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河南省豫东部分名校 2025 届高三下学期模拟测试（三）
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足 i2021 = 2 i，则 的实部与虚部之和为( )
A. 1+ 2i B. 1 2i C. 1 D. 3
2.如表是某公司员工月收入的资料．
月收入/
45000 18000 10000 5500 5000 3400 3300 1000
元
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是( )
A.平均数和众数 B.平均数和中位数 C.中位数和众数 D.平均数和方差
3.“其身正，不令而行;其身不正，虽令不从”出自《论语 子路》.意思是：当政者本身言行端正，不用发号
施令，大家自然起身效法，政令将会畅行无阻;如果当政者本身言行不正，虽下命令，大家也不会服从遵守.
根据上述材料，“身正”是“令行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)，过 的焦点 的直线交 于 , 两点，交 的准线于 ，且 = 3 , | | = 3，
则 的方程为( )
A. 2 = B. 2 = 2 C. 2 = 4 D. 2 = 6
5.已知平面向量 , , 满足| | = | | = 4 3， 与 π的夹角为3且( 2 ) (
) = 0，则| |的最大值为( )
A. 2 5 + 3 B. 21 + 3 C. 2 5 + 3 D. 21 + 3
6.存在三个实数 1， 2， 3，使其分别满足下述两个等式：
(1) 1 2 3 = 2，(2) 1 + 2 + 3 = 0，
其中 表示三个实数 1， 2， 3中的最小值，则( )
A. 的最大值是 2 B. 的最大值是 2
C. 的最小值是 2 D. 的最小值是 2
7.对于两个实数 , ，我们定义： ( , ) = ( ≠ 0)，有下列说法：
① (2,3) = 16；
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② (1,3) + (2,4) + (3,5) + (4,6) + + (10,12) = 175132；
③若 ( , ) = ( , ) + ( , )，则 + = 2 ．
其中说法正确的有( )
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
8 1.已知函数 ( ) = e 22
2恰有两个极值点，则 的取值范围是( )
A. [0,1] B. (0,1) C. [1, + ∞) D. (1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = 2sin 2 + π π3 (0 < < 1)的图象如图所示，将其向左平移6个单位长度，得到 = ( )的图
象，则下列说法正确的是( )
A. = 12
B.函数 ( ) π的图象关于点 3 , 0 对称
C.函数 = ( )的图象关于直线 = π4对称
D. π π π函数 = 2 + 3 在 9 , 9 上单调递减
10.设 是一个非空集合， 是 的子集构成的集合，如果 同时满足：① ∈ ，②若 , ∈ ，则 ∩ ( ) ∈
且 ∪ ∈ ，那么称 是 的一个环.则下列说法正确的是( )
A.若 = {1,2,3,4,5,6}，则 = { , {1,3,5}, {2,4,6}, }是 的环
B.若 = { , , }，则存在 的一个环 ， 含有 8 个元素
C.若 = ，则存在 的一个环 ， 含有 4 个元素且{2}, {3,5} ∈
D.若 = ，则存在 的一个环 ， 含有 7 个元素且[0,3], [3,5] ∈
11.某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进．部分芯片由智能检测系统进行筛选，其中部分次品芯
片会被淘汰，筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验．记 表示事件“某芯片通过
智能检测系统筛选”， 表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标
服从正态分布 5.20,0.042 ，现从中随机抽取 个，这 个芯片中恰有 个的质量指标 位于区间[5,16,5,32]，
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则下列说法正确的是( )(参考数据：若 , 2 ，则 ≤ ≤ + ≈ 0.6827, 2 ≤ ≤
+ 2 ≈ 0.9545, 3 ≤ ≤ + 3 ≈ 0.9973)
A. ( | ) > ( )
B. ( | ) < ( | )
C. (5.16 ≤ ≤ 5.32) ≈ 0.84
D. ( = 45)取得最大值时， 的估计值为 53
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12 .设椭圆 ： 2 + 2 = 1 > > 0 的左、右焦点分别为 1 、 2，过 2作平行于 轴的直线交 于 , 两点，
若 1 = 13， = 10，则 的离心率为 ．
13 1.在 中，内角 , , 所对的边分别为 , , .已知 的面积为 3 15， = 2，cos = 4，则
的值为 ．
14.已知圆台的上 下底半径分别为 和 ( > )，若圆台外接球的球心在圆台外，则圆台的高的取值范围
是 ；若 = 2 = 2，圆台的高为 ，且 1 ≤ ≤ 2，则圆台外接球表面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }的前 项和为 ( ∈ ). 1 = 1，2 = (2 1)( +1 ).
(1)求数列{ }的通项公式；
1
(2)若 =
2
+1 +1 ，求数列{ }的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
已知抛物线 : 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ，过点 且互相垂直的两条动直线分别与 交于点 ， 和点 ， ，
当| | = | |时，| | = 8．
(Ⅰ)求 的方程;
(Ⅱ) | | 1设线段 ， 的中点分别为 ， ，若直线 的斜率为正，且| | = 8，求直线 和 的方程．
17.(本小题 15 分)
如图 1，在边长为 4 的菱形 中，∠ = 60°，点 ， 分别是边 ， 的中点， ∩ = 1， ∩
= .沿 将 翻折到 的位置，连接 ， ， ，得到如图 2 所示的五棱锥 ．
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(1)在翻折过程中是否总有平面 ⊥平面 ？证明你的结论；
(2)若平面 ⊥平面 ，线段 上是否存在一点 ，使得平面 与平面 13所成角的余弦值为 13 ？
若存在，试确定点 的位置；若不存在，请说明理由．
18.(本小题 17 分)
在一个袋子中有若干红球和白球(除颜色外均相同)，袋中红球数占总球数的比例为 ．
(1)若有放回摸球，摸到红球时停止.在第 2 次没有摸到红球的条件下，求第 3 次也没有摸到红球的概率;
(2)某同学不知道比例 ，为估计 的值.设计了如下两种方案：
方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球 5 次停止．
方案二：从袋中进行有放回摸球 5 次
分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计 的值更合理．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( )的定义域和值域分别为 ， ，若函数 ( )满足：(ⅰ) ( )的定义域为 ；(ⅱ) ( )的值域为 ；
(ⅲ) ∈ ， = ( ( ))， ∈ ， = ( ( ))，则称 ( )与 ( )具有 关系．
(1)若 ( ) = 2 ，判断下列两个函数是否与 ( )具有 关系，并说明理由；
① = 2 2 ；② = log2 .
(2)若 ( )与 ( )具有 关系，证明：函数 ( )的图象与 ( )的图象关于直线 = 对称；
(3)已知函数 ( ) = ， ( )与 ( )具有 关系，令 ( ) = ( ) ( ) 1．
①判断函数 ( )的单调性；
> 2 ( +1) 1②证明： ， 2 > + ．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13.8
14. 0, 2 2 ； 20π
15.解：(1)由2 = (2 1)( +1 )，得 = (1
1
2 )( +1 )，
即 = (1
1
2 ) +1，
当 ≥ 2 时， 1 = (1
1
2 1 ) ，
两式相减得 = (1
1 1
2 ) +1 (1 2 1 ) ，

化简得 +1 = 2( ≥ 2)，
当 = 1 1时， 1 = 1 = 2 × 2 = 1，
所以数列{ }是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，
所以 = 2 1；
1 1
(2)由 2 2 1 1 = ( +1)( = = ， +1+1) (2 1+1)(2 +1) 2 1+1 2 +1
= ( 1 1 1所以 20+1 21+1 ) + ( 21+1
1 1 1
22+1 ) + + ( 2 1+1 2 +1 )
= 1 12 2 +1．
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16.解：(Ⅰ) 由题意知 ( 2 , 0)，
当| | = | |时，由抛物线的对称性，
易得直线 和 的斜率分别为 1， 1 或 1，1，
不妨取直线 的斜率为 1，则其方程为 = 2，
2 = 2 , 2
联立，得 2 = 消去 得 3 + 4 = 0，2 ,
则 + = 3 ，
根据抛物线的定义，可得| = + + = 4 = 8，
解得 = 2，所以 的方程为 2 = 4 ．
(Ⅱ)由题意，可设 : = ( 1)， : =
1
( 1)， > 0，
2 = 4 ,
联立，得 = ( 1),消去 可得
2 2 2( 2 + 2) + 2 = 0，
2
则 =
+
2 =
+2
2 ，
2
所以| | = 1 + 2| 1| =
2 1+
2 ，
1
用 替换 ，可得| | = 2 1 +
2，
| | 1 1
所以 3| | = = 8，得 = 2，
所以直线 的方程为 2 1 = 0，直线 的方程为 2 + 2 = 0．
17.(1)折叠前，因为四边形 是菱形，所以 ⊥ ，
由于 , 分别是边 ， 的中点，所以 // ，
所以 ⊥ ，
折叠过程中， ⊥ , ⊥ , ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
所以 ⊥平面 ，
由于 平面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)存在，理由如下：
当平面 ⊥平面 时，由于平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
所以 ⊥平面 ，由于 平面 ，所以 ⊥ ，
由此以 为空间坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，
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依题意可知 0,0, 3 , 3, 2,0 , 3, 2,0 , (0, 1,0), = 3, 2, 3
3 3, 0,0 ， = 3 3, 0, 3 ，
设 = (0 ≤ ≤ 1)，则 = + = + = 0,0, 3 + 3 3 , 0, 3 = 3 3 , 0, 3
3 ，
平面 的法向量为 1 = (1,0,0)，
= 3 3 3, 2, 3 3 , = 3, 1,0 ，
设平面 的法向量为 2 = 2, 2, 2 ，
2 = 3 3 3 2 + 2 2 + 3 3 2 = 0
则 ,
2 = 3 2 + 2 = 0
故可设 2 = 1, 3 3, 3 + 1 ，
设平面 与平面 所成角为 ，
13由于平面 与平面 所成角的余弦值为 13 ，
cos = 1 所以 2 | 1| 13 1
= = 13 ，2 2( 1)2+ 3 3 +(3 +1)2
1
解得 = 3，
所以当 是 的靠近 的三等分点时，平面 与平面 13所成角的余弦值为 13 ．
18.解：(1)记事件 为“第 2 次没有摸到红球”，事件 为“第 3 次没有摸到红球”，
由题可知，有放回摸球，每次摸到红球的概率为 ，摸到白球的概率为 1 ，
则 = 1 1 = 1 2， = = 1 3，

可得 | = = 1 ，
则在第 2 次没有摸到红球的条件下，第 3 次也没有摸到红球的概率为 1 ．
(2)方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球 5 次停止，
摸球 1 次停止时，摸出红球；
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摸球 2 次停止时，第一次摸出白球，第二次摸出红球；
摸球 3 次停止时，前两次摸出白球，第三次摸出红球；
摸球 4 次停止时，前三次摸出白球，第四次摸出红球；
摸球 5 次停止时，前四次摸出白球，第五次摸出红球，或者五次都摸出白球；
1 1 1 1
记红球出现的频率为 ，则 的可能取值为 1，2，3，4，5，0，
= 1 = ， = 12 = 1 ， =
1
3 = 1
2 ，
= 14 = 1
3 ， = 1 45 = 1 ， = 0 = 1
5，
则 = + 1 1 + 1 1 2 + 1 1 3 + 1 1 42 3 4 5 ，
方案二：从袋中进行有放回摸球 5 次，
记摸到红球的次数为 ，红球出现的频率为 ，

则 = 5， 5, ，
可得 = 5 ，则 = 5 =
1
5 = ，
显然 0 < < 1，
则 > = ，
根据两种方案的数学期望，可知方案二估计 的值更合理．
19.(1)解： = 2log2 与 ( ) = 2 不具有 关系， = log2 与 ( ) = 2 具有 关系．
理由如下：因为 ( ) = 2 ，则其定义域为 ，值域为(0, + ∞)， = 2log2 和 = log2 的定义域均为(0, + ∞)，
值域均为 ，满足条件( )和( )，
若 ( ) = 2log2 ，则 ( ( )) = 2 ( ) = 22log2 = 2， ( ( )) = 2log 2 2 = 2 ，不满足条件( )，
故 = 2log2 与 ( )不具有 关系;
若 ( ) = log2 ，则 ∈ (0, + ∞)， ( ( )) = 2log2 = ， ∈ ， ( ( )) = log 2 2 = ，满足条件( )，
故 = log2 与 ( )具有 关系．
(2)证明：在函数 ( )的图象上任取一点 ( , ( ))， ∈ ， ( ) ∈ ，其关于直线 = 的对称点为
′( ( ), )，
因为 ∈ ， = ( ( ))，所以 ( ( )) = ，即点 ′( ( ), )在函数 ( )的图象上，
在 ( )的图象上任取一点 ( , ( ))， ∈ ， ( ) ∈ ，其关于直线 = 的对称点为 ′( ( ), )，
因为 ∈ ， = ( ( ))，所以 ( ( )) = ，即点 ′( ( ), )在函数 ( )图象上，
所以 ( )的图象和 ( )的图象关于直线 = 对称．
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(3) ①解：由题意， ( ) = ln 1，其定义域为(0, + ∞)，

′( ) = ln + = ( ln + 1)．
令 ( ) = ln + 1，则 ′( ) = ln + 1 ( 1，易知 ′ ) = 0．
当 ∈ (0, 1 )时， ′( ) < 0， ( )单调递减;
1
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
1 1
所以 ( ) ≥ ( ) = + 1 > 0，

所以 ′( ) = ( ln + 1) > 0，故 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
②证明：由 ①知， ( ) = ln 1，
> 2 ( +1)当 时，要证 >
2 + 1 ，即证
ln( + 1) > 2 + ，
ln( +1) ln ( +1)
即证 < +1 = ， ln ( +1)
因为 > 2，所以 + 1 > 3，则 ln( + 1) > ln3 > 1，
令 ( ) = ln( + 1) 1 ，其中 > 2，则 ′( ) = 1 +1 = +1 > 0，
所以函数 ( )在(2, + ∞)上单调递增，则 ( ) > 2 ln3 > 2 ln 2 = 0，即 > ln( + 1)．

构造函数 ( ) = ，其中 > 1，则 ′( ) =
1
< 0，所以 ( )在(1, + ∞)上单调递减，
因为 > ln( + 1) > 1，则 ( ) < [ln( + 1)] ln( +1) ln( +1)，即 < ln( +1) = +1 ，
所以 > 2 ( +1) 1， 2 > + ．
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