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2025 年四川省雅安市高考数学二诊试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |1 < ≤ 6}， = {2,4,6,8}，则 ∩ =( )
A. {6} B. {2,4} C. {2,4,6} D. {1,2,4,6}
2.下列函数中为奇函数的是( )
A. = + 1 B. = C. = 2 D. = 3
3.已知(1 + ) = 4，则 =( )
A. 2 + 2 B. 2 2 C. 2 + 2 D. 2 2
4.已知向量 = (3, 4)， = ( , 2)，且 ⊥ ，则 的值为( )
A. 83 B.
8 3 3
3 C. 8 D. 8
5 .记 为等差数列{ }的前 项和，若 3 + 7 = 10， 5 9 = 65，则 =( )
A. 14 B. 2 C. 12 D. 4
6.已知正四棱锥的所有顶点都在同一个球面上，若该棱锥的高为 1，底面边长为 2，则球的体积为( )
A. 9 B. 9 92 C. 4 D.
27
8
7.已知双曲线渐近线的斜率的绝对值大于 3，则该双曲线离心率的取值范围是( )
A. (2, + ∞) B. (1, 43 )
C. (1, 4 2 33 ) ∪ (2, + ∞) D. (1, 3 ) ∪ (2, + ∞)
8.已知 ， ∈ ，且 ≠ 0，对于任意 ≥ 0 均有( )( )( 2 ) ≥ 0，则( )
A. > 0 B. < 0 C. > 0 D. < 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 .已知函数 ( ) = cos(3 6 )，下列说法正确的是( )
A. ( ) 2 的最小正周期为 3
B. ( ) 的图象关于直线 = 9对称
C. ( ) 7 13 在[ 18 , 18 ]上单调递增
D. 2 将 ( )的图象向左平移 9个单位长度后得到 ( )的图象，则 ( ) = 3
10.已知点 ( 1,0)， (2,0)，动点 满足| | = 2| |，记点 的轨迹为曲线 ，则下列说法中正确的是( )
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A.曲线 的方程为( 3)2 + 2 = 4
B. | |的最大值为 6
C.点 到直线 的距离的最大值为 2
D.设直线 与曲线 的另一个交点为 ，则∠ = ∠
11.某次考试结束后，甲、乙两人去询问分数.老师对两人说：你们的分数相同，是一个两位的素数，并将这
个素数的十位、个位数字分别告诉甲、乙.两人写出所有两位素数
(11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97)后，对话如下：
甲：我不知道这个素数是多少．
乙：我早就知道你不可能知道．
甲：我还是不知道．
乙：我也早就知道你刚才不可能知道．
甲：我现在知道了．
则这个素数( )
A.不是 97 B.十位数字不是 3，6
C.是 43 D.是 73
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.椭圆 上一点 到其两焦点 1( 8,0)， 2(8,0)的距离之和等于 20，则椭圆 的标准方程为______．
13.在(1 + + 2)(1 )10的展开式中，含 4的系数为______．
14.在公比不为 1 的等比数列{ }中，若 2025 = 1，且有 1 2… 5 = 1 2… 5( ∈ , > 5)成立，则 =
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
国产动画电影《哪吒之魔童闹海》现已登顶全球动画电影票房榜榜首，并刷新多项世界票房纪录.下表截取
了该电影上映后 10 日的单日累计票房：
日期 1 月 29 日 1 月 30 日 1 月 31 日 2 月 1 日 2 月 2 日 2 月 3 日 2 月 4 日
日期代码 1 2 3 4 5 6 7
累计票房 (亿元) 4.88 9.68 15.87 23.19 31.32 39.76 48.43
续表
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日期 2 月 5 日 2 月 6 日 2 月 7 日
日期代码 8 9 10
累计票房 (亿元) 54.92 60.78 66.20
(1)请根据这 10 日数据：

( )计算 ， 的平均值 ， ；
( )求 关于 的经验回归方程．
(2)用上面求出的经验回归方程预测该电影上映半年后的票房，得到的结果合理吗？为什么？
附：



参考公式：经验回归方程 = + 斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

= =1 ( )( )

2 , = ； =1 2

参考数据：10 =1 1 = 355.03，
10
=1 ( )( ) = 594.495．
16.(本小题 15 分)
记锐角△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ， 2 = 3 ．
(1)求角 ；
(2)若 = 1，求△ 面积的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + ．
(1)若 = 0， = 1，求 ( )的单调区间和极值；
(2)若 = 0，证明：当 > 0 时， ( ) ≥ 2 + ．
18.(本小题 17 分)
如图，已知四面体 中， ⊥ ， ⊥ ， = 2 = 2 = 4，平面 ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥ ；
(2) 3 在线段 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ，若存在，求出 的值，若不
存在，请说明理由；
(3)在此四面体中任取两条棱，记它们互相垂直的概率为 1；任取两个面，记它们互相垂直的概率为 2；任
取一个面和不在此面上的一条棱，记它们互相垂直的概率为 3，试比较 1， 2， 3的大小．
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19.(本小题 17 分)
已知抛物线 ： = 2．
(1)若点 ( 10, 0)为抛物线 上一点，证明：抛物线 在点 处的切线方程为2 ( 0 + ) = 0 ；
(2)设 ， 是抛物线 ： = 2上两点，过点 ， 分别作 的切线交于点 ，点 ， 分别在线段 ， 的延
长线上，直线 与抛物线 相切于点 ．
( ) | | | | | |证明：| | = | | = | |；
( )记△ ，△ 的面积分别为 11， 2，求 的值．2
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
2 212.100 +

36 = 1
13.135
14.10 或 4049．
15.解：(1)根据这 10 日数据：

( ) = 110 × (1 + 2 + … + 10) = 5.5，

= 110 × (4.88 + 9.68 + 15.87 + 23.19 + 31.32 + 39.76 + 48.43 + 54.92 + 60.78 + 66.20) = 35.503；

( )因为10 2 10 2 =1 = 385 10 × 5.5
2 = 82.5，

所以根据题目的数据及公式可得 = 594.49582.5 = 7.206
，
所以

= = 35.503 7.206 × 5.5 ≈ 4.13，

所以 关于 的经验回归方程为 = 7.206 4.13；
(2)由(1) 可得当 = 180 时， = 4.13 + 7.206 × 180 ≈ 1292.95，
预测结果不合理，因为票房增长不可能长期线性增长，实际会随着时间放缓甚至下降，
所以回归模型在此范围外的预测不可靠．
16.解：(1)因为 2 = 3 ，
由正弦定理得 2 = 3 ，
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又因为在锐角△ 中 > 0， > 0，
所以 = 3，2
又 ∈ (0, ) = ，所以 6；
(2) 因为 = ，
3 1
所以 =
+
=
sin( + ) 2 2 3 1 ，
= = 2 + 2
0 < < 2
因为 ，所以 < < ，
0 < = 5 3 26 < 2
所以 ∈ ( 3, + ∞)，所以 = 3 + 1 3 2 3 ，2 2 ∈ ( 2 , 3 )
所以 △ =
1
2 =
1 3 3 ．
4 ∈ ( 8 , 6 )
17. 1 1解：(1)若 = 0， = 1，则 ( ) = + ，则 ′( ) = + 1 = ( > 0)，
令 ′( ) > 0，得 > 1，令 ′( ) < 0，得 0 < < 1，所以函数 ( )的增区间为(1, + ∞)，减区间为(0,1)，
所以函数 ( )的极小值为 (1) = 1，无极大值；
(2)证明：若 = 0 1，则 ( ) = ，则 ′( ) = ( > 0)，
当 > 0 1时，函数 = = 在(0, + ∞)上都是增函数，所以函数 ′( ) =
1 在(0, + ∞)上是增函数，
又当 → 0 时， ′( ) → ∞当 →+∞时， ′( ) →+∞，所以存在唯一实数 0 ∈ (0, + ∞)，
使得 ′( ) =
1
0 0 = 0，即 0 =
1
,令 ′( ) > 0，则 > ，令 ′( ) < 0，0 0 0
则 0 < < 0，所以函数 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, + ∞)上单调递增，
1
所以 ( ) ≥ ( 0) = 0 0 = ln
1
0 =
1
+ 0 + ≥ 2
1 0 + = 2 + ，
0 0 0
1
当且仅当 = 0，即 0 = 1 时取等号，所以 ( ) ≥ 2 + ．0
18.(1)证明：过 作 ⊥ ，交 于 ，
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ．
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(2) 1解：存在，且 的值为2，理由如下：
由(1)得 ⊥ ，
又 ⊥ ， ∩ = ， 、 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 = = 2，所以 = 2 + 2 = 2 2， = 2 2 = 2 2，
以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴，过 作 // ，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (0,2,0)， (2,0,0)， (0,2,2 2)，
所以 = (0,2,2 2)， = (2,0,0)，

设平面 = ( , , ) = 2 + 2 2 = 0的法向量为 ，则 ，
= 2 = 0
取 = 1，则 = 0， = 2，所以 = (0, 2, 1)，
设 = = (2, 2,0)， ∈ [0,1]，
则 = + = (0,2,0) + (2, 2,0) = (2 , 2 2 , 0)，
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 3，
3
| | | 2(2 2 )| 3
所以|cos < ， > | = | = =| | | ，4 2+(2 2 )2× 3 3
解得 = 12，
1
即 的值为2．
(3)解：6 条棱中任选 2 条，共有 26 = 15 种情况，其中相互垂直的棱有 5 对： ⊥ ， ⊥ ， ⊥ ，
⊥ ， ⊥ ，
5 1
所以 1 = 15 = 3，
4 个面任选 2 个面，共有 24 = 6 种情况，其中相互垂直的面有 3 对：平面 ⊥平面 ，平面 ⊥平面
，平面 ⊥平面 ，
= 3 = 1所以 2 6 2，
任选 1 个面和不在此面上的 1 条棱，先从 4 个平面任选 1 个平面，共有 14 = 4 种情况，再从不在此面上的
3 条棱中选 1 条，有 13 = 3 种情况，共有 12 情况，
其中满足垂直关系的有 2 种，分别为 ⊥平面 ， ⊥平面 ，
所以 3 =
2 1
12 = 6，
所以 3 < 1 < 2．
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19.解：(1)证明：二次函数 = 2，求导得 ′ = 2 ，抛物线 在点 ( 0, 0)切线的斜率为 = 2 0，
则切线方程为 0 = 2 0( 0)，而 0 = 2
1
0，整理得2 ( 0 + ) = 0 ，
1
所以抛物线 在点 处的切线方程为2 ( 0 + ) = 0 ．
(2)( )证明：令 ( 1, 21)， ( 2 22, 2)， ( 3, 3)，设点 ， ， 的横坐标分别为 ， ， ，
由(1) 1知，直线 ， ， 的方程分别为2 (
2
1 + ) =
1
1 ，2 (
2
2 + ) =
1 2
2 ，2 ( 3 + ) = 3 ，
+ + +
联立 = 1 2 2 ， =
1 3， = 3 2 2 2 ，
+
| |
1 2
因此 1 2
1 2 1
| | = = + = ， 1 32
1+ 2
2 3 2
| | 2 1 | | 同理 2 1| | = ，3 2 | |
= 3
，
2
| | = | | = | |所以| | | | | |．
( ) ( ) | | | | | | 由 ，令 2 1| | = | | = | | = = ，3 2

则 1 = △ △ △ △ = △ △
△ 1，
2 △ △ △ △
△ = △ + △ = △ △ △ | | | |
2
+ = | | (1 + | | ) =
( +1)
，
△ △ △ △ △
△ = △ + △ = △ + △ △ = | | (1 + | | +1 ) = ，△ △ △ △ △ | | | | 2
△ = △ + △ = △ + △ △ = | | | | (1 +
| |
△ △ △ △ △ | |
) = ( + 1)，
1 ( +1)2 2 2 3 2 2
= +1
1
( +1) 1 =
( +1)

+1
( +1) 1 =
( +1) +1 1 = 2，2

所以 1 的值为 2．2
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