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§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系
分值：90分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为(　　)
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
2.已知直线2x+y-2=0与抛物线C：y2=4x交于A，B两点，则|AB|等于(　　)
A. B.5 C.3 D.4
3.若直线l：y=kx+2与曲线C：x2-y2=6(x>0)交于不同的两点，则k的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
4.(2024·内江模拟)已知双曲线C的方程为5x2-y2=1，过点P(0，-1)作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若=2，则直线l的方程为(　　)
A.y=x-1
B.y=x-1或y=-x-1
C.y=x-1或y=-x-1
D.y=x-1
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C：+y2=1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为(　　)
A.-1 B.- C.- D.-
6.(2024·洛阳模拟)经过抛物线C：y2=8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于(　　)
A.4 B.4 C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点均在椭圆C上，则(　　　　)
A.椭圆C的离心率为
B.直线l：kx+y-k=0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为-
8.已知抛物线C：y=4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则(　　　　)
A.C的准线方程为y=-1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P在C的准线上，则k1k2=-1
D.若P在C的准线上，则|AF|+4|BF|的最小值为
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.已知双曲线-y2=1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的斜率为　　　　　　.
10.已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为，且·=0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为　　　　　　.
四、解答题(共28分)
11.(13分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且||MF1|-|MF2||=2.
(1)求双曲线C的标准方程；(4分)
(2)直线l：y=x+m交C于A，B两点，若△AOB的面积为(O为坐标原点)，求正实数m的值.(9分)
12.(15分)(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为，左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0).
(1)求C的方程；(2分)
(2)已知点M0(1，4)，证明：线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点；(4分)
(3)设M是坐标平面上的动点，且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.(9分)
每小题5分，共10分
13.(2024·郑州模拟)已知双曲线-=1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点A，B与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA=∠NGB，则m的值为(　　)
A. B. C.t2 D.
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线C与直线l交于A，B两点，要求弓形部分面积，先构造直线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P两旁得到两个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是上一级三角形面积的，那么求出△PAB的面积就可以得出弓形面积.若已知抛物线C：y2=4x，直线l：x-y-1=0，则抛物线C与直线l围成的弓形面积为(　　)
A.4 B.8 C. D.16
答案精析
1.A　2.B
3.D　[联立方程组
整理得(k2-1)x2+4kx+10=0，
设直线y=kx+2与曲线C：x2-y2=6(x>0)交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，
则满足
解得-4.C　[设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=kx-1，
联立 (5-k2)x2+2kx-2=0，
则5-k2≠0，且Δ=4(10-k2)>0，
x1+x2= ①
x1x2= ②
因为=2则-x1=2x2， ③
①③联立解得x1=
x2=
代入②得k2=1 k=±1，
则直线l的方程为y=x-1或y=-x-1.]
5.D　[方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则kAB==1，x0=
y0=
所以kOP==
所以kABkOP=
将A，B两点坐标代入椭圆方程可得
两式作差可得+-=0，
所以kABkOP==-
则kOP=-.
方法二　由题意得a2=4，b2=1，kAB=1，
由kAB·kOP=-
即1×kOP=-所以kOP=-.]
6.D　[由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x=-2，
因为过抛物线C：y2=8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y=k(x-2)，
与C：y2=8x联立得k2x2-(4k2+8)x+4k2=0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
显然x1，x2>0，
则x1x2=4，
因为|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，
所以2|AP|=|AF|+|BF|=|AB|，
所以3(x1+2)=x2+2，
解得x2=3x1+4，
因为x1x2=4，所以3+4x1-4=0，
解得x1=或x1=-2(舍去)，所以x2=6，则|AB|=x1+x2+4=+6+4=.]
7.BCD　[设椭圆方程为mx2+ny2=1(m，n>0，且m≠n)，
则解得
所以椭圆方程为+y2=1，
所以a=2，b=1，c==e==故A错误；
直线l的方程可整理为k(x-1)+y=0，
令解得
所以直线l恒过定点(1，0)，
因为+0<1，所以点(1，0)在椭圆+y2=1内，所以直线l与椭圆相交，故B正确；
2b=2，所以短轴长为2，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
两式相减得=-(y1+y2)(y1-y2)，
因为弦AB的中点为
所以x1+x2=2，y1+y2=1，
所以=-(y1-y2)，
整理得kAB==-故D正确.]
8.BCD　[抛物线C：x2=y，抛物线C的准线方程为y=-A选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'=8x，∴k1=8x1，k2=8x2，
k3==4(x2+x1)，
∴k1+k2=2k3，B选项正确；
由上可知直线PA：y=8x1x-4
直线PB：y=8x2x-4
解得P
又P在C的准线上，
所以4x1x2=-x1x2=-k1k2=64x1x2=-1，
C选项正确；
|AF|+4|BF|=y1+4y2+=4+16+≥16|x1x2|+=当且仅当x1=-2x2时取等号，D选项正确.]
9.±
解析　方法一　由题意得直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k的直线方程为y=k(x-3)，
联立
化简并整理得(1-4k2)x2+24k2x-36k2-4=0，
由题意得1-4k2=0或Δ=+4(36k2+4)(1-4k2)=0，
解得k=±
经检验，符合题意.
所以所求直线的斜率为±.
方法二　由题意得点(3，0)在双曲线-y2=1右支的内部，若该直线过(3，0)且和双曲线只有一个交点，则该直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为±=±.
10.50
解析　由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，因为直线FA的斜率为
所以直线AP的方程为y=(x-1)，
与抛物线C的方程联立，
得x2-18x+1=0，
所以Δ=(-18)2-4>0，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，
则x1+x2=18，x1x2=1，故|AP|=·
=×8=20.
因为·=0，所以FA⊥FB，
所以直线FB的斜率为-2，直线BQ的方程为y=-2(x-1)，
与抛物线C的方程联立，
得x2-3x+1=0.
所以Δ=(-3)2-4>0，
设B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
则x3+x4=3，x3x4=1，故|BQ|=·==5.
所以四边形ABPQ的面积为|AP|·|BQ|=50.
11.解　(1)由条件知，2a=2
=tan 30°=故a=b=1.
即双曲线C的标准方程为-y2=1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，
联立
得2x2+6mx+3m2+3=0，
由Δ=36m2-8(3m2+3)=12m2-24>0，解得m2>2，
又m>0，故m>
则x1+x2=-3m，x1x2=
故弦长|AB|
=
=h=
又S△AOB=|AB|h=··=
即m4-2m2-8=0，解得m2=4，
又m>故m=2.
12.(1)解　设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，
由题意知解得
故C的方程为+=1.
(2)证明　设F1M0的中点为P，
∴P(0，2)=2，
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2，联立
得3x2+4=12，
即x2-2x+1=0，Δ=4-4=0，
∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
(3)解　设M(x0，y0)，
当y0=0时，线段F1M的垂直平分线为直线x=此时=±2，
解得x0=5或x0=-3，此时M为(5，0)或(-3，0).
当y0≠0时，线段F1M的垂直平分线为y=-+
=-x+
联立
得3x2+4=12，
∴x2-x+-12=0，
∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点，
∴Δ=-4=0
-12-=0
+(2-14)+-18-32x0-15=0
+(2-14)+(+2x0+1)·(-2x0-15)=0
(++2x0+1)(+-2x0-15)=0，
∵++2x0+1=(x0+1)2+>0，
∴+-2x0-15=0.
又点M(5，0)，(-3，0)也满足上式，
∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16，它为一个圆.
13.A　[设直线AB的方程为x=ny+t，A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
如图所示，
联立直线和双曲线方程
整理可得(b2n2-a2)y2+2b2nty+b2(t2-a2)=0，
则y1+y2=-
y1y2=
且满足Δ=-4b2(t2-a2)(b2n2-a2)>0，即a2由∠NGA=∠NGB，可得直线AG，BG的斜率之和为0，即kAG+kBG=0，
所以+=0，
即2ny1y2+(t-m)(y1+y2)=0，
即2n·+(t-m)·=0，
整理可得2nb2(t2-a2)-2b2nt(t-m)=0，可得tm-a2=0，即m=.]
14.C　[由l：x-y-1=0，
设l'为：x-y+c=0，
联立 x2+(2c-4)x+c2=0，由于l'与抛物线相切，
所以Δ=(2c-4)2-4c2=0，
解得c=1，故x2-2x+1=0 x=1，故切点P(1，2)，
所以点P(1，2)到直线l的距离为d==
由 x2-6x+1=0，
设抛物线C与直线l相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=6，x1x2=1，所以|AB|
=·
==8，
所以S△ABP=|AB|×d
=×8×=4
根据规律，每一级三角形的个数是上一级三角形个数的2倍，
每个新构建的三角形的面积是上一级三角形面积的
则第n级的所有三角形的面积和
Sn=4×2n-1×
=4
故经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为S=4×
=4=.
当n→+∞时，S→故抛物线C与直线l围成的弓形面积为.]§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系
课标要求　1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ　　　　0；直线与圆锥曲线相切 Δ　　　　0；直线与圆锥曲线相离 Δ　　　0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|=
=|x1-x2|=　　　　，
或|AB|=|y1-y2|=　　　　.
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆+y2=1相交.(　　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)
2.若直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个交点，则k的值是(　　)
A. B.- C.± D.±
3.已知直线l：y=x-1与抛物线y2=4x交于A，B两点，则线段AB的长是(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
4.已知点A，B是双曲线C：-=1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为(　　)
A. B. C. D.
题型一　直线与圆锥曲线的位置关系
例1　(1)已知直线l的方程为mx+y+2m=1，椭圆C的方程为+=1，则直线l与椭圆C的位置关系为(　　)
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
(2)已知双曲线C：-=1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有(　　)
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
思维升华　(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
跟踪训练1　(1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2=y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的(　　)
A.充分条件
B.必要条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
(2)直线kx-y+1=0(k∈R)与椭圆+=1恒有公共点，则实数m的取值范围为(　　)
A.(1，4] B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，+∞) D.(4，+∞)
题型二　弦长问题
例2　(1)经过椭圆+y2=1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为(　　)
A. B.
C.2 D.
(2)已知F是双曲线C：x2-=1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|=2|AF|，则|AB|等于(　　)
A.6 B.8
C. D.
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝··.
(2)若消去x，则弦长公式为|AB|＝·|y1－y2|＝·
＝··.
典例　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于(　　)
A. B.
C.4 D.4
思维升华　(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|=x1+x2+p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
跟踪训练2　(1)已知双曲线C：-x2=1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于(　　)
A.3 B.-3 C. D.-
(2)(2024·长沙模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.若|AB|=12，则C的焦距为　　　　　　.
题型三　中点弦问题
例3　(1)已知直线l交抛物线C：x2=-18y于M，N两点，且MN的中点为(3，-2)，则直线l的斜率为(　　)
A.-3 B.- C. D.-
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x-y+3=0与双曲线C：-=1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是(　　)
A.y=±x B.y=±2x
C.y=±x D.y=±4x

思维升华　解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
跟踪训练3　(1)(2024·六安模拟)已知椭圆E：+=1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，-1)，则椭圆E的方程为(　　)
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x-y-2=0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为(　　)
A.(1，-1) B.(2，0)
C. D.(1，1)
答案精析
落实主干知识
1.>　=　<
2.
自主诊断
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)√　
2.C　3.C　4.D
探究核心题型
例1　(1)B　[直线l：mx+y+2m=1，
即m(x+2)+y-1=0，
令解得
则直线l过定点(-2，1)，
因为+=<1，
则该定点在椭圆内，
则直线l与椭圆C的位置关系为相交.]
(2)D　[由题意知双曲线的焦点F1(-5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，渐近线方程为y=±x，
由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.]
跟踪训练1　(1)A　[由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x=m；
当直线的斜率存在时，
设直线为y-1=k(x-m)，
则
消去y整理得x2-kx+km-1=0，
所以Δ=0，即关于k的方程k2-4km+4=0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2-16>0，
解得m<-1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.]
(2)C　[由于直线y=kx+1恒过点M(0，1)，要使直线y=kx+1与椭圆+=1恒有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，即解得m≥1且m≠4，故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，+∞).]
例2　(1)B　[在椭圆+y2=1中，a2=2，b2=1，所以c2=a2-b2=1，
即c=1，故左焦点为F1(-1，0)，
而tan 60°=
故直线l的方程为y=(x+1)，
联立+y2=1，
得7x2+12x+4=0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1+x2=-x1x2=由弦长公式得|AB|==.]
(2)D　[由C：x2-=1可得
F(-2，0)，
根据对称性，不妨设过点F的直线为x=my-2(m>0)，
联立
可得(3m2-1)y2-12my+9=0，
由题意可知3m2-1≠0，且Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由|BF|=2|AF|，得=2
又=(-2-x2，-y2)，
=(x1+2，y1)，
所以-y2=2y1. ③
由①③可得y1=-
y2=
代入②得-=
解得m=或m=-(舍)，
y1=
所以|AB|=·|y1-y2|=×3|y1|==.]
微拓展
典例　D　[联立双曲线与直线的方程，
得x2-2x-3=0，Δ=16，
又k=1，a=1，
由弦长的万能公式知，
|MN|=·=4.]
跟踪训练2　(1)D　[由C：-x2=1可知F1(0，-2)，F2(0，2)，
联立
消元得2x2-2mx+3-m2=0，
则Δ=4m2-8(3-m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍，
即=4×
化简可得15m2+68m+60=0，
即(3m+10)(5m+6)=0，
解得m=-或m=-(舍去).]
(2)7
解析　由椭圆C的离心率为e=可得a=2c，
则b==c，
所以椭圆C的方程为+=1，
即3x2+4y2-12c2=0，
由直线AB过椭圆C的左焦点F(-c，0)且斜率为1，可得AB的方程为y=x+c，
联立方程组
整理得7x2+8cx-8c2=0，
则Δ=64c2+4×7×8c2=288c2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-x1x2=-
所以|AB|
=·
===12，
解得c=
所以椭圆C的焦距为2c=7.
例3　(1)D　[由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
两式相减得-=-18(y1-y2)，
整理得=-
因为MN的中点为(3，-2)，
则x1+x2=2×3=6，
所以k==-=-
即直线l的斜率为-.]
(2)B　[方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得-=1-=1，
两式相减可得
=
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x-y+3=0，
可得x1+x2=2，y1+y2=8，
y1-y2=x1-x2，
即有b2=4a2，即b=2a，
所以双曲线的渐近线方程为y=±2x.
方法二　由题意知kAB=1，
kOP=4(O为坐标原点)，
则=kAB·kOP=4，
所以b2=4a2，b=2a，
故双曲线C的渐近线方程为y=±2x.]
跟踪训练3　(1)A　[方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减可得-=-
整理可得=-
根据题意可知直线AB的斜率为=
由AB的中点坐标为(1，-1)可得x1+x2=2，y1+y2=-2，
因此=-
=-==可得a2=2b2，
方法二　设AB的中点为P，O为坐标原点，
kAB==kOP==-1，
则kAB·kOP=-=-
所以a2=2b2，
由右焦点为F(3，0)可得
a2-b2=c2=9，
解得b2=9，a2=18，
所以椭圆E的方程为+=1.]
(2)A　[∵焦点到准线的距离为p，
则p=1，
∴y2=2x.
设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
两式相减可得
(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2)，
∴kPQ=又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ=-1，即y1+y2=-2，
∴PQ中点的纵坐标为=-1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为-1+2=1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，-1).](共102张PPT)
第八章
§8.9　直线与圆锥曲线的位置关系
数学
大
一
轮
复
习
1.了解直线与圆锥曲线位置关系的判断方法.
2.掌握直线被圆锥曲线所截的弦长公式.
3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、中点弦问题.
课标要求
课时精练
内容索引
第一部分 落实主干知识
第二部分 探究核心题型
落实主干知识
第一部分
1.直线与圆锥曲线的位置判断
将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与圆锥曲线相交 Δ 0；直线与圆锥曲线相切 Δ 0；直线与圆锥曲线相离 Δ 0.
特别地，①与双曲线渐近线平行的直线与双曲线相交，有且只有一个交点.
②与抛物线的对称轴平行的直线与抛物线相交，有且只有一个交点.
>
＝
<
2.弦长公式
已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的斜率为k(k≠0)，
则|AB|＝
＝|x1－x2|
＝ ，
或|AB|＝|y1－y2|
＝ .
1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)
(1)过点的直线一定与椭圆＋y2＝1相交.(　　)
(2)直线与抛物线只有一个公共点，则该直线与抛物线相切.(　　)
(3)与双曲线渐近线平行的直线一定与双曲线有公共点.(　　)
(4)圆锥曲线的通径是所有的焦点弦中最短的弦.(　　)
×
√
√
√
2.若直线y＝kx＋2与椭圆＝1有且只有一个交点，则k的值是
A. B.－ C.± D.±
√
由
得(2＋3k2)x2＋12kx＋6＝0，
由题意知Δ＝(12k)2－4×6×(2＋3k2)＝0，
解得k＝±.
3.已知直线l：y＝x－1与抛物线y2＝4x交于A，B两点，则线段AB的长是
A.2 B.4 C.8 D.16
√
联立
消去y并整理得x2－6x＋1＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝×＝8.
4.已知点A，B是双曲线C：＝1上的两点，线段AB的中点是M(3，2)，则直线AB的斜率为
A. B. C. D.
√
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵点A，B是双曲线C上的两点，
∴＝1，＝1，
两式相减得，
∵M(3，2)是线段AB的中点，
∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝4，
∴，
∴kAB＝.
方法二　由kAB·kOM＝，得kAB＝·×.
返回
探究核心题型
第二部分
例1　(1)已知直线l的方程为mx＋y＋2m＝1，椭圆C的方程为＝1，则直线l与椭圆C的位置关系为
A.相离 B.相交
C.相切 D.不能确定
直线与圆锥曲线的位置关系
题型一
√
直线l：mx＋y＋2m＝1，
即m(x＋2)＋y－1＝0，
令解得
则直线l过定点(－2，1)，
因为<1，
则该定点在椭圆内，
则直线l与椭圆C的位置关系为相交.
(2)已知双曲线C：＝1，过点P(3，3)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足条件的直线l共有
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
√
由题意知双曲线的焦点F1(－5，0)，F2(5，0)，顶点A(3，0)，
渐近线方程为y＝±x，
由P(3，3)可得该点在双曲线右顶点上方，
易得过P点与双曲线有且只有一个公共点的直线中，有两条和双曲线的渐近线分别平行的直线(图1)，
有两条双曲线右支的切线(图2)，共4条.
(1)直线与双曲线只有一个交点，包含直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(2)直线与抛物线只有一个交点包含直线与抛物线相切、直线与抛物线的对称轴平行(或重合).
思维升华
跟踪训练1　(1)(2024·宿迁模拟)已知抛物线C：x2＝y，点M(m，1)，则“m>1”是“过M且与C仅有一个公共点的直线有3条”的
A.充分条件 B.必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
√
由于过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条，则当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线为x＝m；
当直线的斜率存在时，设直线为y－1＝k(x－m)，
则
消去y整理得x2－kx＋km－1＝0，
所以Δ＝0，即关于k的方程k2－4km＋4＝0有两个不同的解，
所以Δ1>0即16m2－16>0，
解得m<－1或m>1，
所以“m>1”是“过M且与抛物线C仅有一个公共点的直线有3条”的充分条件.
(2)直线kx－y＋1＝0(k∈R)与椭圆＝1恒有公共点，则实数m的取值范围为
A.(1，4] B.[1，4)
C.[1，4)∪(4，＋∞) D.(4，＋∞)
√
由于直线y＝kx＋1恒过点M(0，1)，
要使直线y＝kx＋1与椭圆＝1恒有公共点，
则只要M(0，1)在椭圆的内部或在椭圆上即可，
即解得m≥1且m≠4，
故实数m的取值范围为[1，4)∪(4，＋∞).
例2　(1)经过椭圆＋y2＝1的左焦点F1作倾斜角为60°的直线l，直线l与椭圆相交于A，B两点，则线段AB的长度为
A. B. C.2 D.
弦长问题
题型二
√
在椭圆＋y2＝1中，a2＝2，b2＝1，所以c2＝a2－b2＝1，即c＝1，
故左焦点为F1(－1，0)，
而tan 60°＝，故直线l的方程为y＝(x＋1)，
联立＋y2＝1，得7x2＋12x＋4＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝，由弦长公式得|AB|＝×.
(2)已知F是双曲线C：x2－＝1的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点(点A，B在C的同一支上)，且|BF|＝2|AF|，则|AB|等于
A.6 B.8 C. D.
√
由C：x2－＝1可得F(－2，0)，
根据对称性，不妨设过点F的直线为x＝my－2(m>0)，
联立
可得(3m2－1)y2－12my＋9＝0，
由题意可知3m2－1≠0，且Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
由|BF|＝2|AF|，得＝2，
又＝(－2－x2，－y2)，＝(x1＋2，y1)，
所以－y2＝2y1. ③
由①③可得y1＝－，y2＝，
代入②得－×，
解得m＝或m＝－(舍)，
y1＝，
所以|AB|＝·|y1－y2|
＝×3|y1|＝×.
设直线方程为y＝kx＋b(k≠0)，圆锥曲线的方程为f(x，y)＝0，把直线方程代入曲线方程，可化为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)或ay2＋by＋c＝0(a≠0)，设直线和曲线的两个交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2).
(1)若消去y，则弦长公式为
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝··.
圆锥曲线弦长的万能公式(硬解定理)
微拓展
(2)若消去x，则弦长公式为
|AB|＝·|y1－y2|＝·
＝··.
典例　已知双曲线C：2x2－y2＝2，直线l：x－y＋1＝0与双曲线C交于M，N两点，则弦长|MN|等于
A. B. C.4 D.4
√
联立双曲线与直线的方程，
得x2－2x－3＝0，Δ＝16，又k＝1，a＝1，
由弦长的万能公式知，|MN|＝·＝4.
(1)弦长公式不仅适用于圆锥曲线，任何两点的弦长都可以用距离公式求(过两点的直线的斜率存在且不等于0).
(2)抛物线的焦点弦的弦长应选用更简捷的弦长公式|AB|＝x1＋x2＋p.
(3)设直线方程时应注意讨论是否存在斜率.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知双曲线C：－x2＝1的下焦点和上焦点分别为F1，F2，直线y＝x＋m与C交于A，B两点，若△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，则m等于
A.3 B.－3 C. D.－
√
由C：－x2＝1可知F1(0，－2)，F2(0，2)，
联立
消元得2x2－2mx＋3－m2＝0，
则Δ＝4m2－8(3－m2)>0，即m2>2，
由△F2AB面积是△F1AB面积的4倍，可知F2到直线AB的距离是F1到直线AB距离的4倍，即＝4×，
化简可得15m2＋68m＋60＝0，即(3m＋10)(5m＋6)＝0，
解得m＝－或m＝－(舍去).
(2)(2024·长沙模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，过C的左焦点且斜率为1的直线与C交于A，B两点.若|AB|＝12，则C的焦距为　　.
7
由椭圆C的离心率为e＝，可得a＝2c，
则b＝c，
所以椭圆C的方程为＝1，即3x2＋4y2－12c2＝0，
由直线AB过椭圆C的左焦点F(－c，0)且斜率为1，
可得AB的方程为y＝x＋c，
联立方程组
整理得7x2＋8cx－8c2＝0，
则Δ＝64c2＋4×7×8c2＝288c2>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝·
＝＝12，
解得c＝，
所以椭圆C的焦距为2c＝7.
例3　(1)已知直线l交抛物线C：x2＝－18y于M，N两点，且MN的中点为(3，－2)，则直线l的斜率为
A.－3 B.－ C. D.－
中点弦问题
题型三
√
由题意知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则
两式相减得＝－18(y1－y2)，
整理得＝－，
因为MN的中点为(3，－2)，则x1＋x2＝2×3＝6，
所以k＝＝－＝－，
即直线l的斜率为－.
(2)(2024·肇庆模拟)已知直线l：x－y＋3＝0与双曲线C：＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，点P(1，4)是弦AB的中点，则双曲线C的渐近线方程是
A.y＝±x B.y＝±2x
C.y＝±x D.y＝±4x
√
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
可得＝1，＝1，
两式相减可得，
由点P(1，4)是弦AB的中点，且直线l：x－y＋3＝0，
可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝8，y1－y2＝x1－x2，
即有b2＝4a2，即b＝2a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.
方法二　由题意知kAB＝1，kOP＝4(O为坐标原点)，
则＝kAB·kOP＝4，
所以b2＝4a2，b＝2a，
故双曲线C的渐近线方程为y＝±2x.
解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路
(1)根与系数的关系法：联立直线和圆锥曲线的方程得到方程组，消元得到一元二次方程后，由根与系数的关系及中点坐标公式求解.
(2)点差法：设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将这两点坐标分别代入圆锥曲线的方程，并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和直线AB的斜率有关的式子，可以大大减少计算量.
思维升华
跟踪训练3　(1)(2024·六安模拟)已知椭圆E：＝1(a>b>0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交椭圆E于A，B两点，若AB的中点坐标为(1，－1)，则椭圆E的方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以
两式相减可得，
整理可得＝－，
根据题意可知直线AB的斜率为，
由AB的中点坐标为(1，－1)可得x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，
因此＝－＝－，可得a2＝2b2，
方法二　设AB的中点为P，O为坐标原点，
kAB＝，kOP＝＝－1，
则kAB·kOP＝－＝－，所以a2＝2b2，
由右焦点为F(3，0)可得a2－b2＝c2＝9，
解得b2＝9，a2＝18，
所以椭圆E的方程为＝1.
(2)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点到准线的距离为1，若抛物线C上存在关于直线l：x－y－2＝0对称的不同的两点P和Q，则线段PQ的中点坐标为
A.(1，－1) B.(2，0)
C. D.(1，1)
√
∵焦点到准线的距离为p，则p＝1，
∴y2＝2x.设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则
两式相减可得(y1－y2)(y1＋y2)＝2(x1－x2)，
∴kPQ＝，又∵P，Q关于直线l对称，
∴kPQ＝－1，即y1＋y2＝－2，
∴PQ中点的纵坐标为＝－1，
又∵PQ的中点在直线l上，
∴PQ中点的横坐标为－1＋2＝1.
∴线段PQ的中点坐标为(1，－1).
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课时精练
对一对
答案
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3
4
5
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7
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12
13
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B D C D D BCD BCD
题号 9 10 13 　14 答案 50 A 　C 答案
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14
(1)由条件知，2a＝2，＝tan 30°＝，
故a＝，b＝1.
即双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，
联立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，
由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，
11.
答案
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又m>0，故m>，
则x1＋x2＝－3m，x1x2＝，
故弦长|AB|＝＝，h＝，
又S△AOB＝|AB|h＝×··，
即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，
又m>，故m＝2.
11.
答案
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14
(1)设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得
故C的方程为+=1.
12.
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14
(2)设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2,
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,
联立
得3x2+4=12,
即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,
∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
12.
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14
(3)设M(x0,y0),
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线为直线x=,此时=±2,
解得x0=5或x0=-3,此时M为(5,0)或(-3,0).
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线为
y=-+=-x+,
联立
12.
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14
得3x2+4=12,
∴x2-x+-12=0,
∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
∴Δ=-4=0
-12-=0
+(2-14)+-18-32x0-15=0
12.
答案
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12
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14
+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0
(++2x0+1)(+-2x0-15)=0,
∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,
∴+-2x0-15=0.
又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,
∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆.
12.
一、单项选择题
1.直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
√
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知识过关
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答案
直线y＝kx－k可化为y＝k(x－1)，所以直线恒过点(1，0)，
又<1，即点(1，0)在椭圆的内部，
∴直线y＝kx－k与椭圆＝1的位置关系为相交.
1
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答案
2.已知直线2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，则|AB|等于
A. B.5 C.3 D.4
√
将2x＋y－2＝0与抛物线C：y2＝4x联立得x2－3x＋1＝0，Δ>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，
显然抛物线焦点坐标为(1，0)，
令x＝1，即2＋y－2＝0，
得y＝0，则直线过焦点，
则|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5.
3.若直线l：y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点，则k的取值范围是
A. B.
C. D.
√
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答案
联立方程组
整理得(k2－1)x2＋4kx＋10＝0，
设直线y＝kx＋2与曲线C：x2－y2＝6(x>0)交于不同的两点(x1，y1)，(x2，y2)，
则满足
解得－4.(2024·内江模拟)已知双曲线C的方程为5x2－y2＝1，过点P(0，－1)作直线l与双曲线左、右两支交于点M，N.若＝2，则直线l的方程为
A.y＝x－1 B.y＝x－1或y＝－x－1
C.y＝x－1或y＝－x－1 D.y＝x－1
√
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答案
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝kx－1，
联立 (5－k2)x2＋2kx－2＝0，
则5－k2≠0，且Δ＝4(10－k2)>0，
x1＋x2＝， ①
x1x2＝， ②
因为＝2，则－x1＝2x2， ③
①③联立解得x1＝，x2＝，
1
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答案
代入②得k2＝1 k＝±1，
则直线l的方程为y＝x－1或y＝－x－1.
5.(2025·张掖模拟)已知倾斜角为的直线l与椭圆C：＋y2＝1交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，则直线OP的斜率为
A.－1 B.－
C.－ D.－
√
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答案
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答案
方法一　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，
则kAB＝＝1，x0＝，y0＝，
所以kOP＝，
所以kABkOP＝，
将A，B两点坐标代入椭圆方程可得
两式作差可得＝0，
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答案
所以kABkOP＝＝－，
则kOP＝－.
方法二　由题意得a2＝4，b2＝1，kAB＝1，
由kAB·kOP＝－，
即1×kOP＝－，所以kOP＝－.
6.(2024·洛阳模拟)经过抛物线C：y2＝8x的焦点F的直线交C于A，B两点，与抛物线C的准线交于点P，若|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，则|AB|等于
A.4 B.4
C. D.
√
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答案
由题意得F(2，0)，抛物线的准线方程为x＝－2，
因为过抛物线C：y2＝8x焦点F的直线与抛物线C交于两点，且与抛物线的准线相交，
所以直线的斜率存在且不为0，设直线方程为y＝k(x－2)，
与C：y2＝8x联立得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，显然x1，x2>0，则x1x2＝4，
因为|AF|，|AP|，|BF|成等差数列，
所以2|AP|＝|AF|＋|BF|＝|AB|，
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答案
所以3(x1＋2)＝x2＋2，解得x2＝3x1＋4，
因为x1x2＝4，所以3＋4x1－4＝0，
解得x1＝或x1＝－2(舍去)，所以x2＝6，
则|AB|＝x1＋x2＋4＝＋6＋4＝.
二、多项选择题
7.平面直角坐标系中椭圆C的中心为原点，焦点在坐标轴上，点，均在椭圆C上，则
A.椭圆C的离心率为
B.直线l：kx＋y－k＝0与椭圆C相交
C.椭圆C的短轴长为2
D.若椭圆C上弦AB的中点坐标为，则直线AB的斜率为－
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答案
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答案
设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m，n>0，且m≠n)，
则解得
所以椭圆方程为＋y2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，e＝，故A错误；
直线l的方程可整理为k(x－1)＋y＝0，
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答案
令解得
所以直线l恒过定点(1，0)，
因为＋0<1，所以点(1，0)在椭圆＋y2＝1内，所以直线l与椭圆相交，故B正确；
2b＝2，所以短轴长为2，故C正确；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
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答案
两式相减得
＝－(y1＋y2)(y1－y2)，
因为弦AB的中点为，
所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1，
所以＝－(y1－y2)，
整理得kAB＝＝－，故D正确.
8.已知抛物线C：y＝4x2的焦点为F，A，B为C上的两点，过A，B作C的两条切线交于点P，设两条切线的斜率分别为k1，k2，直线AB的斜率为k3，则
A.C的准线方程为y＝－1
B.k1，k3，k2成等差数列
C.若P在C的准线上，则k1k2＝－1
D.若P在C的准线上，则|AF|＋4|BF|的最小值为
√
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答案
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答案
抛物线C：x2＝y，抛物线C的准线方程为y＝－，A选项错误；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
∵y'＝8x，∴k1＝8x1，k2＝8x2，
k3＝＝4(x2＋x1)，
∴k1＋k2＝2k3，B选项正确；
由上可知直线PA：y＝8x1x－4，
直线PB：y＝8x2x－4，解得P，
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答案
又P在C的准线上，所以4x1x2＝－，x1x2＝－，k1k2＝64x1x2＝－1，
C选项正确；
|AF|＋4|BF|＝y1＋4y2＋＝4＋16≥16|x1x2|＋，
当且仅当x1＝－2x2时取等号，D选项正确.
三、填空题
9.已知双曲线－y2＝1，则过(3，0)且和双曲线只有一个交点的直线的
斜率为　　　.
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答案
±
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答案
方法一　由题意得直线斜率一定存在，
设所求直线斜率为k，则过点(3，0)且斜率为k的直线方程为y＝k(x－3)，
联立
化简并整理得(1－4k2)x2＋24k2x－36k2－4＝0，
由题意得1－4k2＝0或Δ＝＋4(36k2＋4)(1－4k2)＝0，解得k＝±，
经检验，符合题意.
所以所求直线的斜率为±.
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答案
方法二　由题意得点(3，0)在双曲线－y2＝1右支的内部，若该直线过(3，0)且和双曲线只有一个交点，则该直线与双曲线的渐近线平行，故所求直线的斜率为±＝±.
10.已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B为C上的两点.若直线FA的斜率为，且·＝0，延长AF，BF分别交C于P，Q两点，则四边形ABPQ的面积为　　　.
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答案
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答案
由题可知，抛物线的焦点为F(1，0)，
因为直线FA的斜率为，
所以直线AP的方程为y＝(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－18x＋1＝0，
所以Δ＝(－18)2－4>0，
设A(x1，y1)，P(x2，y2)，
则x1＋x2＝18，x1x2＝1，
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答案
故|AP|＝·
＝×8＝20.
因为·＝0，所以FA⊥FB，
所以直线FB的斜率为－2，直线BQ的方程为y＝－2(x－1)，
与抛物线C的方程联立，得x2－3x＋1＝0.
所以Δ＝(－3)2－4>0，
设B(x3，y3)，Q(x4，y4)，
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答案
则x3＋x4＝3，x3x4＝1，
故|BQ|＝·×＝5.
所以四边形ABPQ的面积为|AP|·|BQ|＝50.
四、解答题
11.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)，焦点为F1，F2，其中一条渐近
线的倾斜角为30°，点M在双曲线上，且||MF1|－|MF2||＝2.
(1)求双曲线C的标准方程；
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答案
由条件知，2a＝2，＝tan 30°＝，故a＝，b＝1.
即双曲线C的标准方程为－y2＝1.
(2)直线l：y＝x＋m交C于A，B两点，若△AOB的面积为(O为坐标原点)，求正实数m的值.
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答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，O到直线l的距离为h，
联立得2x2＋6mx＋3m2＋3＝0，
由Δ＝36m2－8(3m2＋3)＝12m2－24>0，解得m2>2，
又m>0，故m>，
则x1＋x2＝－3m，x1x2＝，
故弦长|AB|＝
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答案
＝，h＝，
又S△AOB＝|AB|h＝×··，
即m4－2m2－8＝0，解得m2＝4，
又m>，故m＝2.
12.(2025·八省联考)已知椭圆C的离心率为,左、右焦点分别为F1(-1,0),
F2(1,0).
(1)求C的方程;
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答案
设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),
由题意知解得
故C的方程为+=1.
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答案
设F1M0的中点为P,∴P(0,2),=2,
∴线段F1M0的垂直平分线方程为y=-x+2,
联立
得3x2+4=12,即x2-2x+1=0,Δ=4-4=0,
∴线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点.
(2)已知点M0(1,4),证明:线段F1M0的垂直平分线与C恰有一个公共点;
(3)设M是坐标平面上的动点,且线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,证明M的轨迹为圆,并求该圆的方程.
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答案
设M(x0,y0),
当y0=0时,线段F1M的垂直平分线为直线x=,此时=±2,
解得x0=5或x0=-3,此时M为(5,0)或(-3,0).
当y0≠0时,线段F1M的垂直平分线为
y=-+=-x+,
联立
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答案
得3x2+4=12,
∴x2-x+-12=0,
∵线段F1M的垂直平分线与C恰有一个公共点,
∴Δ=-4=0
-12-=0
+(2-14)+-18-32x0-15=0
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答案
+(2-14)+(+2x0+1)(-2x0-15)=0
(++2x0+1)(+-2x0-15)=0,
∵++2x0+1=(x0+1)2+>0,
∴+-2x0-15=0.
又点M(5,0),(-3,0)也满足上式,
∴M的轨迹方程为(x-1)2+y2=16,它为一个圆.
13.(2024·郑州模拟)已知双曲线＝1(a>0，b>0)，过实轴所在直线上任意一点N(t，0)的弦的端点A，B与点G(m，0)的连线所成的角被焦点所在的直线平分，即∠NGA＝∠NGB，则m的值为
A. B. C.t2 D.
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答案
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能力拓展
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答案
设直线AB的方程为x＝ny＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示，
联立直线和双曲线方程
整理可得(b2n2－a2)y2＋2b2nty＋b2(t2－a2)＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
且满足Δ＝－4b2(t2－a2)(b2n2－a2)>0，即a2由∠NGA＝∠NGB，可得直线AG，BG的斜率之和为0，
即kAG＋kBG＝0，所以＝0，
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答案
即2ny1y2＋(t－m)(y1＋y2)＝0，
即2n·＋(t－m)＝0，
整理可得2nb2(t2－a2)－2b2nt(t－m)＝0，
可得tm－a2＝0，即m＝.
14.阿基米德在《抛物线求积法》一书中描述了如何求解抛物线与直线围成的弓形的面积的方法：如图，若抛物线C与直线l交于A，B两点，要求弓形部分面积，先构造直线l'∥l，l'与抛物线相切于点P，得到一级△PAB；用同样的方法在切点P两旁得到两个二级△DPA，△EPB；再用同样的方法在切点D，E两旁得到四个三级三角形……依次下去，通过证明知道每个新构建的三角形的面积都是
上一级三角形面积的，那么求出△PAB的面积就可以得
出弓形面积.若已知抛物线C：y2＝4x，直线l：x－y－1＝
0，则抛物线C与直线l围成的弓形面积为
A.4 B.8
C. D.16
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答案
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答案
由l：x－y－1＝0，设l'为：x－y＋c＝0，
联立 x2＋(2c－4)x＋c2＝0，
由于l'与抛物线相切，所以Δ＝(2c－4)2－4c2＝0，
解得c＝1，
故x2－2x＋1＝0 x＝1，故切点P(1，2)，
所以点P(1，2)到直线l的距离为d＝，
由 x2－6x＋1＝0，
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答案
设抛物线C与直线l相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝6，x1x2＝1，
所以|AB|＝·
＝×＝8，
所以S△ABP＝|AB|×d＝×8×＝4，
根据规律，每一级三角形的个数是上一级三角形个数的2倍，
每个新构建的三角形的面积是上一级三角形面积的，
则第n级的所有三角形的面积和
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答案
返回
Sn＝4×2n－1×＝4×，
故经过n次分割后得到的所有三角形面积之和为
S＝4×
＝4×.
当n→＋∞时，S→，故抛物线C与直线l围成的弓形面积为.

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