资源简介

必刷小题15　直线与圆
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.已知直线l：mx-(5-2m)y-3=0的倾斜角为，则m等于(　　)
A. B.0 C. D.
2.已知圆O：x2+y2=4，直线l：y=kx+2与圆O恰有一个公共点，则k的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.
3.若直线l1：y-2=(k-1)x和直线l2关于直线y=x+1对称，则直线l2恒过定点(　　)
A.(2，0) B.(1，-1)
C.(1，1) D.(-2，0)
4.(2025·黔南模拟)若M为圆(x+1)2+y2=2上的动点，则点M到直线x+y-3=0的距离的最小值为(　　)
A. B.3- C.2 D.3
5.已知两点A(-1，0)，B(0，2)，点P是圆(x-2)2+y2=1上任意一点，则△PAB面积的最小值是(　　)
A. B.2
C.3+ D.3-
6.已知实数a，b满足a2+b2=a-b，则|a+b-3|的最小值为(　　)
A. B.2
C. D.4
7.(2025·绥化模拟)已知圆C的圆心为原点O，且与直线x+y+4=0相切.点P在直线x=8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为(　　)
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，) D.(，0)
8.在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(1，0)，C(-1，0)，D(0，1)，若点P满足|PA|=2|PB|，则2|PC|+|PD|的最小值为(　　)
A.4 B.
C. D.2+
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0，则下列结论正确的是(　　　　)
A.若l1∥l2，则a=6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C.若l1⊥l2，则a=-
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
10.已知圆C：x2+y2-6x=0，则下列说法正确的是(　　　　)
A.圆C的半径r=3
B.点(1，2)在圆C的内部
C.圆C与圆x2+y2+2x+4y-6=0的公共弦所在直线的方程为4x+2y-3=0
D.圆C'：(x+1)2+y2=4与圆C相交
11.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2+y2=1，点P为直线l：x-y-2=0上的动点，则(　　　　)
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为
B.若圆C与曲线x2+y2-6x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=9
C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2025·天津滨海区模拟)过点A(-2，-1)，且与直线l：x-y-3=0相切于点B(2，-1)的圆的方程为　　　　　　　　.
13.若点P(-2，-1)到直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ的距离为d，则d的取值范围是　　　　　　　　　　　　　　　.
14.已知☉O1：x2+(y-2)2=1，☉O2：(x-3)2+(y-6)2=9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|+|PN|的最小值为　　　　　　.
答案精析
1.D　2.B
3.C　[因为直线l1：y-2=(k-1)x过定点(0，2)，
点(0，2)关于直线y=x+1对称的点为(1，1)，
故直线l2恒过定点(1，1).]
4.A　[圆(x+1)2+y2=2的圆心C(-1，0)，半径r=
点C(-1，0)到直线x+y-3=0的距离d==2>
即直线x+y-3=0与圆(x+1)2+y2=2相离，又点M在该圆上，
所以点M到直线x+y-3=0的距离的最小值为d-r=.]
5.D　[两点A(-1，0)，B(0，2)，
则|AB|==直线AB的方程为y=2x+2，
圆(x-2)2+y2=1的圆心C(2，0)，半径r=1，
点C到直线AB：2x-y+2=0的距离d==
因此点P到直线AB距离的最小值为d-r=-1，
所以△PAB面积的最小值是=3-.]
6.B　[方法一　由题意知，点(a，b)在曲线C：+=上，圆心C到直线x+y-3=0的距离d==
圆C的半径r=
所以|a+b-3|min=(d-r)==2.
方法二　由题意知，点(a，b)在曲线+=上，
设a=+cos θ，b=-+sin θ，θ为参数，则|a+b-3|
=
=
因为sin∈[-1，1]，
当θ=即a=1，b=0时，
|a+b-3|min=|1-3|=2.]
7.B　[依题意得，圆C的半径r==4，
所以圆C的方程为x2+y2=16.
因为PA，PB是圆C的两条切线，所以OA⊥AP，OB⊥BP，所以A，B在以线段OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，则线段OP的中点坐标为
所以以线段OP为直径的圆的方程为(x-4)2+=42+b∈R，
化简得x2+y2-8x-by=0，b∈R，
因为线段AB为两圆的公共弦，
所以直线AB的方程为8x+by=16，b∈R，
即8(x-2)+by=0，
所以直线AB恒过定点(2，0).]
8.C　[设P(x，y)，
由|PA|=2|PB|，得=2
化简整理得x2+y2=4，
故P的轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，
|PC|=
=
=
=
设M(-4，0)，则|PC|=|PM|，
所以2|PC|+|PD|=|PM|+|PD|≥|MD|=
当且仅当点P为线段MD与圆x2+y2=4的交点时取等号，所以2|PC|+|PD|的最小值为.]
9.ACD　[两条直线l1，l2的方程分别为3x+4y+12=0与ax+8y-11=0，当l1∥l2时，则3×8-4a=0，解得a=6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a=6，所以平行直线间的距离d==故B错误；
当l1⊥l2，则3a+32=0，解得a=-故C正确；
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.]
10.ACD　[圆C的标准方程为(x-3)2+y2=9，所以半径r=3，故A正确；
将点(1，2)代入圆C的标准方程中，得(1-3)2+=12>9，所以点(1，2)在圆C的外部，故B错误；
由题意知，两圆相交，由两圆方程x2+y2-6x=0，x2+y2+2x+4y-6=0相减，得4x+2y-3=0，则公共弦所在直线的方程为4x+2y-3=0，故C正确；
圆C'的圆心为(-1，0)，半径为2，所以两圆C'与C的圆心距为|CC'|=4，则3-2<|CC'|<3+2，故两圆相交，故D正确.]
11.BD　[由题知，圆心(0，0)到直线l的距离为d==圆的半径为1，由<-1，所以圆上不存在点到直线l的距离为故A错误；
由x2+y2-6x-8y+m=0整理得(x-3)2+(y-4)2=25-m，由题意知曲线为圆，则m<25，圆心为(3，4)，半径为由题可知，两圆外切时有三条公切线，则=1+解得m=9，故B正确；
由切点为Q，∠OQP=90°，
则在Rt△OQP中，sin∠OPQ==
当|OP|最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，过点O作OP'⊥l，垂足为P'，
|OP'|==
当点P与点P'重合时，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最大值为∠OPQ最大为45°，不可能为60°，故C错误；
设点P(x0，y0)，切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切线MP的方程为x1x+y1y=1，
由点P在切线上，得x1x0+y1y0=1，
同理可得x2x0+y2y0=1，
故点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线x0x+y0y=1上，
即直线MN的方程为x0x+y0y=1，
又由点P(x0，y0)在直线l：x-y-2=0上，则y0=x0-2，
代入直线MN的方程整理得
(x+y)x0-2y-1=0，
由解得
即直线MN恒过定点故D正确.]
12.x2+(y-1)2=8
解析　因为圆心与切点的连线与切线垂直，且直线l的斜率kl=1，
所以圆心和切点连线的斜率k=-1，
所以圆心与B(2，-1)的连线的直线方程为y+1=-(x-2)，即x+y-1=0.设圆心C(a，1-a)，则|AC|=|BC|，即=
解得a=0，
即圆心C(0，1)，所以半径r==2
所以圆的方程为x2+(y-1)2=8.
13.[0)
解析　把直线l的方程化为(x+y-2)+λ(3x+2y-5)=0，
由解得
所以直线l恒过定点A(1，1)，
其中直线l不包括直线3x+2y-5=0.
又|PA|==
且PA与直线3x+2y-5=0垂直，即点P到直线3x+2y-5=0的距离为
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<.
14.
解析　由题意知，☉O1：x2+(y-2)2=1的圆心为O1(0，2)，半径r1=1，
☉O2：(x-3)2+(y-6)2=9的圆心为O2(3，6)，半径r2=3，
设P(t，0)，则|PM|===
|PN|===
则|PM|+|PN|
=+
=+
设A(0，-)，B(3，3)，
则|PM|+|PN|=|PA|+|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时取等号，此时|PM|+|PN|的最小值为|AB|==.(共33张PPT)
第八章
必刷小题15　直线与圆
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
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7
8
9
10
11
12
13
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题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D B C A D B B C
题号 9 10 11 12 13 14
答案 ACD ACD BD x2＋(y－1)2＝8 [0，)
一、单项选择题
1.已知直线l：mx－(5－2m)y－3＝0的倾斜角为，则m等于
A. B.0 C. D.
√
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答案
由题意直线l的倾斜角为，则直线l⊥x轴，
故方程mx－(5－2m)y－3＝0中，y的系数为0，
即－(5－2m)＝0，解得m＝，
此时，直线l：x＝符合题意.
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答案
2.已知圆O：x2＋y2＝4，直线l：y＝kx＋2与圆O恰有一个公共点，则k的值为
A.－1 B.0 C.1 D.
√
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答案
∵直线l：kx－y＋2＝0与圆O恰有一个公共点，
∴直线l与圆O相切，
方法一　圆O：x2＋y2＝4的圆心为O(0，0)，半径为2，
∴圆心到直线l的距离d＝＝2，
解得k＝0.
方法二　由直线l：y＝kx＋2过定点M(0，2)，
由M在圆O：x2＋y2＝4上，直线与圆O相切，
故点M即为切点，故直线l⊥OM，即斜率k＝0.
3.若直线l1：y－2＝(k－1)x和直线l2关于直线y＝x＋1对称，则直线l2恒过定点
A.(2，0) B.(1，－1) C.(1，1) D.(－2，0)
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答案
因为直线l1：y－2＝(k－1)x过定点(0，2)，
点(0，2)关于直线y＝x＋1对称的点为(1，1)，
故直线l2恒过定点(1，1).
4.(2025·黔南模拟)若M为圆(x＋1)2＋y2＝2上的动点，则点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为
A. B.3－ C.2 D.3
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圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心C(－1，0)，半径r＝，
点C(－1，0)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝2>，
即直线x＋y－3＝0与圆(x＋1)2＋y2＝2相离，又点M在该圆上，
所以点M到直线x＋y－3＝0的距离的最小值为d－r＝.
答案
5.已知两点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－2)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最小值是
A. B.2
C.3＋ D.3－
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答案
两点A(－1，0)，B(0，2)，则|AB|＝，
直线AB的方程为y＝2x＋2，
圆(x－2)2＋y2＝1的圆心C(2，0)，半径r＝1，
点C到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，
因此点P到直线AB距离的最小值为d－r＝－1，
所以△PAB面积的最小值是
××＝3－.
6.已知实数a，b满足a2＋b2＝a－b，则|a＋b－3|的最小值为
A. B.2
C. D.4
√
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答案
方法一　由题意知，点(a，b)在曲线C：上，
圆心C到直线x＋y－3＝0的距离d＝，
圆C的半径r＝，
所以|a＋b－3|min＝(d－r)＝×＝2.
方法二　由题意知，点(a，b)在曲线上，
设a＝cos θ，b＝－sin θ，θ为参数，
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答案
则|a＋b－3|＝＝，
因为sin∈[－1，1]，
当θ＝，即a＝1，b＝0时，|a＋b－3|min＝|1－3|＝2.
7.(2025·绥化模拟)已知圆C的圆心为原点O，且与直线x＋y＋4＝0相切.点P在直线x＝8上，过点P引圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，如图所示，则直线AB恒过定点的坐标为
A.(0，2) B.(2，0)
C.(0，) D.(，0)
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答案
依题意得，圆C的半径r＝＝4，所以圆C的方程为x2＋y2＝16.
因为PA，PB是圆C的两条切线，
所以OA⊥AP，OB⊥BP，
所以A，B在以线段OP为直径的圆上，
设点P的坐标为(8，b)，b∈R，
则线段OP的中点坐标为，
所以以线段OP为直径的圆的方程为(x－4)2＋＝42＋，b∈R，
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答案
化简得x2＋y2－8x－by＝0，b∈R，
因为线段AB为两圆的公共弦，
所以直线AB的方程为8x＋by＝16，b∈R，
即8(x－2)＋by＝0，
所以直线AB恒过定点(2，0).
8.在平面直角坐标系中，点A(4，0)，B(1，0)，C(－1，0)，D(0，1)，若点P满足|PA|＝2|PB|，则2|PC|＋|PD|的最小值为
A.4 B.
C. D.2＋
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答案
设P(x，y)，
由|PA|＝2|PB|，得＝2，
化简整理得x2＋y2＝4，
故P的轨迹是以(0，0)为圆心，2为半径的圆，
|PC|＝
＝
＝，
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答案
设M(－4，0)，则|PC|＝|PM|，
所以2|PC|＋|PD|＝|PM|＋|PD|≥|MD|＝，
当且仅当点P为线段MD与圆x2＋y2＝4的交点时取等号，
所以2|PC|＋|PD|的最小值为.
二、多项选择题
9.已知两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，则下列结论正确的是
A.若l1∥l2，则a＝6
B.若l1∥l2，则两条平行直线之间的距离为
C.若l1⊥l2，则a＝－
D.若a≠6，则直线l1，l2一定相交
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答案
两条直线l1，l2的方程分别为3x＋4y＋12＝0与ax＋8y－11＝0，当l1∥l2时，则3×8－4a＝0，解得a＝6，经检验，满足两直线平行，故A正确；
若l1∥l2，则a＝6，所以平行直线间的距离d＝，故B错误；
当l1⊥l2，则3a＋32＝0，解得a＝－，故C正确；
由选项A得，当a≠6时，直线l1，l2一定相交，故D正确.
10.已知圆C：x2＋y2－6x＝0，则下列说法正确的是
A.圆C的半径r＝3
B.点(1，2)在圆C的内部
C.圆C与圆x2＋y2＋2x＋4y－6＝0的公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0
D.圆C'：(x＋1)2＋y2＝4与圆C相交
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圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝9，所以半径r＝3，故A正确；
将点(1，2)代入圆C的标准方程中，得(1－3)2＋＝12>9，所以点(1，2)在圆C的外部，故B错误；
由题意知，两圆相交，由两圆方程x2＋y2－6x＝0，x2＋y2＋2x＋4y－6＝0相减，得4x＋2y－3＝0，则公共弦所在直线的方程为4x＋2y－3＝0，故C正确；
圆C'的圆心为(－1，0)，半径为2，所以两圆C'与C的圆心距为|CC'|＝4，则3－2<|CC'|<3＋2，故两圆相交，故D正确.
11.在平面直角坐标系Oxy中，圆C：x2＋y2＝1，点P为直线l：x－y－2＝0上的动点，则
A.圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为
B.若圆C与曲线x2＋y2－6x－8y＋m＝0恰有三条公切线，则m＝9
C.过点P作圆C的一条切线，切点为Q，∠OPQ可以为60°
D.过点P作圆C的两条切线，切点为M，N，则直线MN恒过定点
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答案
由题知，圆心(0，0)到直线l的距离为d＝，圆的半径为1，由<－1，所以圆上不存在点到直线l的距离为，故A错误；
由x2＋y2－6x－8y＋m＝0整理得(x－3)2＋(y－4)2＝25－m，由题意知曲线为圆，则m<25，圆心为(3，4)，半径为，由题可知，两圆外切时有三条公切线，则＝1＋，解得m＝9，故B正确；
由切点为Q，∠OQP＝90°，则在Rt△OQP中，sin∠OPQ＝，
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当|OP|最小时，sin∠OPQ取最大值，∠OPQ最大，
过点O作OP'⊥l，垂足为P'，
|OP'|＝，
当点P与点P'重合时，sin∠OPQ最大，即sin∠OPQ的最大值为，
∠OPQ最大为45°，不可能为60°，故C错误；
设点P(x0，y0)，切点M(x1，y1)，N(x2，y2)，
可得切线MP的方程为x1x＋y1y＝1，
由点P在切线上，得x1x0＋y1y0＝1，
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同理可得x2x0＋y2y0＝1，
故点M(x1，y1)，N(x2，y2)都在直线x0x＋y0y＝1上，
即直线MN的方程为x0x＋y0y＝1，
又由点P(x0，y0)在直线l：x－y－2＝0上，则y0＝x0－2，
代入直线MN的方程整理得(x＋y)x0－2y－1＝0，
由解得
即直线MN恒过定点，故D正确.
三、填空题
12.(2025·天津滨海区模拟)过点A(－2，－1)，且与直线l：x－y－3＝0相切于点B(2，－1)的圆的方程为　　　　　　　.
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答案
x2＋(y－1)2＝8
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答案
因为圆心与切点的连线与切线垂直，且直线l的斜率kl＝1，
所以圆心和切点连线的斜率k＝－1，
所以圆心与B(2，－1)的连线的直线方程为y＋1＝－(x－2)，即x＋y－1＝0.设圆心C(a，1－a)，则|AC|＝|BC|，
即，
解得a＝0，即圆心C(0，1)，
所以半径r＝＝2，
所以圆的方程为x2＋(y－1)2＝8.
13.若点P(－2，－1)到直线l：(1＋3λ)x＋(1＋2λ)y＝2＋5λ的距离为d，则d的取值范围是　　　　　.
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答案
[0，)
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答案
把直线l的方程化为(x＋y－2)＋λ(3x＋2y－5)＝0，
由解得
所以直线l恒过定点A(1，1)，
其中直线l不包括直线3x＋2y－5＝0.
又|PA|＝，
且PA与直线3x＋2y－5＝0垂直，即点P到直线3x＋2y－5＝0的距离为，
所以点P到直线l的距离d满足0≤d<.
14.已知☉O1：x2＋(y－2)2＝1，☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9，过x轴上一点P分别作两圆的切线，切点分别是M，N，则|PM|＋|PN|的最小值为　　　.
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答案
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答案
由题意知，☉O1：x2＋(y－2)2＝1的圆心为O1(0，2)，半径r1＝1，
☉O2：(x－3)2＋(y－6)2＝9的圆心为O2(3，6)，半径r2＝3，
设P(t，0)，则|PM|＝
，
|PN|＝
，
则|PM|＋|PN|＝
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答案
，
设A(0，－)，B(3，3)，
则|PM|＋|PN|＝|PA|＋|PB|≥|AB|，
当且仅当A，P，B三点共线时取等号，
此时|PM|＋|PN|的最小值为
|AB|＝.

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