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安徽省部分示范高中 2025 届高三第三次联考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = 1 < < 2 ， = < ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. (2, + ∞) B. ( ∞,2) C. ( ∞,2] D. [2, + ∞)
2 2.在复平面内，复数 与1 i对应的点关于实轴对称，则 =( )
A. 1 + 2i B. 1 i C. 1 + i D. 1 i
3.函数 ( ) = ( 2)3cos .若存在 ∈ ，使得 ( + )为奇函数，则实数 的值可以是( )
A. π B. 3π4 4 C.
π
2 D.
π
3
4.现将 12 个相同的小球全部放入 4 个不同的盒子里，每个盒子至少放 2 个小球，则不同的放法共有( )
A. 24 种 B. 35 种 C. 56 种 D. 70 种
5.已知 , 是正实数，若函数 ( ) = ( 1) e e ≤ 0 对任意 ∈ 4恒成立，则 的最大值为( )
A. 1 1e B. 2 C. 1 D.
6.若函数 ( ) = log + log +1 是减函数，则实数 的取值范围是( )
A. (0, 5 12 ) B. (
5 1 1
2 , 1) C. [ 2 , 1) D. (0,
1
2 ]
7.设等差数列 的前 项和为 ，且 > 0,4 = 2 +1 2 2 +1 + 1，将数列 与数列 1 的公共项从
2
小到大排列得到新数列 ，则20 =1 =( )
A. 40 80 2041 B. 41 C. 21 D.
40
21
8.已知抛物线 : 2 = 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，直线 过焦点 且与 交于 ， 两点，若直线 的斜
1
率为2，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 + + + .已知 1 < 2 < 3，样本数据 1： 1， 2， 1 2 2 3 3 13， 2： 2 ， 2 ， 2 ，则
A. 1的平均数一定等于 2的平均数 B. 1的中位数一定小于 2的中位数
C. 1的极差一定大于 2的极差 D. 1的方差一定小于 2的方差
10.已知函数 ( ) = sin |cos | + cos |sin |，则下列说法正确的是( )
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A. ( ) 的周期为2
B. ( ) 的图象关于 = 4对称
C. ( )在[0, ]上恰有 3 个零点
D.若 ( )( > 0)在[0, 2 ]
1
上单调递增，则 的最大值为2
11.设 ∈ ，函数 ( ) = 3 3 + 3，则( )
A. ( )有两个极值点
B.若 > 0，则当 > 0 时， ( ) ≥ 1
C.若 ( ) 3有 3 个零点，则 的取值范围是 0, 4
D.若存在 , ∈ ，满足 ( ) + ( + ) = 2 ( )，则 = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知具有线性相关性的变量 , ，设其样本点为 , ( = 1,2,3, , 20)，经验回归方程为 = 2 + ，
若20 20 =1 = 60， =1 = 40，则 = ．
13.在三棱锥 中， ⊥平面 ，若 = 2 ，且 = 3，则三棱锥 的体积的最大值为 ．
2 214.已知 1， 2分别为双曲线 2 2 = 1( > 0, > 0)的左、右焦点，过 2的直线 与双曲线的右支交于 、
两点(其中 在第一象限)， 1 2的内切圆半径为 1， 1 2的内切圆半径为 2，若 1 = 2 2，则直线 的
斜率为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
两个箱子里面各有除颜色外完全相同的黑球和白球若干个，现设计一个抽球游戏，规则如下：先从第一个
1
箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得 4 分，抽中白球得 1 分，且抽中黑球的概率为3；再从第
3
二个箱子中随机抽一个小球，抽后放回，记抽中黑球得 1 分，抽中白球得 3 分，且抽中黑球的概率为4 .记
一次游戏后，得分总和为 分.
(1)求 的分布列和数学期望；
(2)若有 3 人玩该游戏各一次，求恰有 2 人游戏得分不低于 4 分的概率．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 ln + ln ．
(1)当 = 时，求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积；
(2)若不等式 ( ) ≥ 1 恒成立，求 的取值范围．
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17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥底面 ， = 1， = 3， = 2 2，侧棱 与底面 所成
的角为45 ，且 ⊥ ， ⊥ ．
(1)求 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
1 3
在平面直角坐标系 中，点 2 , 3 和 2 , 1 是中心为坐标原点，焦点在坐标轴上的椭圆 上的两点．
(1)求椭圆 的标准方程；
2
(2)若 为椭圆 上任意一点，以点 为圆心，| |为半径的圆与圆 : 2 + + 3 = 5 的公共弦为 .证明：
的面积为定值，并求出该定值．
19.(本小题 17 分)
已知无穷数列{ }满足以下条件：① 1 = 2，当 ≥ 2 时， 2 2 = 2 1 + 2 1；②若存在某项 ≤ 4，
则必有 ∈ {1,2,3, …, 1}，使得 = + 2( ≥ 2 且 ∈ )．
(1)若 2 < 1，写出所有满足条件的 4；
(2)若 2 > 1，证明：数列{ }为等差数列；
(3)设 = 2024，求正整数 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.8
13.2 33
14.2 2
15.(1)由题知， 可能取的值为 2，4，5，7.
( = 2) = 1 1 × 3 13 4 = 2， ( = 4) = 1
1 3 1
3 × 1 4 = 6，
( = 5) = 1 × 3 = 13 4 4， ( = 7) =
1 3 1
3 × 1 4 = 12，
的分布列为：
2 4 5 7
1 1 1 1
2 6 4 12
故 ( ) = 2 × 12 + 4 ×
1 1
6 + 5 × 4+ 7 ×
1 7
12 = 2．
(2) (1) 4 4 1由 知，得分不低于 分和低于 分的概率均为2
2
3 1 1 3故 人玩该游戏各一次恰有 2 人游戏得分不低于 4 分的概率为C23 2 2 = 8．
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16.解：(1) ∵ ( ) = ln + 1 1，∴ ′( ) = ，∴ = ′ (1) = 1．
∵ (1) = + 1，∴切点坐标为(1,1 + )，
∴函数 ( )在点(1, (1)处的切线方程为 1 = ( 1)( 1)，即 = ( 1) + 2，
∴ 2切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2), ( 1 , 0)，
∴ 1 × 2 × | 2 | = 2所求三角形面积为2 1 1．
(2)［方法一］：通性通法
∵ ( ) = 1 ln + ln ，∴ ′( ) = 1 1 ，且 > 0．
设 ( ) = ′( ) 1，则 ′( ) = 1 + 2 > 0,
∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，即 ′( )在(0, + ∞)上单调递增，
当 = 1 时， ′(1) = 0，∴ ( )min = (1) = 1，∴ ( ) ≥ 1 成立．
1 1
当 > 1 1时， < 1
1
，∴ 1 < 1，∴ ′( ′ ) (1) = (
1 1)( 1) < 0，
∴存在唯一 0 > 0，使得 ′( 0) = 0 1
1
= 0，且当 ∈ (0,
′
0)时 ( ) < 0，当 ∈ ( 0, + ∞)时 ′( ) > 0，
0
∴ 0 1 = 1 ，∴ ln + 0 1 = ln 0，0
因此 ( ) = ( ) = 0 1min 0 ln 0 + ln
= 1 + ln +
1
0 1+ ln ≥ 2ln 1 + 2 0 = 2ln + 1 > 1，0 0
∴ ( ) > 1, ∴ ( ) ≥ 1 恒成立；
当 0 < < 1 时， (1) = + ln < < 1, ∴ (1) < 1, ( ) ≥ 1 不是恒成立．
综上所述，实数 的取值范围是[1, + ∞)．
［方法二］【最优解】：同构
由 ( ) ≥ 1 得 1 ln + ln ≥ 1，即 ln + 1 + ln + 1 ≥ ln + ，而 ln + = ln + ln ，所以
ln + 1 + ln + 1 ≥ ln + ln ．
令 ( ) = + ，则 ′( ) = + 1 > 0，所以 ( )在 上单调递增．
由 ln + 1 + ln + 1 ≥ ln + ln ，可知 (ln + 1) ≥ (ln )，所以 ln + 1 ≥ ln ，所以 ln ≥
(ln + 1)max．
令 ( ) = ln + 1，则 ′( ) = 1 1 =
1
．
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所以当 ∈ (0,1)时， ′( ) > 0, ( )单调递增；
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) < 0, ( )单调递减．
所以[ ( )]max = (1) = 0，则 ln ≥ 0，即 ≥ 1．
所以 的取值范围为 ≥ 1．
［方法三］：换元同构
由题意知 > 0, > 0，令 1 = ，所以 ln + 1 = ln ，所以 ln = ln + 1．
于是 ( ) = 1 ln + ln = ln + ln + 1．
由于 ( ) ≥ 1, ln + ln + 1 ≥ 1 + ln ≥ + ln ，而 = + ln 在 ∈ (0, + ∞)时为增函数，故
≥ ，即 1 ≥ ，分离参数后有 ≥ 1．
( ) =
1
′( ) =
1 1= (1 )令 1，所以 2 2 2 2 ．
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0, ( )单调递增；当 > 1 时， ′( ) < 0, ( )单调递减．

所以当 = 1 时， ( ) = 1取得最大值为 (1) = 1.所以 ≥ 1．
［方法四］：
因为定义域为(0, + ∞)，且 ( ) ≥ 1，所以 (1) ≥ 1，即 + ln ≥ 1．
1
令 ( ) = + ln ，则 ′( ) = 1 + > 0，所以 ( )在区间(0, + ∞)内单调递增．
因为 (1) = 1，所以 ≥ 1 时，有 ( ) ≥ (1)，即 + ln ≥ 1．
下面证明当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 恒成立．
令 ( ) = 1 ln + ln ，只需证当 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 恒成立．
1
因为 ′( ) = 1 + > 0，所以 ( )在区间[1, + ∞)内单调递增，则[ ( )]
1
min = (1) = ln ．
因此要证明 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 恒成立，只需证明[ ( )]min = 1 ln ≥ 1 即可．
由 ≥ + 1, ln ≤ 1，得 1 ≥ , ln ≥ 1 ．
上面两个不等式两边相加可得 1 ln ≥ 1，故 ≥ 1 时， ( ) ≥ 1 恒成立．
当 0 < < 1 时，因为 (1) = + ln < 1，显然不满足 ( ) ≥ 1 恒成立．
所以 的取值范围为 ≥ 1．
17.(1)因为 ⊥平面 ， 平面
所以 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， , 平面 ，
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所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ，所以 在平面 上的射影为 ，
所以∠ 为直线 与底面 所成的角，
因为 与底面 所成的角为 45°，所以∠ = 45°，又∠ = 90 ，
所以 = ，设 = ，
因为 ⊥ ， = 1， = 3，
所以 = 2，∠ = 30 ，又 ⊥ ，故∠ = 60 ，
则 2 = 2 + 22 2 × × 2 × cos60 = 2 2 + 4，
因为因为 ⊥平面 ， 平面
所以 ⊥ ，所以 2 + 2 = 2，
2 2所以 + 2 2 + 4 = 2 2 ，
解得 = 2 或 = 1(舍去)，
故 = 2．
(2)以 为坐标原点， 、 分别为 、 轴的正方向，过 作垂直于平面 的直线为 轴，如图建立空间
直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,0,2)， 1, 3, 0 ， 0, 3, 0 ，
则 = (2,0,2)， = 1, 3, 0 ， = 0, 3, 0
设平面 的法向量为 = 1, 1, 1 ，
= 2 1 + 2 1 = 0

,
= 1 + 3 1 = 0
令 1 = 3，得 1 = 1， 1 = 3，
则 = 3, 1, 3 为平面 的一个法向量，
设平面 的法向量为 = 2, 2, 2 ，
= 2 2 + 2 2 = 0
, = 3 2 = 0
令 2 = 1，可得 2 = 0， 2 = 1，
得 = (1,0, 1)为平面 的一个法向量，
设平面 与平面 的夹角为 ，
2 3 42
则 cos = = 7× 2 = 7 ．
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所以平面 42与平面 夹角的余弦值为 7 ．
18.(1)设椭圆 的方程为 2 + 2 = 1( > 0, > 0, ≠ )，
2 2 2
1 3 1由题意知： 2 + 3 = 1， 2 + = 1，解得 = 1， = 4

2
所以椭圆 的方程为 2 + 4 = 1．
2
(2)设 0, 0 ，则 20 +
0 2
4 = 1，且圆 的方程为 0 +
2 2
0 = 0 + 20，
即圆 的方程为 2 + 2 2 0 2 0 = 0.
因为圆 的方程为 2
2
+ + 3 = 5，
将圆 的方程与圆 的方程作差得 0 + 3 + 0 1 = 0，
所以 的方程为 0 + 3 + 0 1 = 0，
点 0, 3 3 3+ 1 4+ 3 到直线 的距离 = 0 = 0
2 3+ 20+ 0
2 2
0+ 0+3+2 3 0
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= 3 0+4 = 3 0+4 = 3 0+4
2 2 3
= 2，
3 0+2
1 0+ 24 0+2 3 0+3
0 2
4 +2 3 0+4
1 1
又因为| | = 2 5 2 = 2，所以 的面积为 = 2 | | = 2 × 2 × 2 = 2 为定值．
19.解：(1)由题意，当 ≥ 2 时， 2 2 + 1 = 2 1 + 2 1 + 1，
∴ ( 1)2 = ( 2 1 + 1) ，
∴ = 1 + 2 或 = 1，
∴ 2 = 1 + 2 = 4 或 2 = 1 = 2，
∵ 2 < 1，∴ 2 = 2，
①若 3 = 2 + 2 = 0，则 4 = 3 + 2 = 2 或 4 = 3 = 0;
②若 3 = 2 = 2，则 4 = 3 + 2 = 4 或 4 = 3 = 2;
综上所述，满足条件的 4可能为 2，0，4， 2;
(2)先证当正整数 ≥ 2 时， 1， 2， 3， ， 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 ≥ 4，
①由(1)得， 2 = 4 或 2，又∵ 2 > 1，∴ 2 = 4，
∴当 = 2 时， 1， 2是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 2 ≥ 4;
②假设当 = ( ≥ 2 且 ∈ )时， 1， 2， 3， ， 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 ≥ 4，
若 +1 = ，则 +1 ≤ 4，
由题意，则必有 ∈ {1,2,3, , }，使得 = +1 + 2，∴ 2，
∵ 1， 2， 3， ， 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，
∴ = 1 + 2( 1) = 2 ≥ 2，与 ≤ 2 矛盾，
∴ +1 = + 2 ≥ 6，
∴当 = + 1 时， 1， 2， 3， ， +1是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 +1 ≥ 4;
由 ① ②得，当正整数 ≥ 2 时， 1， 2， 3， ， 是以 2 为首项，2 为公差的等差数列，且 ≥ 4，
∴数列{ }为等差数列;
(3)设 ≤ 4( ≥ 2 且 ∈ )，则必有 ∈ {1,2,3, , 1}，使得 = + 2，此时 ≤ 2，
要使 最小，则需 +1 = ，且 +2 = +1 + 2，且 +3 = +2
，此时取 = 3，则满足 = +3 = 2，
∴当正整数 取最小值时， 3 = + 2 = 2022， 6 = 3 + 2 = 2020， ， 3033 = 3030 + 2 = 2，
∵ 3033 = 1 = 2，
∴ 3033 = 2，∴ 的最小值为 3035．
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