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进阶2　与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
分值：34分
1.(17分)已知双曲线C：x2-=1(b>0)的离心率为.
(1)求此双曲线的渐近线方程；(7分)
(2)若经过点P(0，-1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，求线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围.(10分)
2.(17分)如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(-1，0)，F2(1，0)，P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E的标准方程；(7分)
(2)过F2作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F1MN面积取最大值时直线l的方程.(10分)
答案精析
1.解　(1)双曲线C：x2-=1(b>0)的离心率为
a=1，可得c=所以b=1，
可得双曲线C：x2-y2=1，
所以双曲线的渐近线方程为y=±x.
(2)设经过点P的直线方程为y=kx-1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
消去y得(1-k2)x2+2kx-2=0，
所以
解得1所以线段MN的垂直平分线方程为
y+=-
令x=0得截距t=>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，+∞).
2.解　(1)由题意知椭圆E的左焦点F1(-1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
图1
设椭圆E的标准方程为+=1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|+|QF2|+|PQ|=2a-|PF1|+2a-|QF1|+|PQ|
=4a-(|PF1|+|QF1|-|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a=8，得a=2，
易知c=1，所以b==
所以椭圆E的标准方程为+=1.
(2)如图2，可设直线l：x=my+1，M(x1，y1)，
图2
N(x2，y2)，
由
得(3m2+4)y2+6my-9=0，
Δ=144(m2+1)>0，
y1+y2=y1y2=
=|F1F2||y1-y2|
==
令t=(t≥1)，
则==
由y=3t+在[1，+∞)上单调递增，
得=≤3，所以的最大值为3，此时m=0，直线l的方程为x=1.进阶2　与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
题型一　与弦长、周长有关的范围(最值)问题
例1　(2024·衢州模拟)已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
思维升华　利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1+x2，x1x2(或y1+y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
跟踪训练1　(2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2=4y，过点D(0，2)的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2=-2；
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
题型二　与距离、面积有关的范围(最值)问题
例2　已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
(2)设直线l：y=kx+1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围.
思维升华　强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、距离、三角形的面积等问题.
跟踪训练2　双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程；
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2=-2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
答案精析
例1　解　(1)当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(-x0，-y0)，
T(x0，-y0)，
且x0=2y0，AT⊥BT，
则S△ABT=|AT|·|BT|=·2y0·2x0=
即2=∴=则=
则有+=1，由离心率为
即=
则a2=2c2=b2+c2，∴a2=2b2，
即有+=1，解得b2=1，
∴a2=2，
即椭圆C的方程为+x2=1.
(2)设直线l的方程为x=2y+t(t≠0)，令x=0，有y=-
即yP=-
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则T(x1，-y1)，
联立直线l与椭圆方程
消去x得9y2+8ty+2t2-2=0，
有y1+y2=-y1y2=
Δ=64t2-36(2t2-2)>0，
得-3直线BT的方程为
y=(x-x2)+y2，
令y=0，xQ=+x2
=
由x=2y+t，
得=
=+t=+t=即xQ=
则C△OPQ=|yP|+|xQ|+
=++
≥2+
=+1，
当且仅当t=±时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为+1.
跟踪训练1　(1)证明　由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y=kx+2，
由得x2-4kx-8=0，
Δ=16k2+32>0，
x1+x2=4k，x1x2=-8，
由y=x2，
得切点AB
y'=x，所以切线l1的斜率k1=x1，
切线l2的斜率k2=x2，所以k1k2=x1x2=×(-8)=-2.
(2)解　由(1)可得y1+y2=k(x1+x2)+4=4(k2+1)，
故=2(k2+1)，N(2k，2(k2+1)).
由(1)得l1：y-=(x-x1)，
可化为y=x1x- ①
同理得l2：y=x2x- ②
由①②，得x==2k，
y==-2，
即M(2k，-2)，
则|MN|=2(k2+1)+2=2(k2+2)，
|AB|=·|x1-x2|
=·
=·
=4
所以=
=.
由k2≥0，k2+1≥1，得0<≤1，
故∈
即的取值范围为.
例2　解　(1)因为P(0)和Q(1)为椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点，
所以解得
又因为a2=b2+c2，所以c2=2.
所以椭圆C的方程为+=1，
离心率e==.
(2)联立方程
消去y得(1+2k2)x2+4kx-2=0，
因为Δ=(4k)2-4×(1+2k2)×(-2)=32k2+8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=-x1x2=-
所以|AB|
=
=.
又因为点O到直线l：y=kx+1的距离为d=
所以△AOB的面积S=×d×|AB|
=
==
=
令t=4k2+1(t≥1)，
则S=
=
≤=
也就是当k=0时，△AOB的面积取最大值
又因为当|k|→+∞时，S→0，
所以△AOB面积的取值范围是(0].
跟踪训练2　解　(1)依题意，∠BAD=90°，半焦距c=2，
由|AF|=|BF|，得a+c=
得a2+2a=22-a2，
解得a=1(其中a=-2<0舍去)，
所以b2=c2-a2=4-1=3，
故双曲线C的方程为x2-=1.
(2)由(1)知A(-1，0)，显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x=my+n，
联立
消去x整理得(3m2-1)y2+6mny+3(n2-1)=0，
在条件下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=-y1y2=
由k1k2=-2，得·=-2，
即y1y2+2(x1+1)(x2+1)=0，
即y1y2+2(my1+n+1)(my2+n+1)=0，
整理得(2m2+1)y1y2+2m(n+1)(y1+y2)+2(n+1)2=0，
所以3(n2-1)(2m2+1)-12m2n(n+1)+2(n+1)2(3m2-1)=0，
化简得n2-4n-5=0，解得n=5或n=-1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN的方程为x-my-5=0，
得d=
又M，N都在双曲线的右支上，
故有y1y2==<0，
解得0≤m2<
此时1≤所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(36].(共42张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题
进阶2
解决圆锥曲线中的最值与范围问题，一般有两种方法：
(1)几何法，若题目的条件和结论有明显的几何特征，可考虑利用圆锥曲线的定义和图象的有关性质来求解；
(2)代数法，先根据条件列出目标函数，然后根据函数表达式的特征选用适当的方法求出最值或范围.
常见的方法：①基本不等式法；②利用函数单调性；③配方法；④换元法；⑤判别式法；⑥导数法；⑦利用三角函数有界性.
例1　(2024·衢州模拟)已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，斜率为的直线l与y轴交于点P，l与C交于A，B两点，T是A关于x轴的对称点.当P与坐标原点O重合时，△ABT的面积为.
(1)求椭圆C的方程；
与弦长、周长有关的范围(最值)问题
题型一
当P与坐标原点O重合时，可设A(x0，y0)(x0>0)，
则有B(－x0，－y0)，T(x0，－y0)，
且x0＝2y0，AT⊥BT，
则S△ABT＝|AT|·|BT|＝·2y0·2x0＝，
即2，∴，则，
则有＝1，由离心率为，即，
则a2＝2c2＝b2＋c2，∴a2＝2b2，
即有＝1，解得b2＝1，∴a2＝2，
即椭圆C的方程为＋x2＝1.
(2)当P异于O点时，记直线BT与x轴交于点Q，求△OPQ周长的最小值.
设直线l的方程为x＝2y＋t(t≠0)，令x＝0，有y＝－，即yP＝－，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则T(x1，－y1)，
联立直线l与椭圆方程
消去x得9y2＋8ty＋2t2－2＝0，
有y1＋y2＝－，y1y2＝，
Δ＝64t2－36(2t2－2)>0，得－3直线BT的方程为y＝(x－x2)＋y2，
令y＝0，xQ＝＋x2＝，
由x＝2y＋t，得
＝＋t＝＋t＝，即xQ＝，
则C△OPQ＝|yP|＋|xQ|＋
＝≥2＋1，
当且仅当t＝±时等号成立，
故△OPQ周长的最小值为＋1.
利用根与系数的关系解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤：
(1)设直线方程，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)；
(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或y)的一元二次方程，注意Δ的判断；
(3)列出根与系数的关系；
(4)将所求问题或题中的关系转化为x1＋x2，x1x2(或y1＋y2，y1y2)的形式；
(5)代入根与系数的关系求解.
思维升华
跟踪训练1　(2025·衡阳模拟)已知抛物线C：x2＝4y，过点D(0，2)的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为l1，在点B处的切线为l2，直线l1与l2交于点M.
(1)设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，证明：k1k2＝－2；
由题意知，直线l的斜率存在，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx＋2，
由得x2－4kx－8＝0，
Δ＝16k2＋32>0，x1＋x2＝4k，x1x2＝－8，
由y＝x2，得切点A，B，
y'＝x，所以切线l1的斜率k1＝x1，
切线l2的斜率k2＝x2，
所以k1k2＝x1x2＝×(－8)＝－2.
(2)设线段AB的中点为N，求的取值范围.
由(1)可得y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4＝4(k2＋1)，
故＝2(k2＋1)，N(2k，2(k2＋1)).
由(1)得l1：y－(x－x1)，
可化为y＝x1x－， ①
同理得l2：y＝x2x－， ②
由①②，得x＝＝2k，y＝＝－2，即M(2k，－2)，
则|MN|＝2(k2＋1)＋2＝2(k2＋2)，
|AB|＝·|x1－x2|＝·
＝·＝4，
所以.
由k2≥0，k2＋1≥1，得0<≤1，
故∈，即的取值范围为.
例2　已知P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点.
(1)求椭圆C的方程和离心率；
与距离、面积有关的范围(最值)问题
题型二
因为P(0，)和Q(，1)为椭圆C：＝1(a>b>0)上的两点，
所以解得
又因为a2＝b2＋c2，所以c2＝2.
所以椭圆C的方程为＝1，离心率e＝.
(2)设直线l：y＝kx＋1与椭圆C交于A，B两点，求△AOB面积的取值范围.
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2＋4kx－2＝0，
因为Δ＝(4k)2－4×(1＋2k2)×(－2)＝32k2＋8>0，
所以设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝－，
所以|AB|＝＝×.
又因为点O到直线l：y＝kx＋1的距离为d＝，
所以△AOB的面积S＝×d×|AB|
＝×××
＝，
令t＝4k2＋1(t≥1)，
则S＝≤
，
也就是当k＝0时，△AOB的面积取最大值，
又因为当|k|→＋∞时，S→0，
所以△AOB面积的取值范围是(0，].
强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、距离、三角形的面积等问题.
思维升华
跟踪训练2　双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B，D两点，且△ABD是直角三角形.
(1)求双曲线C的方程；
依题意，∠BAD＝90°，半焦距c＝2，
由|AF|＝|BF|，得a＋c＝，得a2＋2a＝22－a2，
解得a＝1(其中a＝－2<0舍去)，
所以b2＝c2－a2＝4－1＝3，
故双曲线C的方程为x2－＝1.
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
由(1)知A(－1，0)，显然直线MN不可能与x轴平行，故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
联立
消去x整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0，
在条件下，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
由k1k2＝－2，得·＝－2，
即y1y2＋2(x1＋1)(x2＋1)＝0，
即y1y2＋2(my1＋n＋1)(my2＋n＋1)＝0，
整理得(2m2＋1)y1y2＋2m(n＋1)(y1＋y2)＋2(n＋1)2＝0，
所以3(n2－1)(2m2＋1)－12m2n(n＋1)＋2(n＋1)2(3m2－1)＝0，
化简得n2－4n－5＝0，解得n＝5或n＝－1(舍去)，此时Δ>0，
则直线MN的方程为x－my－5＝0，得d＝，
又M，N都在双曲线的右支上，
故有y1y2＝<0，
解得0≤m2<，
此时1≤<，d＝∈(3，6]，
所以点A到直线MN的距离d的取值范围为(3，6].
课时精练
答案
1
2
(1)双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
1.
答案
1
2
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得1所以线段MN的中点坐标为，
1.
答案
1
2
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1.
答案
1
2
(1)由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
2.
图2
答案
1
2
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
2.
图2
1.已知双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为.
(1)求此双曲线的渐近线方程；
1
2
答案
双曲线C：x2－＝1(b>0)的离心率为，
a＝1，可得c＝，所以b＝1，
可得双曲线C：x2－y2＝1，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.
(2)若经过点P(0，－1)的直线与双曲线C的右支交于不同的两点M，N，求线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
设经过点P的直线方程为y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，x1>0，x2>0，
联立方程组
消去y得(1－k2)x2＋2kx－2＝0，
所以
解得11
2
答案
所以线段MN的中点坐标为，
所以线段MN的垂直平分线方程为y＋＝－，
令x＝0得截距t＝>2，
即线段MN的垂直平分线l在y轴上的截距t的取值范围是(2，＋∞).
1
2
答案
2.如图，已知椭圆E的左、右焦点分别为F1(－1，0)，F2(1，0)，P，Q为椭圆上的两个动点，△PQF2周长的最大值为8.
(1)求椭圆E的标准方程；
1
2
答案
由题意知椭圆E的左焦点F1(－1，0)，连接PF1，QF1，如图1，
设椭圆E的标准方程为＝1(a>0，b>0)，
则△PQF2的周长为|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝2a－|PF1|＋2a－|QF1|＋|PQ|
＝4a－(|PF1|＋|QF1|－|PQ|)≤4a(当P，Q，F1三点共线时取等号)，
由4a＝8，得a＝2，
易知c＝1，所以b＝，
所以椭圆E的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)过F2作直线l与椭圆E交于不同的两点M，N，求△F1MN面积取最大值时直线l的方程.
1
2
答案
如图2，可设直线l：x＝my＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，Δ＝144(m2＋1)>0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
|F1F2||y1－y2|
＝，
图2
1
2
答案
令t＝(t≥1)，则，
由y＝3t＋在[1，＋∞)上单调递增，
得≤3，所以的最大值为3，
此时m＝0，直线l的方程为x＝1.
图2

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