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进阶3　与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
分值：34分
1.(17分)已知椭圆C：+y2=1.
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长；(6分)
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.(11分)
2.(17分)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，|m-n|=4.
(1)若C的一条渐近线方程为y=x，求C的标准方程；(6分)
(2)已知动直线l'与C相切于点T，过点T且与l'垂直的直线分别交x轴、y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，=λ，λ∈(0，1).若||QF2|-|QF1||为定值，求λb的最大值.(11分)
答案精析
1.解　(1)由题意得a2=4，b2=1，
所以a=2，b=1，c==
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=2a+2c=4+2.
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x=0不满足题意，设直线l的方程为y=kx+2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由
得(1+4k2)x2+16kx+12=0，
由Δ=(16k)2-4×12(1+4k2)>0，得k2>
则x1+x2=-x1x2=
y1y2==k2x1x2+2k+4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，
所以x1x2+y1y2>0，
所以x1x2+y1y2=x1x2+2k+4
=-+4
=>0，
解得0
解得-2所以实数k的取值范围为∪.
2.解　(1)如图1，依题意，|m-n|=||AB|+|BF2|+|AF2|-(|BP|+|PF1|+|BF1|)|
图1
=||AB|+(|BP|+|PF2|)+|AF1|-(|BP|+|PF1|+|AB|+|AF1|)|
=||PF2|-|PF1||=2a=4，
解得a=2，又双曲线的一条渐近线方程为y=x，
则=即b=
所以双曲线C的标准方程为-=1.
(2)由(1)知a=2，则双曲线C的方程为-=1，如图2，
图2
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y-y0=k(x-x0)，
即y=kx+y0-kx0，令m=y0-kx0，显然k≠0，
由消去y得(b2k2-4)x2+2b2mkx+b2m2-4b2=0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ=(2b2mk)2-4(b2k2-4)(b2m2-4b2)=0，
化简得b2k2+m2-4=0，
代入m=y0-kx0得(b2+)k2-2x0y0k+-4=0，
由直线l'与双曲线相切，
得k=
而-=1，于是k=过点T且与l'垂直的直线的斜率为-
方程为y-y0=-(x-x0)，
令y=0，得x=
即M
令x=0，得y=
即N
设Q(x，y)，由=λλ∈(0，1)，
得
即
代入-=1，
得-=1，
依题意，该双曲线与双曲线-=1共焦点，
则+=b2+4，
化简得[(b2+4)λ-4]2=0，
于是λ=∈(0，1)，
λb==1，
当且仅当b=2，λ=时取等号，所以λb的最大值为1.进阶3　与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
题型一　与角度、斜率有关的范围(最值)问题
例1　已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足=9，求直线OQ斜率的最大值.
思维升华　求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
跟踪训练1 (2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：-=1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求+kBN的最小值.
题型二　与参数、向量有关的范围(最值)问题
例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足+=t(t∈R)，当|-|<时，求实数t的取值范围.
思维升华　含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关量的范围(最值).
跟踪训练2　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且与双曲线-y2=1共顶点.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若=λ，且λ∈，求·的最大值.
答案精析
例1　解　(1)抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点F准线方程为x=-
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为-=p=2，
∴抛物线C的方程为y2=4x.
(2)方法一　设Q(x0，y0)，
则=9=(9-9x0，-9y0)，
∴P(10x0-9，10y0)，
由P在抛物线上可得
(10y0)2=4(10x0-9)，
即x0=>0，
∴直线OQ的斜率
kOQ===
当y0=0时，kOQ=0；
当y0≠0时，kOQ=
当y0>0时，
∵25y0+≥2=30，
此时0当y0<0时，kOQ<0，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
方法二　同方法一得到点Q的轨迹方程为y2=x-.
设直线OQ的方程为y=kx，则当直线OQ与抛物线y2=x-相切时，其斜率k取到最值，
联立
得k2x2-x+=0，
则Δ=-4k2×=0，
解得k=±
∴直线OQ斜率的最大值为.
方法三　(轨迹方程+换元求最值法)
同方法一得点Q的轨迹方程为y2=x-.
设直线OQ的斜率为k，Q(x，y)，
则k2==-.
令=t
则k2=-t2+t的对称轴为t=
∴0≤k2≤-≤k≤.
故直线OQ斜率的最大值为.
方法四　由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)=9
∴(x-4t2，y-4t)=9(1-x，-y)，
于是
∴
则直线OQ的斜率为k==
当t=0时，k=0；
当t>0时，
k==
当且仅当4t=
即t=时等号成立，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
跟踪训练1　解　(1)设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵=|PF1||PF2|=3，
∴|PF1||PF2|=6.
由题可知|PF1|-|PF2|=2a，
|PF1|2+|PF2|2=4c2，
∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2，
即4c2-12=4a2，∴b2=3.
又=2，∴a2=1.
故E的方程为x2-=1.
(2)如图，由题可知F2(2，0)，
A(-1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为
x=ty+2
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(3t2-1)y2+12ty+9=0，
∴y1+y2=-y1y2=.
∵kAM=kBN=
∴==
===-
∴kBN=-3kAM，
∴+kBN=(kAM-1)2-1，
∵直线AM与E的右支有交点，
∴-∴当kAM=1，kBN=-3时，
+kBN取得最小值，且最小值为-1.
例2　解　(1)由题意可知，短半轴长b==1，
因为e==
则e2===
即a2=2b2=2，
所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)由题意可知，直线AB的斜率存在，
设直线AB为y=k(x-2)，
联立方程
消去y得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0，
由Δ=64k4-4(1+2k2)(8k2-2)>0，
解得k2<
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1+x2=x1x2=
因为+=t
则(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
易知t≠0，
可得x==
y==[k(x1+x2)-4k]
=
且点P在椭圆上，
则+=2，
整理得16k2=t2(1+2k2)，
又因为|-|=||<
则|x1-x2|<
可得(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]<
即(1+k2)<
整理得(4k2-1)(14k2+13)>0，
解得k2>
所以且16k2=t2(1+2k2)，
可得t2==8-∈
解得-2所以实数t的取值范围为∪.
跟踪训练2　解　(1)双曲线-y2=1的顶点坐标为(±0)，故a2=2，
由题意得c=1，
故b2=a2-c2=2-1=1，
故椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则=(x1+1，y1)，
=(-1-x2，-y2)，
因为=λλ∈
所以
即
所以
解得x2=
所以·=x1x2+y1y2
=(-λx2-λ-1)x2-λ
=--(1+λ)x2-λ
=--(1+λ)·-λ
=-
因为λ∈
所以λ+≥2，当且仅当λ=
即λ=1时，取等号，
故·的最大值为.(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
与角度、斜率、参数、向量有关的范围(最值)问题
进阶3
例1　已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2.
(1)求C的方程；
与角度、斜率有关的范围(最值)问题
题型一
抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F，准线方程为x＝－，
由题意，该抛物线焦点到准线的距离为＝p＝2，
∴抛物线C的方程为y2＝4x.
(2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足＝9，求直线OQ斜率的最大值.
方法一　设Q(x0，y0)，
则＝9＝(9－9x0，－9y0)，
∴P(10x0－9，10y0)，
由P在抛物线上可得(10y0)2＝4(10x0－9)，即x0＝>0，
∴直线OQ的斜率kOQ＝，
当y0＝0时，kOQ＝0；
当y0≠0时，kOQ＝，
当y0>0时，∵25y0＋≥2＝30，
此时0当y0<0时，kOQ<0，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
方法二　同方法一得到点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的方程为y＝kx，
则当直线OQ与抛物线y2＝x－相切时，其斜率k取到最值，
联立得k2x2－x＋＝0，
则Δ＝－4k2×＝0，
解得k＝±，
∴直线OQ斜率的最大值为.
方法三　(轨迹方程＋换元求最值法)
同方法一得点Q的轨迹方程为y2＝x－.
设直线OQ的斜率为k，Q(x，y)，
则k2＝.
令＝t，
则k2＝－t2＋t的对称轴为t＝，
∴0≤k2≤，－≤k≤.
故直线OQ斜率的最大值为.
方法四　由题可设P(4t2，4t)(t≥0)，Q(x，y)，
∵F(1，0)，＝9，
∴(x－4t2，y－4t)＝9(1－x，－y)，
于是∴
则直线OQ的斜率为k＝，
当t＝0时，k＝0；
当t>0时，k＝≤，
当且仅当4t＝，即t＝时等号成立，
综上，直线OQ斜率的最大值为.
求解与斜率、角度有关的最值问题的关键是建立关于斜率的目标函数，然后运用基本不等式或者函数求解有关的问题.
思维升华
跟踪训练1　(2024·皖北协作区联考)已知双曲线E：＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P是E的右支上一点，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为3.
(1)求E的方程；
设双曲线的半焦距为c(c>0)，
∵|PF1||PF2|＝3，
∴|PF1||PF2|＝6.
由题可知|PF1|－|PF2|＝2a，|PF1|2＋|PF2|2＝4c2，
∴|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4a2，
即4c2－12＝4a2，∴b2＝3.
又＝2，∴a2＝1.
故E的方程为x2－＝1.
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点F2的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别为kAM和kBN，求kBN的最小值.
如图，由题可知F2(2，0)，
A(－1，0)，B(1，0)，且直线MN的斜率不为0，
设直线MN的方程为x＝ty＋2，
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝.
∵kAM＝，kBN＝，
∴
＝＝－，
∴kBN＝－3kAM，
∴kBN＝(kAM－1)2－1，
∵直线AM与E的右支有交点，
∴－∴当kAM＝1，kBN＝－3时，kBN取得最小值，且最小值为－1.
例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的离心率为，以坐标原点O为圆心，
椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切.
(1)求椭圆C的方程；
与参数、向量有关的范围(最值)问题
题型二
由题意可知，短半轴长b＝＝1，
因为e＝，则e2＝，
即a2＝2b2＝2，
所以椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若过点M(2，0)的直线与椭圆C相交于A，B两点，设P为椭圆上一点，且满足＝t(t∈R)，当||<时，求实数t的取值范围.
由题意可知，直线AB的斜率存在，
设直线AB为y＝k(x－2)，
联立方程
消去y得(1＋2k2)x2－8k2x＋8k2－2＝0，
由Δ＝64k4－4(1＋2k2)(8k2－2)>0，解得k2<，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
因为＝t，
则(x1＋x2，y1＋y2)＝t(x，y)，易知t≠0，
可得x＝，
y＝[k(x1＋x2)－4k]＝，
且点P在椭圆上，
则＝2，
整理得16k2＝t2(1＋2k2)，
又因为||＝||<，
则|x1－x2|<，
可得(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]<，
即(1＋k2)<，
整理得(4k2－1)(14k2＋13)>0，解得k2>，
所以且16k2＝t2(1＋2k2)，
可得t2＝＝8－∈，
解得－2所以实数t的取值范围为∪.
含参数、向量的范围(最值)问题，通常利用向量的运算转化为目标函数，然后利用基本不等式、函数单调性或求导等方法来求最值，也可以利用几何图形的有界性、判别式得到不等关系，从而求出相关量的范围(最值).
思维升华
跟踪训练2　在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，且与双曲线－y2＝1共顶点.P为
椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
(1)求椭圆C的方程；
双曲线－y2＝1的顶点坐标为(±，0)，故a2＝2，
由题意得c＝1，故b2＝a2－c2＝2－1＝1，
故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)若＝λ，且λ∈，求·的最大值.
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＝(x1＋1，y1)，＝(－1－x2，－y2)，
因为＝λ，λ∈，
所以
即
所以
解得x2＝，
所以·＝x1x2＋y1y2
＝(－λx2－λ－1)x2－λ＝－－(1＋λ)x2－λ
＝－－(1＋λ)·－λ
＝，
因为λ∈，
所以λ＋≥2，当且仅当λ＝，即λ＝1时，取等号，
故·的最大值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
1.
答案
1
2
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
1.
答案
1
2
＝＋4
＝>0，
解得0，
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1.
答案
1
2
(1)如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
2.
图1
答案
1
2
(2)由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
2.
图2
答案
1
2
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
2.
图2
答案
1
2
令y＝0，得x＝，即M，
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
2.
图2
答案
1
2
即
代入＝1，
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
2.
图2
答案
1
2
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
2.
图2
1.已知椭圆C：＋y2＝1.
(1)若椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，P为C的上顶点，求△PF1F2的周长；
1
2
答案
由题意得a2＝4，b2＝1，
所以a＝2，b＝1，c＝，
所以△PF1F2的周长为|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝4＋2.
(2)设过定点M(0，2)的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为坐标原点)，求直线l的斜率k的取值范围.
1
2
答案
1
2
答案
显然当直线l的斜率k不存在时，直线x＝0不满足题意，
设直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，
由Δ＝(16k)2－4×12(1＋4k2)>0，得k2>，
则x1＋x2＝－，x1x2＝，
1
2
答案
y1y2＝＝k2x1x2＋2k＋4，
因为∠AOB为锐角，A，O，B不共线，
所以cos∠AOB>0，
所以·>0，所以x1x2＋y1y2>0，
所以x1x2＋y1y2＝x1x2＋2k＋4
＝＋4＝>0，
解得0，
1
2
答案
解得－2所以实数k的取值范围为∪.
1
2
答案
2.双曲线C：＝1(a>0，b>0)的焦点为F1，F2(F1在F2下方)，虚轴的右端点为A，过点F2且垂直于y轴的直线l交双曲线于点P(P在第一象限)，与直线AF1交于点B，记△ABF2的周长为m，△BPF1的周长为n，|m－n|＝4.
(1)若C的一条渐近线方程为y＝x，求C的标准方程；
1
2
答案
如图1，依题意，|m－n|＝||AB|＋|BF2|＋|AF2|－(|BP|＋|PF1|＋|BF1|)|
＝||AB|＋(|BP|＋|PF2|)＋|AF1|－(|BP|＋|PF1|＋|AB|＋|AF1|)|
＝||PF2|－|PF1||＝2a＝4，
解得a＝2，又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
则，即b＝，
所以双曲线C的标准方程为＝1.
图1
1
2
答案
(2)已知动直线l'与C相切于点T，过点T且与l'垂直的直线分别交x轴、y轴于M，N两点，Q为线段MN上一点，＝λ，λ∈(0，1).若||QF2|－|QF1||为定值，求λb的最大值.
1
2
答案
由(1)知a＝2，则双曲线C的方程为＝1，如图2，
设T(x0，y0)，过T的直线l'的方程为y－y0＝k(x－x0)，
即y＝kx＋y0－kx0，令m＝y0－kx0，显然k≠0，
由
消去y得(b2k2－4)x2＋2b2mkx＋b2m2－4b2＝0，
由直线l'与双曲线只有一个公共点，
得Δ＝(2b2mk)2－4(b2k2－4)(b2m2－4b2)＝0，
图2
1
2
答案
化简得b2k2＋m2－4＝0，
代入m＝y0－kx0得(b2＋)k2－2x0y0k＋－4＝0，
由直线l'与双曲线相切，得k＝，
而＝1，于是k＝，
过点T且与l'垂直的直线的斜率为－，
方程为y－y0＝－(x－x0)，
令y＝0，得x＝，即M，
图2
1
2
答案
令x＝0，得y＝，即N，
设Q(x，y)，由＝λ，λ∈(0，1)，
得
即
代入＝1，
图2
1
2
答案
得＝1，
依题意，该双曲线与双曲线＝1共焦点，
则＝b2＋4，
化简得[(b2＋4)λ－4]2＝0，于是λ＝∈(0，1)，
λb＝≤＝1，
当且仅当b＝2，λ＝时取等号，所以λb的最大值为1.
图2

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