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必刷大题17　解析几何
分值：60分
1.(13分)已知直线l：y=kx+m与抛物线Γ：y2=8x交于点A，B.
(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；(4分)
(2)若·=0，且km≠0，证明：直线l过定点.(9分)
2.(15分)已知两点F1(-，0)，F2(，0)，设圆O：x2+y2=4与x轴交于A，B两点，且动点P满足：以线段PF2为直径的圆与圆O内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M，N两点.
(1)求轨迹Γ的方程；(5分)
(2)设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x=相交于点R，求证：⊥l.(10分)
3.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的右焦点F(，0)到双曲线C的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；(4分)
(2)设双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3，0)且斜率不为0的直线l与双曲线C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P.试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由.(11分)
4.(17分)(2024·赤峰模拟)已知点P为圆C：(x-2)2+y2=4上任意一点，A(-2，0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；(4分)
(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.
①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；(6分)
②求+的取值范围.(7分)
答案精析
1.(1)解　焦点F(2，0)，斜率k=1，
故直线l的方程为y=x-2.
(2)证明　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2-8y+8m=0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2=
x1x2=·==
由·=0，即x1x2+y1y2=0，
得x1x2+y1y2=+=0，
即m=-8k，直线l：y=kx-8k，
故直线l过定点(8，0).
2.(1)解　连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|=|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2-|PF2|=|OC|=|PF1|，
∴|PF1|+|PF2|=4>2=|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1(-0)，F2(0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
则a=2，c=b==1，
∴轨迹Γ的方程为+y2=1.
(2)证明　由题意知，当直线l的斜率不存在时，直线l：x=直线OQ：y=0，此时R
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x=my+
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
联立
可得(m2+4)y2+2my-1=0，Δ>0，
∴y1+y2=-
则yQ=-
∴xQ=myQ+=
则直线OQ：y=-x.
当x=时，y=-m，
即R∴=-m，
又kl=kl·=-1，∴⊥l.
综上⊥l.
3.解　(1)根据对称性，F(0)到C的一条渐近线bx-ay=0的距离d==
则b=c.
由F(0)为其右焦点，知c=
得b=则a2=c2-b2=4，
故双曲线C的方程为-=1.
(2)点P在定直线x=上.
依题可设直线l的方程为x=ty+3，
M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2-2)y2+18ty+15=0，必有Δ>0，
则y1+y2=-
y1y2=
则ty1y2=-(y1+y2).
又A1(-2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y=(x+2)，
直线A2N的方程为y=(x-2)，
整理得=
=
===-5，
解得x=.
故点P在定直线x=上.
4.(1)解　M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|=|MA|，
则||MA|-|MC||=||MP|-|MC||
=2<|AC|=4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，且2a=2，c=2，b2=c2-a2=3，
故曲线H的方程为x2-=1.
(2)①证明　设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y=±x，
如图所示，
则y1=x1，y2=-x2，
可得y1+y2=(x1-x2)，
y1-y2=(x1+x2)，
则=
得=
由题可知|MS|=|MT|，
则x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
得=
即kST==
∴直线ST的方程为
y-y0=(x-x0)，
即3x0x-y0y=3-
又∵点M在曲线H上，
则3-=3，
得3x0x-y0y=3，
联立
得(-3)x2+6x0x-3-=0，
化简得-3x2+6x0x-3=0，
由Δ=-4×(-3)×(-3)=0，可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
②解　由①联立
可得x1=
同理可得x2=
则|OS|·|OT|=·
=4|x1x2|=4×=4，
故+=+
≥2=
当且仅当=
即|OS|=2时取等号.
故+的取值范围为[+∞).(共41张PPT)
第八章
必刷大题17　解析几何
数学
大
一
轮
复
习
答案
1
2
3
4
(1)焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
1.
答案
1
2
3
4
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1.
答案
1
2
3
4
(1)连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆，
2.
答案
1
2
3
4
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
(2)由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
2.
答案
1
2
3
4
联立
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
2.
答案
1
2
3
4
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
2.
答案
1
2
3
4
(1)根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则ty1y2＝－(y1＋y2).
3.
答案
1
2
3
4
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
3.
答案
1
2
3
4
(1)M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
4.
答案
1
2
3
4
(2)①设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
由题可知|MS|＝|MT|，
4.
答案
1
2
3
4
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
4.
答案
1
2
3
4
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
4.
答案
1
2
3
4
②由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
4.
答案
1
2
3
4
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).
4.
1.已知直线l：y＝kx＋m与抛物线Γ：y2＝8x交于点A，B.
(1)若直线l的倾斜角为45°，且过抛物线Γ的焦点F，求直线l的方程；
1
2
3
4
答案
焦点F(2，0)，斜率k＝1，
故直线l的方程为y＝x－2.
(2)若·＝0，且km≠0，证明：直线l过定点.
1
2
3
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答案
1
2
3
4
答案
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立
消去x，整理得ky2－8y＋8m＝0，Δ>0，
由km≠0可知k≠0且m≠0，
由根与系数的关系可知y1y2＝，
x1x2＝·，
由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，
1
2
3
4
答案
得x1x2＋y1y2＝＝0，
即m＝－8k，直线l：y＝kx－8k，
故直线l过定点(8，0).
1
2
3
4
答案
2.已知两点F1(－，0)，F2(，0)，设圆O：x2＋y2＝4与x轴交于A，B两点，且动点P满足：以线段PF2为直径的圆与圆O内切，如图所示，记动点P的轨迹为Γ，过点F2且与x轴不重合的直线l与轨迹Γ交于M，N两点.
(1)求轨迹Γ的方程；
1
2
3
4
答案
连接PF1，设线段PF2中点为C，连接OC.
∴OC为△F1PF2的中位线，
∴|OC|＝|PF1|.
由以线段PF2为直径的圆与圆O内切可知，
2－|PF2|＝|OC|＝|PF1|，
∴|PF1|＋|PF2|＝4>2＝|F1F2|，
1
2
3
4
答案
∴点P的轨迹是以F1(－，0)，F2(，0)为焦点，
长轴长为4的椭圆，
则a＝2，c＝，b＝＝1，
∴轨迹Γ的方程为＋y2＝1.
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答案
(2)设线段MN的中点为Q，直线OQ与直线x＝相交于点R，求证：⊥l.
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答案
由题意知，当直线l的斜率不存在时，
直线l：x＝，直线OQ：y＝0，此时R，
∴⊥l；
当直线l的斜率存在且不为0时，设直线l：x＝my＋，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，Q(xQ，yQ)，
联立
1
2
3
4
答案
可得(m2＋4)y2＋2my－1＝0，Δ>0，
∴y1＋y2＝－，则yQ＝－，
∴xQ＝myQ＋，
则直线OQ：y＝－x.
当x＝时，y＝－m，
即R，∴＝－m，
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4
答案
又kl＝，kl·＝－1，∴⊥l.
综上，⊥l.
3.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的右焦点F(，0)到双曲线C的一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线C的方程；
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答案
1
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答案
根据对称性，F(，0)到C的一条渐近线bx－ay＝0的距离
d＝，
则b＝c.
由F(，0)为其右焦点，知c＝，
得b＝，则a2＝c2－b2＝4，
故双曲线C的方程为＝1.
(2)设双曲线C的左、右顶点分别为A1，A2，过点(3，0)且斜率不为0的直线l与双曲线C相交于M，N两点，直线A1M与直线A2N相交于点P.试问点P是否在定直线上？若是，求出定直线的方程；若不是，说明理由.
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答案
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答案
点P在定直线x＝上.
依题可设直线l的方程为x＝ty＋3，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
整理得(3t2－2)y2＋18ty＋15＝0，必有Δ>0，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，则ty1y2＝－(y1＋y2).
1
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答案
又A1(－2，0)，A2(2，0)，
所以直线A1M的方程为y＝(x＋2)，
直线A2N的方程为y＝(x－2)，
整理得
＝＝－5，
解得x＝.故点P在定直线x＝上.
4.(2024·赤峰模拟)已知点P为圆C：(x－2)2＋y2＝4上任意一点，A(－2，0)，线段PA的垂直平分线交直线PC于点M，设点M的轨迹为曲线H.
(1)求曲线H的方程；
1
2
3
4
答案
1
2
3
4
答案
M为线段PA的垂直平分线上一点，
则|MP|＝|MA|，
则||MA|－|MC||＝||MP|－|MC||
＝2<|AC|＝4，
∴点M的轨迹为以A，C为焦点的双曲线，
且2a＝2，c＝2，b2＝c2－a2＝3，
故曲线H的方程为x2－＝1.
(2)若过点M的直线l与曲线H的两条渐近线交于S，T两点，且M为线段ST的中点.
①证明：直线l与曲线H有且仅有一个交点；
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2
3
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答案
1
2
3
4
答案
设M(x0，y0)，S(x1，y1)，T(x2，y2)，
双曲线的渐近线方程为y＝±x，
如图所示，则y1＝x1，y2＝－x2，
可得y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
则，
得，
1
2
3
4
答案
由题可知|MS|＝|MT|，
则x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
得，即kST＝，
∴直线ST的方程为y－y0＝(x－x0)，
即3x0x－y0y＝3，
又∵点M在曲线H上，则3＝3，
得3x0x－y0y＝3，
1
2
3
4
答案
联立
得(－3)x2＋6x0x－3－＝0，
化简得－3x2＋6x0x－3＝0，
由Δ＝－4×(－3)×(－3)＝0，
可知方程有且仅有一个解，
即直线l与曲线H有且仅有一个交点.
②求的取值范围.
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答案
1
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答案
由①联立可得x1＝，
同理可得x2＝，
则|OS|·|OT|＝·
＝4|x1x2|＝4×＝4，
故≥2，
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4
答案
当且仅当，即|OS|＝2时取等号.
故的取值范围为[，＋∞).

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