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第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）
参考答案与试题解析
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）给出下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面，
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解题思路】根据空间几何体的结构特征逐项判断即可.
【解答过程】球只有一个曲面，没有顶点和棱，故①错，②对，③对；由于几何体是空间几何体，所以一
定有面，故④错．
故选：B.
2．（5 分）（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习） △ 的直观图 △ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′// ′轴， ′ ′
// ′轴，且 ′ ′ = ′ ′ = 2，则 △ 的面积为（ ）
A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
【解题思路】将直观图还原为原图，如图所示，进而求解.
【解答过程】将直观图还原为原图，如图所示，则 △ 是直角三角形，其中 = 4， = 2，
1
故 △ 的面积为 △ = 2 × 4 × 2 = 4，
故选：B．
3．（5 分）（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知 是两条不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正
确的是（ ）
A．若 ∩ = , ∥ ，则 ∥
B．若 , , ∥ , ∥ ，则 ∥
C．若 ⊥ , ∥ , ∥ ，则 ∥
D．若 , ∥ , ⊥ ，则 ⊥
【解题思路】本题考查空间内线线、线面和面面位置关系的判定及性质，根据判定定理和性质定理依次判
断即可.
【解答过程】对于 A 选项，若 ∩ = ， // ，则 // 或 ，A 错；
对于 B 选项，若 ， ， // ， // ，则 // 或 相交，B 错；
对于 C 选项，若 ⊥ ， // ， // ，则 // 或 相交，C 错；
对于 D 选项，若α// ， ⊥ ，则 ⊥ ，因为 ，则 ⊥ ，D 对.
故选：D.
4．（5 分）（23-24 高一下·江苏·期末）若底面半径为 ，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积

相等，则 = （ ）
A 5 1 B 3 1． ． 5 1 C． 3 1 D．2 2
【解题思路】利用圆锥表面积以及球的表面积公式构造方程即可.
2
【解答过程】易知圆锥的表面积为π + π 2，球的表面积为4π = π 22 ，
2
故π + π 2 = π 2，即 + 1 = 0 ，

解得 =
5 1（负舍）.
2
故选：B.
5．（5 分）（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会
挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图 1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两
部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图 2，球冠是由球面被一个平面
截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为 R，球冠的高为 h，则球冠
的面积 = 2 ．已知该灯笼的高为 46cm，圆柱的高为 3cm，圆柱的底面圆直径为 30cm，则围成该灯笼
所需布料的面积为（ ）
A．2090 cm2 B．2180 cm2 C．2340 cm2 D．2430 cm2
【解题思路】由勾股定理求出 ，则 = 20 = 5cm，分别求出两个球冠的表面积、灯笼中间球面的表面积、
上下两个圆柱的侧面积即可求出围成该灯笼所需布料的面积.
46 6 2
【解答过程】由题意得 2 =152，得 = 25cm， = 25 20 = 5cm2 ，
所以两个球冠的表面积之和为2 = 4 = 500 cm2，
灯笼中间球面的表面积为4 2 500 = 2000 cm2．
因为上下两个圆柱的侧面积之和为2 × 30 × 3 = 180 cm2，
所以围成该灯笼所需布料的面积为2000 + 180 = 2180 cm2．
故选：B.
6．（5 分）（23-24 高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形 各边 ， ， ， 上分别取点
， ， ， ，若直线 ， 相交于点 ，则下列结论错误的是（ ）
A．点 必在平面 内 B．点 必在平面 内
C．点 必在直线 上 D．直线 与直线 为异面直线
【解题思路】利用基本事实 2,3 可得正确的选项.
【解答过程】
对于 AB，
因为直线 在平面 内，且 ∈ ，所以点 必在平面 内，故 A 正确；
同理直线 在平面 内，且 ∈ ，所以点 必在平面 内，故 B 正确；
由 A，B 选项得点 在平面 内，也在平面 内，
对于 CD，
由基本事实 3 得点 在交线 上，故 C 正确；直线 与直线 为相交直线，
故 D 不正确，
故选：D.
7．（5 分）（23-24 高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥 中， ⊥ 平面 ABCD，且四边形
ABCD 为矩形， = = 2 = 2，M 为 PD 的中点，则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为（ ）
A 3 B 3． ． C 6 1． D．
2 3 3 2
【解题思路】过点 D 作 ⊥ 于点 N，证明 ⊥ 平面 ，得 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ ，在
Rt △ 中，求∠ 的余弦值.
【解答过程】如图，过点 D 作 ⊥ 于点 N，
因为 ⊥ 平面 ABCD， 平面 ABCD，所以 ⊥ ，
又四边形 ABCD 为矩形， ⊥ ， ∩ = ， , 平面 AMD，
所以 ⊥ 平面 AMD，因为 平面 AMD，所以 ⊥ ，
在 △ 1中， = = 2，M 为 PD 的中点，所以 ⊥ 且 = 2 = 2，
又 ∩ = ， , 平面 CDM，所以 ⊥ 平面 CDM，
因为 平面 ACM，所以平面 ⊥ 平面 ，
因为平面 ∩ 平面 = ， ⊥ ， 平面 ，
所以 ⊥ 平面 ，所以 CD 与平面 ACM 所成的角为∠ .
因为 ⊥ 平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，

在Rt △ 中，cos∠ = 3 = 2 =+ 2 .3
故选：B.
8．（5 分）（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥 是棱长均为 2 的正四棱锥，三棱锥 是正
四面体，G 为 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．点 , , , 共面 B．平面 //平面
C． ⊥ D． ⊥ 平面 ACD
【解题思路】A.由题意转化为证明 ⊥ 平面 和 ⊥ 平面 ，即可证明；B.根据面面平行的判断定理
转化为证明 //平面 和 //平面 ，即可证明；C.由 A 选项的证明可证明线线垂直；D.利用反证法，
说明不成立.
【解答过程】选项 A：如图，取 中点 ，连接 , , , ，
因为 是正四棱锥， 是正四面体， 为 的中点，
所以 ⊥ ， ⊥ , ⊥ ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
因为 ∩ = ， , 平面 ，所以 ⊥ 平面 ，
所以 , , , 四点共面，
由题意知 = = 3， = = 2，所以四边形 是平行四边形，
所以 ∥ ，因为 ∥ ，所以 ∥ ，所以 , , , 四点共面，故 A 说法正确；
选项 B：由选项 A 知 ∥ ，又 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
因为 // ，且 平面 ， 平面 ，所以 //平面 ，
又 平面 ， 平面 ，且 ∩ = ，所以平面 //平面 ，故 B 说法正确；
C 选项：由选项 A 可得 ⊥ 平面 ，又 平面 ，所以 ⊥ ，故 C 说法正确；
D 选项：假设 ⊥ 平面 ，因为 平面 ，则 ⊥ ，
由选项 A 知四边形 是平行四边形，所以四边形 是菱形，
与 = 3， = 2矛盾，故 D 说法错误.
故选：D.
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（24-25 高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是
圆锥
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
【解题思路】利用旋转体的特征易于判断 A,C 项，对于 B，要明确平面的无限延展性，即可判断其正误；
对于 D，利用球的截面圆性质即可判断.
【解答过程】对于 A，以直角梯形不垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体不是圆台，故 A
错误；
对于 B，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故 B 错误；
对于 C，根据圆锥的定义易得 C 正确；
对于 D，由球的截面圆的性质可得,故 D 正确.
故选：CD.
10．（6 分）（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球 与圆台的两个底
面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ）
A．圆台的母线长为4 B．圆台的体积为26 3π
C．圆台的表面积为26π D．球 的表面积为12π
【解题思路】画出圆台的轴截面，则轴截面是等腰梯形，内切圆是过球心的大圆，结合题意，分别求出圆
台的母线长和内切球的半径，即可得出结论．
【解答过程】画出圆台的轴截面，如图所示：
则四边形 是等腰梯形，且 = 1， = 3，内切圆圆心即球心 ；
所以圆台的母线长为 = + = + = 3 + 1 = 4，选项 A 正确；
连接 、 和 ，则 △ 是直角三角形，且 2 = = 3，
所以球的半径为 = = 3，
1 26 3
所以圆台的体积为 = 2 2 2 23π 1 + 3 + 1 × 3 × 2 3 = π，故选项 B 错误；3
圆台的表面积为 = π × (12 + 32) + π × (1 + 3) × 4 = 26π，故选项 C 正确；
2
球 的表面积为 ′ = 4π × ( 3) = 12π，故选项 D 正确．
故选：ACD．
11．（6 分）（24-25 高一下·全国·期末）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个
1
动点 ， ，且 = 2，则下列结论中错误的是（ ）
A． ⊥ B． //平面
C．三棱锥 的体积为定值 D． △ 的面积与 △ 的面积相等
【解题思路】对于 A，先假设 ⊥ ，从而推出 ⊥ 1与∠ = 60 1 矛盾得解；对于 B，由线面平行
判定定理即可得解；对于 C，直接计算三棱锥 的体积即可得出其为定值；对于 D，由点 A、B 到
的距离不等即可说明.
【解答过程】连接 1、 1 、 1，
则由正方体性质可知 △ 1 、 △ 1 1是正三角形，故∠ 1 = 60 ，
对于 A，假设 ⊥ ，连接 ，则由正方体性质得 ⊥ ， // 1 1，
所以 ⊥ 1 1，又 1 1 ∩ = , 1 1、 平面 1 1，
所以 ⊥ 平面 1 1，又 1 平面 1 1，
则 ⊥ 1，与∠ 1 = 60 矛盾，故 A 错误；
对于 B，因为 // 1 1即 // ， 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ，故 B 正确；
对于 C 1 1 1，由正方体性质可知点 A 到平面 1 1的距离为 = 2 + 2 = 12 2 22 2 2 + 1 = ，2
所以 =
1
3 ×
1 1
△ × 2 = 3 ×
1
2 × ×
1
1 × 2 =
1
6 × 1 × 1 ×
2 = 2，
2 12
所以体积是定值，故 C 正确；
对于 D，设 1 1的中点是 ，由正三角形 △ 1 1可知点 A 到直线 的距离是 ，
而点 到直线 的距离是 1，显然由正方体结构性质 > 1，
1又 △ = 2 × ×
1
， △ = 2 × × 1，
所以 △ 的面积与 △ 的面积不相等，故 D 错误．
故选：AD.
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 ③④ 绕轴旋转而成（填
序号）．
【解题思路】根据图形判断即可.
【解答过程】题图中的半球可由③绕轴旋转一周而成，也可由④绕轴旋转180°而成．
故答案为：③④.
13．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中， 是棱 1的中点， 是

棱 上一点．若 1 //平面 ，则 的值为 2 ．
【解题思路】连接 1 、 相交于 ，根据线面平行的性质、 △ 1 ∽△ 可得答案.
【解答过程】连接 1 、 相交于点 ，连接 ，
因为 1 //平面 ，平面 1 ∩ 平面 = ， 1 平面 1 ，

所以 1 //

，所以 = ，1
因为 1// ，所以 △ 1 ∽△ ，

所以 =
1 1
= 2，即 = 2，1 1

可得 = 2.
故答案为：2.
14．（5 分）（23-24 高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2， = 1， = 2，
π
∠ = 3，则三棱柱 1 1 1的外接球的表面积为 8π ．
【解题思路】根据已知条件可 ⊥ ，从而将直三棱柱补为长方体，则长方体的体对角线等于三棱柱的外
接球的直径，求出半径，从而可求出外接球的表面积.
π
【解答过程】因为 = 1， = 2，∠ = 3，
所以由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
即 2 = 1 + 4 2 × 1 × 2 × 12 = 3，
所以 2 + 2 = 4 = 2，所以 ⊥ ，
所以将直三棱柱 1 1 1补为如图所示的长方体，
则由题意可知长方体的长，宽，高分别为 3,1,2，
长方体的体对角线等于三棱柱的外接球的直径，
设外接球的半径为 ，则
2
(2 )2 = ( 3) + 12 + 22，得4 2 = 8，
所以三棱柱 1 1 1的外接球的表面积为4π 2 = 8π.
故答案为：8π.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的．
【解题思路】根据组合体特征确定是由基本空间几何体拼接，还是挖去得到的几何体.
【解答过程】图（1）是由两个圆台拼接而成的组合体；
图（2）是由圆台挖去一个圆锥后得到的几何体；
图（3）是由一个圆柱挖去一个三棱柱后得到的几何体．
16．（15 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图， △ ′ ′ ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
(1)画出它的原图形；
(2)若 ′ ′ = 2, △ ′ ′ ′ 3的面积是 ，求原图形中 边上的高和原图形的面积.
2
【解题思路】（1）利用直观图与原图形的关系作图即可得；
（2）利用直观图的性质计算可得原图形对应边长，即可计算原图形的高与面积.
【解答过程】（1）画出平面直角坐标系 ，在 轴上取 = ′ ′，即 = ′ ′，
在图①中，过 ′作 ′ ′// ′轴，交 ′轴于 ′，在 轴上取 = ′ ′，
过点 作 // 轴，并使 = 2 ′ ′，
连接 ， ，则 △ 即为 △ ′ ′ ′原来的图形，如图②所示：
（2）由（1）知，原图形中， ⊥ 于点 ，则 为原图形中 边上的高，
且 = 2 ′ ′，
在直观图中作 ′ ′ ⊥ ′ ′于点 ′，
△ = 1则 ′ ′ ′的面积 △ ′ ′ ′ ′ ′ × ′2 ′ = ′ ′ =
3
，
2
在直角三角形 ′ ′ ′中， ′ ′ = 2 ′ ′ = 6，所以 = 2 ′ ′ =2 6，
所以S△ =
1
2 × = 6.
故原图形中 边上的高为 6，原图形的面积为 6.
17．（15 分）（23-24 高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体
截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是 60cm．
(1)求石凳的体积；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价 50 元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
【解题思路】（1）计算出正方体的体积减去 8 个小正三棱锥的体积，得到答案；
（2）计算出石凳的表面积，从而求出粉刷一个石凳的钱数.
【解答过程】（1）正方体的体积为603 = 216000cm3，
石凳的体积为正方体的体积减去 8 个正三棱锥的体积，其中一个小正三棱锥的三条侧棱边长为30cm，
1 1
故一个小正三棱锥的体积为3 × 2 × 30
2 × 30 = 4500cm3，
故石凳的体积为216000 4500 × 8 = 180000cm3.
（2）石凳的表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成，其中正方形和正三角形的边长均为30 2cm，
2
则石凳的表面积为6 × (30 2) + 12 × 30 2 × 30 2sin60° × 8 = (3600 3 + 10800)cm
2，
3600 3+10800
则粉刷一个石凳需要 × 50 = (54 + 18 3)元.10000
18．（17 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱 ′ ′ ′ ′.
(1)请在正四棱柱 ′ ′ ′ ′中，画出经过 P、Q、R 三点的截面（无需证明）；
(2)若 Q、R 分别为 ′ ′、 ′ ′中点，证明：AQ、CR、 ′三线共点.
【解题思路】（1）根据给定条件，利用平面的基本性质作图.
（2）证明四边形 为梯形，设 ∩ = ，再证明 ∈ ′，即可得到 , , ′三线共点．
【解答过程】（1）作直线 分别交 ′ ′, ′ ′的延长线于 , ，连接 交 ′于 ，
连接 交 ′于点 ，连接 , ，则五边形 即为所求，如图：
（2）如图，连接 ， ， ′ ′，四边形 ′ ′是正四棱柱 ′ ′ ′ ′的对角面，则 = ′ ′， // ′
′，
由 Q、R 分别为 ′ ′、 ′ ′中点，得 // ′ ′, ′ ′ = 2 ，则 // ，且 = 2 ，
即四边形 为梯形，令 ∩ = ，则 ∈ ，而 平面 ′ ，
则 ∈ 平面 ′ ，同理 ∈ 平面 ′ ，又平面 ′ ∩ 平面 ′ = ′，因此 ∈ ′，
所以 , , ′三线共点.
19．（17 分）（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形 ABCD 中， ∥ ，
π
∠ = ∠ = 2， = = 2 = 4，E，F 分别是 AB，CD 上的点， ∥ ， = ，沿 EF 将梯形
ABCD 翻折，使平面 ⊥ 平面 EBCF（如图乙）．
(1)证明： ⊥ 平面 ABE；
(2)当 = 2时，求二面角 的余弦值．
【解题思路】（1）由题意得到 ⊥ ， ⊥ ，从而得到线面垂直；
（2）作出辅助线，由面面垂直得到线面垂直，从而 ⊥ ，进而证明出故 ⊥ ，所以∠ 为二面角
的平面角，求出各边长，求出tan∠ = 13，进而求出二面角的余弦值.
π
【解答过程】（1）证明：在直角梯形 ABCD 中，因为∠ = ∠ = 2，故 ⊥ ， ⊥ ，
因为 ∥ ，故 ⊥ ．
所以在折叠后的几何体中，有 ⊥ ， ⊥ ，
而 ∩ = ， , 平面 ，
故 ⊥ 平面 ABE．
（2）如图，在平面 AEFD 中，过 D 作 ⊥ 且交 EF 于 G．
在平面 DBF 中，过 D 作 ⊥ 且交 BF 于 H，连接 GH．
因为平面 ⊥ 平面 EBCF，平面 ∩ 平面 = ， 平面 AEFD，
故 ⊥ 平面 EBCF，
因为 平面 EBCF，故 ⊥ ，而 ∩ = ，故 ⊥ 平面 DGH，
又 平面 DGH，故 ⊥ ，所以∠ 为二面角 的平面角，
在平面 AEFD 中，因为 ⊥ ， ⊥ ，故 ∥ ，
又在直角梯形 ABCD 中， ∥ 且 = 12( + ) = 3，
故 ∥ ，故四边形 AEGD 为平行四边形，故 = = 2， = 1，
2
在直角 △ 中，tan∠ = = 3，
因为∠ 为三角形内角，所以∠ 为锐角，
sin∠ 2 2 2 2
cos∠ = 3，sin ∠ + cos ∠ = 1，解得sin∠ = 13，
2
= sin∠ = tan∠ =
2
故 ，故 2 = =13 13，13
因∠ 为三角形内角，故∠ 为锐角，
sin∠ 2 2 2
cos∠ = 3，sin ∠ + cos ∠ = 1，解得cos∠ =
14，
14
所以二面角 的平面角的余弦值为 14．
14第八章 立体几何初步全章综合测试卷（基础篇）
【人教 A 版 2019】
考试时间：120 分钟；满分：150 分
姓名：___________班级：___________考号：___________
考卷信息：
本卷试题共 19 题，单选 8 题，多选 3 题，填空 3 题，解答 5 题，满分 150 分，限时 120 分钟，本卷题型针对性
较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！
第 I 卷（选择题）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要
求的。
1．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）给出下列说法：
①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；
②一个几何体可以没有顶点；
③一个几何体可以没有棱；
④一个几何体可以没有面，
其中正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（5 分）（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习） △ 的直观图 △ ′ ′ ′如图所示，其中 ′ ′// ′轴， ′ ′
// ′轴，且 ′ ′ = ′ ′ = 2，则 △ 的面积为（ ）
A．2 2 B．4 C．4 2 D．8
3．（5 分）（23-24 高一下·江苏无锡·期中）已知 是两条不同的直线， 是不同的平面，则下列命题正
确的是（ ）
A．若 ∩ = , ∥ ，则 ∥
B．若 , , ∥ , ∥ ，则 ∥
C．若 ⊥ , ∥ , ∥ ，则 ∥
D．若 , ∥ , ⊥ ，则 ⊥
4．（5 分）（23-24 高一下·江苏·期末）若底面半径为 ，母线长为 的圆锥的表面积与直径为 的球的表面积

相等，则 = （ ）
A． 5 1 B 3 1． 5 1 C． 1 D．2 3 2
5．（5 分）（23-24 高一下·安徽阜阳·期末）灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢春节人们便会
挂起象征美好团圆意义的红灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图 1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两
部分是两个相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图 2，球冠是由球面被一个平面
截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为 R，球冠的高为 h，则球冠
的面积 = 2 ．已知该灯笼的高为 46cm，圆柱的高为 3cm，圆柱的底面圆直径为 30cm，则围成该灯笼
所需布料的面积为（ ）
A．2090 cm2 B．2180 cm2 C．2340 cm2 D．2430 cm2
6．（5 分）（23-24 高一下·河北邯郸·期末）如图，在空间四边形 各边 ， ， ， 上分别取点
， ， ， ，若直线 ， 相交于点 ，则下列结论错误的是（ ）
A．点 必在平面 内 B．点 必在平面 内
C．点 必在直线 上 D．直线 与直线 为异面直线
7．（5 分）（23-24 高一下·重庆·阶段练习）如图所示，四棱锥 中， ⊥ 平面 ABCD，且四边形
ABCD 为矩形， = = 2 = 2，M 为 PD 的中点，则 CD 与平面 ACM 所成角的余弦值为（ ）
A 3 B 3 C 6 D 1． ． ． ．
2 3 3 2
8．（5 分）（2024·全国·模拟预测）如图，四棱锥 是棱长均为 2 的正四棱锥，三棱锥 是正
四面体，G 为 的中点，则下列结论错误的是（ ）
A．点 , , , 共面 B．平面 //平面
C． ⊥ D． ⊥ 平面 ACD
二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的
要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
9．（6 分）（24-25 高一下·全国·课堂例题）（多选）下列选项中，正确的是（ ）
A．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
B．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
C．以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面所得的旋转体是
圆锥
D．用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面
10．（6 分）（23-24 高一下·河南郑州·期中）已知圆台的上底半径为1，下底半径为3，球 与圆台的两个底
面和侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ）
A．圆台的母线长为4 B．圆台的体积为26 3π
C．圆台的表面积为26π D．球 的表面积为12π
11．（6 分）（24-25 高一下·全国·期末）如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个
1动点 ， ，且 = 2，则下列结论中错误的是（ ）
A． ⊥ B． //平面
C．三棱锥 的体积为定值 D． △ 的面积与 △ 的面积相等
第 II 卷（非选择题）
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12．（5 分）（24-25 高一下·全国·课后作业）如图所示的立体图形可由平面图形 绕轴旋转而成（填序
号）．
13．（5 分）（23-24 高一下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在三棱柱 1 1 1中， 是棱 1的中点， 是
棱 上一点．若 1 //平面

，则 的值为 ．
14．（5 分）（23-24 高一下·河南洛阳·期中）已知直三棱柱 1 1 1中， 1 = 2， = 1， = 2，
π
∠ = 3，则三棱柱 1 1 1的外接球的表面积为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15．（13 分）（24-25 高一下·全国·课堂例题）请描述如图所示的几何体是如何形成的．
16．（15 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图， △ ′ ′ ′是水平放置的平面图形的斜二测直观图.
(1)画出它的原图形；
(2)若 ′ ′ = 2, △ ′ ′ ′ 3的面积是 ，求原图形中 边上的高和原图形的面积.
2
17．（15 分）（23-24 高一下·福建泉州·期中）某广场内设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由正方体
截去八个一样的四面体得到的，如图所示，若被截正方体的棱长是 60cm．
(1)求石凳的体积；
(2)为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价 50 元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
18．（17 分）（23-24 高一下·安徽合肥·期中）如图，正四棱柱 ′ ′ ′ ′.
(1)请在正四棱柱 ′ ′ ′ ′中，画出经过 P、Q、R 三点的截面（无需证明）；
(2)若 Q、R 分别为 ′ ′、 ′ ′中点，证明：AQ、CR、 ′三线共点.
19．（17 分）（23-24 高一下·云南昭通·阶段练习）已知如图甲，在梯形 ABCD 中， ∥ ，
π
∠ = ∠ = 2， = = 2 = 4，E，F 分别是 AB，CD 上的点， ∥ ， = ，沿 EF 将梯形
ABCD 翻折，使平面 ⊥ 平面 EBCF（如图乙）．
(1)证明： ⊥ 平面 ABE；
(2)当 = 2时，求二面角 的余弦值．

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