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2025年广州市中学生数学与科学联赛（数学)
(一试)
本试卷共2页，12小题，满分120分，考试用时90分钟。
注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、学校、年级、考号等信息填写在答题卡上。用2B
铅笔在答题卡的相应位置填涂考号。
2.必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应
位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
3.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、填空题（每小题8分，共80分）
1.已知等差数列fa,}的公差为2，集合4=sina,n∈N)有且仅有两个元素，则集合A的两个元
3
素之积为
2.己知实数a,b满足1n√2a-1+a-5=0e+b-9=0,则2a+b=
3.记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若ab.cosC、bc·cosA、ca·cosB依次构成公比
为2的等比数列.则tanB=,
4
4.己知定义在R上的奇函数f(x)满足f(-2-x)=f(x),且f(-3)=1,则
∑2f0=
5.已知双曲线C:x-片=1的左、右焦点分别为F,5,过的直线1与C的右支交于A,B两点
若△AFB的外接圆被x轴截得的弦长为7，则|AB=
6.从棱长为1的正方体AB,CD,-ABCD的八个顶点中随机取出4个点，记这四个点构成的空间几
何体的体积为V,规定四点共面时V=0.则V的数学期望为
7.两个正整数a,b(a≤b)满足：(a,b)+[a,b]+a+b=a·b(其中(a,b)表示a与b的最大公约数，[a,b]
表示a与b的最小公倍数)，记a+b=n,则所有n的取值之和为_
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8.已知正数x,2,w满足x+2<3z+4w,②2z,则w+无的最小值为
3y 2x
9,己知三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,且PA=BC=1,AB+AC=2,若二面角P-BC-A
的平面角与∠BAC的大小相等，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为
10.给定正整数n≥4，由3n+1条单位线段围成如图所示的1行n列相连的单位正方形的方格图，
其中水平的单位线段称为“横线段”，竖直的单位线段称为为“竖线段”.现将方格图中的部分单位
线段染成红色，如果图中的红色的横线段和红色的竖线段总没有公共点，则称这种染法为“无直角”
的.在所有使得上述方格图“无直角”的染法中，恰有两条红色竖线段的染法种数为。
二、解答题（每题20分，共40分）
1.已知椭圆C:+
=1(a>b>0)的短轴端点分别为A(0,b),B(0,-b),以AB为直径的圆与
直线r-y=0的一个交点为（与之
13
(1)求椭圆C的方程：
(2)是否存在方向向量为n=(√3,1)的直线1，与椭圆交于D,E两点（异于点A),且AD与
A正的夹角为红？若存在，求出所有满足条件的直线方程：若不存在，说明理由。
3
12.已知i为虚数单位，复数z=1,2,3)满足：=1且名+i引+3+z≤3，求
+++的最大值.
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