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河南省开封市 2025 届高三下学期 4 月联考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
21
2
.椭圆 : 4 + 5 = 1 的焦距为( )
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
2.若 , 3, , 1 成等比数列，则 =( )
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
3 2 .函数 ( ) = sin 3 的最小正周期为( )
A. 3π B. 2π C. 3π2 D. π
4.已知集合 = |3 2 ≤ 0 ，则使得“1 ∈ 且 2 ”成立的一个充分不必要条件是( )
A. 13 < <
2
3 B. < 0 C.
1
3 < ≤
2 D. > 13 3
5.已知 = log0.30.07， = 20.7， = 60.2，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
1, 为正奇数
6.已知函数 ( )满足 ( + 2) = ( ) + ( + 1)， (1) = (2) = 1，函数 ( ) = ，若
0, 为正偶数
=1 ( ) = 100，则 的值可以是( )
A. 149 B. 151 C. 199 D. 300
7.已知函数 ( ) = 2sin( + )( > 0, | | < π2 )
1 1
， 为 ( )的最小正周期，且 3 = 2 ，若 ( )在区
间 0, π 上恰有 3 个极值点，则 的取值范围是( )
A. 11 , 17 B. 11 , 17 C. 17 , 23 D. 17 , 236 6 6 6 6 6 6 6
8 1 1.已知函数 ( )满足对任意的 ， ∈ (1, + ∞)且 < 都有 ( 1 ) = ( ) ( )，若 = (
1
2+5 +5 )， ∈
，则 1 + 2 + 3 + + 2024 =( )
A. ( 253 ) B. ( 253 ) C. ( 253385 380 765 ) D. (
253
760 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 = 4+2 .已知 1 ， 为虚数单位， ∈ ， 是 的共轭复数，则下列说法正确的是( )
A.若 为纯虚数，则 = 2
B.若 在复平面内所对应的点位于第一象限，则 ∈ ( 3,3)
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C. | |的最小值为 2 2
D. 为定值
10.已知 为坐标原点，点 ( , )， ( , )， (1,1)，则下列说法正确的是( )
→ →
A. = ( )
B.若 = ,则∣ ∣ = ∣ ∣
C. △ 和△ 的面积之和的最大值为 1
D. ∠ = 若 4，则
= ∣ ∣2
11.双曲线的光学性质：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双
2 2 2 3
曲线的另一个焦点.已知双曲线 : 6 = 1 > 0 的离心率为 3 ，左、右焦点分别为 1, 2，点
2 2
0, 0
6
0 > 0 在 上，点 , 0 ，点 0, 在直线 上，则下列说法正确的是( )附：双曲线 =0 2 2
1 > 0, > 0 , 0 在其上一点 0 0 处的切线方程为 0 2 2 = 1．
A. 1 2 = 2 2
B. 0 = 2
C.作 1 ⊥ 于点 ，则 = 6( 为坐标原点)
D.若 2的延长线交 于点 ，则 1 的内心在定直线上
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 ( 3,4) sin( + π.已知角 的终边经过点 ，则 4 )的值为 ．
13.高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑 4 个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、
马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件 :甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件 :甲和乙选择的景点不
同，则条件概率 = ．
14.2021 年 3 月 30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新 (如图所示)，设计师的灵感来

源于曲线 ： + = 1( > 0, ∈ R).当 = 4， = 2， = 1 时，下列关于曲线的判断正确的有 ．
①曲线 关于 轴和 轴对称
②曲线 所围成的封闭图形的面积小于 8
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1
③曲线 上的点到原点 的距离的最大值为174
④设 ( 3, 0)，直线 + 3 = 0 交曲线 于 、 两点，则 的周长小于 8
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在压力日益增大的当下，越来越多的人每天的睡眠时长无法满足缓解压力的需要.某研究小组随机调查了某
地 100 名工作人员每天的睡眠时长，这 100 名工作人员平均每天睡眠时长如下表所示，实际数据处理及分
析中，认为工作日与周末无差异．
睡眠时长/小时 5.75 6.25 6.25 6.75 6.75 7.25 7.25 7.75 7.75 8.25 8.25 8.75
人数 5 12 28 36 17 2
(1)估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长(同一组的数据用该组区间的中点值为代表)．
(2)在被调查的 100 名工作人员中，有 40 名表示“近期压力过大”，由频率估计概率.在该地的所有工作人
员中随机调查 3 名，设“近期压力过大”的人数为 ．
(ⅰ)求 ( ≤ 1)的值;
( )求 的分布列和期望．
16.(本小题 15 分)

已知数列 的前 项和为 ，且 +1 =
+2

．

(1)若 3 = 2，求 3；
(2)若 2 = 2

1，求 关于 的表达式．
17.(本小题 15 分)
e 1 ( ) = ln 已知函数
(1)求曲线 = ( )在点 1, (1) 处的切线方程；
(2)当 ∈ (0,2)时，求证 ( ) ≤ 1．
18.(本小题 17 分)
已知抛物线 : 2 = 2 > 0 , 为 上一点．
(1) 证明：以点 为圆心且过点 0, 2 的圆与 的准线相切．
(2)若动直线 : = + 2 与 相交于 , 两点，点 , 2 满足 ⊥ ( 为坐标原点)，且直线 , 的斜
率之和为 2 ．
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( )求 的方程；
( )过点 作 的切线 ′，若 ′// ，求 的面积的最小值．
19.(本小题 17 分)
2 2 3 1
已知上下顶点分别为 , 的椭圆 : + 4 = 1 经过点 2 , 1 , 为直线 : = 2上的动点，且 不在椭圆 上，
与椭圆 的另一交点为 , 与椭圆 的另一交点为 ( , 均不与椭圆 上下顶点重合)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 过定点；
(3)设(2)问中定点为 ，过点 , 1分别作直线 : = 2的垂线，垂足分别为 , ，记 ， ，
的面积分别为 1， 2， 3，试问：是否存在常数 ，使得 1， 2， 3总为等比数列？若存在，求出 的值；
若不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 210
13.67
14.①②③
15.解:(1)记这 100名工作人员平均每天的睡眠时长为 小时,
1
则 =100 ×(6×5+6.5×12+7×28+7.5×36+8×17+8.5×2)=7.27(小时),
故估计该地所有工作人员平均每天的睡眠时长为 7.27小时.
(2) ( i)被调查的 100名工作人员中有 40名表示“近期压力过大”,
40
则表示“近期压力过大”的频率为100=
2
5,
2
由频率估计概率,在该地的所有工作人员中随机调查 1名工作人员,表示“近期压力过大”的概率为5,故
X~B(3,25),
故 P(X≤1) = P(X=0) + P(X=1) = 03 × (
2
5 )
0 × (1 25 )
3+ 1 23 × ( 5 )
1 × (1 2 )2= 815 125.
(ii)由 X~B(3,25),得 P(X=0)=
0
3 × (
2 0 2 3 27
5 ) × (1 5 ) =125，
P(X=1) = 13 × (
2 1 2 2 54
5 ) × (1 5 ) =125，
P(X=2) = 23 × (
2 2
5 ) × (1
2 1 36
5 ) =125，
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P(X=3) = 3 2 3 2 03 × ( 5 ) × (1 5 ) =
8
125，
故其分布列如下表所示:
X 0 1 2 3
27
P 54 36 8
125 125 125 125
其期望 E(X)=3× 2=65 5.
16.解：(1)令 = 1 ，可得 2 =
3
，故 2 = 3，1 1
又 3 = 1 + 2 + 3 = 2 3 = 2，所以 3 = 1．
(2) 由 +1 = +2 ，可得
2 = 3， 3 = 4，…， = +1，
1 1 2 2 1 1
= 两边分别相乘得 +1 1 1
，所以 2 = +1．
2
当 ≥ 2 时， 2 1 = 1 ，所以 2 2 1 = +1 1 ，
即 2 1 = +1 1 ，即 2 = +1 1 ，
由题可知 ≠ 0，所以 +1 1 = 2，
所以 的奇数项、偶数项均成公差为 2的等差数列．
所以 2 1 = 1 + ( 1) 2 = (2 1) 1， 2 = 2 + ( 1) 2 = 2 1，
所以 = 1．
所以 = 1 + 2 1 + 3 1 + + ( 1) 1 + 1
= [1 + 2 + 3 + + ( 1) + ] 1
= ( +1) 12 ，
( +1)
1
故 = 2 +1 =1 2
．
e 117. (1) ′( ) = ( ln +1 ln )解： 由题可知 2 ，则
′(1) = 1，
又 (1) = 0.故所求切线方程为 = 1( 1) = 1．
(2) ln 1当 ∈ (0,2)时，要证 ( ) ≤ 1，即证 ≤ e 1，
ln 1
即证eln ≤ e 1在 ∈ (0,2)时恒成立．
令 ( ) = e ，则
′( ) = 1 e ，
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故当 < 1 时， ′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在( ∞,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
( ) = ln + 1 ′( ) = 1 1 = 1 令 ，则 ，
故当 0 < < 1 时， ′( ) > 0，当 > 1 时， ′( ) < 0，
所以 ( )在(0,1)上单调递增，在(1, + ∞)上单调递减，
则 ( )max = (1) = 0，故 ln ≤ 1．
当 ∈ (0,2) ln < 1时，有 1 < 1，故 (ln ) ≤ ( 1)，
ln 1
即eln ≤ e 1在 ∈ (0,2)时恒成立，
故当 ∈ (0,2)时 ( ) ≤ 1．
18.解：(1) 由题可知点 0, 2 为 的焦点，设为点 ，抛物线 的准线方程为 = 2．
∵ 为 上一点，∴由抛物线的定义得 等于点 到 的准线的距离，
∴以 为圆心且过点 0, 2 的圆与 的准线相切．
(2)
设 1, 1 , 2, 2 ．
( )当 = 0 时，点 , 关于 轴对称，点 0, 2 ，
直线 , 关于 轴对称， + = 0 = 2 成立．
1 1
当 ≠ 0 时，由 ⊥ 得 = ，直线 的方程为 = ，
将点 的坐标 , 2 代入，可得 = 2 ，则 2 , 2 ．
联立直线 与 的方程，可得 2 2 4 = 0，
∴ 1 + 2 = 2 , 1 2 = 4 ．
∵ + = 2 ，
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∴ 1+2 + 2+2 = 1+4 2+4 1+4 2 2 + 2+4 1 2 1 2 2 2 1 2
+ 2 =2 1 2 2 2
= 2 ，
化简可得 2 2 + 2 1 + 22 4 = 0，则 2 + 2 2 4 = 0，
由 2 + 2 ≠ 0 得，2 4 = 0，由 ≠ 0 得 = 2，
故 的方程为 2 = 4 ．
( )设直线 ′: = + ，
与 的方程联立，可得 2 4 4 = 0，
由 = 16 2 + 16 = 0，得 = 2，
2
由 2 4 + 4 2 = 0 得 2 2 = 2 ， = 4 = ，故点 2 , ．
设 的中点为 ，
∵ 1 + 2 = 2 = 4 ，
∴ 1+ 2 = 2 , 1+ 2 1+ 2 +4 22 2 = 2 = 2 + 2，故 2 , 2
2 + 2 ．
2
∵ 2 , 2 , 2+2 +22 =
2，∴ , , 三点共线，且 为线段 的中点，
∴ 的面积为△ 1的面积的2，
1
由 为 的中点得，△ 的面积为 的面积的2，
∴ 1的面积为 的面积的4．
∵ 1 + 2 = 2 = 4 , 1 2 = 4 = 8，
∴ = 1 + 2 1 + 22 4 2 21 2 = 1 + 16 + 32 = 4 1 + 2 2 + 2．
2
∵点 2 , 2 到直线 : + 2 = 0 2 +4的距离 = ，
2+1
∴ 1 1
3 3
2
= 8 = 2 + 2 2
2 + 4 = 2 + 2 2 ≥ 22 = 2 2，
当且仅当 = 0 时等号成立，故 的面积的最小值为 2 2．
2 2 9
19. 3解：(1)因为椭圆 : + 4 = 1 经过点 2 , 1
1
，代入可得 4 + 4 = 1，解得 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 3 + 4 = 1；
(2)由题意，直线 的斜率一定存在，设 1, 1 , 2, 2 ，直线 的方程为 = + ，
联立椭圆和直线 的方程得 3 2 + 4 2 + 6 + 3 2 4 = 0，
6 3 2 4
由韦达定理可得 1 + 2 = 3 2+4 , 1 2 = 3 2+4 ，
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= 1 2 + 2 = 2+2由点斜式可知直线 的方程为 ，直线 的方程为1
2，
2
2 2 1 2
两式相比得 = 1 · 2 1 +2 +2，因为点 在直线 = 2上，所以 ·
2 3
1 2 1 2+2
= 5，
2 2 2 + 2 = 1 2 = 3 2 2 2 4又点 在椭圆上，所以 3 4 ，变形得
2 1 2
2+2 4
，所以 · = ，2 1 2 5
+ 2 + 2 4 2 + ( 2) + +( 2)2 4
将直线 方程代入得 1 2 = 5，即
1 2 1 2
= ，1 2 1 2 5
将韦达定理结果代入得 2 10 + 16 = 0，解得 = 2 或 8，
因为 , 均不与椭圆 上下顶点重合，所以 = 2 舍去，即 = 8，
直线 的方程为 = + 8，过定点(0,8)．
(3)由题意可知 , 11 2 , ,
1
2 2 ，显然 , 在直线 =
1
2的两侧，不妨设 1 >
1
2 > 2，
1 1 1 1 1 1则 = 2 1 1 2 , = 2 1 2 8 2 , = 2 2 2 2 ，
设存在常数 ，使得 1， ， 为等比数列，则 2 22 3 2 = 1 3，
225 2 1 1 1
即 216 1 + 2 4 1 2 = 4 1 2 2 1 + 2 1 2 4 ，
2
由(2)可知 1 + 2 = 1 +
64 4 64 3
2 + 16 = 3 2+4 , 1 2 = 1 + 8 2 + 8 = 3 2+4 ，
225 2
代入化简可得 216 144 2880 =
45
4 45
2 900 ，
由(2)知联立后的方程 = (48 )2 4 × 180 × 3 2 + 4 > 0 2 > 20，
2
2 = 45 20 × 16 45 1所以 144 2 20 225 × 4 = 4，解得 =±
1
2，
1
所以存在 =± 2，使得 1， 2， 3总为等比数列．
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