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2025年甘肃省平凉一中高考数学冲刺压轴试卷（三）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，其中，则( )
A. B. C. D.
2.已知集合，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.已知圆过点，且圆心在轴的正半轴上，直线：被圆所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为( )
A. B. C. D.
6.在四棱柱中，平面，四边形是平行四边形，且，，，，以为球心，半径为的球面与侧面的交线的长度为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点是的渐近线上的一点，且，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则下列说法正确的是( )
A. 展开式的各项系数之和为 B. 展开式中含项的系数为
C. 展开式中存在常数项 D. 展开式中第项的系数最大
10.已知函数，则( )
A. 的一个周期是 B. 的图象关于直线对称
C. 的最大值为 D. 在区间上单调递减
11.在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过点的直线与交于，两点，点满足，且直线与轴平行，直线与轴交于点，则下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则直线的斜率为或
C. 若为的准线上任意一点，则直线，，的斜率成等差数列
D. 点到直线的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，函数是奇函数，则 ______．
13.已知，，且，则的最小值是______．
14.在锐角中，内角，，的对边分别为，则周长的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某幼儿园组织游戏活动，规则是学生从盒子中有放回地摸球且每次只能摸取个球，每次摸球结果相互独立，盒中有分和分的球若干，摸到分球的概率为，摸到分球的概率为．
若小胡同学摸球次，记随机变量为小胡同学的总得分，求的分布列与期望；
学生甲、乙各摸次球，最终得分若相同，则都不获得奖励；若不同，则得分多者获得奖励已知甲前次摸球得了分，求乙获得奖励的概率．
16.本小题分
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，平面平面，点是棱上的一点，且．
求证：；
求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
已知数列的前项和为，，，且数列是等差数列．
求的通项公式；
设，试问是否存在正整数，其中，使得，，成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且过点．
求的方程；
已知为坐标原点，直线：与交于，两点．
若的面积为，求直线的方程；
记外接圆的圆心为，平面上是否存在两定点，，使得为定值？若存在，求出两定点，的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
定义函数，．
求曲线在处的切线斜率；
若对任意的恒成立，求的取值范围；
讨论函数的零点个数，并判断是否有最小值若有最小值，证明：；若没有最小值，请说明理由．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：因为表示小胡同学的总得分，
易知的所有可能取值为，，，，
因为摸到分球的概率为，摸到分球的概率为，
此时，
，
则的分布列为：
故；
记“甲最终得分为分”为事件，，，；“乙获得奖励”为事件，
所以，，
当甲最终得分时，乙获得奖励需要最终得分或分，
此时；
当甲最终得分时，乙获得奖励需要最终得分，
此时，
所以
．
则乙获得奖励的概率为．
16.解：证明：因为，，所以，
因为，
由余弦定理得，
解得，
因为，所以，
因为，所以．
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以，
连接，在正方形中，，又，，平面，
所以平面，
又平面，
所以．
由知，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．
所以，
设平面的一个法向量为，又，，
则，所以，
令，解得，
所以平面的一个法向量为．
设平面的一个法向量为，又，
，
则，所以，
令，解得，
所以平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
所以，
即平面与平面夹角的余弦值为．
17.解：数列的前项和为，，，且数列是等差数列，
可得时，，，
所以是以为首项，为公差的等差数列，
由等差数列的通项公式可得，
所以，
当时，，
又符合，
所以的通项公式为；
由知，
由题意，，成等比数列，得，又，
则，
又，
所以
当，时，左边，右边，上式成立，
所以正整数数组满足题意，
由，，，当时，，
所以当时，数列单调递减，
则，
而，故当时方程无正整数解，
综上，存在唯一的正整数数组满足题意．
18.解：根据题目：已知椭圆的离心率为，
且过点设椭圆的半焦距为，
所以，解得，
所以的方程为．
如下图所示：
联立，消去得，
设，，则．
所以
，
又点到直线的距离，
所以的面积，
解得或，即当的面积为，直线的方程为或．
所以的中垂线方程为：，即
同理可得的中垂线方程为：
由两式可得．
所以外接圆圆心的横坐标，
其中，
，
所以
，
又的中垂线方程为，即，
所以圆心的纵坐标为，
所以，
即圆心在双曲线上，
易知双曲线两焦点为，
由双曲线定义可知存在定点或满足题意；
所以存在定点或，使得．
19.解：根据题目：定义函数，
．
由，
可得，
所以曲线在处的切线斜率为．
由题意知，易得在上单调递增，
当，即时，，所以在上单调递增，
所以，符合题意；
当，即时，令，解得，所以当时，，当时，
，所以在上单调递减，在上单调递增，所以当时，，不符合题意．
综上，当对任意的恒成立时，的取值范围是．
证明：由，所以，
当时，，
因此当，时，，
此时所以，所以单调递减．
此时，显然有唯一零点，无最小值．
当时，
，
且当时，
，
由此可知此时不存在最小值．
从而当，时，有唯一零点，无最小值；
当，时，即当为偶数时，，
此时由，解得；由，解得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故的最小值为，
即，所以当，时，没有零点．
由知当时，对任意的恒成立，当且仅当时等号成立，
所以，令，可得，
当，时，
，
即．
从而当为偶数时，没有零点，存在最小值，且．
综上所述，当，时，有唯一零点，无最小值；
当，时，没有零点，存在最小值，且．
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