资源简介

进阶4　解析几何中的定点问题
分值：34分
1.(17分)已知抛物线C：x2=-2py(p>0)经过点(2，-1).
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；(5分)
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y=-1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(12分)
2.(17分)(2025·九江模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3，4)在C上.
(1)求双曲线C的方程；(5分)
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点.(12分)
答案精析
1.(1)解　将点(2，-1)代入抛物线方程得22=-2p×(-1)，可得p=2，
故抛物线C的标准方程为x2=-4y，其准线方程为y=1.
(2)证明　由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，-1)，
设直线l的方程为y=kx-1，与抛物线方程x2=-4y联立可得x2+4kx-4=0，Δ=16k2+16>0，
故x1+x2=-4k，x1x2=-4，
设MN
则kOM=-kON=-
直线OM的方程为y=-x，与y=-1联立可得A同理可得B
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为
圆的半径为
且+==2k，
=2×=2
则圆的方程为(x-2k)2+(y+1)2=4(k2+1)，
令x=0，整理可得y2+2y-3=0，解得y1=-3，y2=1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，-3)，(0，1).
2.(1)解　由已知得e==c2=a2+b2，所以b=2a，
又点P(3，4)在C上，故-=1，
解得a2=5，b2=20，
所以双曲线C的方程为-=1.
(2)证明　当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，-n)，
则无解.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，与C联立，
消去y得(4-k2)x2-2kmx-m2-20=0，
由已知得k2≠4，且Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+20)=
16(m2-5k2+20)>0，
设A(x1，y1)，
B(x2，y2)，
则x1+x2=
x1x2=-
直线PA，PB的斜率分别为k1==
k2=
由k1k2=1，
得(kx1+m-4)(kx2+m-4)=(x1-3)(x2-3)，
即(k2-1)x1x2+(km-4k+3)(x1+x2)+m2-8m+7=0，
所以-(k2-1)(m2+20)+2km(km-4k+3)+(4-k2)(m2-8m+7)=0，
化简得(m+3k-4)(5m-9k-12)=0，
又已知l不过点P(3，4)，
故m+3k-4≠0，
所以5m-9k-12=0，即m=k+
故直线l的方程为y=k+
所以直线l过定点.进阶4　解析几何中的定点问题
在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.
定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.
题型一　直线过定点
例1　已知点P(4，3)为双曲线E：-=1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)不过点P的直线y=kx+t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y=kx+t过定点，并求该定点的坐标.
思维升华　解析几何中定点问题的解题策略
(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为
①设直线方程为y=kx+m(或x=ny+t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；
②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；
③将②的结果代入y=kx+m(或x=ny+t)，得到定点坐标.
(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为
①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；
②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；
③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)
跟踪训练1　已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(-，0)，且C经过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y=kx+m与C交于A，B两点(l不经过点D)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
题型二　圆过定点问题
例2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知圆O：x2+y2=的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
思维升华　圆过定点问题的解题策略
(1)利用特殊情况寻找特殊点.
(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
跟踪训练2　(2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
答案精析
例1　解　(1)设F1(-c，0)(c>0)到渐近线y=x，
即bx-ay=0的距离为
则=结合a2+b2=c2得b=
又P(4，3)在双曲线-=1上，
所以-=1，得a2=4，
所以双曲线E的标准方程为-=1.
(2)联立
消去y并整理得(3-4k2)x2-8ktx-4t2-12=0，
则3-4k2≠0，Δ=64k2t2+4(3-4k2)(4t2+12)>0，
即t2+3>4k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1≠4，x2≠4，
则x1+x2=x1x2=-
则kPA+kPB=+
=+=
==1，
所以2kx1x2+(t-4k-3)(x1+x2)-8t+24=x1x2-4(x1+x2)+16，
所以(2k-1)x1x2+(t-4k+1)(x1+x2)-8t+8=0，
所以-+-8t+8=0，
整理得t2-6k+2kt-6t-8k2+9=0，
所以(t-3)2+2k(t-3)-8k2=0，
所以(t-3-2k)(t-3+4k)=0，
因为直线y=kx+t不过点P(4，3)，
即3≠4k+t，t-3+4k≠0，
所以t-3-2k=0，即t=2k+3，
所以直线y=kx+t=kx+2k+3，
即y-3=k(x+2)，
所以该直线过定点，且定点为(-2，3).
跟踪训练1　解　(1)由题意，设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0)，焦距为2c，
则c=椭圆的另一个焦点为F2(0)，
由椭圆定义得2a=|PF1|+|PF2|=+=4，
则a=2，
所以b==1，
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由已知得D(0，1)，
由
得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0，
Δ=64k2m2-4(1+4k2)(4m2-4)>0，即4k2>m2-1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1+x2=x1x2=
y1+y2=k(x1+x2)+2m=
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
由AD⊥BD得，
·=x1x2+(y1-1)(y2-1)=0，
即=0，
所以5m2-2m-3=0，
解得m=1或m=-
①当m=1时，直线l经过点D，舍去；
②当m=-时，显然有Δ>0，
直线l经过定点.
综上，直线l经过定点.
例2　解　(1)由题意可得
解得
∴椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)由题意可知，圆O：x2+y2=的圆心坐标为(0，0)，半径为
∵<1，
可知圆O：x2+y2=在椭圆C内，切线l与椭圆C相交，
①当直线l的斜率不存在时，
∵直线l与圆相切，
故切线方程为x=±
将切线方程x=代入椭圆方程，
解得y=±
设DE
则以DE为直径的圆的方程为+y2=；
同理，当切线方程为x=-时，
求得以DE为直径的圆的方程为+y2=
联立方程
解得即两圆只有一个交点(0，0)，
若存在定点，则定点应为(0，0).
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y=kx+m，
则圆心到直线的距离d==
整理得m2=(1+k2)，
联立方程
消去y得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0，Δ>0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1+x2=x1x2=
∴y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+km(x1+x2)+m2
=
∴·=x1x2+y1y2
===0，
即·=0，
∴以DE为直径的圆经过定点O(0，0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点(0，0).
跟踪训练2　解　(1)设动圆圆心为(x，y)，
依题意=
即y2=4x，
所以曲线C的方程为y2=4x.
(2)依题意，直线l不垂直于y轴，设直线l的方程为x=my+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
消去x并整理得y2-4my-16=0，Δ>0恒成立，
则
设以线段MN为直径的圆的圆心为E(xE，yE)，
则yE=2m，xE=2m2+4，
即E(2m2+4，2m)，
|MN|=|y1-y2|
=·
=4
则圆E的方程为
[x-(2m2+4)]2+(y-2m)2
=4(m2+1)(m2+4)，
化简得4xm2+4ym-(x2-8x+y2)=0，
由得
因此对于 m∈R，圆E恒过原点，
所以以线段MN为直径的圆过定点(0，0).(共49张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
进阶4
解析几何中的定点问题
在解析几何中，有些含有参数的动直线或动曲线，不论参数如何变化总是经过某定点，探求这个定点的坐标，这类问题称为“定点问题”.定点问题是高考中考查解析几何的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定.
直线过定点问题的通法是设出直线方程，通过根与系数的关系和已知条件找出相应的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解，即可得到定点.
定点问题常见类型：①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点.
例1　已知点P(4，3)为双曲线E：＝1(a>0，b>0)上一点，E的左焦点F1到一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线E的标准方程；
直线过定点
题型一
设F1(－c，0)(c>0)到渐近线y＝x，
即bx－ay＝0的距离为，
则，结合a2＋b2＝c2得b＝，
又P(4，3)在双曲线＝1上，
所以＝1，得a2＝4，
所以双曲线E的标准方程为＝1.
(2)不过点P的直线y＝kx＋t与双曲线E交于A，B两点，若直线PA，PB的斜率和为1，证明：直线y＝kx＋t过定点，并求该定点的坐标.
联立
消去y并整理得(3－4k2)x2－8ktx－4t2－12＝0，
则3－4k2≠0，Δ＝64k2t2＋4(3－4k2)(4t2＋12)>0，即t2＋3>4k2，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠4，x2≠4，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
则kPA＋kPB＝
＝
＝＝1，
所以2kx1x2＋(t－4k－3)(x1＋x2)－8t＋24＝x1x2－4(x1＋x2)＋16，
所以(2k－1)x1x2＋(t－4k＋1)(x1＋x2)－8t＋8＝0，
所以－－8t＋8＝0，
整理得t2－6k＋2kt－6t－8k2＋9＝0，
所以(t－3)2＋2k(t－3)－8k2＝0，
所以(t－3－2k)(t－3＋4k)＝0，
因为直线y＝kx＋t不过点P(4，3)，
即3≠4k＋t，t－3＋4k≠0，
所以t－3－2k＝0，即t＝2k＋3，
所以直线y＝kx＋t＝kx＋2k＋3，
即y－3＝k(x＋2)，
所以该直线过定点，且定点为(－2，3).
解析几何中定点问题的解题策略
(1)设线法：用两个参数表示直线方程.一般步骤为
①设直线方程为y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系；
②结合根与系数的关系和已知条件，得到k，m或n，t的关系，或者解出m，t的值；
③将②的结果代入y＝kx＋m(或x＝ny＋t)，得到定点坐标.
思维升华
(2)解点法：用一个参数表示直线方程.一般步骤为
①引进参数，根据已知条件，求出直线上的两个点A，B的坐标(含参数)；
②特殊位置入手，找到定点P(有时可考虑对称性)；
③证明A，B，P三点共线，从而直线AB过定点P.(其中一个方法)
思维升华
跟踪训练1　已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为F1(－，0)，且C经
过点P.
(1)求椭圆C的标准方程；
由题意，设椭圆C的标准方程为＝1(a>b>0)，焦距为2c，
则c＝，椭圆的另一个焦点为F2(，0)，
由椭圆定义得2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝4，则a＝2，
所以b＝＝1，
所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)设C与y轴正半轴交于点D，直线l：y＝kx＋m与C交于A，B两点(l不经过点D)，且AD⊥BD.证明：直线l经过定点，并求出该定点的坐标.
由已知得D(0，1)，
由
得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0，
Δ＝64k2m2－4(1＋4k2)(4m2－4)>0，即4k2>m2－1，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
由AD⊥BD得，·＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝0，
即＝0，
所以5m2－2m－3＝0，解得m＝1或m＝－，
①当m＝1时，直线l经过点D，舍去；
②当m＝－时，显然有Δ>0，
直线l经过定点.
综上，直线l经过定点.
例2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的上、下顶点分别为B2，B1，左、右焦点分别为F1，F2，四边形B1F1B2F2是面积为2的正方形.
(1)求椭圆C的标准方程；
圆过定点问题
题型二
由题意可得
解得
∴椭圆C的标准方程为＋y2＝1.
(2)已知圆O：x2＋y2＝的切线l与椭圆C相交于D，E两点，判断以DE为直径的圆是否经过定点？如果是，求出定点的坐标；如果不是，请说明理由.
由题意可知，圆O：x2＋y2＝的圆心坐标为(0，0)，半径为，
∵<1，
可知圆O：x2＋y2＝在椭圆C内，切线l与椭圆C相交，
①当直线l的斜率不存在时，
∵直线l与圆相切，
故切线方程为x＝±，
将切线方程x＝代入椭圆方程，
解得y＝±，
设D，E，
则以DE为直径的圆的方程为＋y2＝；
同理，当切线方程为x＝－时，
求得以DE为直径的圆的方程为＋y2＝，
联立方程
解得即两圆只有一个交点(0，0)，
若存在定点，则定点应为(0，0).
②当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y＝kx＋m，
则圆心到直线的距离d＝，
整理得m2＝(1＋k2)，
联立方程
消去y得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ>0，
设D(x1，y1)，E(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝，
∴·＝x1x2＋y1y2
＝＝0，
即·＝0，
∴以DE为直径的圆经过定点O(0，0)，
综上可知，以DE为直径的圆过定点(0，0).
圆过定点问题的解题策略
(1)利用特殊情况寻找特殊点.
(2)引入参变量建立关于曲线的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.
思维升华
跟踪训练2　(2025·湖北新高考协作体联考)已知平面内一动圆过点P(2，0)，且在y轴上截得弦长为4，动圆圆心的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
设动圆圆心为(x，y)，
依题意，，即y2＝4x，
所以曲线C的方程为y2＝4x.
(2)若过点Q(4，0)的直线l与曲线C交于点M，N，问：以线段MN为直径的圆是否过定点？若过定点，求出这个定点；若不过定点，请说明理由.
依题意，直线l不垂直于y轴，
设直线l的方程为x＝my＋4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由
消去x并整理得y2－4my－16＝0，Δ>0恒成立，
则
设以线段MN为直径的圆的圆心为E(xE，yE)，
则yE＝2m，xE＝2m2＋4，即E(2m2＋4，2m)，
|MN|＝|y1－y2|
＝·
＝4，
则圆E的方程为[x－(2m2＋4)]2＋(y－2m)2
＝4(m2＋1)(m2＋4)，
化简得4xm2＋4ym－(x2－8x＋y2)＝0，
由得
因此对于 m∈R，圆E恒过原点，
所以以线段MN为直径的圆过定点(0，0).
课时精练
答案
1
2
(1)将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
1.
答案
1
2
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
1.
答案
1
2
＝2×＝2，
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1.
答案
1
2
(1)由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
(2)当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
2.
答案
1
2
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
2.
答案
1
2
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
2.
答案
1
2
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.
2.
1.已知抛物线C：x2＝－2py(p>0)经过点(2，－1).
(1)求抛物线C的标准方程及其准线方程；
1
2
答案
将点(2，－1)代入抛物线方程得22＝－2p×(－1)，可得p＝2，
故抛物线C的标准方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于M，N两点，直线y＝－1分别交直线OM，ON于A，B两点.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.
1
2
答案
1
2
答案
由题意知直线l的斜率存在，焦点坐标为(0，－1)，
设直线l的方程为y＝kx－1，
与抛物线方程x2＝－4y联立可得x2＋4kx－4＝0，Δ＝16k2＋16>0，
故x1＋x2＝－4k，x1x2＝－4，
设M，N，
则kOM＝－，kON＝－，
直线OM的方程为y＝－x，与y＝－1联立可得A，
1
2
答案
同理可得B，
易知以AB为直径的圆的圆心坐标为，
圆的半径为，
且＝2k，
＝2×＝2，
1
2
答案
则圆的方程为(x－2k)2＋(y＋1)2＝4(k2＋1)，
令x＝0，整理可得y2＋2y－3＝0，解得y1＝－3，y2＝1，
即以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0，－3)，(0，1).
1
2
答案
2.(2025·九江模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的离心率为，点P(3，4)在C上.
(1)求双曲线C的方程；
由已知得e＝，c2＝a2＋b2，所以b＝2a，
又点P(3，4)在C上，故＝1，
解得a2＝5，b2＝20，
所以双曲线C的方程为＝1.
1
2
答案
(2)直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若直线PA，PB的斜率互为倒数，证明：直线l过定点.
1
2
答案
当直线l的斜率不存在时，可设A(m，n)，B(m，－n)，
则无解.
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝kx＋m，与C联立，
消去y得(4－k2)x2－2kmx－m2－20＝0，
由已知得k2≠4，
且Δ＝4k2m2＋4(4－k2)(m2＋20)＝16(m2－5k2＋20)>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
答案
则x1＋x2＝，x1x2＝－，
直线PA，PB的斜率分别为
k1＝，k2＝，
由k1k2＝1，
得(kx1＋m－4)(kx2＋m－4)＝(x1－3)(x2－3)，
即(k2－1)x1x2＋(km－4k＋3)(x1＋x2)＋m2－8m＋7＝0，
所以－(k2－1)(m2＋20)＋2km(km－4k＋3)＋(4－k2)(m2－8m＋7)＝0，
化简得(m＋3k－4)(5m－9k－12)＝0，
1
2
答案
又已知l不过点P(3，4)，故m＋3k－4≠0，
所以5m－9k－12＝0，即m＝k＋，
故直线l的方程为y＝k，
所以直线l过定点.

展开更多......

收起↑