p=4,A正确;
设M(x0,y0),则|MF|=x0+,|OF|=,
又因为x0≥0,所以|MF|≥|OF|,B正确;
由抛物线的定义知M到F的距离与M到C的准线的距离相等,故以M为圆心且过F的圆与C的准线相切,C正确;
当∠OFM=120°时,设M在第一象限,则x0>2,y0>0,
故kMF==tan 60°=,即x0=+2,
又=8x0,所以-8y0-16=0,解得y0=4或y0=-(舍去),
所以S△OFM=|OF|×|y0|=×2×4=4,D错误.
“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线问题均可根据定义获得简捷、直观的求解.“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解题的一条捷径.
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·贵阳模拟)抛物线y2＝4x上一点M到焦点的距离是10，则M到x轴的距离是
A.4 B.6 C.7 D.9
√
抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，由抛物线定义可得xM＋1＝10，故xM＝10－1＝9，则|yM|＝＝6，即M到x轴的距离为6.
(2)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是
A. B. C.2 D.
√
直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，
如图所示，当点P为所作直线与抛物线的交点时，
d1＋d2的值最小，为点F到直线x＋y－4＝0的距离.
∵F(－1，0)，
∴(d1＋d2)min＝.
例2　(1)若抛物线过点(3，－4)，则抛物线的标准方程为　　　　 .
抛物线的标准方程
题型二
y2＝x或x2＝－y
∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线开口向右或向下，
设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0).
把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y中，
得(－4)2＝2p·3，32＝－2p1·(－4)，
则2p＝，2p1＝.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.
(2)已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，准线为l，第一象限内的点A在E上，AB垂直l于点B，BF交y轴于点C，若|AF|＝2|BC|＝4，则抛物线的标准方程为　　　　.
y2＝4x
由题意知C为BF的中点，
因为|AF|＝|AB|，所以AC与BF垂直，
因为|AF|＝2|BC|＝4，所以∠CAF＝30°，
所以∠BAF＝60°，
方法一　则△ABF为等边三角形，设AB交y轴于点D，如图，
在Rt△BCD中，易得|BD|＝1，即＝1，p＝2，
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
方法二　A，
代入E：y2＝2px(p>0)可得12＝2p，
化简得p2＋4p－12＝0，
由于p>0，所以p＝2(p＝－6舍去).
故抛物线的标准方程为y2＝4x.
求抛物线的标准方程的方法
(1)定义法.
(2)待定系数法：当焦点位置不确定时，分情况讨论.
思维升华
跟踪训练2　(1)抛物线C的焦点F关于其准线对称的点为(0，－9)，则抛物线C的方程为
A.x2＝6y B.x2＝12y C.x2＝18y D.x2＝36y
√
由题可知，抛物线开口向上，设方程为x2＝2py(p>0)，
则抛物线的焦点为，则准线为y＝－，
所以＝－，解得p＝6，
所以抛物线C的方程为x2＝12y.
(2)“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线C1：y2＝－2px(p>0)，C2：y2＝2px(p>0)构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线C1，C2的焦点分别为F1，F2，点P在抛物线C1上，过点P作x轴的平行线交抛物线C2于点Q，若|PF1|＝2|PQ|＝8，则p等于
A.4 B.6 C.8 D.12
√
方法一　如图，过点P作PM⊥F1F2于点M，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴|OM|＝2，则xP＝－2，
又点P在抛物线C1：y2＝－2px(p>0)上，
∴＝4p，则|PM|＝2，
在Rt△PMF1中，|MF1|＝－2，
∵|PM|2＋，
∴＝82，
∴p＝12(p＝－20舍去).
方法二　设P(x0，y0)，则x0<0，
∵|PF1|＝2|PQ|＝8，
∴－x0＋＝2(－2x0)＝8，
∴x0＝－2，p＝12.
例3　(1)(多选)对于抛物线x2＝y，下列描述正确的是
A.开口向上，焦点为(0，2) B.开口向上，焦点为
C.焦点到准线的距离为4 D.准线方程为y＝－4
抛物线的几何性质
题型三
√
√
由抛物线x2＝y，即x2＝8y，可知抛物线开口向上，焦点坐标为(0，2)，焦点到准线的距离为4，准线方程为y＝－2.
(2)(多选)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝8x过焦点的弦的两个端点，焦点为F，则
A.焦点F的坐标为(4，0) B.|AB|＝x1＋x2＋4
C.y1y2＝－8 D.
√
√
由抛物线y2＝8x，可得焦点为F(2，0)，故A错误；
由抛物线的性质可得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋2＋x2＋2＝x1＋x2＋4，故B正确；
方法一　设直线AB的方程为x＝my＋2，与抛物线的方程联立，可得y2－8my－16＝0，Δ>0，
则y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
＝
＝
＝
＝
＝，故C错误，D正确.
方法二　因为p＝4，所以y1y2＝－p2＝－16，
，故C错误，D正确.
应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·重庆模拟)A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的不同两点，点F是抛物线的焦点，且△OAB(O为坐标原点)的重心恰为F，若|AF|＝5，则p等于
A.1 B.2 C.3 D.4
√
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，F，
因为△OAB的重心恰为F，则
解得
由y1＝－y2可知A，B关于x轴对称，即x1＝x2，
则x1＋x2＝2x1＝，即x1＝，
又因为|AF|＝x1＋＝5，解得p＝4.
(2)(多选)已知抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，其焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于两个不同的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，设直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，则
A.p＝2 B.|AB|≥4
C.·＝－4 D.k1k2＝－4
√
√
√
因为抛物线y2＝2px(p>0)经过点M(1，2)，所以22＝2p，解得p＝2，故A正确；
所以抛物线方程为y2＝4x，则焦点为F(1，0)，
设直线l：x＝my＋1，联立
消去x整理得y2－4my－4＝0，
则Δ＝16m2＋16>0，
所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，
则x1＋x2＝m(y1＋y2)＋2＝4m2＋2，
x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝m2y1y2＋m(y1＋y2)＋1＝1，
所以|AB|＝x1＋x2＋2＝4m2＋4≥4，故B正确；
因为＝(x1，y1)，＝(x2，y2)，
所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，故C错误；
由题意知，x1≠0且x2≠0，所以k1k2＝·＝－4，故D正确.
1.抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形
叫做阿基米德三角形.如图.
2.阿基米德三角形的常见性质
(1)阿基米德三角形底边上的中线平行(或重合)于抛物线的对称轴.
(2)若阿基米德三角形的底边即弦AB过抛物线内的定点P，则另一顶点C的轨迹为一条直线.
(3)若阿基米德三角形的底边过焦点，则顶点C的轨迹为准线，且CA⊥CB，CF⊥AB，阿基米德三角形的面积的最小值为p2.
阿基米德三角形
微拓展
(4)若直线l与抛物线没有公共点，以l上的点为顶点的
阿基米德三角形的底边过定点.
(5)底边长为a的阿基米德三角形的面积的最大值为.
(6)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦AB为阿基米德三角形的底边，则阿基米德
三角形顶点C的坐标为.
推论：阿基米德三角形的顶点C的纵坐标与弦AB的中点M的纵坐标相同，顶点C的横坐标与弦AB与x轴交点D的横坐标互为相反数.
典例　(多选)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，在两点处的切线相交于点Q，则下列说法中正确的是
A.当阿基米德三角形的顶角为直角时，阿基米德三角形顶点的轨迹为
蒙日圆
B.若M为弦AB的中点，则MQ与x轴平行(或重合)
C.若弦AB过抛物线的焦点，则点Q在抛物线的准线上
D.若阿基米德三角形的底边AB过焦点，M为弦AB的中点，则该三角形
的面积最小值为2p
√
√
√
对于A，由蒙日圆的定义知A正确；
对于B，过点A的切线方程为y1y＝p(x＋x1)， ①
过点B的切线方程为y2y＝p(x＋x2)， ②
又
联立①②③④，解得两切线交点Q，
又M，
∴MQ与x轴平行(或重合)，B正确；
对于C，设Q(x0，y0)，
则直线AB的方程为y0y＝p(x＋x0)，
又直线AB经过焦点F，
∴0＝p，∴x0＝－，C正确；
对于D，若底边AB过焦点，
则Q点的轨迹方程是x＝－，
易验证kQA·kQB＝－1，即QA⊥QB，
故阿基米德三角形为直角三角形，且Q为直角顶点，
∴|QM|＝≥＝p，
由B项分析可知，MQ与x轴平行(或重合)，
∴S△QAB＝|QM||y1－y2|≥|QM|·≥p2，
当且仅当y1＝－y2时，等号成立，
∴阿基米德三角形面积的最小值为p2，D错误.
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课时精练
对一对
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A B AD ABD
题号 9 10 13 　14 答案 42或22 D 　B 答案
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(1)由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
(2)设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝＝，
11.
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当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
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(1)设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
12.
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由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
12.
一、单项选择题
1.顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为
A.x2＝±3y B.y2＝±6x
C.x2＝±12y D.y2＝±12x
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知识过关
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答案
设抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)或x2＝－2py(p>0)，
依题意知＝3，∴p＝6.
∴抛物线的标准方程为x2＝±12y.
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2.已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，P(x0，8)是C上一点，且P到F的距离与P到C的对称轴的距离之差为2，则p等于
A. B.1 C.2或4 D.4或36
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答案
因为P(x0，8)是C上一点，
所以＝16p，所以|x0|＝4，
由抛物线的定义可得P到F的距离为8＋，
点P到C的对称轴的距离为|x0|，
则8＋－4＝2，解得p＝4或p＝36.
3.已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若＝4，则|QF|等于
A. B. C.3 D.2
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答案
过点Q作QQ'⊥l于点Q'，如图.
∵＝4，
∴|PQ|∶|PF|＝3∶4，
又焦点F到准线l的距离为4，
∴|QF|＝|QQ'|＝×4＝3.
4.在平面直角坐标系Oxy中，抛物线C：y2＝8x，P为x轴正半轴上一点，线段OP的垂直平分线l交C于A，B两点，若∠OAP＝60°，则四边形OAPB的周长为
A.64 B.64 C. D.
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根据抛物线的对称性以及AB为线段OP的垂直平分线，
可得四边形OAPB为菱形，
又∠OAP＝60°，可得∠AOP＝60°，
故可设A(a，a)(a>0)，
代入抛物线方程可得＝8a，解得a＝，
故|OA|＝2a＝，
故四边形OAPB的周长为4×.
5.已知过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线l垂直于x轴，且与抛物线C交于P，Q两点，点E在x轴上，且|EF|＝2.若kOP·kEQ＝－2(O为坐标原点)，则C的准线方程为
A.x＝－1 B.x＝－
C.x＝－2 D.x＝－
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答案
由抛物线的方程y2＝2px(p>0)，得F，
由抛物线的对称性，
不妨设P，Q，
当点E的坐标为时，
kOP＝＝2，kEQ＝，
因为kOP·kEQ＝－2，
所以2×＝－2，
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答案
则p＝－2(不符合题意，舍去)；
当点E的坐标为时，
kEQ＝＝－，
因为kOP·kEQ＝－2，所以2×＝－2，
则p＝2，所以抛物线C的准线方程为x＝－1.
6.已知x轴上一定点A(a，0)(a>0)，和抛物线y2＝2px(p>0)上的一动点M，若|AM|≥a恒成立，则实数a的取值范围为
A. B.(0，p]
C. D.(0，2p]
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答案
设M(x0，y0)(x0≥0)，则＝2px0，
所以|AM|＝
＝
＝，
因为|AM|≥a恒成立，
所以－(2a－2p)x0＋a2≥a2恒成立，
所以－(2a－2p)x0≥0恒成立，
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答案
当x0＝0时，显然恒成立，
当x0>0时，x0≥2a－2p恒成立，
所以2a－2p≤0，则a≤p，
又a>0，所以0即实数a的取值范围为(0，p].
二、多项选择题
7.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点P(5，y0)在抛物线上，且|PF|＝6，过点P作PQ⊥x轴于点Q，则
A.p＝2 B.抛物线的准线为直线y＝－1
C.y0＝2 D.△FPQ的面积为4
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答案
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答案
抛物线y2＝2px(p>0)的准线为直线x＝－，
过点P向准线作垂线，垂足为M，由抛物线的定义可知|PF|＝|PM|＝5＋＝6，解得p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，准线为直线x＝－1，故A正确，B错误；
将x＝5代入抛物线方程，解得y0＝±2，故C错误；
焦点F(1，0)，点P(5，±2)，即|PQ|＝2，
所以S△FPQ＝×2×(5－1)＝4，故D正确.
8.已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，AB是经过抛物线焦点F的弦，M是线段AB的中点，经过点A，B，M作抛物线的准线l的垂线AC，BD，MN，垂足分别是C，D，N，其中MN交抛物线于点Q，连接QF，NF，NB，NA，则下列说法正确的是
A.|MN|＝|AB| B.FN⊥AB
C.Q是线段MN的一个三等分点 D.∠QFM＝∠QMF
√
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答案
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√
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答案
如图，由抛物线的定义，
得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，
又|MN|＝，
则|MN|＝|AB|，A正确；
由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，
得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.
而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，
所以△ANC≌△ANF，
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答案
可知∠ACN＝∠AFN＝90°，
所以FN⊥AB，B正确；
在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，
所以∠QFM＝∠QMF，D正确；
由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，
所以|QN|＝|QM|，即Q是MN的中点，C不正确.
三、填空题
9.抛物线x2＝y的准线方程是y＝2，则实数a的值为　　　.
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答案
－
由题意－＝2，解得a＝－.
10.已知点M(20，40)不在抛物线C：y2＝2px(p>0)上，抛物线C的焦点为F.若对于抛物线上的一点P，|PM|＋|PF|的最小值为41，则p的值等于　　　　.
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答案
42或22
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答案
当点M(20，40)位于抛物线内时，如图①，过点P作抛物线准线的垂线，垂足为D，
则|PF|＝|PD|，
|PM|＋|PF|＝|PM|＋|PD|.
当点M，P，D三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小.
由最小值为41，得20＋＝41，解得p＝42；
当点M(20，40)位于抛物线外时，如图②，当M，P，F三点共线时，|PM|＋|PF|的值最小为|MF|.
①　　　　　　②
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答案
由最小值为41，得＝41，
解得p＝22或p＝58.
当p＝58时，y2＝116x，点M(20，40)在抛物线内，故舍去.
综上，p＝42或p＝22.
②
四、解答题
11.已知动点M与点F(2，0)的距离与其到直线x＝－2的距离相等.
(1)求动点M的轨迹方程；
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答案
由题意知动点M到F(2，0)的距离与它到直线x＝－2的距离相等，所以动点M的轨迹为以F(2，0)为焦点，以直线x＝－2为准线的抛物线，
因此动点M的轨迹方程为y2＝8x.
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答案
设M，
由两点间的距离公式得
|MA|＝
＝，
当m2＝16，即m＝±4时，|MA|min＝4，
即当M的坐标为(2，4)或(2，－4)时，点M与点A的距离最小，最小值为4.
(2)求点M与点A(6，0)的距离的最小值，并指出此时M的坐标.
12.已知动圆过定点(4，0)，且在y轴上截得的弦长为8.
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
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答案
设圆心C的坐标为(x，y)，
则半径r＝，
又动圆在y轴上截得的弦长为8，
所以42＋x2＝(x－4)2＋y2，化简得y2＝8x，
即动圆圆心C的轨迹方程为y2＝8x.
(2)已知P为轨迹C上的一动点，求点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值.
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答案
如图，设轨迹C的焦点为F(2，0)，点P到直线y＝x＋4的距离为|PP1|，到y轴的距离为|PP2|，点F到直线y＝x＋4的距离为|FF1|，
由抛物线的定义，可知|PP2|＝|PF|－2，
所以|PP1|＋|PP2|＝|PP1|＋|PF|－2，
由图可知|PP1|＋|PF|的最小值为点F到直线y＝x＋4的距离，
所以(|PP1|＋|PF|)min＝|FF1|＝＝3，
所以|PP1|＋|PP2|的最小值为3－2.
即点P到直线y＝x＋4和y轴的距离之和的最小值为3－2.
13.已知抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，P为抛物线的焦点，则
A.A，B，C的纵坐标成等差数列
B.A，B，C到x轴的距离成等差数列
C.A，B，C到原点的距离成等差数列
D.A，B，C到点P的距离成等差数列
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答案
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能力拓展
设点A，B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，P，
准线方程为x＝－，
因为抛物线y2＝2px(p>0)上不同的三点A，B，C的横坐标成等差数列，所以有2x2＝x1＋x3，于是有
2，
根据抛物线定义可得2|BP|＝|AP|＋|CP|，显然选项D正确；
当三点A，B，C的坐标分别为(0，0)，(2，2)，(4，2)时，因为p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项A不正确；
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答案
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答案
因为A，B，C到x轴的距离分别为0，2，2，p>0，所以2×2＝0＋2不成立，因此选项B不正确；
因为|AO|＝0，|BO|＝，|CO|＝，p>0，所以2×＝0＋不成立，因此选项C不正确.
14.一个工业凹槽的截面是一条抛物线的一部分，它的方程是x2＝2y，y∈[0，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球(规则的球体)，要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为
A. B.1
C.2 D.
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答案
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答案
返回
作截面，如图所示，设清洁钢球截面圆的圆心为(0，y0)(y0>0)，若清洁钢球能触及凹槽的最底部，则清洁钢球的半径r＝y0，
又抛物线x2＝2y，y∈[0，10]上的点(x，y)到圆心距离的平方为
d2＝x2＋＝2y＋
＝y2＋2(1－y0)y＋，y∈[0，10]，
若d2的最小值在y＝0时取到，则清洁钢球触及凹槽的最底部，
故二次函数f(y)＝y2＋2(1－y0)y＋图象的对称轴方程应满足－1＋y0≤0，
所以y0≤1，所以0从而清洁钢球的半径r的取值范围为(0，1]，
所以清洁钢球的最大半径为1.

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