资源简介

必刷小题16　圆锥曲线
分值：73分
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.椭圆C：+=1的长轴长与焦距之差等于(　　)
A. B.2 C.2 D.3
2.已知双曲线-y2=1(a>0)的离心率e<，则a的取值范围是(　　)
A.(0，1) B.
C.(1，+∞) D.
3.(2024·保定模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为方程2x2-5x+2=0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为(　　)
A. B. C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知两点A(1，1)，B(-1，-1)，点P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为-，则点P的轨迹方程为(　　)
A.x2+2y2=3
B.x2+2y2=3(x≠±1)
C.x2-2y2=3(x≠±1)
D.2x2+y2=3(x≠±1)
5.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：-=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|+|F1F2|-|MF2|等于(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
6.已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，该抛物线C与直线l：y=kx+1相交于M，N两点，则|MF|+3|NF|的最小值为(　　)
A.2+2 B.2+4
C.4+2 D.4+4
7.已知O为坐标原点，椭圆C：+=1(0A. B. C. D.
8.已知A，B是圆C：x2+y2-8x-2y+16=0上两点，点P在抛物线x2=2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于(　　)
A. B. C. D.
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.(2024·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，则下列说法正确的是(　　　　)
A.抛物线C的焦点坐标是(-1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x=1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
10.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是(　　　　)
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为25
C.|PF1|的最小值为1
D.椭圆C的离心率为
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，在点P处经过双曲线反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，-1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是(　　　　)
A.双曲线C的方程为x2-y2=8
B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C.若PF2⊥PQ，则|PF1|·|PF2|=18
D.若∠F1PF2=60°，则|PT|=
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.(2024·北京海淀区质检)抛物线y2=4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是　　　　　　.
13.(2025·长沙模拟)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角分别为α，β，若α=5β，则C的离心率为　　　　.
14.已知点F为椭圆C：+=1的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为　　　　　　
答案精析
1.B　2.D
3.D　[因为方程2x2-5x+2=0的解为x=或x=2，
且双曲线的离心率大于1，所以e=2，
由e2=1+=4，解得=.]
4.B　[设P(x，y)，∵A(1，1)，B(-1，-1)，
∴kAP=(x≠1)，kBP=(x≠-1)，由kAP·kBP=-
得·=-(x≠±1)，
即x2+2y2=3(x≠±1)，
∴动点P的轨迹方程为x2+2y2=3(x≠±1).]
5.A　[由于M为双曲线C：-=1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，
所以|MF2|-|MF1|=2a，
故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a，
由于a=2，b=c==3，
所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=6-4=2.]
6.C　[根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F，所以+==1，
所以|MF|+3|NF|=(|MF|+3|NF|)
=4++≥4+2
当且仅当|MF|=|NF|=+1时取等号.]
7.B　[由直线过椭圆C的右焦点且斜率为得直线MN的方程为x=2y+c(其中c=)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，联立
整理得4(b2+1)y2+4b2cy-b4=0，
则y1+y2=-y1y2=
所以kOM·kON
==
==
==
可得25b4-80b2+64=0，
解得b=.]
8.A　[依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，
设∠APB=2α，P
∵圆C：x2+y2-8x-2y+16=0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sin α=
∵|PC|2=+
=-8x0+17，
令f(x)=-8x+17，
则f'(x)=x3-8，
∴当x<2时，f'(x)<0，
即函数f(x)在(-∞，2)上单调递减；
当x>2时，f'(x)>0，
即函数f(x)在(2，+∞)上单调递增，
∴f(x)min=f(2)=5，即|PC|min=
∴(sin α)max=此时∠APB最大，
∴|AB|=2|AC|cos α=2cos α=.]
9.AC　[因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称，所以抛物线C的方程为y2=-4x，
则抛物线C的焦点坐标是(-1，0)，准线方程为x=1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.]
10.AD　[由题意可知a=3，b=c==2，则|PF1|+|PF2|=6，|F1F2|=4，△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=10，故A正确；
当P为短轴端点时，△PF1F2面积取到最大值为|F1F2|×b=2故B错误；
|PF1|的最小值为a-c=1，此时P为长轴左端点，但本题取不到长轴左端点，故|PF1|没有最小值，故C错误；
椭圆C的离心率为e==故D正确.]
11.ABD　[对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为-=1(a>0)，所以-=1，解得a2=8，得到双曲线的方程为x2-y2=8，故A正确；
对于B，
如图，由题知
∠F1PT=∠F2PT，
∠F1PT=∠MPQ，
所以∠MPQ
=∠F2PT，
若HP⊥TM，所以∠F2PH=∠QPH，故B正确；
对于C，因为PF2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2=90°，所以==8=|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|=16，故C错误；
对于D，因为∠F1PF2=60°，
令|PF1|=m>0，|PF2|=n>0，
由mnsin 60°=得mn=32，
由m-n=4
得m2-2mn+n2=32，
所以m2+n2=96，
从而有(m+n)2=160，
得到m+n=4
由m·|PT|sin 30°+n·|PT|sin 30°=
得到(m+n)|PT|sin 30°=
从而有(m+n)|PT|sin 30°=8
解得|PT|=故D正确.]
12.2
解析　抛物线y2=4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x=-1，
设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，
则|PF|=x0+=x0+1=3，
所以x0=2.
13.
解析　根据双曲线C：-=1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角为α，β，
则α+β=π，又α=5β，所以β=
所以=tan β=故离心率e==.
14.(-20)
解析　由题意可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y=k(x+)，
设P(x1，y1)，M(x2，y2)，
则Q(x1，-y1)，
联立直线与椭圆方程
消去y并整理得
(1+2k2)x2+4k2x+4k2-4=0，
则x1+x2=-x1x2=
显然Δ=16(k2+1)>0，x1≠x2，
所以直线QM的方程为
y-y2=(x-x2)，
整理得y=
又
=
=
=
=-2
所以直线QM的方程为
y=(x+2)，
当x=-2时，y=0恒成立，
故直线QM过定点B(-20).(共31张PPT)
第八章
必刷小题16　圆锥曲线
数学
大
一
轮
复
习
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D D B A C B A
题号 9 10 11 12 13 14 答案 AC AD ABD 2 一、单项选择题
1.椭圆C：＝1的长轴长与焦距之差等于
A. B.2 C.2 D.3
√
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答案
由题得a2＝80，b2＝35，
所以a＝4，c＝＝3，
所以长轴长2a＝8，焦距2c＝6，
所以长轴长与焦距之差等于2a－2c＝2.
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答案
2.已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率e<，则a的取值范围是
A.(0，1) B. C.(1，＋∞) D.
√
由题意可知b2＝1，c2＝a2＋1，
所以e2＝，所以1<<3，且a>0，
所以a>.
3.(2024·保定模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为方程
2x2－5x＋2＝0的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为
A. B. C. D.
√
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答案
因为方程2x2－5x＋2＝0的解为x＝或x＝2，
且双曲线的离心率大于1，所以e＝2，
由e2＝1＋＝4，解得.
4.在平面直角坐标系中，已知两点A(1，1)，B(－1，－1)，点P为动点，且直线AP与BP的斜率之积为－，则点P的轨迹方程为
A.x2＋2y2＝3 B.x2＋2y2＝3(x≠±1)
C.x2－2y2＝3(x≠±1) D.2x2＋y2＝3(x≠±1)
√
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设P(x，y)，∵A(1，1)，B(－1，－1)，
∴kAP＝(x≠1)，kBP＝(x≠－1)，
由kAP·kBP＝－，得·＝－(x≠±1)，
即x2＋2y2＝3(x≠±1)，
∴动点P的轨迹方程为x2＋2y2＝3(x≠±1).
答案
5.(2024·湛江模拟)已知点M为双曲线C：＝1的左支上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，则|MF1|＋|F1F2|－|MF2|等于
A.2 B.4 C.6 D.8
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答案
由于M为双曲线C：＝1的左支上一点，
F1，F2分别为C的左、右焦点，
所以|MF2|－|MF1|＝2a，
故|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a，
由于a＝2，b＝，c＝＝3，
所以|MF1|＋|F1F2|－|MF2|＝2c－2a＝6－4＝2.
6.已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，该抛物线C与直线l：y＝kx＋1相交于M，N两点，则|MF|＋3|NF|的最小值为
A.2＋2 B.2＋4
C.4＋2 D.4＋4
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答案
根据题意可得直线l过该抛物线的焦点F，所以＝1，
所以|MF|＋3|NF|＝(|MF|＋3|NF|)
＝4＋≥4＋2，
当且仅当|MF|＝|NF|＝＋1时取等号.
7.已知O为坐标原点，椭圆C：＝1(0A. B.
C. D.
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答案
由直线过椭圆C的右焦点且斜率为，
得直线MN的方程为x＝2y＋c(其中c＝)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1≠0且x2≠0，
联立
整理得4(b2＋1)y2＋4b2cy－b4＝0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
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答案
所以kOM·kON＝
＝
＝，
可得25b4－80b2＋64＝0，
解得b＝.
8.已知A，B是圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0上两点，点P在抛物线x2＝2y上，当∠APB取得最大值时，|AB|等于
A. B. C. D.
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答案
依题意可得，当PA，PB是圆C的切线时，∠APB取得最大值，即A，B是圆C的切点，设∠APB＝2α，P，
∵圆C：x2＋y2－8x－2y＋16＝0，
∴圆心C(4，1)，半径为1，
从而sin α＝，
∵|PC|2＝－8x0＋17，
令f(x)＝－8x＋17，则f'(x)＝x3－8，
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答案
∴当x<2时，f'(x)<0，
即函数f(x)在(－∞，2)上单调递减；
当x>2时，f'(x)>0，
即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，
∴f(x)min＝f(2)＝5，即|PC|min＝，
∴(sin α)max＝，此时∠APB最大，
∴|AB|＝2|AC|cos α＝2cos α＝.
二、多项选择题
9.(2024·长沙模拟)已知抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，则下列说法正确的是
A.抛物线C的焦点坐标是(－1，0)
B.抛物线C关于y轴对称
C.抛物线C的准线方程为x＝1
D.抛物线C的焦点到准线的距离为4
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答案
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答案
因为抛物线C与抛物线y2＝4x关于y轴对称，
所以抛物线C的方程为y2＝－4x，
则抛物线C的焦点坐标是(－1，0)，准线方程为x＝1，故A，C正确；
抛物线C关于x轴对称，故B错误；
抛物线C的焦点到准线的距离为2，故D错误.
10.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是
A.△PF1F2的周长为10
B.△PF1F2面积的最大值为25
C.|PF1|的最小值为1
D.椭圆C的离心率为
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答案
由题意可知a＝3，b＝，c＝＝2，则|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝4，△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝10，故A正确；
当P为短轴端点时，△PF1F2面积取到最大值为|F1F2|×b＝2，故B错误；
|PF1|的最小值为a－c＝1，此时P为长轴左端点，但本题取不到长轴左端点，故|PF1|没有最小值，故C错误；
椭圆C的离心率为e＝，故D正确.
11.圆锥曲线具有丰富的光学性质.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点F2处发出的光线，在点P处经过双曲线反射后，反射光线所在直线经过另一个焦点F1，且双曲线在点P处的切线平分∠F1PF2.如图，对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线C过点(3，－1)，其左、右焦点分别为F1，F2.若从F2发出的光线经双曲线右支上一点P反射的光线为PQ，点P处的切线交x轴于点T，则下列说法正确的是
A.双曲线C的方程为x2－y2＝8
B.过点P且垂直于PT的直线平分∠F2PQ
C.若PF2⊥PQ，则|PF1|·|PF2|＝18
D.若∠F1PF2＝60°，则|PT|＝
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答案
对于A，因为双曲线为等轴双曲线，设双曲线方程为＝1(a>0)，所以＝1，解得a2＝8，得到双曲线的方程为x2－y2＝8，故A正确；
对于B，
如图，由题知∠F1PT＝∠F2PT，
∠F1PT＝∠MPQ，
所以∠MPQ＝∠F2PT，
若HP⊥TM，所以∠F2PH＝∠QPH，故B正确；
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答案
对于C，因为PF2⊥PQ，所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°，所以＝8＝|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝16，故C错误；
对于D，因为∠F1PF2＝60°，
令|PF1|＝m>0，|PF2|＝n>0，
由mnsin 60°＝，得mn＝32，
由m－n＝4，得m2－2mn＋n2＝32，
所以m2＋n2＝96，
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答案
从而有(m＋n)2＝160，得到m＋n＝4，
由m·|PT|sin 30°＋n·|PT|sin 30°＝，
得到(m＋n)|PT|sin 30°＝，
从而有(m＋n)|PT|sin 30°＝8，
解得|PT|＝，故D正确.
三、填空题
12.(2024·北京海淀区质检)抛物线y2＝4x上与焦点距离等于3的点的横坐标是　　　.
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答案
2
抛物线y2＝4x的焦点为F(1，0)，准线方程为x＝－1，
设抛物线上一点P(x0，y0)到焦点F(1，0)的距离为3，
则|PF|＝x0＋＝x0＋1＝3，所以x0＝2.
13.(2025·长沙模拟)设双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾
斜角分别为α，β，若α＝5β，则C的离心率为　　　.
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答案
根据双曲线C：＝1(a>0，b>0)的两条渐近线的倾斜角为α，β，
则α＋β＝π，又α＝5β，所以β＝，
所以＝tan β＝，故离心率e＝.
14.已知点F为椭圆C：＝1的左焦点，垂直于x轴的动直线l与椭圆C相交于不同的两点P，Q，直线PF与椭圆C的另一个交点为M(异于点Q)，直线QM恒过定点B，则点B的坐标为　　　　　　.
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答案
由题意可知直线PF的斜率存在，设直线PF的方程为y＝k(x＋)，
设P(x1，y1)，M(x2，y2)，则Q(x1，－y1)，
联立直线与椭圆方程
消去y并整理得(1＋2k2)x2＋4k2x＋4k2－4＝0，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
显然Δ＝16(k2＋1)>0，x1≠x2，
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答案
所以直线QM的方程为y－y2＝(x－x2)，
整理得y＝，
又
＝
＝＝－2，
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答案
所以直线QM的方程为y＝(x＋2)，
当x＝－2时，y＝0恒成立，
故直线QM过定点B(－2，0).

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