资源简介

进阶5　解析几何中的定值问题
分值：34分
1.(17分)已知椭圆C：+y2=1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；(7分)
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：·为定值.(10分)
2.(17分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为，点P是双曲线C右支上一动点(不与A2重合)，且满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C的标准方程；(7分)
(2)过点Q(-2，0)的直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，若E是线段MN的中点，F是线段MN上一点，且=，O为坐标原点，试判断直线OE，OF的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.(10分)
答案精析
1.证明　(1)由题意，设点P(x0，y0)，A(-2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA=
直线PB的斜率为kPB=
所以kPA·kPB=·=
又由点P(x0，y0)在椭圆上，
可得+=1，
即=1-=
所以kPA·kPB==-
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x=ky+1，
联立
整理得(k2+4)y2+2ky-3=0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1+y2=-y1y2=-
则=
即3y1+3y2=2ky1y2，
又由直线AM：y=(x+2)，
直线BN：y=(x-2)，
联立方程组，
可得(x+2)=(x-2)，
整理得=·
=·=
==3，
解得x=4，即点Q(4，yQ)，
又由向量=(-2，0)=(4，yQ)，
所以·=-2×4+0×yQ=-8，
即·为定值.
2.解　(1)双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，即bx±ay=0，
因为顶点到渐近线的距离为
所以==
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(-a，0)，A2(a，0)，
则·=·=4，
所以=4(-a2)，
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以-=1，
所以=-a2)，所以=4，
又c2=a2+b2，所以a2=1，b2=4，c2=5，
所以双曲线C的标准方程为x2-=1.
(2)设直线MN的方程为x=my-2，
M(x1，y1)，
N(x2，y2)，
联立
得(4m2-1)y2-16my+12=0，
则Δ=(-16m)2-4(4m2-1)×12=64m2+48>0，且4m2-1≠0，
所以y1+y2=y1y2=
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
所以
即解得m>
所以yE==xE=myE-2=
即E
所以kOE==4m，
又=所以=
所以yF===
所以xF=myF-2=-
所以F
所以kOF==-
所以kOE·kOF=4m·=-12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值-12.进阶5　解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值.
题型一　与斜率、角度有关的定值问题
例1　已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·=-1，求t的取值范围；
(3)过M(-4，0)的直线交E于A，B两点，过N(-4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值.
思维升华　解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
跟踪训练1　(2025·邯郸模拟)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(-2，0)，B(2，0)，离心率为.过点(4，0)的直线l与C的右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.
(1)若k1=，求k3；
(2)证明：k2(k1+k3)为定值.
题型二　与距离、面积、系数和有关的定值问题
例2　已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，+与a=(3，-1)共线.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)设M为椭圆C上任意一点，且=λ+μ(λ，μ∈R)，证明：λ2+μ2为定值.
思维升华　解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优化解法.
跟踪训练2　已知椭圆C：+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y=x+3相切，点P在椭圆C上，|PF1|=2，∠F1PF2=60°.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB=-，试判断△AOB的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
答案精析
例1　(1)解　由题意可知，焦点F到准线的距离为p=2，
所以抛物线E的标准方程为y2=4x.
(2)解　设P(x，y)，
可知y2=4x，x≥0，
则=(-x，-y)=(t-x，-y)，
可得·=-x(t-x)+y2=x2-tx+4x=x2+(4-t)x=-1，
显然x=0不满足上式，
则x>0，可得t-4=x+
又因为x+≥2=2，当且仅当x=
即x=1时，等号成立，
则t-4≥2，即t≥6，
所以t的取值范围为[6，+∞).
(3)证明　设AB
C
则直线AB的斜率
kAB==
可得直线AB的方程为y-y1=
整理得4x-(y1+y2)y+y1y2=0，
同理可得，直线AC的方程为4x-(y1+y3)y+y1y3=0，
由题意可得
整理得4(y3-y2)=(y2y3+16)，
又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB==
kOC==
显然∠BOC为锐角，则tan∠BOC==
===
所以∠BOC为定值.
跟踪训练1　(1)解　设双曲线C的焦距为2c，
由题意得，a=2=
所以c=.
因为c2=a2+b2，
所以b=所以双曲线C的标准方程为-=1.
直线AM的方程为y=(x+2)，
由
消去y化简并整理得x2-2x-8=0，
解得x=4或x=-2，
又因为A点坐标为(-2，0)，所以M点的坐标为(4，3).
又直线MN过点(4，0)，所以直线MN的方程为x=4，所以N(4，-3)，k3==-.
(2)证明　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1=k2=
k3=.
因为点M，N在双曲线C：-=1上，
所以k1k2=·===.
设直线MN的方程为x=my+4，由消去x化简并整理得(3m2-4)y2+24my+36=0.
则
故k2k3=·
=
=
=
=-.
所以k2(k1+k3)=k1k2+k2k3=+=-为定值.
例2　(1)解　设椭圆C的方程为+=1(a>b>0)，F(c，0)，
则直线AB的方程为y=x-c，
联立
消去y并整理得(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系可得x1+x2=
x1x2=
由+=(x1+x2，y1+y2)，a=(3，-1)，
且+与a共线，
得3(y1+y2)+(x1+x2)=0，
又y1=x1-c，y2=x2-c，
则3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=0，
∴x1+x2=即=
可得a2=3b2=3(a2-c2)，∴=
∴椭圆C的离心率为e===.
(2)证明　由(1)知a2=3b2，
所以椭圆C的方程+=1可化为x2+3y2=3b2，
设=(x，y)，由=λ+μ得(x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)，
∴
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1+μx2)2+3(λy1+μy2)2=3b2，
∴λ2(+3)+μ2(+3)+2λμ(x1x2+3y1y2)=3b2， ①
由(1)知，x1+x2=a2=c2，
b2=c2，
x1x2==c2，
x1x2+3y1y2=x1x2+3(x1-c)(x2-c)
=4x1x2-3c(x1+x2)+3c2
=c2-c2+3c2=0，
又+3=3b2+3=3b2，
代入①得，λ2+μ2=1，
故λ2+μ2为定值1.
跟踪训练2　解　(1)依题意有b==∴b2=3，
由|PF1|=2及椭圆的定义得|PF2|=2a-2，
由余弦定理得+-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2=
即a2-3a+3=c2，
又a2-c2=b2=3，∴a=2，
故椭圆C的标准方程为+=1.
(2)易知m≠0，联立
可得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0，
则Δ=48(3+4k2-m2)>0， ①
又x1+x2=-
x1x2=
y1y2=(kx1+m)(kx2+m)
=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2
=
由kOA·kOB=-
可得=-
∴y1y2=-x1x2，
即=-·
解得2m2-4k2=3，满足①，
∵|AB|=
=
=
设原点到直线l的距离为d，
d=
∴S△AOB=·d·|AB|
==
故S△AOB为定值，定值为.(共52张PPT)
第八章
数学
大
一
轮
复
习
进阶篇　圆锥曲线中的综合问题
进阶5
解析几何中的定值问题
解析几何中的定值问题是近几年高考和竞赛中的热点题型，是指某些几何量(如线段长度、图形面积、直线斜率、角的度数等)的大小或某些代数表达式的值与题目中的参数无关，不随参数的变化而变化，始终是一个确定的数值.
解决定值问题的基本方法是函数方法
(1)从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.
常见的定值问题有：①斜率为定值；②斜率和(积、比)为定值；③角度为定值；④距离、面积为定值；⑤数量积为定值；⑥系数和为定值.
例1　已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点.
(1)求抛物线E的标准方程；
与斜率、角度有关的定值问题
题型一
由题意可知，焦点F到准线的距离为p＝2，
所以抛物线E的标准方程为y2＝4x.
(2)已知点T(t，0)，若E上存在一点P，使得·＝－1，求t的取值范围；
设P(x，y)，可知y2＝4x，x≥0，
则＝(－x，－y)，＝(t－x，－y)，
可得·＝－x(t－x)＋y2＝x2－tx＋4x＝x2＋(4－t)x＝－1，
显然x＝0不满足上式，则x>0，可得t－4＝x＋，
又因为x＋≥2＝2，当且仅当x＝，
即x＝1时，等号成立，则t－4≥2，即t≥6，
所以t的取值范围为[6，＋∞).
(3)过M(－4，0)的直线交E于A，B两点，过N(－4，4)的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：∠BOC为定值.
设A，B，C，
则直线AB的斜率kAB＝，
可得直线AB的方程为y－y1＝，
整理得4x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理可得，直线AC的方程为4x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
由题意可得
整理得4(y3－y2)＝(y2y3＋16)，
又因为直线OB，OC的斜率分别为kOB＝，kOC＝，
显然∠BOC为锐角，则
tan∠BOC＝
＝，
所以∠BOC为定值.
解决定值问题的处理技巧
(1)思路：可从特殊情况入手(如直线的斜率不存在时)，求出定值，再证明这个值与变量无关.
(2)运算：在运算过程中，应尽量减少所求表达式中变量的个数，以利于向目标靠拢.
思维升华
跟踪训练1　(2025·邯郸模拟)已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，离心率为.过点(4，0)的直线l与C的
右支交于M，N两点，设直线AM，BM，BN的斜率分别为k1，k2，k3.
(1)若k1＝，求k3；
设双曲线C的焦距为2c，
由题意得，a＝2，，所以c＝.
因为c2＝a2＋b2，
所以b＝，所以双曲线C的标准方程为＝1.
直线AM的方程为y＝(x＋2)，
由
消去y化简并整理得x2－2x－8＝0，
解得x＝4或x＝－2，
又因为A点坐标为(－2，0)，所以M点的坐标为(4，3).
又直线MN过点(4，0)，所以直线MN的方程为x＝4，
所以N(4，－3)，k3＝＝－.
(2)证明：k2(k1＋k3)为定值.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则k1＝，k2＝，k3＝.
因为点M，N在双曲线C：＝1上，
所以k1k2＝·.
设直线MN的方程为x＝my＋4，由
消去x化简并整理得(3m2－4)y2＋24my＋36＝0.
则
故k2k3＝·
＝＝－.
所以k2(k1＋k3)＝k1k2＋k2k3＝＝－，为定值.
例2　已知椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆C的右焦点F的直线交椭圆于A，B两点，与a＝(3，－1)共线.
(1)求椭圆C的离心率；
与距离、面积、系数和有关的定值问题
题型二
设椭圆C的方程为＝1(a>b>0)，F(c，0)，
则直线AB的方程为y＝x－c，
联立
消去y并整理得(a2＋b2)x2－2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，Δ>0，
设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由根与系数的关系可得x1＋x2＝，x1x2＝，
由＝(x1＋x2，y1＋y2)，a＝(3，－1)，
且与a共线，得3(y1＋y2)＋(x1＋x2)＝0，
又y1＝x1－c，y2＝x2－c，
则3(x1＋x2－2c)＋(x1＋x2)＝0，
∴x1＋x2＝，即，
可得a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴，
∴椭圆C的离心率为e＝.
(2)设M为椭圆C上任意一点，且＝λ＋μ(λ，μ∈R)，证明：λ2＋μ2为定值.
由(1)知a2＝3b2，
所以椭圆C的方程＝1可化为x2＋3y2＝3b2，
设＝(x，y)，由＝λ＋μ得(x，y)＝λ(x1，y1)＋μ(x2，y2)，
∴
∵M(x，y)在椭圆上，
∴(λx1＋μx2)2＋3(λy1＋μy2)2＝3b2，
∴λ2(＋3)＋μ2(＋3)＋2λμ(x1x2＋3y1y2)＝3b2， ①
由(1)知，x1＋x2＝，a2＝c2，b2＝c2，
x1x2＝c2，
x1x2＋3y1y2＝x1x2＋3(x1－c)(x2－c)
＝4x1x2－3c(x1＋x2)＋3c2
＝c2－c2＋3c2＝0，
又＋3＝3b2，＋3＝3b2，
代入①得，λ2＋μ2＝1，
故λ2＋μ2为定值1.
解析几何中的定值，从代数角度看，定值与参数的取值无关，选择适当的变量以及消参方法，就可以得出定值.解答解析几何问题，方法的选择至关重要，如果方法选择不当，那么会导致计算量过大，就不易得到正确的运算结果，在分析清楚解题思路的基础上，树立优化意识，即算法的内在逻辑分析，优化解法.
思维升华
跟踪训练2　已知椭圆C：＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线y＝x＋3相切，点P在椭圆C上，|PF1|＝2，∠F1PF2＝60°.
(1)求椭圆C的标准方程；
依题意有b＝，∴b2＝3，
由|PF1|＝2及椭圆的定义得|PF2|＝2a－2，
由余弦定理得－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2＝，
即a2－3a＋3＝c2，
又a2－c2＝b2＝3，∴a＝2，
故椭圆C的标准方程为＝1.
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点，且kOA·kOB＝－，试判断△AOB的面积是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
易知m≠0，联立
可得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
则Δ＝48(3＋4k2－m2)>0， ①
又x1＋x2＝－，x1x2＝，
y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)
＝k2x1x2＋mk(x1＋x2)＋m2＝，
由kOA·kOB＝－，
可得＝－，∴y1y2＝－x1x2，
即＝－·，
解得2m2－4k2＝3，满足①，
∵|AB|＝
＝＝，
设原点到直线l的距离为d，d＝，
∴S△AOB＝·d·|AB|＝××，
故S△AOB为定值，定值为.
课时精练
答案
1
2
(1)由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1.
答案
1
2
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
1.
答案
1
2
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
则，
即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
1.
答案
1
2
整理得··
＝＝3，
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1.
答案
1
2
(1)双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
2.
答案
1
2
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
(2)设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
2.
答案
1
2
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，
且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
2.
答案
1
2
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
2.
答案
1
2
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.
2.
1.已知椭圆C：＋y2＝1，A，B是椭圆C的左、右顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点.
(1)证明：直线PA与直线PB的斜率之积为定值；
1
2
答案
1
2
答案
由题意，设点P(x0，y0)，A(－2，0)，B(2，0)，
则直线PA的斜率为kPA＝，
直线PB的斜率为kPB＝，
所以kPA·kPB＝·，
又由点P(x0，y0)在椭圆上，可得＝1，
即＝1－，
1
2
答案
所以kPA·kPB＝＝－，
即直线PA与直线PB的斜率之积为定值.
(2)设经过D(1，0)且斜率不为0的直线l交椭圆于M，N两点，直线AM与直线BN交于点Q，求证：·为定值.
1
2
答案
1
2
答案
由直线l过点D(1，0)，且斜率不为0，
可设直线l的方程为x＝ky＋1，
联立
整理得(k2＋4)y2＋2ky－3＝0，Δ>0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝－，
1
2
答案
则，即3y1＋3y2＝2ky1y2，
又由直线AM：y＝(x＋2)，
直线BN：y＝(x－2)，
联立方程组，可得(x＋2)＝(x－2)，
整理得··
＝＝3，
1
2
答案
解得x＝4，即点Q(4，yQ)，
又由向量＝(－2，0)，＝(4，yQ)，
所以·＝－2×4＋0×yQ＝－8，
即·为定值.
1
2
答案
2.已知双曲线C：＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为A1，A2，且顶点到渐近线的距离为，点P是双曲线C右支上一动点(不与A2重合)，且
满足PA1，PA2的斜率之积为4.
(1)求双曲线C的标准方程；
1
2
答案
双曲线C：＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，
即bx±ay＝0，
因为顶点到渐近线的距离为，
所以，
设P(x0，y0)(x0>a)，A1(－a，0)，A2(a，0)，
则··＝4，
所以＝4(－a2)，
1
2
答案
因为点P(x0，y0)在双曲线上，
所以＝1，
所以－a2)，所以＝4，
又c2＝a2＋b2，所以a2＝1，b2＝4，c2＝5，
所以双曲线C的标准方程为x2－＝1.
1
2
答案
(2)过点Q(－2，0)的直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，若E是线段MN的中点，F是线段MN上一点，且，O为坐标原点，试判断直线OE，OF的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.
1
2
答案
设直线MN的方程为x＝my－2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
联立
得(4m2－1)y2－16my＋12＝0，
则Δ＝(－16m)2－4(4m2－1)×12＝64m2＋48>0，且4m2－1≠0，
所以y1＋y2＝，y1y2＝，
因为直线l与双曲线C交于x轴上方的M，N两点，
1
2
答案
所以
即解得m>，
所以yE＝，
xE＝myE－2＝，
即E，所以kOE＝＝4m，
1
2
答案
又，所以，
所以yF＝，
所以xF＝myF－2＝－，所以F，
所以kOF＝＝－，
所以kOE·kOF＝4m·＝－12，
即直线OE，OF的斜率之积为定值－12.

展开更多......

收起↑