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2025 年四川省眉山市仁寿一中南校区高考三模
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |lg > 0}， = { | 2 ≤ 4}，则 ∩ = ( )
A. (1,2) B. (1,2] C. (0,2] D. (1, + ∞)
2.已知向量 = ( , 0)， = (2,1).若( 4 ) = 0，则 的值为( )
A. 10 B. 6 C. 3 D. 4
3.一组样本数据删除一个数后，得到一组新数据：10，21，25，35，36，40.若这两组数据的中位数相等，
则删除的数为( )
A. 25 B. 30 C. 35 D. 40
4
2 2
.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)，则“ 的渐近线互相垂直”是“ 的离心率等于 2”的( )
A.充要条件 B.充分不必要条件
C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
5.设 ， ， 是两个平面， ， 是两条直线，则下列命题不正确的是( )
A. ⊥ ， ⊥ ，则 //
B. ⊥ ，直线 ⊥ ， ，则 //
C. ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ，则 ⊥
D.过平面 内任意一点作交线 的垂线，则此垂线必垂直于平面
6.已知角 的顶点与坐标原点 重合，始边与 轴的非负半轴重合，其终边与圆 交于点 (7 2, 2)，若点
5 沿着圆 的圆周按逆时针方向移动 2个单位长度到达点 ，则 cos∠ =( )
A. 2 55 B.
3
5 C.
2 6 D. 45 5
7.已知 ( )是定义在 的奇函数，且 ( + 2) = ( 2).若 (1) = 2，则10 =1 ( ) =( )
A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
8.已知点 (4, )在抛物线 ： 2 = 8 上，点 为圆 ： 2 + ( 2)2 = 2(0 < < 4)上任意一点，且| |的
最小值为 3，则圆 的半径 为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.将函数 ( ) = 2 ( 18 + 3 )图象上所有的点向左平移 3 个单位长度，得到函数 ( )的图象，则下列命题
正确的是( )
A. ( )的最小正周期为 36 B. ( ) = 2 18
C. ( )为偶函数 D. ( )在[ 45,45]上共有 5 个极值点
10.某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的(被称作阿基
米德体)，如图所示，若该石凳的棱长为 2 2，下列结论正确的有( )
A. ⊥平面
B. 64该石凳的体积为 3
C. ， ， ， 四点共面
D.点 到平面 6的距离为 3
11 .已知数列{ }满足 1 > 0， +1 = + ( ≠ 0)，给出下列结论正确的是( )
A.存在 ，使得{ }为常数列
B.对任意的 > 0，{ }为递增数列
C.对任意的 > 0，{ }既不是等差数列也不是等比数列
D.对于任意的 ，都有 2 ≥ 21 + 2 ( 1)
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 tan( + 4 ) =
5
2，则 2 = ______．
13.若( + 1)5的展开式中 3的系数是 80，则实数 的值是______．
14.设函数 ( ) = ，函数 ( ) = ( + 1) + + 1 ， ≠ 0， ∈ .若函数 ( ) =
( ), ( ) < ( )
( ), ( ) ≥ ( )恰有两个零点，则 的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 = 3 ．
(1)求角 ；
(2)若 + = 5， = 7，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
如图，在平面四边形 中，△ 是边长为 2 的等边三角形， = 且 ⊥ ，沿 将△ 折起，
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使点 到达点 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2)当三棱锥 体积最大时，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
如图，点 ， ， ， ， 均在直线 上，且 = = = = 1，质点 与质点 均从点 出发，两个质
1
点每次都只能向左或向右移动 1 个单位长度，两个质点每次移动时向左移动的概率均为4，每个质点均移动
2 次.已知每个质点移动 2 次后到达的点所对应的积分如下表所示，设随机变量 为两个质点各自移动 2 次
后到达的点所对应的积分之和．

积分 200 100 0 100 200
(1)求质点 移动 2 次后到达的点所对应的积分为 0 的概率；
(2)求随机变量 的分布列及数学期望．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的离心率为 2 ，点 (0,1)在 1上.
(1)求 1的方程；
2(2)设椭圆 2： + 24 = ( > 1)若过 的直线 交 1于另一点 ， 交 2于 ， 两点，且 在 轴上方．
( )证明：| | = | |；
( ) 为坐标原点， 为 2右顶点.设 在第一象限内， = 2 ，是否存在实数 使得△ 的面积与△
的面积相等？若存在，求 的值；若不存在，说明理由．
19.(本小题 17 分)
数学家高斯在研究整数问题时，发明了取整符号[ ]，用[ ]表示不超过 的最大整数，例如[ ] = 1，[2.3} =
2, [ 1.5] = 2．
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(1)分别求函数 = [ ]和 = [ ]的值域；
(2)若 ( ) = { , 1( +1)2 }，求函数 = [ ( )]的值；
(3)若数列{ }满足： 1 = 4， +1 = + 22 + 1( ∈ )， 是数列{ }的前 项和，求[ ]的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.2029
13.2
14.( 1,0) ∪ {1, 2 }
15.解：(1)因为 = 3 ，
所以由正弦定理得： = 3 ，
又因为 ≠ 0，所以 = 3 ，即 = 3，
又因为 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2)由余弦定理得： 2 = 2 + 2 2 ，
即 7 = 2 + 2 = ( + )2 3 ，
因为 + = 5，所以 7 = 25 3 ，所以 = 6，
所以 1 3 3 = 2 = ．2
16.解：(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
由 = ，得 ⊥ ，由等边△ ，得 ⊥ ，
而 ， 平面 ， ∩ = ，
则 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ．
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(2)依题意，△ 的面积为 3
4
2 = 3，
三棱锥 体积 = ，
则当且仅当点 到平面 的距离最大时，三棱锥 体积最大，
在△ 中， ⊥ ， = = 1，
因此当 ⊥平面 时，三棱锥 体积最大，
在平面 内过 作 ⊥ 于 ，连接 ，
由 ⊥平面 ， 平面 ，
得 ⊥ ，而 ∩ = ， ， 平面 ，
于是 ⊥平面 ，又 平面 ，
则 ⊥ ，
∠ 是二面角 的平面角，
在 △ 中， = =
3，
2
在 △ 中， = 2 + 2 = 7，2
cos∠ = 3 21， = 7 = 7
所以平面 与平面 夹角的余弦值为 21．
7
17.解：(1)设事件 为“质点 移动 2 次后到达的点所对应的积分为 0”，
由题意可知点 两次移动后在点 ，又起点为点 ，即 的移动一次向左一次向右，
1 3 3 1 3
所以 ( ) = 4 × 4 + 4 × 4 = 8；
(2) 的所有可能取值为 400， 200，0，200，400，
( = 400) = 1 1 1 1 14 × 4 × 4 × 4 = 256，
( = 200) = 1 × 1 × 34 4 8 × 2 =
3
64，
( = 0) = 1 × 1 × 3 × 3 3 3 274 4 4 4 × 2+ 8 × 8 = 128，
( = 200) = 3 × 3 × 3 274 4 8 × 2 = 64，
( = 400) = 3 × 3 3 3 814 4 × 4 × 4 = 256，
所以随机变量 的分布列为：
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400 200 0 200 400
1 3 27 27 81256 64 128 64 256
( ) = ( 400) × 1256 + ( 200) ×
3
64+ 0 ×
21
128 + 200 ×
21
64 + 400 ×
81
256 = 200．
18.解：(1)因为点 (0,1)在 1上，
所以 = 1，
因为 2 = 2 + 2 = 1 + 2，
又椭圆的离心率 = = 3， 2
所以 = 2，
2
则椭圆方程为 2 ；
4 + = 1
(2)(ⅰ)证明：要证| | = | |，
需证弦 的中点与弦 的中点重合，
当 垂直于 轴时，弦 ， 的中点都是坐标原点 ，
所以它们的中点重合，
此时| | = | |，
当 不垂直于 轴时，
设直线 的方程为 = + 1( ≠ 0)，
= + 1
联立 2 2 ，消去 并整理得(1 + 4
2) 2 + 8 + 4 4 = 0，
4 + =
8
由韦达定理得 + = 1+4 2，
+ 4 所以弦 中点的横坐标为 2 = 1+4 2，
8 同理得 + = 1+4 2，
+ = 4 所以弦 中点的横坐标为 2 1+4 2，
所以弦 的中点与弦 的中点重合，
此时| | = | |，
综上所述，| | = | |；
( )假设存在实数 使得△ 的面积与△ 的面积相等，
因为 = 2 ，
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所以 = 2 ，
因为点 在第一象限内， > 0，
由( )知 8 + = 1+4 2，
8 =
所以 1+4
2
，
=
16
1+4 2
= 4 4 又 1+4 2，
8 16 4 4
所以1+4 2 1+4 2 = 1+4 2，
1+36 2
化简得 = ，1+4 2
设 到 的距离为 ， 到 的距离为 ，
假设△ 的面积与△ 的面积相等，
1
此时2 | |
1
= 2 | | ，
因为 = 2 ，
所以| | = 2| |，
即 2 = ，
| ×0+1| 1
又 = =1+ 2 ，1+ 2
因为 (2 , 0)，
所以 = | ×2 +1| = 2 +1 2 2 ，1+ 1+
所以 = 12，
= 1+36
2
又 ，
1+4 2
2 1
解得 = 12，
= 3
经检验符合题意．
则 = 3．
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19.解：(1)由于 ∈ [ 1,1]，所以 = [ ] ∈ { 1,0,1}，由于函数 = 的值域为 ，所以 = [ ]的值
域为整数集 ；
(2)令 ( ) = ，则 ′( ) = ( + 1) ，当 ′( ) > 0 时， > 1；当 ′( ) < 0 时， < 1；
1
所以 ( )在( ∞, 1)上单调递减，在( 1, + ∞)上单调递增，又 ( 1) = > 1， (0) = 0，
所以当 < 0 时， 1 < ( ) < 0，当 > 0 时， ( ) > 0．
1
由于( +1)2 > 0 恒成立，并且当 = 0
1 1
时，( +1)2 = 1，当 > 0 时，0 < ( +1)2 < 1．
故当 < 0 且 ≠ 1 时， 1 < ( ) < 0， (0) = 0，当 > 0 时，0 < ( ) < 1，
所以 = [ ( )] = 1, < 0 且 ≠ 1．
0, ≥ 0
(3)令 ( ) = + 22 + 1，则 ( ) = 21 +22+ +1在(0, + ∞)上单调递减，且 (3) = 3，
1 = 4 > 3，所以 0 < 2 = ( 1) < (3) = 3， 3 = ( 2) > (3) = 3，
依次可得：0 < 2 < 3， 2 1 > 3( ∈ )，
令 ( ) = + ( ) 1 1，则 ′( ) = 1 + 2 +22 2 +1 > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
故 ( 2 ) < (3) = 3 + (3) = 6， ( 2 1) > (3) = 6，又 ( ) = + ( ) = + +1，
所以当 = 2 ( ∈ )为偶数时，
= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + … + ( 2 1 + 2 ) = ( 1) + ( 3) + … + ( 2 1) > 6 ，
= 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + … + ( 2 2 + 2 1) + 2
= 1 + ( 2) + ( 4) + … + ( 2 2) + 2 < 1 + 6( 1) + 2 < 4 + 6( 1) + 3 = 6 + 1，即 6 <
< 6 + 1( ∈ )，
故[ ] = 6 = 3 × (2 ) = 3 ；
当 = 2 + 1( ∈ )为大于 1 的奇数时，
= ( 1 + 2) + ( 3 + 4) + + ( 2 1 + 2 ) + 2 +1
= ( 1) + ( 3) + … + ( 2 1) + 2 +1 > 6 + 2 +1 > 6 + 3，
= 1 + ( 2 + 3) + ( 4 + 5) + + ( 2 + 2 +1)
= 1 + ( 2) + ( 4) + + ( 2 ) < 1 + 6 = 6 + 4，
即 6 + 3 < < 6 + 4( ∈ )，故[ ] = 6 + 3 = 3(2 + 1) = 3 ．
4, = 1
所以[ ] = 3 , ≥ 2 且 ∈ ．
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