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进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
进阶1　椭圆、双曲线中的常见结论及应用
分值：52分
一、单项选择题(每小题5分，共30分)
1.已知F1，F2分别是椭圆C：+=1的左、右焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　)
A.25 B.16 C.9 D.7
2.椭圆C：+=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线PA2的斜率的取值范围是[-2，-1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
3.(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：+=1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y=x-1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为-，则此双曲线方程为(　　)
A.-=1 B.-=1
C.-=1 D.-=1
5.如图，F1，F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是(　　)
A. B. C. D.
6.已知双曲线C：-=1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则+(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是(　　)
A.[4，+∞) B.
C. D.[2，4]
二、多项选择题(每小题6分，共12分)
7.(2024·泸州模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，其中|F1F2|=2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是(　　　　)
A.弦AB的长度的最小值为
B.若|AB|=m，则△F1AB的周长为2m+4a
C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k=
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，+∞)
8.已知椭圆+y2=1，A，B分别为长轴左、右端点，F1，F2分别为左、右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则(　　　　)
A.△PAB面积的最大值为2
B.|PF1|2+|PF2|2的最大值为8
C.kPA·kPB=
D.若∠F1PF2=60°，则=
三、填空题(每小题5分，共10分)
9.(2024·南京模拟)已知双曲线-=1上一点M与两焦点F1，F2所成的角∠F1MF2=120°，则△F1MF2的面积为　　　　　.
10.双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　.
答案精析
1.B　[由题意，a=4，b=3，c=离心率e=设M(x0，y0)，-4≤x0≤4，则|MF1|=4+x0，|MF2|=4-x0，所以|MF1|·|MF2|=16-故当x0=0时，|MF1|·|MF2|取得最大值16.]
2.B　[由垂径定理得·=-=-又∈[-2，-1]，所以∈.]
3.C　[根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ=e2-1，
又所以kAP·kBP=4kAP·kBQ=4=-1，
则e=.]
4.D　[由条件知，线段MN的中点P在直线y=x-1上，
所以P
由垂径定理有kMN·kOP==e2-1，
即1×=e2-1，解得e=
又c=所以a=b=
故所求双曲线方程为-=1.]
5.D　[设双曲线C2的方程为-=1(a2>0，b2>0)，则有+===4-1=3.
设椭圆C1中，a1=2，b1=1，
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为
tan 45°=即==1，
所以=-=3-1=2，
故双曲线C2的离心率
e===.]
6.B　[由双曲线的第二定义可知
|PF1|=ex0+a，|PF2|=ex0-a，
∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|=3|PF2|，
∴ex0+a=3(ex0-a) ex0=2a，
由e=解得x0=
∵P在右支上，可得x0=≥a，
又c>a，可得1<≤2，即1则+=+4
=e2+-4，
令e2=t，1=e2+-4=t+-4
=-4，
而f(t)=在(1，4]上单调递减，∴∈
∴2≤+<.]
7.ABC　[弦AB的长度的最小值为通径故A正确；
由双曲线的定义得|AF1|-|AF2|=2a，
|BF1|-|BF2|=2a，
所以|AF1|=|AF2|+2a，
|BF1|=|BF2|+2a，
|AF1|+|BF1|=|AF2|+2a+|BF2|+2a=|AB|+4a，
则△F1AB的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=2|AB|+4a=2m+4a，故B正确；
根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM=kOM·k=故C正确；
若直线AB的斜率为所以<
所以b2<3a2，所以c2<4a2，
所以e=∈(1，2)，故D错误.]
8.AD　[依题意知，a=2，b=1，c=
当P为短轴端点时，(S△PAB)max
=×2a×b=2，A正确；
∵|PF1|+|PF2|=2a=4，
由基本不等式
≤知，
≥2，
即|PF1|2+|PF2|2≥8，故B错误；
由垂径定理得，
kPA·kPB=-=-C错误；
=b2tan=1×tan 30°=D正确.]
9.
解析　根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得===.
10.∪
解析　∠F1PF2为钝角
cos∠F1PF2<0，而cos∠F1PF2
=
所以+-<0，
由题意得a=1，b=c=2，|F1F2|=4，设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|=|2x0+1|，
|PF2|=|2x0-1|，
所以+-16<0，
解得-又x0≤-1或x0≥1，且当x0=±1时，
∠F1PF2=180°，
所以x0∈∪.进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
进阶1　椭圆、双曲线中的常见结论及应用
重点解读　椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
题型一　焦半径公式(第二定义)
例1　(1)设F1，F2分别为椭圆C：+=1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　　　　　.
(2)双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|=5，则△PF1F2的面积为　　　　　　.
思维升华　(1)如图1，椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|=a+ex0；②|PF2|=a-ex0(记忆：左加右减).
(2)如图2，双曲线-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|=|ex0+a|；②|PF2|=|ex0-a|(记忆：左加右减).
跟踪训练1　(1)双曲线-=1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|=3|PF2|，则点P的坐标为　　　　　　.
(2)椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|的取值范围为　　　　　　.
题型二　垂径定理(第三定义)
例2　已知椭圆+=1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM=-.
思维升华　(1)椭圆中的垂径定理
(2)双曲线中的垂径定理
(3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线+=1(m>0，n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则kAB·kOM=-.
(4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e=0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM=e2-1.
跟踪训练2　(1)已知双曲线C：x2-y2=2 025的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线右支上一点，且∠APB=4∠PAB，则∠PAB=　　　　.
(2)已知A，B是椭圆+=1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|+|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为　　　　　　.
题型三　焦点三角形
例3　(多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是(　　)
A.椭圆中△ABF1的周长为4a
B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大
C.椭圆中=
D.双曲线中=
思维升华　对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质.
跟踪训练3　已知椭圆C：+=1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e=，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2=，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为(　　)
A.2 B.4 C.6 D.12
答案精析
常见结论及应用
例1　(1)(3)
解析　方法一　△MF1F2为等腰三角形，点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|=8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|=|F1F2|=8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则
解得
所以M(3).
方法二　△MF1F2为等腰三角形，
点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，
且|MF2|又|F1F2|=8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|=|F1F2|=8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由椭圆焦半径公式知
|MF1|=6+x0=8，
解得x0=3，代入椭圆方程得y0=
故M(3).
(2)6或4
解析　方法一　由题意得a=1，b=c=2，e=2，
设P(x0，y0)，则|PF1|=|2x0+1|=5，
解得x0=2或x0=-3，
当x0=2时，代入双曲线方程可求得y0=±3，
所以=·|F1F2|·|y0|=6；
当x0=-3时，代入双曲线方程可求得y0=±2
所以=·|F1F2|·|y0|=4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
方法二　由题意得a=1，b=c=2，
所以|F1F2|=4，
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知
|PF1|-|PF2|=2，
又|PF1|=5，所以|PF2|=3，
显然+=
所以PF2⊥F1F2，
从而=·|PF2|·|F1F2|=×3×4=6；
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|-|PF1|=2，
又|PF1|=5，所以|PF2|=7，
从而cos∠PF1F2
==-
所以sin∠PF1F2
==
从而=·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
=×5×4×=4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
跟踪训练1　(1)(2，±)
解析　由题意得a=b=c=2，e=
设P(x0，y0)，则|PF1|=|x0+|，
|PF2|=|x0-|，
因为|PF1|=3|PF2|，
所以|x0+|=3|x0-|，
解得x0=2或x0=
又|x0|≥所以x0=2，
代入双曲线方程可求得y0=±
即P(2，±).
(2)[2，6]
解析　由题意得a=c=2，e=
设P(x0，y0)，其中-≤x0≤
则|PF1|=+x0，
|PF2|=-x0，
所以|PF1|·|PF2|=6-取值范围为[2，6].
例2　证明　方法一　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
M(x0，y0)，
则kAB=kOM=
x1+x2=2x0，y1+y2=2y0，
因为
两式作差得+=0，
即·=-
于是·=-
所以kAB·kOM=-.
方法二　设直线AB的方程为
y=kx+m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由
消去y得(b2+a2k2)x2+2kma2x+a2m2-a2b2=0，
所以x1+x2=-
于是y1+y2=k(x1+x2)+2m=
所以M
于是kOM==-.
因此kAB·kOM=k·=-.
方法三　令=x'=y'，
则x'2+y'2=1.
原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点，
由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'=-1，
又因为kAB＝·kA'B'，kOM＝·kOM'，
所以kAB·kOM=·kA'B'··kOM'
=·kA'B'·kOM'=-.
跟踪训练2　(1)
解析　令∠PAB=α，则α∈
∠PBx=β，则β∈
则β=5α，所以α∈
由双曲线的垂径定理可知
tan α·tan β=tan α·tan 5α=e2-1=1，
则tan α==tan
-5α∈
则α=-5α，故α=.
(2)
解析　如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知
kAM·kBM=e2-1=-
而kBM=-kBN k1k2=
则|k1|+|k2|≥2==1 = e=.
例3　ABD　[对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确；
对于B，cos∠F1AF2
=
=
=
=-1，
∵|AF1||AF2|
≤=a2，
当且仅当|AF1|=|AF2|，即点A是短轴端点时取等号，
∴cos∠F1AF2=-1
≥-1，
又∵y=cos θ在(0，π)上单调递减，
∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确；
对于C，由选项B的推导过程得
cos∠F1AF2=-1，
∴|AF1||AF2|=
∴=|AF1||AF2|sin∠F1AF2
=··sin∠F1AF2
=b2·
=b2tan C错误；
对于D，证明方法同椭圆=D正确.]
跟踪训练3　D　[由e=
得=即a=2c. ①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以πr2=3π，解得r=(舍负).
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知=b2tan=r(2a+2c)，
即b2=(a+c)， ②
又a2=b2+c2， ③
联立①②③得c=3，a=6，b=3
所以该椭圆的长轴长为2a=2×6=12.](共53张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
椭圆、双曲线中的常见结论及应用
进阶1
椭圆、双曲线是高中数学的重要内容之一，知识的综合性较强，因而解题时需要运用多种基础知识，采用多种数学手段，熟记各种定义、基本公式、法则固然很重要，但要做到迅速、准确地解题，还要掌握一些常用结论，正确灵活地运用这些结论，一些复杂的问题便能迎刃而解.
重点解读
例1　(1)设F1，F2分别为椭圆C：＝1的左、右焦点，M为C上一点且在第一象限，若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为　　　　　　.
焦半径公式(第二定义)
题型一
(3，)
方法一　△MF1F2为等腰三角形，点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
则解得
所以M(3，).
方法二　△MF1F2为等腰三角形，
点M在第一象限 |MF1|>|MF2|，且|MF2|又|F1F2|＝8，
所以|MF2|≠|F1F2|，
故只能|MF1|＝|F1F2|＝8，
设M(x0，y0)(x0>0，y0>0)，
由椭圆焦半径公式知|MF1|＝6＋x0＝8，
解得x0＝3，代入椭圆方程得y0＝，故M(3，).
(2)双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝5，则△PF1F2的面积为　　　　　.
6或4
方法一　由题意得a＝1，b＝，c＝2，e＝2，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|2x0＋1|＝5，
解得x0＝2或x0＝－3，
当x0＝2时，代入双曲线方程可求得y0＝±3，
所以·|F1F2|·|y0|＝6；
当x0＝－3时，代入双曲线方程可求得y0＝±2，
所以·|F1F2|·|y0|＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
方法二　由题意得a＝1，b＝，c＝2，
所以|F1F2|＝4，
当点P在双曲线的右支上时，由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝3，
显然，
所以PF2⊥F1F2，
从而·|PF2|·|F1F2|＝×3×4＝6；
当点P在双曲线的左支上时，由双曲线定义可知|PF2|－|PF1|＝2，
又|PF1|＝5，所以|PF2|＝7，
从而cos∠PF1F2＝＝－，
所以sin∠PF1F2＝，
从而·|PF1|·|F1F2|·sin∠PF1F2
＝×5×4×＝4.
综上所述，△PF1F2的面积为6或4.
(1)如图1，椭圆＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点
P(x0，y0)为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝a＋ex0；②|PF2|＝a－ex0(记忆：左加右减).
思维升华
(2)如图2，双曲线＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，
点P(x0，y0)为双曲线上任意一点，则双曲线的焦半径|PF1|和|PF2|可按下面的公式计算
①|PF1|＝|ex0＋a|；②|PF2|＝|ex0－a|(记忆：左加右减).
思维升华
跟踪训练1　(1)双曲线＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足|PF1|＝3|PF2|，则点P的坐标为　　　　　　.
(2，±)
由题意得a＝b＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，则|PF1|＝|x0＋|，
|PF2|＝|x0－|，
因为|PF1|＝3|PF2|，
所以|x0＋|＝3|x0－|，
解得x0＝2或x0＝，
又|x0|≥，所以x0＝2，
代入双曲线方程可求得y0＝±，即P(2，±).
(2)椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，则|PF1|·|PF2|
的取值范围为　　　　.
[2，6]
由题意得a＝，c＝2，e＝，
设P(x0，y0)，其中－≤x0≤，
则|PF1|＝x0，|PF2|＝x0，
所以|PF1|·|PF2|＝6－，取值范围为[2，6].
例2　已知椭圆＝1(a>b>0)，不垂直于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，M为线段AB的中点，直线AB和OM(O是坐标原点)的斜率分别为kAB，kOM，求证：kAB·kOM＝－.
垂径定理(第三定义)
题型二
方法一　如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
则kAB＝，kOM＝，
x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，
因为
两式作差得＝0，即·＝－，
于是·＝－，所以kAB·kOM＝－.
方法二　设直线AB的方程为y＝kx＋m，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，
由消去y得
(b2＋a2k2)x2＋2kma2x＋a2m2－a2b2＝0，
所以x1＋x2＝－，
于是y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
所以M，
于是kOM＝＝－.
因此kAB·kOM＝k·＝－.
方法三　令＝x'，＝y'，则x'2＋y'2＝1.
原题设中的点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)分别对应单位圆中的点A'(x'1，y'1)，B'(x'2，y'2)，M'(x'0，y'0)，且M'是线段A'B'的中点，
由圆的垂径定理得kA'B'·kOM'＝－1，
又因为kAB＝·kA'B'，kOM＝·kOM'，
所以kAB·kOM＝·kA'B'··kOM'＝·kA'B'·kOM'＝－.
(1)椭圆中的垂径定理
思维升华
(2)双曲线中的垂径定理
思维升华
(3)垂径定理也可以描述为：设点M是有心圆锥曲线＝1(m>0，
n>0，或mn<0)中与坐标轴不垂直且不过中心O的弦AB的中点，则
kAB·kOM＝－.
(4)若点M是有心圆锥曲线的弦AB的中点，其中AB与坐标轴不垂直且不过中心O，且将圆看作是离心率e＝0的特殊的椭圆，则有kAB·kOM＝e2－1.
思维升华
跟踪训练2　(1)已知双曲线C：x2－y2＝2 025的左、右顶点分别为A，B，
P为双曲线右支上一点，且∠APB＝4∠PAB，则∠PAB＝　　　.
令∠PAB＝α，则α∈，
∠PBx＝β，则β∈，
则β＝5α，所以α∈，
由双曲线的垂径定理可知
tan α·tan β＝tan α·tan 5α＝e2－1＝1，
则tan α＝＝tan，－5α∈，
则α＝－5α，故α＝.
(2)已知A，B是椭圆＝1(a>b>0)长轴的两个端点，M，N是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，且k1k2≠0.若|k1|＋
|k2|的最小值为1，则椭圆的离心率为　　.
如图所示，连接MB，由椭圆的第三定义可知
kAM·kBM＝e2－1＝－，
而kBM＝－kBN k1k2＝，
则|k1|＋|k2|≥2＝1 e＝.
例3　(多选)如图，F1，F2是圆锥曲线的焦点，A，B为椭圆中过点F2的弦的两个端点，P为双曲线上任意一点，下列说法正确的是
A.椭圆中△ABF1的周长为4a
B.椭圆中当A为短轴的端点时，∠F1AF2最大
C.椭圆中
D.双曲线中
√
焦点三角形
题型三
√
√
对于A，由椭圆的定义可知△ABF1的周长为4a显然成立，A正确；
对于B，cos∠F1AF2＝
＝
＝
＝－1，
∵|AF1||AF2|≤＝a2，
当且仅当|AF1|＝|AF2|，即点A是短轴端点时取等号，
∴cos∠F1AF2＝－1≥－1，
又∵y＝cos θ在(0，π)上单调递减，
∴当A为短轴端点时，∠F1AF2最大，B正确；
对于C，由选项B的推导过程得cos∠F1AF2＝－1，
∴|AF1||AF2|＝，
∴|AF1||AF2|sin∠F1AF2
＝··sin∠F1AF2
＝b2·
＝b2tan ，C错误；
对于D，证明方法同椭圆，，D正确.
对于与焦点三角形有关的结论，在处理椭圆与直线的交点问题时尤为重要，因为它提供了一个固定的几何量，帮助我们验证和推导其他几何性质.
思维升华
跟踪训练3　已知椭圆C：＝1(a>b>0)，其左、右焦点分别为F1，F2，离心率e＝，点P为该椭圆上一点，且满足∠F1PF2＝，已知△F1PF2的内切圆的面积为3π，则该椭圆的长轴长为
A.2 B.4 C.6 D.12
√
由e＝，得，即a＝2c. ①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，所以πr2＝3π，解得r＝(舍负).
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，知
＝b2tanr(2a＋2c)，
即b2＝(a＋c)， ②
又a2＝b2＋c2， ③
联立①②③得c＝3，a＝6，b＝3，
所以该椭圆的长轴长为2a＝2×6＝12.
课时精练
对一对
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B B C D D B ABC AD
题号 9 　 10 答案 一、单项选择题
1.已知F1，F2分别是椭圆C：＝1的左、右焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为
A.25 B.16 C.9 D.7
√
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10
答案
1
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3
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8
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答案
由题意，a＝4，b＝3，c＝，离心率e＝，
设M(x0，y0)，－4≤x0≤4，
则|MF1|＝4＋x0，|MF2|＝4－x0，所以|MF1|·|MF2|＝16－，
故当x0＝0时，|MF1|·|MF2|取得最大值16.
1
2
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5
6
7
8
9
10
答案
2.椭圆C：＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在椭圆C上，直线
PA2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA1的斜率的取值范围是
A. B.
C. D.
√
由垂径定理得·＝－＝－，
又∈[－2，－1]，所以∈.
3.(2024·成都模拟)如图，A，B分别是椭圆C：＝1的左、右顶点，点P在以AB为直径的圆O上(点P异于A，B两点)，线段AP与椭圆C交于另一点Q，若直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为
A. B.
C. D.
√
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答案
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10
答案
根据椭圆的第三定义可知kAQ·kBQ＝e2－1，
又
所以kAP·kBP＝4kAP·kBQ＝4＝－1，
则e＝.
4.已知双曲线的中心为原点O，且一个焦点为F(，0)，直线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线方程为
A.＝1 B.＝1
C.＝1 D.＝1
√
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答案
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6
7
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10
由条件知，线段MN的中点P在直线y＝x－1上，所以P，
由垂径定理有kMN·kOP＝＝e2－1，
即1×＝e2－1，解得e＝，
又c＝，所以a＝，b＝，
故所求双曲线方程为＝1.
答案
5.如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别
是C1，C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是
A. B.
C. D.
√
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答案
1
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答案
设双曲线C2的方程为＝1(a2>0，b2>0)，
则有＝4－1＝3.
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1，
又四边形AF1BF2为矩形，
所以△AF1F2的面积为tan 45°＝，
即＝1，所以＝3－1＝2，
故双曲线C2的离心率e＝.
6.已知双曲线C：＝1(a>0)的右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|(F1，F2分别是双曲线的左、右焦点)，则(c为双曲线C的半焦距)的取值范围是
A.[4，＋∞) B.
C. D.[2，4]
√
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答案
1
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9
10
由双曲线的第二定义可知|PF1|＝ex0＋a，|PF2|＝ex0－a，
∵右支上的点P(x0，y0)满足|PF1|＝3|PF2|，
∴ex0＋a＝3(ex0－a) ex0＝2a，
由e＝，解得x0＝，
∵P在右支上，可得x0＝≥a，
又c>a，可得1<≤2，即1则＋4e2＋－4，
答案
1
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7
8
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10
令e2＝t，1而f(t)＝在(1，4]上单调递减，
∴∈，∴2≤<.
答案
二、多项选择题
7.(2024·泸州模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别
是F1，F2，其中|F1F2|＝2c，过右焦点F2的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则下列说法中正确的是
A.弦AB的长度的最小值为
B.若|AB|＝m，则△F1AB的周长为2m＋4a
C.若AB的中点为M，坐标原点为O，且直线AB的斜率为k，则kOM·k＝
D.若直线AB的斜率为，则双曲线的离心率e∈[2，＋∞)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
√
答案
√
√
弦AB的长度的最小值为通径，故A正确；
由双曲线的定义得|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，
所以|AF1|＝|AF2|＋2a，|BF1|＝|BF2|＋2a，
|AF1|＋|BF1|＝|AF2|＋2a＋|BF2|＋2a＝|AB|＋4a，
则△F1AB的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝2|AB|＋4a＝2m＋4a，故B正确；
根据双曲线中的垂径定理可得kAB·kOM＝kOM·k＝，故C正确；
若直线AB的斜率为，所以<，
所以b2<3a2，所以c2<4a2，所以e＝∈(1，2)，故D错误.
1
2
3
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6
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10
答案
8.已知椭圆＋y2＝1，A，B分别为长轴左、右端点，F1，F2分别为左、
右焦点，点P为椭圆上除去A，B之外的任意一点，则
A.△PAB面积的最大值为2
B.|PF1|2＋|PF2|2的最大值为8
C.kPA·kPB＝
D.若∠F1PF2＝60°，则
√
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答案
√
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2
3
4
5
6
7
8
9
10
依题意知，a＝2，b＝1，c＝，
当P为短轴端点时，(S△PAB)max＝×2a×b＝2，A正确；
∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，
由基本不等式≤
知，≥2，即|PF1|2＋|PF2|2≥8，故B错误；
由垂径定理得，kPA·kPB＝－＝－，C错误；
＝b2tan＝1×tan 30°＝，D正确.
答案
三、填空题
9.(2024·南京模拟)已知双曲线＝1上一点M与两焦点F1，F2所成的
角∠F1MF2＝120°，则△F1MF2的面积为　　　.
1
2
3
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5
6
7
8
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10
答案
根据双曲线焦点三角形的面积公式的二级结论得
.
10.双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的一点P满足
∠F1PF2为钝角，则点P的横坐标的取值范围为　　　　　　 .
1
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答案
∪
1
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4
5
6
7
8
9
10
答案
∠F1PF2为钝角 cos∠F1PF2<0，
而cos∠F1PF2＝，
所以<0，
由题意得a＝1，b＝，c＝2，|F1F2|＝4，
设P点的横坐标为x0，由焦半径公式得|PF1|＝|2x0＋1|，|PF2|＝|2x0－1|，
所以－16<0，解得－又x0≤－1或x0≥1，且当x0＝±1时，∠F1PF2＝180°，
所以x0∈∪.

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