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2025 年安徽省合肥九中高考数学质检试卷（六）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集 = ∪ = { ∈ |0 ≤ ≤ 3}， ∩ ( ) = {1,3}，则集合 =( )
A. {0} B. {2} C. {0,2} D. {0,1,2,3}
2 2.已知 = 1 ，则| | =( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
3.在( 2 2)(2 1)5的展开式中， 5项的系数为( )
A. 144 B. 16 C. 16 D. 144
4.已知 、 均为第二象限角，则“ > ”是“ > ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.母线长为 1 的圆锥体积最大时，其侧面展开图圆心角 等于( )
A. 2 2 B. 2 33 3 C. 2 D.
2 6
3
6.已知 (1,0)， (0, 1)， 是曲线 = 1 2上一个动点，则 的最大值是( )
A. 2 B. 2 2 C. 2 + 2 D. 2 + 1
7.如图所示，将绘有函数 ( ) = ( 3 + )( > 0,0 < < )部分图像的纸片沿 轴折成钝二面角，此
2
二面角的平面角为 3，此时 ， 之间的距离为 3 2，则 =( )
A. 3 2 4 B. 4 C. 3 D. 3
8.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐
标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”.如图，在斜
坐标系中，过点 作两坐标轴的平行线，其在 轴和 轴上的截距 ， 分别
作为点 的 坐标和 坐标，记 ( , ).若斜坐标系中， 轴正方向和 轴正方
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向的夹角为 ，则该坐标系中 ( 1, 1)和 ( 2, 2)两点间的距离为( )
A. ( 1 2)2 + ( )21 2 + 2( 1 2)( 1 2)
B. ( 1 22) + ( 1 2)2 2( 1 2)( 1 2)
C. ( 1 2 22) + ( 1 2) + 2|( 1 2)( 1 2)|
D. ( )2 + ( )21 2 1 2 2|( 1 2)( 1 2)|
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某班级学生开展课外数学探究活动，将一杯冷水从冰箱中取出后静置，在 25℃的室温下测量水温 (单
位：℃)随时间 (单位： )的变化关系，在测量了 15 个数据后，根据这些实验数据( , )( = 1,2, , 15)
得到如下的散点图：现需要选择合适的回归方程进行回归分析，则根据散点图，合适的回归方程类型有( )
A. = 25 1 2 B. = 25 + 1 + 2
C. = 25 1 D. = 1( 25) + 21 + 2
2
10.在平面直角坐标系中，已知圆 ：( )2 + ( )2 = 2，其中 ≠ 0，则( )
A.圆 过定点 B.圆 的圆心在定直线上
C.圆 与定直线相切 D.圆 与定圆相切
11 2 1.已知对于任意非零实数 ，函数 ( )均满足 ( ) = ( )， ( ) = 2 ( )，下列结论正确的有( )
A. (1) = 1
B. (2 )关于点(0,1)中心对称
C. (2 )关于 = 1 轴对称
D. (2) + (22) + (23) + + (210) = 10
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.记 为等差数列{ }的前 项和，若 3 + 4 = 7，3 2 + 5 = 5，则 10 = ______．
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13.在正方体 1 1 1 1中， = 4， 为 1的中点，若该正方体的棱与球 的球面有公共点，则球
的半径的取值范围是______．
14.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的无规则随机运动，在如图所
示的试验容器中，容器由三个仓组成，某粒子作布朗运动时每次会从所
在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容
器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在 1 号仓，则试验结束时该粒子是从
1 号仓到达容器外的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知△ 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，( + + )( + ) = 3 ．
(1)求 ；
(2) 若 = 4， = 3 + 1，求 ．
16.(本小题 15 分)
1
甲乙两人进行象棋比赛，约定谁先赢 3 局谁就直接获胜，并结束比赛.假设每局甲赢的概率为2，和棋的概率
1
为4，各局比赛结果相互独立．
(1)记 为 3 局比赛中甲赢的局数，求 的分布列和均值
(2)求乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率；
17.(本小题 15 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的长轴长为 4，一个焦点为 (1,0)．
(Ⅰ)求椭圆 的方程及离心率；
(Ⅱ) | |过点 且斜率存在的直线交椭圆 于 ， 两点，在 轴上是否存在点 ，使得 △ = ？若存在，求出△ | |
点 的坐标；若不存在，说明理由．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 1 22 ( ∈ )．
(1)若 = 0，求 ( )的极小值；
(2) 1当 > 时，求 ( )的单调递增区间；
(3)当 > 0 2时，设 ( )的极大值为 ( )，求证： ( ) ≥ 2．
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19.(本小题 17 分)
已知{ }是无穷数列．给出两个性质：
2
①对于{ }中任意两项 ， ( > )，在{ }中都存在一项

，使得

= ；
{ } ( ≥ 3) { } ( > ) =
2
②对于 中任意一项 ，在 中都存在两项

， ，使得 ．
(Ⅰ)若 = ( = 1,2, …)，判断数列{ }是否满足性质①，说明理由；
(Ⅱ)若 1 = 2 ( = 1,2, …)，判断数列{ }是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
(Ⅲ)若{ }是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{ }为等比数列．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.95
13.[2 2, 2 3]
14.1013
15.解：(1)因为( + + )( + ) = 3 ，即( + )2 2 = 3 ，可得 2 + 2 2 = ，
2 = +
2 2 = 1由余弦定理可得 2 2，

因为 ∈ (0, )，故 = 3；
(2)因为 = 4， = 3，则 = sin( + ) = + =
2 × 1 + 2 3 2+ 62 2 2 × 2 = 4 ，
2( 3+1)
= = 由正弦定理得 ，解得 = 2 6+ 2 = 2．
4
16.解：(1) 1 1由已知得，甲每局赢的概率为2，甲不赢的概率为2，
则 ～ (3, 12 )， 的可能取值为 0，1，2，3，
所以 ( = 0) = ( 1 )3 = 1 1 12 8， ( = 1) = 3 × 2 × (
1 2
2 ) =
3
8，
( = 2) = 2 × ( 13 2 )
2 × 1 32 = 8， ( = 3) = (
1 )3 = 12 8，
所以 的分布列如下，
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0 1 2 3
1 3 3 1
8 8 8 8
( ) = 0 × 1 3所以 的均值 8 + 1 × 8 + 2 ×
3 1 3
8 + 3 × 8 = 2；
(2) 1 3由已知得，乙每局赢的概率为4，乙不赢的概率为4，
因为乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛，
则分两种情况：①乙前 3 局全胜，记为事件 ；②乙前 3 局只有一局不胜，第四局胜，记为事件 ，
( ) = ( 1 )3 = 1则 4 64， ( ) =
2 × ( 1 2 3 1 93 4 ) × 4 × 4 = 256，
1 9 13
所以乙在 4 局以内(含 4 局)赢得比赛的概率 = 64 + 256 = 256；
17.解：(Ⅰ)由题意可得 2 = 4， = 1，所以 2 = 2 2 = 3．
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．

所以离心率 = =
1
2．
(Ⅱ)存在符合要求的点 (4,0)，
设直线 的方程为 = ( 1)(显然 ≠ 0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( 1) ,
联立方程 2 +
2
4 3 = 1 ,
整理得(3 + 4 2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0．
2 2
所以 1 + 2 =
8 4 12
3+4 2， 1 2 = 3+4 2 ．
1
△ 2×| |×| |sin∠ = = | |sin∠ 因为 ．△ 12×| |×| |sin∠ | |sin∠

又 △
| |
= ，△ | |
所以 sin∠ = sin∠ ，
所以∠ = ∠ ，
所以直线 的斜率与直线 的斜率互为相反数，
设直线 的斜率为 1，直线 的斜率为 2，设点 ( ,0)，
+ = 1 21 2 1
+ = 0，2
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1( 2 )+ 2( 1 )整理可得 ( 1 )( 2 )
= 0，
( 1 1)( 2 ) + ( 2 1)( 1 ) = 0，
因为 ≠ 0，所以( 1 1)( 2 ) + ( 2 1)( 1 ) = 0，
2 1 2 ( + 1)( 1 + 2) + 2 = 0，
2 2
即 2 × 4 123+4 2 ( + 1) ×
8
3+4 2 + 2 = 0，
解得 = 4，
所以点 的坐标(4,0)．
18.解：(1)由题意知 ′( ) = ( + 1) = ( )( + 1)( ∈ )．
若 = 0，则 ( ) = ，所以 ′( ) = ( + 1).令 ′( ) = 0，得 = 1．
当 ∈ ( ∞, 1)时， ( ) < 0，当 ∈ ( 1, + ∞)时， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞, 1)单调递减，在( 1, + ∞)单调递增，
所以 ( )的极小值等于 ( 1) = 1 ；
(2) 1因为 > ，所以 > 1，由 ′( ) > 0，即(
)( + 1) > 0，
解得 < 1 或 > ，所以 ( )在( ∞, 1)和( , + ∞)单调递增，
由 ′( ) < 0，即( )( + 1) < 0，解得 1 < < ，所以 ( )在( 1, )单调递减，
故 ( )的单调增区间为( ∞, 1)和( , + ∞)．
(3) > 1 (2) ( ) ( 1) = ( ) = 1 + 1 1 2证明：当 时，由 知， 的极大值等于 2 > 2 > 2；
= 1当 时， ′( ) ≥ 0， ( )单调递增， ( )无极大值；
当 0 < < 1 时，当 ∈ ( ∞, )时， ( ) > 0， ( )单调递增，
当 ∈ ( , + ∞)时， ( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( )的极大值等于 ( ) = ( ) = 12 ( )
2，
令 ( ) = 1 2 12 ( ) ( > 0)，所以 ′( ) = ( 2 + 1)，
( )在(0, 1 1 1 2 ) ± ′( ) < 0，在( 2 , )上， ′( ) > 0，
1 1 1
所以 ( )在(0, 2 )上单调递减，在( 2 , )上单调递增，
故 ( ) ≥ ( 1 2 2 ) = 2，
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综上所述， ( ) ≥ 2 2．
2 2
19. 解：(Ⅰ)不满足，理由： 3 =
9 2 ，不存在一项
3
使得 = ．2 2
(Ⅱ)数列{ }同时满足性质①和性质②，
2
理由：对于任意的 和 ，满足 = 22 1 ，
因为 ∈ ， ∈ 且 > ，
2
所以 2 ∈ ，则必存在 = 2 ，此时，2 1 ∈ { }且满足 = 22 1 = ，性质①成立，
2
对于任意的 ，欲满足 = 2 1 = = 22 1 ，满足 = 2 即可，因为 ∈
， ∈ ，且 > ，

2
所以 2 可表示所有正整数，所以必有一组 ， 使 = 2 ，即满足 = ，性质②成立．
(Ⅲ)首先，先证明数列恒正或恒负，
反证法：假设这个递增数列先负后正，
那么必有一项 绝对值最小或者有 与 +1同时取得绝对值最小，
2
如仅有一项 绝对值最小，此时必有一项 = ，此时| | < | |
与前提矛盾，
2
如有两项 与 同时取得绝对值最小值，那么必有 = +1 ， +1
此时| | < | |，与前提条件矛盾，
所以数列必然恒正或恒负，
2
在数列恒正的情况下，由②知，存在 ， 使得 = 3，
因为是递增数列， 3 > > ，
2
即 3 > > ，所以 2 = 3，此时 1， 2， 3成等比数列，1
数学归纳法：
(1)已证 = 3 时，满足{ }是等比数列，公比 =
2
，1
(2)假设 = 时，也满足{ }是等比数列，公比 =
2
，1
2
那么由①知 = 等于数列的某一项 ，证明这一项为 +1即可， 1
反证法：
2
假设这一项不是 +1，因为是递增数列，所以该项 = = > +1， 1
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那么 < +1 < ，由等比数列{ }得 11 < +1 < 1 ，
2 2
由性质②得 1 1 < < 1
，同时 +1 = > > ，所以 + 1 > > ，
所以 ， 分别是等比数列{ }中两项，即 = 1 11 ， = 1 ，
原式变为 11 < 2 1 1 < 1 ，
所以 1 < 2 1 < ，又因为 ∈ ， ∈ ， ∈ ，不存在这组解，所以矛盾，
2
所以知 = = +1，前{ +1}为等比数列， 1
由数学归纳法知，{ }是等比数列得证，
同理，数列恒负，{ }也是等比数列．
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