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2025 年广东省深圳市宝安区高考数学模拟试卷（4 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { |3 < 2 }， = { | 2 < 1}，则 ∩ =( )
A. ( 1,0) B. (0,1) C. ( 1,1) D.
2.已知向量 = (2,1), = ( , 1)，且 / /( )，则实数 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2

3.若函数 ( ) = 在区间(2, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围为( )
A. [ 2,0) B. ( ∞, 2] C. ( ∞,0) D. [2, + ∞)
24
2 2 2
.已知 > > 0，椭圆 ： 2 + 2 = 1 与双曲线 ： 2 2 = 1 的离心率分别为 1， 2，若 3 1 = 2，则双
曲线 的渐近线方程为( )
A. ± 5 = 0 B. 2 ± = 0 C. 2 ± 5 = 0 D. 5 ± 2 = 0
5.从集合{1,2,3, …, 8,9}中随机取出 4 个不同的数，并将其从大到小依次排列，则第二个数是 7 的概率为( )
A. 110 B.
3
10 C.
5 5
36 D. 21
6.在正方体 1 1
1
1 1中， 是棱 上的点，且 = 4 ，平面 1将此正方体分为两部分，设
两部分体积分别为 1和 2( 1 <
1
2)，则 =( )2
A. 1 B. 257 32 C.
13 7
41 D. 25
7.已知 ∈ ，函数 ( ) = cos( 2 3 ) 在区间[ 6 , ]上有且仅有两个零点 1， 2，则 cos( 1 2) 3
的最小值为( )
A. 17 B. 9 38 4 C. 2 D. 4
8.已知函数 ( )满足： ∈ ， ( 1) + 6 ≥ ( + 5)， ( + 1) 3 ≥ ( 2)，若 (3) = 2，则
(2025) =( )
A. 2022 B. 2023 C. 2024 D. 2025
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 为虚数单位，以下选项正确的是( )
A.若 ， ∈ ，则 + = 2 + 的充要条件是 = 2， = 1
B.若复数 1， 2， 3满足 1 2 = 2 3，则 1 = 3
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C. + 2 + 3 + + 2025 =
D.若复数 满足| | = 1，则| 3 + 4 |的最大值为 6
10 .已知常见“对勾函数” = + ( > 0, > 0)的图象也是双曲线，其渐近线分别为 = 与 轴，其实
2 2
轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.设双曲线 1： 2 2 = 1( > 0, > 0)的一条渐近线与双曲线的实轴夹
3 1角为 ，其离心率为 1，双曲线 2： = 4 + 的实轴长为 2 ，离心率为 2，则下列结论正确的是( )
A. = 1 2 31 cos B.点( 3 , 3)是 2的一个顶点
C. 2 =
5
2 D. = 2
11.欧拉函数 ( )( ∈ )是数论中的一个基本概念， ( )的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的
正整数的个数(只有公因数 1 的两个正整数互质，且 1 与所有正整数(包括 1 本身)互质)，例如 (8) = 4，
因为 1，3，5，7 均与 8 互质，则( )
A. (4) (6) = (10) B.数列 (2 )单调递增

C. (100) = 40 D. (2 ) 3数列{ (3 ) }的前 项和小于2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将分别标有数字 1，2，3，4，5 的 5 个大小相同的小球放入一个不透明的袋子中，甲、乙两人分别从
袋中摸出一球，互相不知道对方摸出球的数字.甲先对乙说：“我不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”乙
再对甲说：“我也不能确定咱俩谁的球上面的数字更大.”若甲、乙两人所说均为真话，请你推断乙所摸球
上的数字为______．
13.某统计数据共有 13 个样本 ( = 1,2,3, …, 13)，它们依次成公差 = 1 的等差数列，若这组数据的 60 百
分位数是 26，则它们的平均数为______．
14 .下列函数的图象绕坐标原点沿逆时针旋转4后得到的曲线仍为一个函数的图象的有______. (写出对应编
号)
① ( ) = 3 ；
② ( ) = 2；
③ ( ) = ln( + 1)( ≥ 0)；
1
④ ( ) = ( 2 )
．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
如图，在△ 中，∠ 的平分线与 交于点 ， ： ： = 3：5：7．
(1)求 cos∠ ；
(2)若 + = 8 ，求 的值．
16.(本小题 15 分)
在直三棱柱 1 1 1中， = 1 = 2， = ， 为平面 与平面 1 1的交线， 为直线 上一
点．
(1)若 = 2，求△ 的面积；
(2) 3若平面 1 与平面 1 1夹角的余弦值为 3 ，求 ．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + 1．
(1)若 = 0 时，求曲线 ( )在(1, (1))处的切线方程；
(2)若 1 < < 时， ( )在区间[0,1]上的最小值为 3 2 2，求实数 的值．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 + ： 2 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (3,0)，直线 ： + = (0 < < )与 相交于 ，
两点．
(1)求直线 被圆 ： 2 + 2 = 2所截的弦长；
(2)当 = 242时，| | = 5．
( )求 的方程；
( )证明：对任意的 ∈ (0, )，△ 的周长为定值．
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19.(本小题 17 分)
已知数列{ }的首项 1 = 1，当 ≥ 2 时， 1 = 2，数列{ }满足log2 = ， ∈ ，数列{ }和{ }
的所有项合在一起，按从小到大的顺序依次排列构成新数列{ }.
(1)求 2， 9， 12的值；
(2) 记 为数列{ }的前 项和，求使得 1 > 2成立的 的最小值； +1
(3)从数列{ }的前 100 项中每次随机抽取一项，有放回地抽取 20 次，设这 20 次抽取的项互不相同的概率
为 1，证明： < 2．
1+ 2 > ( , > 0 ≠ ) 1+ 2+…+ 附：不等式 2 1 2 1 2 ，且 1 2 的推广式 > 1 2 ( 1, 2, …, 均大于 0，
且不全相等)成立．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.3
13.25
14.①③④
15.解：(1)在△ 中，由题意得 ： ： = 3：5：7，
设 = 3 ，则 = 5 ， = 7 ，
2+ 2 2 25 2+49 2 9 2 13
则由余弦定理得 cos∠ = 2 × = 2×5 ×7 = 14，
因为 是∠ 的平分线，
所以∠ = 2∠ ，∠ = ∠ ，
由二倍角公式得 cos∠ = 2 2∠ 1 = 2 × ( 13 214 ) 1 =
71
98；
(2)由(1)知 cos∠ = 1314，易得 sin∠ > 0，
3 3
所以 sin∠ = sin∠ = 1 cos2∠ = 14 ，
(3 )2+(7 )2 (5 )2 11
由余弦定理得 cos∠ = 2×3 ×7 = 14，
3 3
在△ sin∠ 3中，由正弦定理得 = 14 sin∠ = 5 3 = 5，
14
因为 + = 8，所以 = 3， = 5，
2
= +
2 2 9 2= +25
2 49 2 1
由余弦定理得 2 × 2×3 ×5 = 2，
因为 ∈ (0, ) 2 ，所以 = 3，
= = 5 = 10 3由正弦定理得 3 3 ．
2
10 3
即 的值为 3 ．
16.解：(1)因为 = 2， = ， = 2，所以△ 为等边三角形，
所以 3 2△ = ，4 = 3
在直三棱柱 1 1 1中， // 1 1，
又 1 1 平面 1 1， 平面 1 1，
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所以 //平面 1 1，
因为 平面 ， =平面 ∩平面 1 1，所以 // ，
又 ∈ ， ∈ ，
所以 △ = △ = 3．
(2)如图，以 1 1的中点 为原点建立空间直角坐标系，
设| 1| = ( > 0)，则 1(0,1,0)， 1( , 0,0)， (0, 1,2)，
所以 1 = (0, 2, 2), 1 1 = ( , 1, 0)，
设平面 1 1的一个法向量为 1 = ( , , )，
1 1 = 0 2 + 2 = 0
= 1
则
1 1
，即 = 0 ，取 = ，
1 = 0 =
所以 1 = (1, , )，
因为 2 = (1, 0, 0)是平面 1 的法向量，
所以|cos < 1, 2 > | =
| 1 2| 1 3
| 1| | |
= =
2 2 2+1 3
，
解得 = 1，
所以| | = | 21 1| = + 1 = 2．
17.解：(1) = 0 时， ( ) = + 1， (1) = + 1，且 ′( ) = ，
∴ = ′(1) = ，
故切线方程为 ( + 1) = ( 1)，即 + 1 = 0；
(2) ∵ ′( ) = ， ∈ [1, ]，
由 1 < < ，存在 0 ∈ [0,1]，使得 ′( 0) = 0，即 0 = ， 0 = ，
当 ∈ [0, 0)时， ′( 0) < 0， ( )单调递减；
当 ∈ ( 0, 1]时， ′( 0) > 0， ( )单调递增，
故 ( ) = ( 0) = 0 0 + 1 = + 1 = 3 2 2，
令 ( ) = + 1， ′( ) = 1 (1 + ) = < 0，
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∴ ( )在(1, )上单调递减，
易知 (2) = 3 2 2，所以 = 2．
18.解：(1)圆 ： 2 + 2 = 2的圆心 (0,0)，半径 = ，
| |
所以 到直线 ： + = 的距离 = = ，
sin2 +cos2
所以直线 被圆 ： 2 + 2 = 2所截的弦长为 2 2 2 = 2 2 2 = 2 ，
由题意可得 = 3，
所以所求的弦长为 6；
(2)( )当 = 2时，则直线 的方程为 = ，
2 2 2
代入椭圆的方程可得， 2 = 2(1 2 ) = 2 ，
| | = = 3 即 ，
因为弦长| | = 2| | = 6 24 = 5，
4 4
可得 = 5，即 = 5 ，
而 2 = 2 2 = 9 225 = 9，
可得 2 = 25， 2 = 16，
2 2
所以椭圆的方程为：25+ 16 = 1；
(ⅱ) = ( ) △ 2 12 + ( 12证明：当 时，由 知， 的周长为 )2 + 242 5 5 = 10，
≠ 当 2时，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
25 + 16 = 1 与 + = 联立，并消去 ，
4
2 ( )2
得 cos 25+ 16 = 1，
整理得(25 2 + 16 2 ) 2 200( ) + 400 2 = 0，
所以 1 + 2 =
200
25 2 +16 2 ，
2002sin2 4(25 2 +16 2 ) 400 2
| 1 2| =
120| |
25 2 +16 2 = 25 2 +16 2 ，
所以| | = 1 + ( 2 1 120| |cos ) | 1 2| = |cos | | 1 2| = 25 2 +16 2 ，
又 0 < < 时， > 0，所以| | = 120 25 2 +16 2 ，
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2
又| | = ( 1 3)2 + 21 = ( 1 3)2 + 16(1
1 3
25 ) = |5 5 1|，
因为 5 ≤ 1 ≤ 5，所以| | = 5
3 3
5 1，同理| | = 5 5 2.，
所以| | + | | = 10 35 ( 1 + 2) = 10
120
25 2 +16 2 ，
所以△ 的周长为| | + | | + | | = 10(定值)．
19.
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