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2025年山东省天一大联考·齐鲁名校教研共同体高考第六次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
3.已知是方程的一个复数根，则( )
A. B. C. D.
4.已知，且，，则的最小值是( )
A. B. C. D.
5.现有种颜色的筷子各一双，从中任取两根筷子，若已知取到的筷子中有红色的，则两根筷子都是红色的概率为( )
A. B. C. D.
6.在一个建筑工程中，工程师需要根据斜坡的倾斜角度来计算一些结构的受力情况设斜坡的倾斜角度为，经测算分析，发现，若该斜坡的摩擦系数为，则此系数的值为( )
A. B. C. D.
7.小王到某公司面试，一共要回答道题，每道题答对得分，答错倒扣分，设他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否相互独立记小王答完道题的总得分为，则当取得最大值时，( )
A. B. C. D.
8.在锐角三角形中，，，垂足为，，则点的轨迹为( )
A. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分
B. 长轴长为，离心率为的椭圆的一部分
C. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分
D. 实轴长为，离心率为的双曲线的一部分
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列的通项公式为，若为递减数列，为递增数列，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知点，均在抛物线：上，是的焦点，则下列说法正确的是( )
A. B. 直线轴
C. 若，则 D. 若，则
11.已知函数，则下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期为
B. 若，则的值域为
C. 在上单调递增
D. 若对于任意的，直线与曲线总有公共点，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.现有一个圆锥与一个球，它们的表面积相等，圆锥的母线长与球的直径相等，则圆锥的底面直径与母线长的比值为______．
13.已知函数，的定义域均为，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是______．
14.已知三个正数，，构成公比为的等比数列，圆：，过圆上一点分别作圆，的切线，切点分别为，，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
下表是年中国出生人口数单位：十万人的数据：
年份
年份代码
出生人口数十万人
Ⅰ求年中国每年出生人口数的平均数；
Ⅱ某研究人员建立了关于的回归模型，用该回归模型预测从哪一年开始中国出生人口数将低于万；
Ⅲ求Ⅱ中回归模型的决定系数，并评价其拟合效果如果，就认为拟合效果好，如果，就认为拟合效果一般，如果，就认为拟合效果差
附：，．
16.本小题分
如图，在中，，，点，是边上的两点，点在，之间，．
Ⅰ求的值；
Ⅱ若，，求的值．
17.本小题分
如图，四棱锥的所有顶点均在同一个球的球面上，且，，平面．
Ⅰ证明：平面平面；
Ⅱ求四棱锥体积的最大值；
Ⅲ当四棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知，，函数．
Ⅰ若，，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ若，，求的单调区间；
Ⅲ若对任意，至多有个零点，求的取值范围．
19.本小题分
已知椭圆经过点．
Ⅰ求的离心率．
Ⅱ设，分别为的左、右顶点，，为上异于，的两动点，且直线的斜率恒为直线的斜率的倍．
当的值确定时，证明：直线过轴上的定点；
按下面方法构造数列：当时，直线过的定点为，且，设，证明：．
参考答案
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13.
14.
15.解：Ⅰ由题意可知，；
Ⅱ中国出生人口数低于万，即，
当时，，当时，，
对应年，即预测从年开始中国出生人口数将低于万；
Ⅲ分别令，，，，，得，，，，，
所以，
因为，所以这个模型的拟合效果一般．
16.解：Ⅰ因为，
所以，
即，所以；
Ⅱ因为，，，
所以由余弦定理得：，
因为，所以，
因为，所以，所以，
因为，
所以，
所以在中，由正弦定理得：．
17.解：Ⅰ证明：由题意知四边形存在外接圆，
故，
而，即，
所以，故AB，
由平面，平面，可得，
而，平面，平面，
故AD平面，又因为平面，
故平面平面；
Ⅱ如图，过点作，垂足为，
由Ⅰ平面平面，又平面平面，平面，
所以平面，
设四边形的面积为，
则四棱锥的体积，
因为，，所以，
因为平面，平面，
所以，则点在以为直径的圆上，
当时，最大，最大值为，
因为，所以点在以为直径的圆上，且，
当时，最大，最大值为，此时底面是正方形，
所以四棱锥体积的最大值为；
Ⅲ以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，过点且与平面垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
由Ⅱ可知，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，
取，则，，
所以为平面的一个法向量，
设直线与平面所成的角为，
则．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：Ⅰ若，，则，，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，即；
Ⅱ由题易知，所以，
令，得，
当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的单调递增区间为，单调递减区间为和；
Ⅲ若，则，仅有个零点，符合题意，
若，由至多有个零点，可知至多有个极值点，则至多有个变号零点，
由，可得，
设，则，
可得在上单调递减，在和上单调递增，
所以的极大值为，极小值为，
且当时，，当时，，作出的大致图象如下：
根据题意，直线与的图象至多有个交点切点除外，所以或，
解得或．
综上，的取值范围是．
19.解：Ⅰ因为椭圆经过点，所以，故，
所以的离心率；
Ⅱ证明：由Ⅰ知的方程为，，，
由对称性可知直线的斜率不可能为，设，，设的方程为，
由，可得，
所以，
即，且，，所以，
则
，
解得，则的方程为，即直线过轴上的定点；
证明：由可知，，又，，所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，，
当为偶数时，，
所以，
当为奇数时，因为，
所以，
综上可得：．
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