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2025 年内蒙古包头市高考数学二模试卷（A 卷）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {2,3,4}， = { | < 3}，若 = { | ∈ ，且 }，则 =( )
A. {4} B. {3,4} C. {2} D. {2,4}
2.已知角 的终边经过点 ( 1, 3)，则( )
A. = 12 B. =
3 3
3 C. = 2 D. =
1
2
3.已知 ， ∈ ，1 + 是关于 的方程 2 + + = 0 的一个根，则 =( )
A. 4 B. 0 C. 2 D. 4
4.已知向量 = ( , )， = (1, 1)，( ) ⊥ ( + )，则| | =( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 1
2
5 .直线 与双曲线 24 = 1 交于 ， 两点，线段 的中点为 (4,1)，则直线 的方程为( )
A. = 3 B. = 3 C. = + 5 D. = + 5
6 .已知 ( ) = sin( + 6 )( > 0)在[

6 ,

4 ]上单调递增，则 的取值范围是( )
A. (0, 23 ] B. (0,
4
3 ] C. [
2 , 43 3 ] D. [
4
3 , 2]
7.已知圆台 1 2的上、下底面半径分别为 1， 2( 1 < 2)， 2 1 = 3.半径为 的球 与该圆台的上、下底
面及母线均相切，圆台 1 2的侧面积为 25 ，则球 的表面积为( )
A. 4 B. 9 C. 16 D. 36
8.在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构
成了一般不动点定理的基石.简单来说就是对于满足一定条件的连续函数 ( )，存在一个点 0，使得 ( 0) =
0，那么我们称 ( )为“不动点”函数.若 ( )存在 个点 ( = 1,2, …, )，满足 ( ) = ，则称 ( )为“
型不动点”函数，则下列函数中为“3 型不动点”函数的是( )
A. ( ) = 1 B. ( ) = 5
2
C. ( ) = 4 D. ( ) = 2 + 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点到准线的距离为 2，过 的焦点 的直线 与 交于 ， 两点，分别
过 ， 两点作 的准线的垂线，垂足分别为 1， 1，则下列结论正确的是( )
A.抛物线 的准线方程为 = 1
B.以线段 为直径的圆与抛物线 的准线相切
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C.以线段 为直径的圆与 轴相交
D.以线段 1 1为直径的圆过定点
10.一组样本数据( , )， ∈ {1,2,3, …, 100}，其中
100
> 1895， =1 = 2 × 10
5，100 =1 = 970，求得其经

验回归方程为： = 0.02 + 1，残差为 1.对样本数据进行处理： ′ = ln( 1895)，得到新的数据
( ′, )，求得其经验回归方程为： = 0.42 + 2，其残差为 ． ， 分布如图所示，且 ～ (0, 21)，
～ (0, 22)，则( )

A.样本( , )正相关 B. 1 = 49.7
C. 21 < 22 D.处理后的决定系数变大
11.已知下图为 5 × 5 方格，挖去左上角的一个方格后，可以用 个( ∈ )下列图形完全覆
盖住(可以旋转，翻折但不能重叠)的有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = ln( + 1) + 为偶函数，则实数 =________．
13.已知 是数据 1，6，2，3，2，5，7 的第 70 百分位数，若( + 1) = 0 + 1( 1) + 2( 1)2 + … +
( 1) ，则 1 = ______．
14.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 2( 2 2) = 3 2，则 的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知数列{ }
+3
的各项均为正数， +1 1 = 3，且对任意的正整数 都有 = 3成立． +1
(1)证明：数列{ }是等差数列；
(2) 设 = + ，是否存在正整数 ， ，使得 1， 2， ( > 2)成等比数列？若存在，求出满足要求的
和 的所有值；若不存在，请说明理由．
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16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ， // ， = ， = 2 = 6， = = 4，点 在
棱 上，且不与 和 重合，平面 交棱 于点 ．
(1)求证： // ；
(2)若 为棱 的中点，求二面角 的正弦值；
(3)记点 ， 到平面 的距离分别为 1， 2，求 1 2的最大值．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + 1)2 + 6， ∈ ．
(1)当 = 1 时，求曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程；
(2)若函数 ( )在(0, + ∞)有最小值 4，求 的值．
18.(本小题 17 分)
高三某班为缓解学生高考压力，班委会决定在周班会课上进行“听音乐、猜歌名”的趣味游戏比赛，现将
全班学生分为 9 组，每组 5 人，剩余的学生做裁判.比赛规则如下：比赛共分为两轮，第一轮比赛中 9 个小
组分三场进行比赛，每场比赛有 3 个小组参加，在规定的时间内猜对歌名最多的小组获胜，获胜的三个小
组进入第二轮比赛；第二轮进行一场比赛，选出获胜队伍.已知甲、乙、丙 3 个小组的学生能成功猜对歌名
4 3 5
的概率分别为5，4，6．
(1)现从甲组中任选一名学生进行歌曲试猜，记 5 首歌曲中猜对的歌曲数为 ，求随机变量 的数学期望；
(2)若从甲、乙、丙 3 个小组中任选一名学生参加猜歌游戏，求该学生猜对歌曲的概率；
(3)若第二轮比赛中丁、戊两组并列第一，则设置以下游戏决定最终获胜的小组，游戏规则如下：从丁、戊
小组中任选一名代表，从装有 3 个白球和 2 个红球的不透明的盒子中有放回地随机摸出一个球，摸出白球
记 1 分，摸出红球记 2 分，以 0 分开始计分，恰好获得 10 分或 11 分则结束摸球.若该代表获得 10 分，则
该代表所在小组获得胜利，否则另外一组获得胜利.若该代表来自戊组，试估计戊组获胜的概率．
19.(本小题 17 分)
2 2 3
在平面直角坐标系 中，双曲线 21： 2 = 1( > 0)，离心率为 3 ，点 是 1上任意一点.抛物线 2：
2 =
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2 ．
(1)求 1的方程；
(2)过点 作 1的两条渐近线的平行线，分别与两条渐近线交于 ， 两点，求证：平行四边形 的面积
为定值；
(3) ， 是 2的两条切线， ， 是切点，求△ 面积的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 12
13.40
14.2 55
15. +3解：(1) 证明：数列{ }的各项均为正数， 1 = 3，且对任意的正整数 都有 +1 = 3成立， +1
可得 2 2 +1 = 3( + +1)，
即( +1 )( + +1) = 3( + +1)，
由 > 0，可得 +1 = 3，
即数列{ }是首项和公差均为 3 的等差数列；
(2)由等差数列的通项公式，可得 = 3 ，
3
由 = + = 3 + ，
假设存在正整数 ， ，使得 1， 2， ( > 2)成等比数列，
2 36 3 3 可得 2 = 1 ，即( +6)2 = 3+ 3 + ，
化为 ( 4) = 12，可得 ≥ 5，
即有 = 5， = 12； = 6， = 6； = 7， = 4； = 8， = 3； = 10， = 2； = 16， = 1．
则存在正整数 ， ，使得 1， 2， ( > 2)成等比数列，
满足要求的 和 的所有值为：
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= 5， = 12； = 6， = 6； = 7， = 4； = 8， = 3； = 10， = 2； = 16， = 1．
16.解：(1)证明：因为 // ，且 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，
又因为 平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以 // ；
(2)取 的中点 ，连接 ，则 = ，又 // ，
所以四边形 为平行四边形，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，故四边形 为矩形，
在 △ 中， 2 = 2 + 2 = 16 + 9 = 25，又 2 = 2 = 25，
所以在△ 中， 2 = 2 + 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ ，又因为 ， 平面 ，且 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ，
以直线 为 轴，直线 为 轴，直线 为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (3,0,0)， (3,4,0)， ( 3,4,0)， (0,0,4)， ( 32 , 0,2)，
= ( 32 , 4, 2)， = (0,4,0)， = ( 6,0,0)， = ( 3,0,4)，
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0
3
2 1 + 4 1 2 1 = 0则
，即 ，
1 = 0 4 1 = 0
可取 1 = (4,0,3)，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
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2 = 0
3
2 2 + 4 2 2 = 0则 2

，即 ，
2 = 0 6 2 = 0
可取 2 = (0,1,2)，
设二面角 的大小为 (0 < < )，
则| | = |cos < 1, 2 > | =
| 1 2| 6 6 5
| 1|| 2|
= ．5 5 = 25
(3)设 = ， ∈ (0,1)，则 = = ( 3 , 0,4 ) (0,4,0) = ( 3 , 4,4 )，
设平面 的法向量为 3 = ( 3, 3, 3)，
3 = 0 3 3 4 3 + 4 3 = 0则 ，即 = 0 6 = 0
，
3 3
可取 3 = (0, , 1)，
因为 = (0,4,0)， = ( 3,4, 4)，
| = 3| = 4 , = |
3|所以 1 | | 2 | | =
|4 4| = 4(1 )．
3 2+1 3 2+1 2+1
16 (1 ))
故 1 2 = 2+1 ，
设 ( ) = 16 (1 ) 2+1 ， ∈ (0,1)，
则 ′( ) =
16 2
( 2+1)2 (1 2 )，
令 ( ) = 0，得 2 + 2 1 = 0，
解得 1 = 1 2(舍去)， 2 = 1 + 2，
故 ∈ (0, 1 + 2)时， ′( ) > 0， ∈ ( 1 + 2, 1)时， ′( ) < 0，
所以 ( ) ≤ ( 1 + 2) = 8( 2 1)，
故 1 2的最大值为 8( 2 1)．
17.解：(1)当 = 1 时， ( ) = ( + 1)2 + 6， ′( ) = ( + 1) 2( + 1)，
′(0) = 1， (0) = 5，
故曲线 = ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = + 5．
(2) ′( ) = ( + 1)( 2)( > 0)，
①当 ≤ 0 时， 2 < 0，因为 + 1 > 0，所以 ′( ) < 0，此时 ( )在(0, + ∞)无最小值；
②当 > 0 时，
( )若 ≥ 2，则在(0, + ∞)上， 2 > 0，
所以 ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，无最小值．
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( )若 0 < < 2 2，则 0 < < ln 时，有 ′( ) < 0， ( )在(0, ln
2
)上单调递减，
> ln 2 2 时，有 ′( ) > 0， ( )在(ln , + ∞)上单调递增，
故 ( )在(0, + ∞) 2上的最小值为 (ln ) = 4，
2 2
即 2 (ln + 1)
2
+ 6 = 4
2
，整理得(ln )2 = 1，解得 = 2 1 或 = 2 (舍去)．
综上，得 = 2 1．
18. (1) 3 3 15解： 由题意可知， ～ (5, 4 )，由二项分布的期望公式可得 ( ) = 5 × 4 = 4；
(2)记事件 1、 2、 3分别表示该学生来自甲、乙、丙组，事件 表示该同学能猜对，
所以， ( 1) = ( 2) = ( 3) =
1
3， ( | 1) =
4
5， ( | 2) =
3
4，
( | 3) =
5 1 4 1 3 1 5 143
6，由全概率公式可得 ( ) =
3
=1 ( ) ( | ) = 3 × 5 + 3 × 4 + 3 × 6 = 180．
143
所以，该学生能猜对的概率为180；
(3) 1 3 2 2由题意可知，积分增加 分的概率为5，增加 分的概率为5记得分为 的概率为 ，
3 3 3 2 19 3 2
且 = ， 1 5 2 = 5 × 5 + 5 = 25， = 5 1 + 5 2( ≥ 3, ∈ )，
所以 4 4 22 1 = 25，数列{ +1 }是首项为25，公比为 5的等比数列，
则 +1 =
4
25 (
2 ) 1 = ( 2 ) +15 5 ，
由累加法可得 10 = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 10 9) =
3 2 2 2 3
5+ ( 5 ) + ( 5 ) + + (
2 )105
4
3 25[1 (
2 9
= + 5
) ] 3
5 2 = 5+
4 4 2
35 + 35 ( 5 )
9 = 5 + 27 7 (
2
5 )
10，
1 ( 5)
5 2 2
因此，丁组获胜的概率为 107+ 7 ( 5 ) ．
19.解：(1)设双曲线的焦半距为 ，
此时 2 = 2 + 1，
2 3
因为双曲线的离心率为 3 ，
2 3
所以 = 3 ，
解得 = 3，
2
则双曲线 1的方程为 23 = 1；
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(2)证明：设 ( 0, 0)，
3
为渐近线 = 3 ，
3
为渐近线 = 3 ，
直线 的方程为 0 =
3
3 ( 0)，
= 3
联立 3

，
0 =
3
3 ( 0)
解得 ( 1 + 32 0 2 0,
3 1
6 0 + 2 0)，
| + 3 |
所以 = 0 03 ，
( 1 3同理得 2 0 2 0,
3 1
6 0 + 2 0)
| 3 |
所以 = 0 03 ，
3
因为直线 的斜率 = 3 ，
所以∠ = 30°，
所以∠ = 2∠ = 60°，
2
= | | | | sin∠ = 3| 0 3
2
则平行四边形 的面积 0
|
6 ，
因为点 在双曲线 上，
2
所以 0 23 0 = 1，
即 2 3 20 0 = 3，
3
则平行四边形 的面积为 2 ；
(3)设 ( 0, 0)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
因为 = 1 22 ，
可得 ′ = ，
所以直线 的方程为 1 = 1( 1)，
因为 ( 0, 0)在直线 上，
所以 0 1 = 1( 0 1) = 0 1 2 1，
解得 0 + 1 = 0 1，
同理得 0 + 2 = 0 2，
所以 ( 1, 1)， ( 2, 2)均满足方程 0 + = 0 ，
则直线 的方程为 0 = + 0，
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0 = + 0
联立 2 = 2 ，消去 并整理得
2 2 0 + 2 0 = 0，
由韦达定理得 1 + 2 = 2 0， 1 2 = 2 0，
所以 = 1+ 20| 1 2| = 1 + 20 4 20 8 0，
2
| 2 |因为 到直线 的距离 = 0 0 ，
1+ 20
3
所以△ 面积 = 12 =
1 2
2 | 0 2 | 4
2
0 0 8 0 = ( 20 2 0)2，
因为 20 2 0 = 3 20 2 0 + 3 = 3( 0
1 )2 8 83 + 3 ≥ 3，
8 3 16 6
所以 ≥ ( )23 = 9 ，
( ± 30 1 16 6当 为 3 , 3 )时， 取得最小值，最小值为 9 ．
16 6
故△ 面积最小值为 9 ．
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