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2025年高二下数学半期复习
一．等比数列的通项公式
1．已知等比数列{an}中，a4＝6，a7＝48，则a11＝　 　 ．
二．等比数列的前n项和
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12＝（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
三．数列递推式
（多选）3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝19，a2＝17，则下列选项正确的是（　　）
A．a4＝13 B．{an}为等差数列 C． D．当n＝11时，Sn有最大值
四．数列的求和
4．若数列an的通项公式为an＝2n+2n﹣1，则数列an的前n项和为（　　）
A．2n+n2﹣1 B．2n+1+n2﹣1 C．2n+1+n2﹣2 D．2n+n﹣2
5．已知数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
6．记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝85，且a6＝7a1．
（Ⅰ）求an和Sn；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
五．错位相减法
7．已知数列{an}是单调递增的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1＝1，b2+1是a1和a4的等差中项，b2是a1和a5的等比中项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若Sn为数列的前n项和，求证：1≤Sn＜3．
六．裂项相消法
8．已知等差数列{an}中，a2＝3，a7＝8．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求证：数列{bn}的前n项和．
9．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝﹣3，S7＝﹣21．
（1）求{an}的通项公式；
（2）bn＝﹣an+1，求数列的前n项和Tn．
10．已知数列{an}中，a2＝6，a4＝20，数列{bn}是等差数列，且．
（1）求b2，b4和数列{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
七．数列求和的奇偶数分类
11．在数列{an}中，已知an+1＝3an﹣2，a1＝4．
（1）证明：{an﹣1}是等比数列；
（2）若bn求数列{bn}的前2n项和T2n．
八．基本初等函数的导数
13．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（e﹣x）′＝e﹣x
C． D．
14．已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（　　）
A．4 B．﹣2 C．0 D．2
（多选）15．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C．（xex）′＝（x+1）ex D．（cos3x）′＝﹣sin3x
16．根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）求y＝x2在x＝1处的导数；
（2）求y＝x25在点处的导数．
九．利用导数研究曲线上某点切线方程
17．曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．5x+y+3＝0 B．5x+y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0
18．曲线在点（1，t）处的切线的斜率k＝（　　）
A．5 B．4 C．﹣1 D．﹣2
19．若函数f（x）＝sinx的图象在点（0，0）处的切线方程为 　 　 ．
十．利用导数研究函数的单调性
20．已知函数f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增 B．f（x）在（0，3）上单调递减
C．f（x）在x＝0处取得最大值 D．f（x）在x＝﹣2处取得最小值
21．若函数f（x）＝x3+x2+3mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 　 　 ．
22．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）方程f（x）＝m在有解，求实数m的范围．
23．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣2ax2+4ax（a＞0）．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．
24．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在[﹣2，2]上的最大值、最小值．
25．已知函数f（x）＝x（x﹣3）2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（a，a+4）上存在最大值，求实数a的范围；
（3）过点（0，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的范围．
26．已知函数f（x）＝（x+a）ex．
（1）若f（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的值；
（2）若f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求实数a的取值范围．
十一．利用导数求解函数的单调性和单调区间
27．已知函数f（x）＝aex﹣x的单调递增区间为[0，+∞），则a的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
（多选）28．已知函数f（x）＝﹣x3+3x2，则（　　）
A．f（x）在（0，1）上单调递增 B．f（x）在x＝0处有极大值
C．若f（x）在（1，m）上不单调，则m＞2 D．若f（x）在区间（﹣1，m）上有最小值，则0＜m≤3
29．已知函数f（x）＝xex，g（x）＝x+alnx+1．
（1）求y＝f（x）的极值；（2）讨论g（x）的单调性；
（3）若a＝1且x∈（0，+∞）时，求证g（x）≤f（x）．
十二．利用导数研究函数的极值最值
30．若x＝1是函数f（x）＝ax3+x2﹣（a+2）x+1的极值点，则实数a＝　 　 ．
31．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
32．若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2]∪[2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．[2，+∞）
十三．计数原理与排列组合
33．学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
34．学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次，假设某球队派甲、乙、丙3名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．36
十四．二项式定理
35．的展开式中常数项是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
（多选）36．已知，则（　　）
A．a2＝﹣144 B．a0＝1
C．a0+a1+a2+a3+ +a9＝1 D．
37．在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 　 　 ．
38．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56．
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项．
十五．空间几何
39．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．
40．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，CD⊥平面ADPQ，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）PC与平面PBQ所成角的正弦值．
41．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝1，
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）试问在线段PC上是否存在一点M，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
十六．圆锥曲线
42．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标F（1，0），斜率为﹣1的直线l与C相交于A，B．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若|AF|+|BF|＝10，求l的方程．
43．在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为时，求△POQ的面积．
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号 2 4 13 14 17 18 20 27 32 33 34
答案 C C A B B C B C B C C
题号 35
答案 D
二．多选题（共4小题）
题号 3 15 28 36
答案 ABC BC ACD AC
1．已知等比数列{an}中，a4＝6，a7＝48，则a11＝　768　 ．
【解答】解：∵等比数列{an}中，a4＝6，a7＝48，
∴，
q＝2，．
故答案为：768．
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S4＝3，S8＝9，则S12＝（　　）
A．12 B．18 C．21 D．27
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝3，S8＝9，
∴S4，S8﹣S4，S12﹣S8成等比数列，
即3，6，S12﹣9成等比数列，
∴（S12﹣9）×3＝36，∴S12＝21．
故选：C．
（多选）3．设数列{an}的前n项和为Sn，满足2an+1＝an+an+2，其中a1＝19，a2＝17，则下列选项正确的是（　　）
A．a4＝13
B．{an}为等差数列
C．
D．当n＝11时，Sn有最大值
【解答】解：因为2an+1＝an+an+2，所以an+2﹣an+1＝an+1﹣an，
又因为a1＝19，a2＝17，所以a2﹣a1＝﹣2，
所以数列{an}是首项19，公差为﹣2的等差数列，
即an＝19﹣2（n﹣1）＝21﹣2n，a4＝13，故选项A，B正确．
因为，所以，故选项C正确．
因为，所以当n＝10时，Sn有最大值，故选项D错误．
故选：ABC．
4．若数列an的通项公式为an＝2n+2n﹣1，则数列an的前n项和为（　　）
A．2n+n2﹣1 B．2n+1+n2﹣1 C．2n+1+n2﹣2 D．2n+n﹣2
【解答】解：数列{an}的前n项和对n＝1也成立，故把n＝1代入，结果应为3，只有答案C符合．
故选：C．
5．已知数列{an}的前n项和．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列的前n项和．
【解答】解：（1）因为，
所以当n＝1时，，
当n≥2时，，
显然n＝1时也满足an＝4n﹣32，
所以an＝4n﹣32．
（2）因为，
所以数列为公差为2的等差数列，
其前n项和．
6．记递增的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝85，且a6＝7a1．
（Ⅰ）求an和Sn；
（Ⅱ）设，求数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d＞0），
因为S5＝5a3＝85，所以a3＝17，
由a6＝7a1得，a3+3d＝7（a3﹣2d），
所以17+3d＝7（17﹣2d），解得d＝6，
所以a1＝a3﹣2d＝5，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝5+（n﹣1）×6＝6n﹣1，．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，，
所以．
7．已知数列{an}是单调递增的等差数列，数列{bn}为等比数列，且a1＝b1＝1，b2+1是a1和a4的等差中项，b2是a1和a5的等比中项．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若Sn为数列的前n项和，求证：1≤Sn＜3．
【解答】解：（1）设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q，
由已知可得，
消去q得：9d2﹣16d﹣4＝0，解得d＝2或，
因为等差数列{an}单调递增，所以d＞0，
于是d＝2，q＝3，
an＝2n﹣1，．
（2）由得：
， ①
， ②
①﹣②得：
，
于是，
又单调递增 Sn≥S1＝1．
综上所述：1≤Sn＜3．
8．已知等差数列{an}中，a2＝3，a7＝8．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
（2）设，求证：数列{bn}的前n项和．
【解答】（1）解：已知等差数列{an}中，a2＝3，a7＝8．
则等差数列{an}的公差为，
所以a1＝a2﹣1＝2，
则an＝a1+（n﹣1）×1＝n+1，
所以；
（2）证明：由（1）可得：，
所以，
即．
9．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝﹣3，S7＝﹣21．
（1）求{an}的通项公式；
（2）bn＝﹣an+1，求数列的前n项和Tn．
【解答】解（1）不妨设等差数列的公差为d，
可得S3＝3a1+3d＝﹣3，S7＝7a1+21d＝﹣21，
所以，
解得，
所以an＝a1+（n﹣1）d＝﹣n+1；
（2）由（1）知bn＝﹣an+1＝n，
所以，
所以．
．
10．已知数列{an}中，a2＝6，a4＝20，数列{bn}是等差数列，且．
（1）求b2，b4和数列{bn}的通项公式；
（2）求数列的前n项和Sn．
【解答】解：（1）因为，所以，，
又数列{bn}是等差数列，设公差为d，则，
所以bn＝b2+（n﹣2）d＝n+1；
（2）由（1）可知，所以an＝n（n+1），
所以，
所以数列的前n项和．
11．在数列{an}中，已知an+1＝3an﹣2，a1＝4．
（1）证明：{an﹣1}是等比数列；
（2）若bn求数列{bn}的前2n项和T2n．
【解答】解：（1）证明：在数列{an}中，已知an+1＝3an﹣2，a1＝4，
可得an+1﹣1＝3（an﹣1），
所以数列{an﹣1}是首项和公比为3的等比数列；
（2）由（1）知 ．
bn，
所以
．
12．已知函数f（x）＝axc（a＞0）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为y＝x﹣1．
（1）试用a表示出b，c；
（2）若f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）证明：1ln（n+1）（n≥1）．
【解答】解：（1）∵，
∴
∴f（1）＝a+a﹣1+c＝2a﹣1+c．
又∵点（1，f（1））在切线y＝x﹣1上，
∴2a﹣1+c＝0 c＝1﹣2a，
∴．
（2）∵，
f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
设g（x）＝f（x）﹣lnx，则g（x）＝f（x）﹣lnx≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴g（x）min≥0，又∵，
而当时，．
1°当即时，
g'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴；
2°当即时，
g'（x）＝0时；
且时，g'（x）＜0，
当时，g'（x）＞0；
则①，
又∵与①矛盾，不符题意，故舍．
∴综上所述，a的取值范围为：[，+∞）．
（3）证明：由（2）可知时，f（x）≥lnx在[1，+∞）上恒成立，
则当时，在[1，+∞）上恒成立，
令x依次取时，
则有，，
…
，
由同向不等式可加性可得
，
即，
也即，
也即1ln（n+1）（n≥1）．
解法二：①当n＝1时左边＝1，右边＝ln21，不等式成立；
②假设n＝k时，不等式成立，就是1ln（k+1）（k≥1）．
那么1ln（k+1）
＝ln（k+1）．
由（2）知：当时，有f（x）≥lnx （x≥1）
令有f（x） （x≥1）
令x得
∴
∴1
这就是说，当n＝k+1时，不等式也成立．
根据（1）和（2），可知不等式对任何n∈N*都成立．
13．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．（e﹣x）′＝e﹣x
C． D．
【解答】解：对A，，正确；
对B，（e﹣x）′＝﹣e﹣x，错误；
对C，，错误；
对D，，错误．
故选：A．
14．已知f（x）＝x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（　　）
A．4 B．﹣2 C．0 D．2
【解答】解：求导得：f′（x）＝2x+2f′（1），
令x＝1，得到f′（1）＝2+2f′（1），
解得：f′（1）＝﹣2，
故选：B．
（多选）15．下列求导正确的是（　　）
A． B．
C．（xex）′＝（x+1）ex D．（cos3x）′＝﹣sin3x
【解答】解：（ln10）'＝0，故A错误；
，故B正确；
（xex）'＝x' ex+x （ex）'＝ex+x ex＝（1+x）ex，故C正确；
（cos3x）'＝﹣3sin3x，故D错误．
故选：BC．
16．根据导数的定义求下列函数的导数：
（1）求y＝x2在x＝1处的导数；
（2）求y＝x25在点处的导数．
【解答】解：（1）2x+△x，
所以f'（x）（2x+△x）＝2x，
当x＝1时，f'（1）＝2．
（2）
2x+△x，
所以f'（x）（2x+△x）＝2x，
当x＝2时，f'（2）＝4．
17．曲线在点（1，f（1））处的切线方程为（　　）
A．5x+y+3＝0 B．5x+y﹣7＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x﹣y﹣1＝0
【解答】解：由，得f（1）＝﹣1+3＝2，则所求切线切点坐标为（1，2），
，则f′（1）＝﹣2﹣3＝﹣5，则所求切线斜率为﹣5，
故所求的切线方程为y﹣2＝﹣5（x﹣1），即5x+y﹣7＝0．
故选：B．
18．曲线在点（1，t）处的切线的斜率k＝（　　）
A．5 B．4 C．﹣1 D．﹣2
【解答】解：因为，
所以，
所以k＝y′|x＝1＝2﹣3＝﹣1．
故选：C．
19．若函数f（x）＝sinx的图象在点（0，0）处的切线方程为 　y＝x　 ．
【解答】解：由f（x）＝sinx，得f′（x）＝cosx，
则f′（0）＝cos0＝1，
∴函数f（x）＝sinx的图象在点（0，0）处的切线方程为y＝x．
故答案为：y＝x．
20．已知函数f（x）导函数f'（x）的图象如图所示，则（　　）
A．f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增
B．f（x）在（0，3）上单调递减
C．f（x）在x＝0处取得最大值
D．f（x）在x＝﹣2处取得最小值
【解答】解：由图象得当x＜﹣2时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当﹣2＜x＜0，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当0＜x＜3时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
当x＞3，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x＝﹣2时，函数f（x）取得极小值，并非最小值；
当x＝0时，函数f（x）取得极大值，并非最大值．
故选：B．
21．若函数f（x）＝x3+x2+3mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是 　　 ．
【解答】解：f′（x）＝3x2+2x+3m；
∵f（x）在R上是单调函数；
∴f′（x）≥0对于x∈R恒成立；
∴Δ＝4﹣36m≤0；
∴m，
∴实数m的取值范围为[，+∞），
故答案为：[，+∞）．
22．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣x+2．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）方程f（x）＝m在有解，求实数m的范围．
【解答】解：（1）f（x）＝x3﹣x2﹣x+2的定义域为R，
f′（x）＝3x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）（3x+1），
当时，f′（x）＞0；时，f′（x）＜0；
故f（x）单调增区间为，（1，+∞）；
（2）由（1）知，函数f（x）在区间，（1，2）上单调递增，在区间上单调递减，
∵，，f（1）＝1，f（2）＝4，
∴，，
故函数f（x）在区间上的最大值为4，最小值为1，
∴f（x）∈[1，4]，
∴m∈[1，4]．
23．已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣2ax2+4ax（a＞0）．
（1）若a＝1，求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若f（x）恰有三个零点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（x﹣2）ex﹣2x2+4x，所以f'（x）＝（x﹣1）ex﹣4x+4，
所以f（0）＝﹣2，f'（0）＝3，
所以曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y+2＝3x，即3x﹣y﹣2＝0．
（2）因为f（x）＝（x﹣2）ex﹣2ax2+4ax＝（x﹣2）（ex﹣2ax），
所以x＝2是f（x）的一个零点，
因为f（x）恰有三个零点，所以方程ex﹣2ax＝0有两个不为2实数根，即方程有两个不为2实数根．
令，所以，
令h′（x）＜0，得x＞1，令h'（x）＞0，得x＜1，
所以h（x）在区间（﹣∞，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
当x∈（﹣∞，1]时，h（x）的值域为，
当x∈（1，+∞）时，h（x）的值域为，
所以且，所以且，
所以a的取值范围是．
24．已知函数f（x）＝x3﹣3x2+2．
（1）写出函数的单调区间；
（2）求函数在[﹣2，2]上的最大值、最小值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x3﹣3x2+2，
f′（x）＝3x2﹣6x＝3x（x﹣2），
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜0，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜2，
∴f（x）在（﹣∞，0）递增，在（0，2）递减，在（2，+∞）递增；
（2）由（1）f（x）在[﹣2，0）递增，在（0，2]递增，
而f（﹣2）＝﹣18，f（0）＝2，f（2）＝﹣2，
故f（x）在最大值是2，最小值是﹣18．
25．已知函数f（x）＝x（x﹣3）2．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（a，a+4）上存在最大值，求实数a的范围；
（3）过点（0，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，求实数m的范围．
【解答】解：（1）函数f（x）＝x（x﹣3）2的定义域为R，求导得f'（x）＝（x﹣3）2+2x（x﹣3）＝3（x﹣1）（x﹣3），
当x＜1或x＞3时，f′（x）＞0；当1＜x＜3时，f′（x）＜0，
函数f（x）在（﹣∞，1），（3，+∞）上单调递增，在（1，3）上单调递减，
所以函数f（x）的递增区间为（﹣∞，1），（3，+∞），递减区间为（1，3）．
（2）由（1）知，函数f（x）在x＝1处取得极大值f（1）＝4，在x＝3处取得极小值f（3）＝0，
函数f（x）有唯一极大值点，要函数f（x）在（a，a+4）上存在最大值，则1∈（a，a+4），
当x＜1时，恒有f（x）＜f（1）＝4，当1＜x＜3时，0＜f（x）＜4，当x＞3时，f（x）＞f（3）＝0，
由f（x）≤4，得（x﹣3）2≤4，整理得（x﹣1）2（x﹣4）≤0，解得x≤4，
因此a＜1＜a+4≤4，解得﹣3＜a≤0，
所以实数a∈（﹣3，0]．
（3）设切点坐标为（t，t（t﹣3）2），则f′（t）＝3（t﹣1）（t﹣3），
切线方程为y﹣t（t﹣3）2＝3（t﹣1）（t﹣3）（x﹣t），由切线过点（0，m），
得m﹣t（t﹣3）2＝3（t﹣1）（t﹣3）（0﹣t），整理得m＝﹣2t2（t﹣3），
令g（t）＝﹣2t2（t﹣3），求导得g'（t）＝﹣6t2+12t＝﹣6t（t﹣2），
当t＜0或t＞2时，g′（t）＜0；当0＜t＜3时，g′（t）＞0，
函数g（t）在（﹣∞，0），（2，+∞）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
函数g（t）在t＝0处取得极小值g（0）＝0，在t＝2处取得极大值g（2）＝8，
由过点（0，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线，得方程m＝﹣2t2（t﹣3）有3个不同实数解，
则直线y＝m与函数y＝g（t）的图象有3个交点，于是0＜m＜8，
所以数m∈（0，8）．
26．已知函数f（x）＝（x+a）ex．
（1）若f（x）在x＝1处取得极小值，求实数a的值；
（2）若f（x）在（﹣1，1）上单调递增，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）因为f'（x）＝ex+（x+a）ex＝（x+a+1）ex，
所以f'（1）＝（a+2）e＝0，得a＝﹣2，
此时f'（x）＝（x﹣1）ex，
令f'（x）＞0，解得x＞1，
f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以f（x）在x＝1处取得极小值，满足题意，
所以实数a的值为﹣2；
（2）由（1）知，f'（x）＝（x+a+1）ex，
由已知有f（x）在（﹣1，1）上单调递增，
故f'（x）≥0在（﹣1，1）上恒成立，
因为ex＞0，所以x+a+1≥0在（﹣1，1）上恒成立，即a≥﹣x﹣1在（﹣1，1）上恒成立，
故a≥0，
故实数a的取值范围为[0，+∞）．
27．已知函数f（x）＝aex﹣x的单调递增区间为[0，+∞），则a的值为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．
【解答】解：由题意函数f（x）＝aex﹣x，
可得f′（x）＝aex﹣1，
当a≤0时，f′（x）＜0，函数在（﹣∞，+∞）上单调递减，不合题意，
当a＞0时，令f′（x）＝aex﹣1＞0，解得ex，x＞ln，
即函数f（x）＝aex﹣x的单调递增区间为[ln，+∞），
又函数f（x）＝aex﹣x的单调递增区间为[0，+∞），
可得ln0，即a＝1．
故选：C．
（多选）28．已知函数f（x）＝﹣x3+3x2，则（　　）
A．f（x）在（0，1）上单调递增
B．f（x）在x＝0处有极大值
C．若f（x）在（1，m）上不单调，则m＞2
D．若f（x）在区间（﹣1，m）上有最小值，则0＜m≤3
【解答】解：函数f（x）＝﹣x3+3x2的导数为：f'（x）＝﹣3x2+6x＝﹣3x（x﹣2），
令f'（x）＝0，得x＝0和x＝2，
当x＜0时，f'（x）＜0，函数单调递减；
当0＜x＜2时，f'（x）＞0，函数单调递增；
当x＞2时，f'（x）＜0，函数单调递减．
作出函数图象：
对于A，由（0，1） （0，2），而f（x）在（0，2）上单调递增，即f（x）在（0，1）上单调递增，故A正确；
对于B，x＝0左侧导数为负，右侧导数为正，说明x＝0 是极小值点，故B错误；
对于C．若f（x）在（1，m）上不单调，则m＞2，若区间 （1，m）包含极值点x＝2，则导数在区间内由正变负，函数先增后减，故C正确；
对于D．当0＜m≤3时，区间包含极小值点x＝0，最小值为f（0）＝0；
当m＞3时，函数在x→m时趋向负无穷，但开区间无法取到最小值；
当m≤0时，区间内无极小值点，函数单调递减，无最小值，
即f（x）在区间（﹣1，m）上有最小值，则0＜m≤3，故D正确．
故选：ACD．
29．已知函数f（x）＝xex，g（x）＝x+alnx+1．
（1）求y＝f（x）的极值；
（2）讨论g（x）的单调性；
（3）若a＝1且x∈（0，+∞）时，求证g（x）≤f（x）．
【解答】解：（1）函数f（x）＝xex，定义域为R，f'（x）＝ex+xex＝ex（1+x），
x∈（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＜0，x∈（﹣1，+∞）时，f'（x）＞0，
∴f（x）＝xex有极小值，无极大值．
（2）函数g（x）＝x+alnx+1的定义域为（0，+∞），求导得，
当a≥0时，g'（x）＞0恒成立，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，由g'（x）＜0，得x∈（0，﹣a）；由g'（x）＞0，得x∈（﹣a，+∞），
函数g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增，
所以当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，函数g（x）在（0，﹣a）上单调递减，在（﹣a，+∞）上单调递增．
（3）当a＝1时，g（x）＝x+lnx+1，
不等式g（x）≤f（x） 0≤xex﹣x﹣lnx﹣1，
令函数h（x）＝xex﹣x﹣lnx﹣1，依题意， x∈（0，+∞），0≤h（x）恒成立，
求导得，
令φ（x）＝xex﹣1，x＞0，求导得φ'（x）＝ex（x+1）＞0，函数φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
而，
则存在，使φ（x0）＝0，即h'（x0）＝0，
当x∈（0，x0）时，h'（x）＜0，当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0，
函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
因此，
得x0＝﹣lnx0，
则h（x0）＝1﹣x0+x0﹣1＝0，得证．
30．若x＝1是函数f（x）＝ax3+x2﹣（a+2）x+1的极值点，则实数a＝　0　 ．
【解答】解：f'（x）＝3ax2+2x﹣（a+2），由题意知f'（1）＝0，解得a＝0．
经检验，a＝0时，f'（x）＝2x﹣2，
当x＜1时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
当x＞1时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝1是函数f（x）＝ax3+x2﹣（a+2）x+1的极小值点，满足题意．
故答案为：0．
31．已知函数f（x）＝x3+ax2+bx（a∈R，b∈R），其图象在点（1，4）处的切线方程为y＝4．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在区间上的最值．
【解答】解：（1）f′（x）＝3x2+2ax+b，
所以f（x）在点（1，4）处切线的斜率为k＝f′（1）＝3+2a+b，
因为切线方程为y＝4，
所以切线的斜率为0，且f（1）＝4，
所以，
解得a＝﹣6，b＝9，
所以f（x）＝x3﹣6x2+9x．
（2）由（1）知f（x）＝x3﹣6x2+9x．
f′（x）＝3x2﹣12x+9＝3（x﹣1）（x﹣3），
令f′（x）＝0得x＝1或3，
所以在（，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
在（1，3）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
在（3，4）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，
所以x＝1处f（x）取得极大值f（1）＝4，
x＝3处f（x）取得极小值f（3）＝0，
又f（）＝（）3﹣6（）2+9（），
f（4）＝43﹣6×42+9×4＝4，
所以f（x）在[，4]上的最大值为4，最小值为0．
32．若函数有极值点，那么实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣∞，2]∪[2，+∞） B．（2，+∞）
C．（﹣∞，2）∪（2，+∞） D．[2，+∞）
【解答】解：由于的定义域为（0，+∞），
且导函数，
如果函数有极值点，那么x2﹣ax+1＝0有两个不等的实数根，
且至少有一个正根，两个根为x1，x2，且x1＜x2，那么x1x2＝1，
因此x1＞0，x2＞0，且x1+x2＝a，
因此Δ＝a2﹣4＞0，a＞0，解得a＞2．
故选：B．
33．学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有（　　）
A．7种 B．8种 C．9种 D．10种
【解答】解：某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，共有两种情况，
第一种情况：美术、街舞都选，则需从剩余的三个社团中选择一个，共有种选择方法；
第二种情况：美术、街舞中选择一个，则还需从剩余的三个社团中选择两个，共有种选择方法，
故不同的选择方法共有3+6＝9种．
故选：C．
34．学校乒乓团体比赛采用5场3胜制（5场单打），每支球队派3名运动员参赛，前3场比赛每名运动员各出场1次，其中第1，2位出场的运动员在后2场比赛中还将各出场1次，假设某球队派甲、乙、丙3名运动员参加比赛，则所有可能的出场情况的种数为（　　）
A．12 B．18 C．30 D．36
【解答】解：可分为三类：
第一类，若3场决胜负，有6种，
第二类，若4场决胜负，则前3场每人参加1次，第四场从1，2位出场的运动员选一个参加比赛即可，有12种，
第三类，若5场决胜负，则前3场每人参加1次，1，2位出场的运动员在参加4，5场比赛有12种，
则所有可能的出场情况共有6+12+12＝30种．
故选：C．
35．的展开式中常数项是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解答】解：由于的展开式的通项公式为 Tr+1 x3﹣3r．
令3﹣3r＝0，求得r＝1，可得展开式中常数项是3．
故选：D．
（多选）36．已知，则（　　）
A．a2＝﹣144
B．a0＝1
C．a0+a1+a2+a3+ +a9＝1
D．
【解答】解：令x＝1得，﹣1＝a0，故选项B错误；
令x＝2得，a0+a1+a2+a3+ +a9＝1，故选项C正确；
令x＝0得，a0﹣a1+a2﹣......﹣a9＝﹣39，故选项D错误；
∵（2x﹣3）9＝29[（x﹣1）]9，
∴a2＝29C（）7＝﹣144，故选项A正确，
故选：AC．
37．在（x+1）n的二项展开式中，若各项系数和为32，则x2项的系数为 　10　 ．
【解答】解：由题意，展开式中各项系数的和是（1+1）n＝32，所以n＝5，
则该二项式的通项公式是，
令5﹣r＝2，解得r＝3，故x2项的系数为．
故答案为：10．
38．已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56．
（1）求展开式中所有二项式系数的和；
（2）求展开式中的常数项．
【解答】解：（1）已知的展开式中，其前三项的二项式系数的和等于56，
则，
则n2+n﹣110＝0，
又n∈N+，
则n＝10，
则展开式中所有二项式系数的和为210＝1024；
（2）二项式展开式的通项公式为（2x2）10﹣r（﹣1）r210﹣r，
令，
即r＝8，
即展开式中的常数项为（﹣1）822180．
39．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝AP＝BC＝1，AD＝2．
（1）求证：CD⊥平面PAC；
（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值．
【解答】解：（1）作CF⊥AD，垂足为F，易证，四边形ABCF为正方形．
所以CF＝AF＝DF＝1，．又，
因为AC2+CD2＝AD2，所以AC⊥CD．
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD．
又AC∩PA＝A，AC 平面PAC，PA 平面PAC，所以CD⊥平面PAC．
（2）以点A为坐标原点，以AB，AD，AP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），P（0，0，1），C（1，1，0），D（0，2，0），．
则，，．
设平面AED的法向量为，
由，得，
令z＝1，可得平面AED的一个法向量为．
设PD与平面AED所成角为θ，
则．
40．在如图所示的几何体中，四边形ABCD是正方形，四边形ADPQ是梯形，，CD⊥平面ADPQ，且AD＝PD＝2QA＝2．
（1）求证：QB∥平面PDC；
（2）PC与平面PBQ所成角的正弦值．
【解答】解：（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD，
又AB 平面PDC，CD 平面PDC，
所以AB∥平面PDC，
因为四边形ADPQ是梯形，所以QA∥PD，
又QA 平面DCP，PD 平面PDC，
所以QA∥平面PDC，
又QA∩AB＝A，QA，AB 平面QAB，
故平面QAB∥平面PDC，
又因为QB 平面QAB，
所以QB∥平面PDC；
（2）因为，CD⊥平面ADPQ，DP，DA 平面ADPQ，
所以CD⊥DP，CD⊥DA，即DA，DC，DP两两垂直，
故以D为原点，DA，DC，DP所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系如图所示，
则有C（0，2，0），P（0，0，2），B（2，2，0），Q（2，0，1），
所以，，，
设平面PBQ的一个法向量，则有，
令x＝1，则y＝1，z＝2，所以，
设PC与平面PBQ所成角为θ，则，
所以PC与平面PBQ所成角的正弦值为．
41．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD⊥平面ABCD，PD＝AD＝BD＝1，
（1）求证：平面PBD⊥平面PBC；
（2）试问在线段PC上是否存在一点M，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，若存在求出的值；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）证明：∵，∴AD2+BD2＝AB2，∴BD⊥AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，∴BC⊥BD，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD＝D，且BD，PD 面PBD，∴BC⊥平面PBD，
∵BC 平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD；
（2）由（1）知，BD⊥AD，且PD⊥平面ABCD，
故以D为原点，DA，DB，DP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
则D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，1，0），C（﹣1，1，0），P（0，0，1），
假设在PC存在一点M（x，y，z）满足条件，
设，∴（x，y，z﹣1）＝λ（﹣1，1，﹣1），
∴，∴M（﹣λ，λ，1﹣λ），∴
设为平面MBD的法向量，
则，令x1＝1﹣λ，得，
∵PD⊥平面ABCD，平面CBD的法向量为，
二面角M﹣BD﹣C的大小为60°，
∴，解得或（舍去），
∴存在实数，
即，
解得，使得二面角M﹣BD﹣C的大小为60°．
42．已知顶点在原点的抛物线C焦点坐标F（1，0），斜率为﹣1的直线l与C相交于A，B．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）若|AF|+|BF|＝10，求l的方程．
【解答】解：（1）因为顶点在原点的抛物线C焦点坐标F（1，0），
所以，
解得p＝2，
则抛物线C的标准方程为y2＝4x；
（2）设直线l的方程为y＝﹣x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立，消去y并整理得x2﹣（2m+4）x+m2＝0，
韦达定理得x1+x2＝2m+4，
此时|AF|+|BF|＝x1+x2+2＝10，
即2m+4＝8，
解得m＝2．
则l的方程x+y﹣2＝0．
43．在①过点；②椭圆长半轴为a，短半轴为b，且；③长轴长为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率，且_____．
（1）求椭圆的方程；
（2）过右焦点F的直线l交椭圆于P，Q两点．当直线l的倾斜角为时，求△POQ的面积．
【解答】解：（1）∵椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，
∴可设椭圆方程为（a＞b＞0），离心率e，
若选①，过点，则，又a2＝b2+c2，
解得a2＝2，b2＝1，c2＝1，
则椭圆方程为；
若选②，椭圆长半轴为a，短半轴为b，且，
又离心率e，∴a，c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝1，
则椭圆的方程为；
若选③，长轴长为2，即a，又离心率e，∴c＝1，
则b2＝a2﹣c2＝1，
则椭圆的方程为；
（2）由（1）知，F（1，0），直线l的斜率为k＝tan1，
直线l的方程为y＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1，
联立，得3y2+2y﹣1＝0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
Δ＝22﹣4×3×（﹣1）＝16＞0，，，
∴|y1﹣y2|．
∴|OF||y1﹣y2|1，
故△POQ的面积是．
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