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2025年湖南省永州市高考数学三模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则在复平面内对应的点为( )
A. B. C. D.
3.已知为等差数列的前项和，且，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
5.的展开式的第项的系数为( )
A. B. C. D.
6.已知椭圆：，点，若直线与椭圆交于，两点，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.若函数在区间上单调递增，则实数的最小值为( )
A. B. C. D.
8.如果数列对任意的，都有成立，则称为“速增数列”若数列为“速增数列”，且任意项，，，，则正整数的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 具有相关关系的两个变量，的相关系数越大，则，之间的线性相关程度越强
B. 已知随机变量服从正态分布，且，则
C. 数据，，，，，的第百分位数是
D. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 在区间上单调递增
C. 曲线关于直线对称 D.
11.已知平面内动点到定点的距离与到定直线：的距离之和等于，其轨迹为曲线，则下列结论正确的是( )
A. 若，则点的轨迹是以为焦点的抛物线的一部分
B. 点横坐标的取值范围是
C. 若过点的直线与曲线的部分图象和部分图象分别交于，，则
D. 对给定的点，用表示的最小值，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是偶函数，则 ______．
13.已知直线与圆：交于，两点，且，则 ______．
14.已知四棱台的底面为矩形，上底面积为下底面积的，所有侧棱长均为，当该四棱台的体积最大时，其外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，且．
求的值；
若，，求的面积．
16.本小题分
某学校为调查高三年级的体育开展情况，随机抽取了位高三学生作为样本进行体育综合测试，体育综合测试成绩分个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示：
等级 不及格 及格 良 优
分数
人数
若从样本中随机选取位学生，求所选的位学生分数不同的概率；
用样本估计总体，以频率代替概率，若从高三年级学生中随机抽取位学生，记所选学生分数不小于的人数为．
若，求的分布列与数学期望；
若，当为何值时，最大？
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为菱形，，是边长为的等边三角形，为的中点．
证明：；
若直线与的夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知双曲线：的虚轴长为，离心率为．
求双曲线的标准方程；
过点的直线与的左、右两支分别交于，两点，点，直线与直线交于点．
证明：直线的斜率为定值；
记，分别为，的面积，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，且有唯一零点．
证明：；
证明：；
判断数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为，
由余弦定理得，
所以，所以，
所以，所以，
因为，所以；
因为，
由正弦定理得，所以，
因为，
所以，
则的面积为．
16.解：设事件“选取的位学生分数不同”，则，
故所选的位学生分数不同的概率为；
设“学生分数不小于”，则，
若，的可能取值为，，，，由题意可得，又，，，
所以的分布列为：
由于，则；
若，则所以．
由于最大，
所以，
即，因为，
，所以时，最大．
17.证明：取的中点，连接，，，
因为是等边三角形，所以，
在菱形中，，所以是等边三角形，
所以，
又，、平面，
所以平面，
因为平面，
所以．
解：分别取，的中点，，连接，，
则，，，，
所以就是直线与的夹角，即，
在中，由余弦定理知，，即，
在中，，，是的中点，所以，
在中，由余弦定理知，，
以为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
由，，知，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．
18.解：已知双曲线的虚轴长为，
则，解得，
又因为离心率，且，
把，代入可得．
由，可得，
将其代入中，得到，
解得，
所以双曲线的标准方程为．
证明：当斜率为时：
已知，，方程．
令，则，
解得，
所以．．
当斜率不为时：
设方程，与联立：
把代入，得，
由韦达定理得，．
因为直线交左右两支，
有，
解得．
方程，
令，得，
即
则，
经化简得，
把，，代入．
先看分子：
，
再看分母：
，
此时．
因为，，约分后可得．
当斜率为时，因为，
两三角形相似，，
当斜率不为时，不妨设，，，
，所以．
．
，代入与的值得．
因为，所以，结合，
解得．
所以，
综上，取值范围是．
19.解；证明：要证，即证设，
对求导得，当，，递减；当，，递增．
所以在取最小值，，即，原不等式得证．
证明：先证由知，则，
即因为，所以，可得．
当，．
．
时也满足，所以．
再证，
由，得，又，
所以，即，
因为，所以，
则，
综上，．
对函数求导，导数，在时大于，函数递增．，
，所以函数有唯一零点在，
且，可化为设，
其导数，当时，，递增．
因为，即，所以，
所以假设，，成等比，公比且．
所以，可得，那么．
又因为，，，
所以，
进行通分整理：，
通分得到，由于，
所以设数列的公比为，则，，
代入可得：，
因为两边同时除以，得到对于一元二次方程，解得，
由，相减，
根据对数运算法则可得：，
因为，对数函数在上单调递增，
所以，又因为，
所以所以，
与矛盾．故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列．
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